Des extensions plus petites que leurs groupes de Galois

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Des extensions plus petites que leurs groupes de Galois

Bruno DESCHAMPS

Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme et Université du Maine

Abra: In this article we conrusome Galois extensionsL/K with finite Galois groups and such that|Gal(L/K)|>[L:K]. Using an analog of the Noether method, we explain how to obtain, with a fixed center, such a Galois curiosity with a Galois group as large as we want.

.— Introduion.

Un des points centraux de la théorie de Galois eque, pour toute extension finieL/Kde corps commutatifs, on a toujours l’inégalité|Aut(L/K)| ≤[L:K] et que le cas d’égalité caraérise le fait que l’extension soit galoisienne. Dans le cas des extensions de corps non commutatifs, ce résultat n’eplus vrai en général : comme nous allons le voir dans les exemples qui suivent, il een effet facile de conruire des extensions galoisiennes de degrés finis et de groupes de Galois infinis.

La notion d’extension galoisienne que nous considérons ela plus générale possible, c’ecelle introduite par Artin : une extensionL/Keditegaloisienne, si le corps des invariants deLsous l’aion du groupe Aut(L/K) eégal au corpsK.

Quelques exemples : / Dans le cas commutatif, "être galoisienne" équivaut pour une extension algébrique au fait d’être normale et séparable.

/ Dans le cas commutatif et transcendant on peut voir par exemple que sikdésigne un corps alors l’extensionk(t)/kegaloisienne si et seulement sikeinfini, son groupe de Galois s’identifiant alors à PGL₂(k). Dans la même veine, l’extensionk((t))/ketoujours galoisienne, quel que soit le corps commutatifk.

Pour l’extensionk(t)/k, on observe une inversion du caraère galoisien des sous-extensions, par rapport au cas algébrique : le théorème de Lüroth affirmant qu’une extension intermédiaire k(t)/L/k non triviale e de la formek(f), il s’ensuit quek(f)/k e toujours galoisienne. Pour autant, l’extensionk(t)/k(f) l’eassez rarement, car cette extension efinie et qu’il y a peu de sous-groupes finis dans PGL₂(k).

/ Dans le cas non-commutatif, pour tout corpsKde dimension finie sur son centreC(i.e. K e un corps qui eune algèbre simple centrale), l’extensionK/C egaloisienne. En effet, d’après le théorème de Skolem-Noether, le groupe Aut(K/C) e composé de tous les automorphismes intérieurs deK. Le corps des invariants sous l’aion de Aut(K/C) edonc le centre deK et donc K/C ebien galoisienne. On voit que dans cette situation Gal(K/C) ={I(a)/ a∈K} 'K^∗/C^∗ (où I(a) désigne l’automorphisme intérieur associé à l’élémenta) et donc que ce groupe einfini dès queK,C.

L’objeif de cet article ede donner un exemple d’extension galoisienne à groupe de Galois fini et tel que |Gal(L/K)|> [L : K]. Pour permettre au leeur non familiarisé à la théorie des corps gauches de comprendre la suite de ce texte, nous allons rappeler dans cette introduion les éléments de cette théorie que nous allons utiliser. Pour le détail des propriétés, nous renvoyons à [Jac] et [Coh].

Dans le cas non commutatif, la notion de groupe de Galois ereliée à celle de N-groupe : si Leun corps de centreC, on dit d’un groupe d’automorphismesGdeLque c’eun N-groupe si

Mathematics SubjeClassificationE,F



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l’ensembleA={a∈L^∗/ I(a)∈G}∪{0}eun corps. Le groupe de Galois d’une extension galoisienne L/Ketoujours un N-groupe, le corpsAassocié étant jue le centralisateur du corpsKdansL. On a réciproquement la proposition suivante, qui conitue une généralisation du théorème d’Artin :

SoientGun N-groupe d’automorphismes deL,G0={I(a)/ a∈A}le sous-groupe deGcomposé des automorphismes intérieurs etKle corps des invariants deLparG. On a

[L:K]_g= [L:K]_d= [G:G₀][A:C]

et lorsque ces dimensions sont finies, l’extension egaloisienne et l’on aGal(L/K) =G.

Ici les degrés [L:K]g et [L:K]ddésignent les dimensions deLen tant queK-espace veoriel gauche et droite et quand elles seront égales (ce qui sera toujours le cas pour les extensions galoisiennes) nous le noterons plus simplement [L:K]. La quantité [G:G0][A:C] eappelée "l’ordre réduit" deG. On dit d’une extension galoisienne qu’elle eintérieure (resp. extérieure), siG=G₀ (resp.G₀= 1).

Pour conruire notre exemple, nous aurons besoin de la notion depolynômes tordusdue à Ore.

Etant donnés un corpsket un automorphismeα dek, l’anneau de polynômes tordusk[T , α] e défini comme l’ensemble des polynômesTⁿan+· · ·+T a1+a0muni du produit qui vérifieaT =T α(a).

Cet anneau possède un corps de fraions, noték(T , α), et tout élément de ce corps peut s’écrire sous la formeP Q⁻¹oùP etQsont deux polynômes.

 .— Une curiosité galoisienne.

Nous nous intéressons ici au cas où le groupe de Galois efini.

Théorème.—SoitL/Kune extension galoisienne de groupe de GaloisGfini. On a[L:K]≤ |G|et [L:K] =|G| ⇐⇒L/Kextérieure

Si[L:K]<|G|alors le centreCdeLenécessairement un corps fini, disonsC=F_q, et il exie un entiern≥2tel que

n.|G|= qⁿ−1 q−1

! .[L:K] En particulier :

a) SiCeinfini, alorsL/Keextérieure et[L:K] =|G|.

b) Le sous-groupe deGconitué des automorphismes intérieurs eabélien.

Preuve : Soit G₀ le sous-groupe deGcomposé des automorphismes intérieurs. PosonsA={a∈ L/ I(a)∈G₀} ∪ {0}, il s’agit d’un sous-corps deL et l’on voit queG₀'A^∗/C^∗. PuisqueGe fini, A^∗/C^∗l’eaussi et donc, il exie une famille finiea₁,· · ·, a_n∈Ltelle que

A^∗=a₁C^∗t · · · ta_nC^∗

On en déduit que, en tant queC-espace veoriel, le corpsAela réunion dendroites veo- rielles diines deux à deux. SiCeinfini, ceci n’epossible que sin= 1 et l’on a doncG₀= 1, ce qui assure queL/Keextérieure et que [L:K] =|G|.

SiC=F_qalorsAeaussi un corps fini et il exie donc un entiern≥1 tel queA=F_q_n. On a alors

[L:K] = (G:G₀).[A:C] = (|G|/|G₀|).[F_q_n:F_q] =|G|

|F_q^∗|

|F^∗

qⁿ|.n=|G| q−1 qⁿ−1

! n≤ |G|



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On voit alors que, dans cette situation, l’égalité [L:K] =|G|équivaut àn= 1, c’e-à-direA=C ou encore G₀ = 1 (i.e. L/K e extérieure). L’égalitén.|G| =_qn−1

q−1

.[L : K] découle de l’égalité précédente. Le a) eévident et le b) vient du fait que siG₀,1, alorsG₀s’identifie àF^∗

qⁿ/F_q^∗ pour un certain entiern≥2.

——–

Nous allons maintenant montrer que, pour toutq=p^h≥2 puissance d’un nombre premierp, et tout entiern≥1, il exie une extension galoisienne intérieureL/Kde groupe de Galois finiG telle que

n.|G|= qⁿ−1 q−1

! .[L:K]

Pour cela, considéronsα =f^h l’itérée h-ième du frobénius dans F_q et le corps de fraions torduesK=F_q(T , α).

•Le centreC deK eégal à F_q. En effet,P(T) =Tⁿan+· · ·+a0 et Q(T) =T^mbm+· · ·+b0 deux polynômes tordus tels queR=P Q⁻¹soit un élément non nul deC. Par centralité, on aQR=RQ, ce qui implique queP Q=QP et, par suite, queP Q⁻¹=Q⁻¹P. Ainsi, pour toutx∈F_q,xP Q⁻¹ = P Q⁻¹x=Q⁻¹P xet doncP xQ=QxP.

Le terme de degrén+mdeP xQ−QxP vautα^m(an)α^m(x)bm−αⁿ(bm)αⁿ(x)an= 0. On en déduit que, pour toutt∈F_q, on a

α^m⁻ⁿ(t) =

α^m(a⁻_n¹)αⁿ(b_m) t

a_nb_m⁻¹

=

α^m(a⁻_n¹)αⁿ(b_m)a_nb⁻_m¹ t

Puisqueα^m⁻ⁿeun automorphisme deF_q, on a alors nécessairementn=metα^m(a⁻_m¹b_m) =a⁻_m¹b_m, ce qui montre qu’il exieλ∈F^∗

q^mtel queb_m=λa_m.

Pour 0≤d≤m−1, le terme de degrém+ddeP xQ−QxP vaut X

i+j=m+d

α^j(x)h

α^j(a_i)b_j−α^j(b_i)a_ji

= Xm

j=d

α^j(x)h

α^j(a_m+d−j)b_j−α^j(b_m+d−j)a_ji

= 0

Puisque cette dernière égalité evalable pour toutx∈F_qet que l’automorphismeαed’ordre infini, le lemme d’indépendance linéaire de Dedekind assure que chaque terme de la somme e nul. En prenant j =m, on en déduit que α^m(ad)bm =α^m(bd)am. Ceci prouve que bd =λad et finalement queP Q⁻¹=λ∈F_q_m. On vient donc de montrer queC⊂F_q, mais les seuls éléments de F_qqui commutent avecT sont les éléments deF_q, ce qui montre finalement queC=F_q.

•Considérons maintenant un entiern≥1 et posons G₀={I(a)/ a∈F_q_n}

Ce groupe eun N-groupe d’automorphismes deK. En effet, siR₀∈A^∗={R∈K/ I(R)∈G₀}alors il exiea∈F_q_n tel queI(R₀) =I(a) et donc il exieλ∈C=F_qtel queR₀=λa∈F_q_n. Ceci montre aussi que le corpsAassocié au N-groupeG0vautA=A^∗∪ {0}=F_q_n.

Si l’on note D₀ le corps des invariants deK par G₀, d’après la généralisation du théorème d’Artin rappelée dans l’introduion, on peut affirmer que l’extensionK/D₀ e galoisienne (in- térieure) de groupe de GaloisG₀et que l’on a

[K:D₀] = (G₀:G₀)[A:C] = [F_q_n:F_q] =n



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Le groupe de Galois G₀ étant isomorphe àA^∗/C^∗, il e cyclique et compte (qⁿ−1)/(q−1)> n éléments, ce qui donne donc un exemple d’extension galoisienne à groupe fini d’ordreriement plus grand que le degré de l’extension.

En peut voir qu’en fait

D₀=F_q(Tⁿ, αⁿ)

Il edéjà clair que, Tⁿ étant invariant sous l’aion deG0, on aF_q(Tⁿ, αⁿ)⊂D0. Pour voir l’inclusion réciproque, établissons préalablement un lemme :

Lemme.—Pour tout polynômeP ∈F_q[T , α]de degrém, il exie un polynômeP₀∈F_q[T , α]non nul de degréh≤(n−1)mtel queP(T)P₀(T)∈F_q[Tⁿ, αⁿ].

Preuve :Posons formellement

P(T) =T^ma_m+· · ·+a₀ P₀(T) =T^hb_h+· · ·+b₀ oùh= (n−1)m. On a alors

P(T)P0(T) =

nm

X

d=0

T^d







d

X

i=0

αⁱ(ad−j)bj







Pour toutd= 0,· · ·, nm, considérons l’équation

(E_d) Xd

i=0

αⁱ(a_d−j)x_j= 0

Le polynômeP0(T) vérifie le lemme si et seulement si le (h+ 1)-uplet (b0,· · ·, bh) esolution du syème d’équations {(Ed)}

0≤d≤nm, n-d. Ce syème e un syème linéaire de nm+ 1−(m+ 1) = (n−1)m=héquations àh+ 1 indéterminéesb0,· · ·, bh, il possède donc une solution non triviale, ce qui achève la preuve.

——–

Considérons maintenant une fraionR(T) =P(T)Q(T)⁻¹∈F_q(T , α) et, grâce au lemme, prenons Q0∈F_q[T , α] tel queQ(T)Q0(T) =H(Tⁿ) pour un certainH∈F_q[T , α]. On a alors

P(T)Q(T)⁻¹=P(T)Q0(T)Q0(T)⁻¹Q(T)⁻¹=P(T)Q0(T)(Q(T)Q0(T))⁻¹=A(T)H(Tⁿ)⁻¹ avecA(T) =P(T)Q0(T)∈F_q[T , α]. On a alorsR(T)∈ D0 ⇐⇒A(T)∈ D0, mais il e très facile de voir que A(T)∈ D₀ si et seulement siA(T)∈ F_q[Tⁿ, α], ce qui prouve finalement queD₀ ⊂ F_q(Tⁿ, αⁿ).

Analogue commutatif.— On considère maintenant l’automorphisme trivialα =Id, si bien que F_q(T , α) s’identifie au corps commutatif classiqueF_q(T) des fraions rationnelles à coefficients dansF_q. On suppose ici que (n, q) = 1, l’extensionF_q(T)/F_q(Tⁿ) étant alors galoisienne de groupe µ_n(F_q)⊂F

q^ϕ(n).

On voit alors que dans les deux situationsα=Id, f^h, les élémentsσ du groupe de Galois de l’extension de degrén,F_q(T , α)/F_q(Tⁿ, αⁿ), sont entièrement déterminés par les formules

σ(T) =T a

σ(x) =xpour toutx∈F_q avec

•siα=Id,a∈µ_n(F_q),



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•siα=f^h,a∈F^∗

qⁿ/F_q^∗.

Ainsi, "tordre" l’extension usuelleF_q(T)/F_q(Tⁿ) par le frobenius ne change pas son degré mais fait grossir son groupe de Galois!

Treillis des sous-extensions :Dans la théorie de Galois des corps gauches, le théorème des correspondances galoisiennes ree valable sous la forme suivante :siL/k eune extension galoisienne de degré fini, les correspondances galoisiennes établissent des bijeions réciproques l’une de l’autre en- tre les corps intermédiaires de l’extension L/k et les sous-N-groupes du groupe Gal(L/k) (voir [Coh, Th....]).

Si l’on veut décrire le treillis des extensions intermédiaires deF_q(T , α)/F_q(Tⁿ, αⁿ) il faut donc décrire les sous-N-groupes deG₀. SiH eun sous-N-groupe, alors son corps associéA_H eun sous-corps deF_q_n et il e donc de la formeF

q^d. Réciproquement, pour toutd|n, le sous-groupe H_d={I(a)/ a∈F

q^d}eun N-groupe dont le corps associé vautF

q^d. On en déduit que la l’ensemble des sous-N-groupes deG0e{Hd}_d_|_n. Pourd|ndonné, le corps des invariantsF_q(T , α) par l’aion deH_deF_q(T^d, α^d) (même preuve que précédemment).

En conclusion, même siF_q(T , α)/F_q(Tⁿ, αⁿ) voit son groupe de Galois plus gros que son analogue commutatifF_q(T)/F_q(Tⁿ), on vient de montrer que, tout comme leur degré, les treillis de leurs extensions intermédiaires sont similairement les mêmes.

 .— Application de la méthode de Noether dans le cas non-commutatif.

Dans la formule du théorème l’entier_qn−1 q−1

représente l’ordre du sous-groupe des automorphismes intérieurs. Dans l’exempleF_q(T)/F_q(Tⁿ), puisque l’extension eintérieure, on a

|G| = qⁿ−1 q−1

!

[L:K] = n

On va maintenant montrer comment, àqetnfixés, on peut faire "grossir" arbitrairementG(et donc [L:K]) en "rajoutant" des automorphismes extérieurs. Nous allons utiliser un analogue non commutatif de la méthode de Noether : considérons un groupeΓ d’ordrem, plongé dansSm. On définit alors la suite de corps

K1 = F_q(X1, α) K₂ = K₁(X₂, I(X₁⁻¹)) K3 = K2(X3, I(X₂⁻¹))

... et l’on poseF_q(X₁,· · ·, X_m, α) =K_m−1(X_m, I(X_m⁻¹−1)).

Un petit calcul sans difficulté montre que, dansF_q(X₁,· · ·, X_m, α), l’on aX_iX_j =X_jX_i et que, pour tout (i, j) et pour touta∈k, l’on a

aXm^k^m· · ·X₁^k¹=Xm^k^m· · ·X₁^k¹α^k^m⁺^···^+k¹(a)

si bien que, les éléments deF_q(X₁,· · ·, Xm, α) peuvent être écrits comme des rapports de polynômes XXm^k^m· · ·X₁^k¹λ_k_m_,···,k₁

XXm^k^m· · ·X₁^k¹µ_k_m_,···,k₁

⁻1

Cette propriété s’établit sans peine par récurrence sur l’entierm.



(6)

On voit alors que, pour toute permutationσ∈S_m, on a

F_q(X_σ(1),· · ·, X_σ(m), α) =F_q(X₁,· · ·, X_m, α)

où F_q(X_σ(1),· · ·, X_σ(m), α) e obtenu par la conruion précédente en permutant les variables.

Ceci montre que le groupeSmagît fidèlement surF_q(X1,· · ·, Xm, α) par permutation des variables.

Le centre deF_q(X₁,· · ·, X_m, α) econtenu dans celui deF_q(X₁, α), il edonc égal àF_q. Comme précédemment, on en déduit que le groupeG₀={I(a)/ a∈F^∗

qⁿ}eun N-groupe et que son corps associé eA=F_q_n.

Aucun élément non trivial deS_mn’eintérieur. En effet, considéronsσ eune permutation non triviale, disons par exempleσ(X1) =X2. S’il exiaitR∈Ltelle queσ(X1) =I(R)(X1) on aurait X1R=RX2. On peut considérerRcomme une fraion rationnelle de la variableX1et à coefficients dansF_q(X2,· · ·, Xm, α), et donc, on aurait

d_X^◦₁(R) + 1 =d_X^◦₁(X1R) =d_X^◦₁(RX2) =d_X^◦₁R

ce qui eabsurde. Ceci montre queS_m(et doncΓ) eun N-groupe dont le corps associé eF_q. PuisqueS_magît trivialement surF_q, on voit que les éléments deS_met deG₀commutent deux à deux, si bien que, le sous-groupeGde Aut(F_q(X1,· · ·, Xm, α)) engendré parΓ⊂SmetG0s’identifie au produit dire G = Γ ×G0. Il s’agit d’un N-groupe dont le sous-groupe d’automorphismes intérieurs vautG₀et le corps associé reeA=F_q_n.

Si l’on noteKle corps des invariants deF_q(X₁,· · ·, X_m, α) par l’aion deG, alorsF_q(X₁,· · ·, X_m, α)/K egaloisienne de groupeGet l’on a

|G| = qⁿ−1

q−1

! .m

[F_q(X₁,· · ·, X_m, α) :K] = n.m

En application des éléments de théorie de Galois rappelés plus haut, l’extension se décompose de la manière suivante :

F_q(X₁,· · ·, X_m, α)

Γ G₀ m

n

G=G₀×Γ

L nm

Γ m

Ω

G₀ n

K Le sous-corpsLecomposé des fraions

XXm^k^m· · ·X₁^k¹λk_m,···,k₁

XXm^k^m· · ·X₁^k¹µk_m,···,k₁

⁻1

où chaque monômeXm^k^m· · ·X₁^k¹ede degré totalk1+· · ·+kmun multiple de l’entiern.

Bibliographie

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[Coh]P.M. Cohn,Skew fields - Theory of general division rings, Encyclopedia of Mathematics and its applications Vol., Cambridge University Press ().

[Jac]N. Jacobson,Struure of rings, AMS Colloquium Publications Vol.().

Bruno Deschamps :

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Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme (CNRS UMR) Université de Caen Normandie BP

Caen Cedex

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Département de Mathématiques Université du Maine

Avenue Olivier Messiaen,Le Mans cedex

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E-mail : Bruno.Deschamps@univ-lemans.fr

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