.— Résolution du Problème Inverse de Galois Régulier Faible.

A propos d’une version faible du problème inverse de Galois

Bruno Deschamps et François Legrand

Résumé

L’objeif de cet article ede conruire des corpskqui satisfont au Problème Inverse de Galois Faible (qui énonce que, pour tout groupe finiG, il exie une extension finie séparableL/ktelle que Aut(L/k) =G), mais qui ne satisfont pas au traditionnel Problème Inverse de Galois (qui énonce lui que, pour tout groupe finiG, il exie une extension finie galoisienneL/ktelle que Gal(L/k) =G). Cette conruion eobtenue,in fine, en montrant que la forme régulière du Problème Inverse de Galois Faible evraie sur n’importe quel corps.

Abra

The aim of this paper is to conrufieldsk which fulfill the Weak Inverse Galois Problem (ating that, for every finite groupG, there exis a finite separable extensionL/ksuch that Aut(L/k) =G), but which do not fulfill the usual Inverse Galois Problem (ating that, for every finite groupG, there exis a finite Galois extensionL/ksuch that Gal(L/k) =G). As a mainep in our conruion, we show that every field fulfills the regular version of the Weak Inverse Galois Problem.

.— Introduion.

Le problème inverse de la théorie de Galois sur un corpsk(PIG_/ken abrégé) consie à savoir si tous les groupes finis apparaissent comme groupes de Galois sur le corpskou non. Le problème orig- inel de Hilbert-Noether ele cask=Qet ree à ce jour une queion toujours ouverte. L’approche moderne pour tenter de résoudre le PIG_/k consie à introduire une indéterminéeT et, pour un groupe finiGdonné, à regarder si l’on peut conruire ou non une extension finie galoisienneE/k(T) de groupe de GaloisGtelle queE/ksoit régulière (c’e-à-dire telle quek soit algébriquement clos dansE). Il s’agit du Problème Inverse de Galois Régulier surk(PIGR/ken abrégé), forme géométrique du Problème Inverse de Galois sur k. Nous renvoyons notamment aux livres classiques [Völ]

et [MM] pour un vae aperçu de ce problème, ainsi qu’à [Zyw] pour des résultats plus récents.

Il econjeuré (voir par exemple [DD, §..]) que le PIGR/ke vrai pour tout corpsk(ce qui équivaut en fait à dire qu’il evrai sur tout corps premier). Sikeun corps hilbertien^, on voit par spécialisation que l’on a PIGR_/k=⇒PIG_/k. Il edonc assez raisonnable de conjeurer que le PIG/k

soit vrai pour tout corps hilbertienk, et donc, en particulier, pourk=Q.

En, dans [FK], E. Fried et J. Kollár ont annoncé avoir montré que tout groupe fini appa- raissait comme groupe d’automorphismes d’une extension finie (non nécessairement galoisienne) de Q. Leur preuve comportait cependant une erreur que M. Fried corrigea deux ans plus tard dans [Fri]. Ce résultat invite naturellement à considérer la forme faible du PIG/ksuivante : pour tout groupe finiG, exie-t-il une extension finie séparableL/ktelle que Aut(L/k) =G? Dans la suite, nous appellerons cette variante le Problème Inverse de Galois Faible surk, que nous abrègerons en PIGF_/k. Depuis l’article de M. Fried évoqué ci-dessus, plusieurs avancées significatives sur ce prob- lème ont été effeuées. La plus générale e aussi la plus récente et edue à Paran et au second auteur du présent article qui montrent dans [LP] que le PIGF/k admet une réponse positive dès quekeun corps hilbertien. Ce résultat généralise donc le cask=Qmentionné précédemment ainsi que des travaux de Takahashi et Geyer sur ce problème^, et vient conforter la conjeure que le PIG/k

evrai pour tout corps hilbertienk. Il ne permet toutefois pas de mesurer l’éventuelle diance qui pourrait exier entre le PIG et son petit frère le PIGF. L’objet central de cet article ede montrer comment conruire des exemples explicites de corpsk(non hilbertiens) pour lesquels le PIGF/ke vrai, mais le PIG/kefaux.

Étant donné un corps k, on peut aussi affaiblir l’énoncé PIGR/k, en demandant seulement de réaliser tout groupe fini G comme le groupe d’automorphismes d’une extension finie séparable

C’ele cas par exemple sikeun corps de nombres ou le corps des fraions rationnelles en une variable à coefficients dans un corps quelconque. Nous renvoyons à [FJ] pour un vae aperçu de ces corps.

Nous renvoyons à [LP, §] pour plus de détails et des références.



E/k(T) telle queE/k soit régulière. Dans la suite, nous appellerons cette variante le Problème In- verse de Galois Régulier Faible (surk), que nous abrègerons en PIGRF_/k. A notre connaissance, le résultat connu le plus général sur ce sujet affirme que cet énoncé possède une réponse positive pour tout corpskde caraériique nulle, cf. [Fri].

Le premier élément important que nous présentons dans cet article eque ce résultat een fait valable pour tout corps. Nous établissons ce fait en nous appuyant sur la preuve originelle de M.

Fried et en montrant :

Théorème.—Pour tout groupe finiGet tout corpsk, il exie une extension finie séparableE/k(T)de groupe d’automorphismesGtelle queE/ksoit régulière.

En fait, nous pouvons faire en sorte queE/ke soit régulière, oùeEdésigne la clôture galoisienne deE surk(T), et nous explicitons le groupe de Galois de cette extension. Nous renvoyons au théorème pour plus de détails.

Lorsque le corps de basek ehilbertien, le théorèmefournit par spécialisation une réponse positive au PIGF_/k, ce qui permet de retrouver le résultat principal de [LP]^.

Pour aborder le PIGF sur d’autres corps, potentiellement non hilbertiens, nous nous intéressons ensuite à la notion de clôture d’un corpsk relativement à une classe C de groupes finis : il s’agit du corpsk^C qui e, par définition, le compositum de toutes les extensions finies galoisiennes dek dont le groupe de Galois soit un élément deC. Le caraère potentiellement non hilbertien du corps k^C résulte du fait que, sous certaines hypothèses sur la classeC (cf. théorème), le corpsk^C e C-clos, c’e-à-dire qu’aucun élément non trivial deC ne se réalise comme groupe de Galois surk^C. Nous consacrons les seionsetde cet article à l’étude de certaines propriétés relatives aux classes de groupes finis et à celle de l’arithmétique des clôtures associées d’un corps. Cette double étude, combinée avec le théorème, nous permet alors de montrer le résultat central de cet article : Théorème.—Considérons une classe C de groupes finisable par passage au quotient et un corps hilbertienkde caraériique différente de. S’il exie une infinité de groupes alternés n’appartenant pas àC, alors lePIGF_/Ladmet une réponse positive pour tout corps intermédiairek⊆L⊆k^C.

Nous renvoyons au théorèmepour une version plus générale de ce théorème également valable en caraériique.

Nous appliquons enfin le théorèmeà plusieurs classes de groupes finis explicites, comme par exemple celle des groupes résolubles (cf. corollaire). Une conséquence notable de notre étude permet alors de montrer l’écart important qui exie entre le Problème Inverse de Galois et sa version Faible sur les corps non hilbertiens :

Théorème.—Pour tout groupe fini non trivialG, il exie un corps non hilbertienk tel que lePIGF/k

admette une réponse positive, mais tel queGne se réalise pas comme groupe de Galois surk.

On peut en fait obtenir ce même résultat en prenant à la place deGune famille finie (et même infinie sous certaines conditions) de groupes finis non triviaux (voir corollaire).

Remerciements.Le second auteur de cet article bénéficie de bourses de l’Israel Science Foundation (bourses No./et/).

.— Résolution du Problème Inverse de Galois Régulier Faible.

L’objeif de cette seion ede démontrer le théorèmequi affirme que le PIGRF/kadmet une réponse positive pour tout corpsk. Le résultat principal de cette partie ele théorèmeà venir.

Précisons tout d’abord quelques points de terminologie. Étant donnés un corpskde clôture al- gébriqueket des indéterminéesT₁, . . . , T_n, on dira, pour une extension finie galoisienneE/k(T₁, . . . , T_n) donnée, queE/kerégulièresiE∩k=k. Dans le casn= 1 (on pose alorsT1 =T pour simplifier), siE·kdésigne le compositum deEetk(T) (dans une clôture algébrique dek(T) fixée au préalable), un élémentt₀deP¹(k) eunpoint de branchementdeE/k(T) si l’idéal premier dek[T−t₀] engendré

Pour tout corps hilbertienket tout groupe finiG, la méthode utilisée dans [LP] fournit une extension finie séparable E/k(T) de groupe d’automorphismesGtelle queE*k(T). Il s’agit certes d’une conclusion plus faible que celle du théorème

, mais qui ree bien entendu suffisante pour donner une réponse positive au PIGF/kpour tout corps hilbertienk.



parT −t₀eramifié dans l’extensionE·k/k(T)^. Dans la suite,rdésignera le nombre de points de branchement deE/k(T). Rappelons querenécessairement fini et que l’on ar= 0 si et seulement siE·k=k(T) (ce qui eéquivalent àE=k(T) siE/kerégulière). Enfin, on dira qu’un groupe fini Gegroupe de Galois régulier sur ks’il exie une extension finie galoisienneE/k(T) de groupe de GaloisGtelle queE/ksoit régulière, et qu’une telle extensionE/k(T) euneréalisation régulière de Gsurk. Le lemme classique ci-dessous, qui montre que la reriion au casn= 1 dans la définition précédente n’een fait pas nécessaire, sera utilisé à maintes reprises dans cet article.

Lemme.—S’il exie un entierriement positifn, des indéterminéesT₁, . . . , T_n et une extension finie galoisienneE/k(T₁, . . . , T_n)de groupe de GaloisGdonné telle queE/ksoit régulière, alorsGegroupe de Galois régulier surk.

Preuve :La conclusion résulte essentiellement du caraère hilbertien du corpsk(T), mais on a besoin ici d’une propriété un peu plus fine qui assure l’exience de bonnes spécialisations dansk(T) (et non pas dansk(T)). Cette propriété eclassique quandkeinfini, cf. par exemple [FJ, §.]. Dans le cas oùkefini, nous renvoyons à la démonration de [DL, Lemma.] pour plus de détails.

En toute généralité, étant donnée une extension finie galoisienneM/kde groupe de GaloisG, la théorie de Galois assure que le groupe d’automorphismes Aut(L/k) d’une sous-extensionL/kdeM/k donnée s’identifie au groupe quotientN_G(H)/H, oùH= Gal(M/L) etN_G(H) désigne le normalisateur deHdansG. Cette propriété donne bien sûr un fil condueur pour aborder le PIGF/k, ce qui nous mène dans la situation régulière à considérer, pour deux groupes finisGetΓ donnés, l’énoncé suivant :

(∗/G/Γ/k)Γ egroupe de Galois régulier surket il exie un sous-groupeHdeΓ tel queGNΓ(H)/H.

On voit alors que :

Lemme.—Pour qu’il exie une extension finie séparableE/k(T)de groupe d’automorphismesGdonné telle queE/ke soit régulière^, il suffit que l’énoncé(∗/G/Γ/k)soit vrai pour au moins un groupe finiΓ.

..— Réalisation de(∗/G/Γ/k).

Étant donné un groupe finiG, le théorème suivant fournit plusieurs situations de groupes finis Γ pour lesquelles l’énoncé (∗/G/Γ/k) evrai.

Théorème.—Fixons un groupe finiGet un corpskde caraériiquep≥0.

)Étant donnés

•un groupe de Galois régulier surk,G₁, dans lequel se plongeG,

•un groupe fini simple non abélien,G₂, possédant une réalisation régulière surkayantr≤2points de branchement, tousk-rationnels,

il exie un entierN∈ {1, . . . ,|G1|}et un groupeΓ, extension^deG₂^NparG1, tel que(∗/G/Γ/k)soit vrai.

)Étant donnés

•un groupe de Galois régulier surk,G₁, dans lequel se plongeGet tel quep6 |2|G₁|,

•un groupe fini simple non abélien,G₂, possédant une réalisation régulière surkayantr= 3points de branchement, tousk-rationnels,

il exie un entierN∈ {1, . . . ,|G1|}et un groupeΓ, extension deG₂^NparG1, tel que(∗/G/Γ/k)soit vrai.

)Sip,2, étant donnés

•un entierriement positifntel quen<{1,2,3,4,6}etn≥ |G|+ 2,

•un entierriement positifmtel quem<{1,2,3,4,6},

il exie un entierN∈ {1, . . . , n!/2}et un groupeΓ, extension deA^N_mparAn, tel que(∗/G/Γ/k)soit vrai.

Remarque :Bien qu’il n’y ait aucune hypothèse explicite surpdans le), il convient de remarquer que, d’après le théorème d’exience de Riemann, cette situation ne peut s’appliquer sip= 0.

Sit₀=∞,T−t₀doit être remplacé par 1/T.

Comme précédemment,Eedésigne la clôture galoisienne deEsurk(T).

Dans cet article, nous dirons qu’un groupeGeextension d’un groupeNpar un groupeH si l’on a une suite exae 1→N→G→H→1.



Avant de détailler la preuve du théorème , nous indiquons comment obtenir le théorème  énoncé dans l’introduion.

Preuve du théorème:Étant donnés un groupe finiGet un corpsk, pour montrer qu’il exie une extension finie séparableE/k(T) de groupe d’automorphismesGtelle queE/ksoit régulière, il suffit, en vertu du lemme, de trouver un groupe finiΓ tel que l’énoncé (∗/G/Γ/k) soit vrai.

Supposons tout d’abord quekne soit pas de caraériique. Dans ce cas, le) du théorème montre que l’on peut prendre pourΓ une certaine extension deA^N_m parAn, pour des entiersrie- ment positifsm,N etnbien choisis. Supposons maintenant queksoit de caraériique. Dans ce cas, nous utilisons le) du théorème. Tout d’abord, en vertu de [Bri, Theorem] et du lemme

, on peut prendre pourG1le groupeAnpour un certain entiernimpair. Ensuite, grâce à [AYb], on peut par exemple prendre pourG2le groupe de Mathieu M₂₃.

..— Démonration des) et) du théorème.

A partir de maintenant, on se donne deux indéterminéesT etU, etk la clôture algébrique du corpsk. Étant donné un groupe de Galois régulier surk,G₁, contenantG, on se donne une réalisation régulière L/k(T) deG₁ sur k. Considérons un élémenty(T) du sous-corps L^G de L tel que L^G = k(T)(y(T)).

SiG₂ désigne un groupe fini simple non abélien comme dans les) et) du théorème, on se donne une extension finie galoisienneM/k(U) de groupe de GaloisG₂, telle queM/ksoit régulière et telle queM/k(U) possède

•r≤2 points de branchement, tousk-rationnels (si l’on edans le cas)),

•r= 3 points de branchement, tousk-rationnels (si l’on edans le cas)).

Quitte à faire un changement de variable, on peut supposer que l’ensemble des points de branche- ment de l’extensionM/k(U) e

• {0}si l’on edans le cas) etr= 1,

• {0,∞}si l’on edans le cas) etr= 2,

• {0,1,∞}si l’on edans le cas).

Considérons alors un sous-groupe maximalG₃deG₂et le sous-corpsM^G3deM. On se donne un élément primitifx₀(U) deM^G3/k(U), que l’on peut supposer entier surk[U], et l’on noteP(U , X)∈ k[U][X] le polynôme minimal dex₀(U) surk(U). Comme l’extensionM/kerégulière, le polynôme P(U , X) ree irréduible surL^G(U). En particulier, le polynôme torduP(U−y(T), X) eirréduible sur L^G(U). Fixons une racine xy(T)(U) de P(U−y(T), X) et notons E le compositum de L(U) et L^G(U , xy(T)(U)). Clairement, on aE=L(U , xy(T)(U)).

Nous déterminons maintenant le groupe d’automorphismes de l’extensionE/k(T , U) : Lemme.—On aAut(E/k(T , U)) =G.

Preuve :•Commençons par montrer que

Aut(E/L^G(U)) =G. ()

Par un argument de régularité déjà utilisé, le polynôme torduP(U −y(T), X) e irréduible sur L(U), c’e-à-dire les corpsL(U) etL^G(U , xy(T)(U)) sont linéairement disjoints surL^G(U). Comme L(U)/L^G(U) e finie galoisienne de groupe de Galois G, il en e de même de E/L^G(U , xy(T)(U)).

Ainsi, pour établir (), il suffit de montrer que tout automorphisme σ de E/L^G(U) fixe xy(T)(U).

Supposons que ce ne soit pas le cas pour un certain σ. Alors σ(xy(T)(U)) e une autre racine du polynômeP(U−y(T), X) contenue dansE. En particulier, Aut(E/L(U)) n’epas trivial.

Considérons maintenant le compositumM·LdeMetL(U). Comme l’extensionM/kerégulière, la reriion res : Gal(M·L/L(U))→Gal(M/k(U))(=G₂) e un isomorphisme de groupes. Notons que le corpsM·Leen fait la clôture galoisienne deL(U , x0(U)) surL(U). Considérons également la clôture galoisienneEey(T) deE surL(U) et l’automorphisme de corpsθ∈Aut(L(U)/L) défini par θ(U) =U−y(T). Puisque le polynôme minimal dexy(T)(U) surL(U) ele tordu parθdu polynôme minimal dex0(U) surL(U), on voit queθse relève en un isomorphisme de corpsθ:L(U , x0(U))→



L(U , x_y(T)(U)) vérifiantθ(x₀(U)) =x_y(T)(U). Un argument classique montre alors queθse relève aux clôtures galoisiennes surL(U) de ces deux corps. Ainsiθdéfinit un isomorphismeθ:M·L→Eey(T)

qui fixe les éléments deL.

Le diagramme suivant récapitule la situation :

M·L ^θ //eE_y(T)

L(U , x₀(U)) ^θ //_{E=L(U , xy(T)(U))}

L(U) θ

L^G(U , x_y(T)(U))

M

G₂

L L^G(U) =k(T , U , y(T))

k(U , x₀(U)) G₃

L^G=k(T , y(T)) G

k(T , U)

k(U) k(T)

G₁

L’isomorphisme de corpsθpermet alors de définir un isomorphisme de groupes ψy(T): Gal(eEy(T)/L(U))→G2

en envoyantτ ∈Gal(Ee_y(T)/L(U)) sur res(θ⁻¹τθ)∈G₂. De plus, le sous-corps eE^ψ

−1 y(T)(G₃)

y(T) deEe_y(T) fixé par ψ_y(T⁻¹₎(G3) e égal àE. Comme G2 e simple etG3 e un sous-groupe maximal de G2, on a NG₂(G3) =G3. Ainsi, viaψy(T), on obtient l’égalitéN_{Gal(eEy(T)/L(U))}(Gal(Eey(T)/E)) = Gal(Eey(T)/E). Par conséquent, Aut(E/L(U)) etrivial, ce qui eimpossible en vertu de ce qui précède.

•Pour établir le lemme, il suffit donc de montrer que

Aut(E/L^G(U)) = Aut(E/k(T , U)).

Il eclair que le groupe de gauche eun sous-groupe de celui de droite. Pour la réciproque, on se donneσ ∈Aut(E/k(T , U)) et l’on suppose queσ <Aut(E/L^G(U)). Alorsσ(y(T)),y(T) etσ(xy(T)(U)) eune racine du polynômeP(U−σ(y(T)), X). Comme précédemment, notonsEe_y(T)(resp.eE_σ(y(T))) le corps de décomposition surL(U) du polynômeP(U−y(T), X) (resp. du polynômeP(U−σ(y(T)), X)).

Par conruion, l’ensemble des points de branchement deEe_y(T)/L(U) (resp. deeE_σ(y(T))/L(U)) e

• {y(T)}(resp.{σ(y(T))}) si l’on edans le cas) etr= 1,

• {y(T),∞}(resp.{σ(y(T)),∞}) si l’on edans le cas) etr= 2,

• {y(T),1 +y(T),∞}(resp.{σ(y(T)),1 +σ(y(T)),∞}) si l’on edans le cas).

Dans chaque cas, on vérifie aisément que les extensionsEey(T)/L(U) etEe_σ(y(T))/L(U) ont des ensembles de points de branchement différents. En particulier, les corpsEe_y(T)etEe_σ(y(T)) sont diins, ce qui entraîneL(U , σ(x_y(T)(U))),L(U , x_y(T)(U))(=E). Commeσ edans Aut(E/k(T , U)), on obtient que le corpsL(U , σ(x_y(T)(U))) e riement contenu dansE, ce qui eimpossible car ces deux corps sont de degré|G₂|/|G₃|surL(U).

Pour toutσ ∈Gal(L(U)/k(T , U)), notons à nouveauEe_σ(y(T)) le corps de décomposition surL(U) du polynômeP(U−σ(y(T)), X). Comme déjà vu, l’extensionEe_σ(y(T))/L(U) e finie galoisienne de groupe de GaloisG₂. NotonseEle compositum

•_σEe_σ(y(T))



oùσ parcourt le groupe Gal(L(U)/k(T , U)). L’extension finieE/L(Ue ) e galoisienne et, commeG₂ esimple, son groupe de Galois eégal àG₂^N pour un certain entierN ∈ {1, . . . ,|G₁|}. Remarquons que le corpsE conruit précédemmment econtenu danseEpuisqueEecontenu danseE_y(T). Par conruion, l’extensionE/k(T , U) ee galoisienne et son groupe de Galois eune certaine extension deG₂^NparG1.

Nous démontrons maintenant que l’extension E/ke e régulière. Par conruion, il suffit de démontrer le lemme suivant :

Lemme.—Étant donnéss≥2et uns-uplet(σ1, . . . , σs)d’éléments deGal(L(U)/k(T , U)), supposons que les corpsEeσ₁(y(T)), . . . ,Eeσ_s(y(T))soient linéairement disjoints surL(U)^. Alors les compositums respeifs

Eeσ₁(y(T))·k, . . . ,Eeσ_s(y(T))·k

deeEσ₁(y(T)), . . . ,Eeσ_s(y(T))etksont linéairement disjoints sur le compositumL·k(U)deL(U)etk.

Preuve :Par l’absurde, supposons qu’il exieq∈ {2, . . . , s}tels que les corpseE_σ1(y(T))· · · · ·Ee_σq−1(y(T))·k etEe_σq(y(T))·kne soient pas linéairement disjoints surL·k(U). Comme l’extensioneE_σq(y(T))·k/L·k(U) e de groupe de Galois G2, qui e simple, le corps Eeσ_q(y(T))·k e contenu dans le compositum eE_σ1(y(T))· · · · ·Ee_σq−1(y(T))·kdeEe_σ1(y(T))·k, . . . ,Ee_σs(y(T))·k. En particulier, tout point de branchement de eE_σq(y(T))/L(U) eun point de branchement deEe_σ1(y(T))· · · · ·Ee_σq−1(y(T))/L(U). Si l’on edans le cas), cela entraîne queσq(y(T)) =σi(y(T)) pour un certain entieri∈ {1, . . . , q−1}, ce qui implique l’égalité eE_σi(y(T))=Ee_σq(y(T)). En particulier, les corpsEe_σ1(y(T))· · · · ·Ee_σq−1(y(T))etEe_σq(y(T))ne sont pas linéairement disjoints surL(U), ce qui eabsurde. Si l’on edans le cas), on obtient l’inclusion

{σ_q(y(T)),1 +σ_q(y(T))} ⊆

q−1

[

i=1

{σ_i(y(T)),1 +σ_i(y(T))}.

Siσq(y(T)) =σi(y(T)) pour un certain entieri∈ {1, . . . , q−1}, on aboutit comme précédemment à une contradiion. On a donc

σq(y(T)) = 1 +σi(y(T)) pour un certain entieri∈ {1, . . . , q−1}. De manière similaire, on a

1 +σ_q(y(T)) =σ_j(y(T))

pour un certain entierj∈ {1, . . . , q−1}. Les deux égalités précédentes entraînent alors σ_j(y(T)) = 2 +σ_i(y(T)),

c’e-à-dire

σ_jσ_i⁻¹(σ_i(y(T))) = 2 +σ_i(y(T)).

Par conséquent, pour tout entierriement positifl, on a

(σ_jσ_i⁻¹)^l(σ_i(y(T))) = 2l+σ_i(y(T)).

Pourl=|Gal(L(U)/k(T , U))|=|G₁|, on obtient

σ_i(y(T)) = 2|G₁|+σ_i(y(T)).

Ainsi,pdivise 2|G₁|, ce qui eimpossible.

On a donc conruit une extension finie galoisienneE/k(T , U) vérifiant les propriétés suivantes :e a) le groupe de Galois Gal(E/k(T , Ue )) eune certaine extensionΓ deG^N₂ parG₁,

b) l’extensionE/ke erégulière,

c) l’extensionE/k(T , U) possède une sous-extensione E/k(T , U) telle que Aut(E/k(T , U)) =G.

au sens de la définition donnée à la pagede [FJ].



D’après a), b) et le lemme, le groupeΓegroupe de Galois régulier surk. De plus, par c),Γ possède un sous-groupeHtel queNΓ(H)/HG. Par conséquent, l’énoncé (∗/G/Γ/k) evrai.

..— Démonration du) du théorème.

Ici, on suppose p , 2 et on se donne deux entiers riement positifs n et m tels que n <

{1,2,3,4,6},m<{1,2,3,4,6}etn≥ |G|+ 2.

Tout d’abord, notons que, puisquen≥ |G|+ 2, le groupe finiGse plonge dansA_n. De plus, en vertu du théorème d’exience de Riemann, le groupe A_n egroupe de Galois régulier sur C. La même conclusion ebien entendu vraie pour le groupeA_met l’on peut faire en sorte que ce groupe possède une réalisation régulièreM/C(U) ayantr= 3 points de branchement, tous étant bien sûr C-rationnels. Quitte à faire un changement de variable, on peut supposer qu’il s’agit de 0, 1 et∞. La même conruion que précédemment fournit alors une extension finie galoisienneE/eC(T , U) vérifiant les deux propriétés suivantes :

a) le groupe de Galois Gal(E/eC(T , U)) eune certaine extensionΓ deA^N_m parA_n (pour un certain entierN ∈ {1, . . . , n!/2}),

b) l’extensionE/eC(T , U) possède une sous-extensionE/C(T , U) telle que Aut(E/C(T , U)) =G.

Par b),Γ possède un sous-groupeHtel queN_Γ(H)/H G. Ainsi, pour démontrer que l’énoncé (∗/G/Γ/k) evrai, il suffit de voir queΓ egroupe de Galois régulier surk. Clairement, d’après a), tout faeur de composition^deΓ eun groupe alternéA_lavecl<{1,2,3,4,6}. Commep,2, on peut alors appliquer [Bri, Theorem] pour affirmer que tout faeur de composition deΓ possède une réalisation GAR surk. Il ne ree alors plus qu’à utiliser [FJ, §.] et le lemmepour conclure queΓ egroupe de Galois régulier surk.

..— Un analogue non régulier.

Nous donnons maintenant un analogue non régulier de notre conruion qui, bien que n’étant pas utile pour démontrer les résultats principaux de cet article, présente un intérêt en soi.

Etant donnés un corpsket deux groupes finisGetΓ, considérons l’énoncé suivant :

(∗∗/G/Γ/k)Il exie une extension finie séparableE/k(T)et une extension finie galoisienneE/k(Te )vérifiant les trois conditions suivantes :

•E⊆EeetE·k,k(T),

•Gal(E/k(Te )) =Γ,

•Aut(E/k(T)) =G.

Clairement, l’énoncé (∗∗/G/Γ/k) evrai dans chacun des trois cas),) et) du théorèmepuisque l’énoncé plus fort (∗/G/Γ/k) ealors vrai (sauf peut-être siGetrivial). Nous donnons ci-dessous davantage de conditions suffisantes sur le groupe finiΓ pour que l’énoncé (∗∗/G/Γ/k) soit vrai.

Théorème.—Fixons un groupe finiGet un corpskde caraériiquep≥0.

)Étant donnés

•un groupe de Galois surk,G₁^, dans lequel se plongeG,

•un groupe fini simple non abélien,G2, possédant une réalisation régulière surkayantr≤2points de branchement, tousk-rationnels,

il exie un entierN∈ {1, . . . ,|G₁|}et un groupeΓ, extension deG₂^NparG₁, tel que(∗ ∗/G/Γ/k)soit vrai.

)Étant donnés

•un groupe de Galois surk,G₁, dans lequel se plongeGet tel quep6 |2|G₁|,

•un groupe fini simple non abélien,G2, possédant une réalisation régulière surkayantr= 3points de branchement, dont au moins unk-rationnel,

il exie un entierN∈ {1, . . . ,|G₁|}et un groupeΓ, extension deG₂^NparG₁, tel que(∗ ∗/G/Γ/k)soit vrai.

Preuve : La démonration e entièrement identique à celle du théorème , à la seule différence près suivante : au lieu de considérer une réalisation régulièreL/k(T) de G₁surk, on travaille avec

On renvoie par exemple à [FJ, §.] pour plus de détails sur la terminologie employée ici.

c’e-à-direG₁ele groupe de Galois d’au moins une extension finie galoisienne dek.



une extension finie galoisienneL/k de groupe de GaloisG₁. Dans chacun des deux cas) et), la conruion fournit alors une extension finie séparable E/k(U) et une extension finie galoisienne eE/k(U) vérifiant les trois propriétés suivantes :

•E⊆Eeet [E·k:k(U)] =|G₂|/|G₃|, oùG₃désigne un sous-groupe maximal deG₂fixé au préalable,

•Gal(E/k(Ue )) eune certaine extensionΓ deG^N₂ parG₁(pour un certain entierN ∈ {1, . . . ,|G₁|}),

•Aut(E/k(U)) =G.

En particulier, l’énoncé (∗ ∗/G/Γ/k) evrai.

 .— Q uelques propriétés des classes de groupes finis.

Dans cette seion, nous étudions quelques propriétés des classes de groupes finis, en relation avec la théorie des corps.

..— Terminologie.

Rappelons tout d’abord (cf. [RZ, §.]) qu’une colleion non videC de groupes euneclasse siC e able par isomorphismes, c’e-à-dire, si pour tout groupeG∈C et tout groupeG⁰isomor- phe àG, on aG⁰∈C.

Dans toute la suite de cet article, on ne considèrera que des classes de groupes finis. Pour une telle classeC donnée, on s’intéressera aux quatre propriétés suivantes :

(C₀)C e able par sous-groupes, c’e-à-dire, pour tout groupeG∈C et tout sous-groupeHdeG, on aH∈C,

(C₁)C e able par quotients, c’e-à-dire, pour tout groupeG∈C et tout sous-groupe normalH deG, on aG/H∈C,

(C₂)C e able par extensions, c’e-à-dire, pour tout groupe finiGet tout sous-groupe normalH deGtels queHetG/Hsoient dansC, on aG∈C,

(C₃)C e able par produits fibrés surjeifs, c’e-à-dire, pour tout produit fibré G1 s₁

((((

G1×

G0G2

66(( //G0

G2 s₂

6666

avecs₁ets₂surjeives et tel queG₁etG₂soient dansC, on aG₁×

G0

G₂∈C.

Remarques :) La propriété (C3) eéquivalente au fait que, pour tout groupe finiGet tout couple (H₁, H₂) de sous-groupes normaux deGtels queG/H₁etG/H₂soient dansC, on aitG/(H₁∩H₂)∈C. En effet, on voit facilement que le groupe quotientG/(H₁∩H₂) s’identifie au produit fibré surjeif G/H₁ ×

G/(H1H2)

G/H₂.

) La propriété (C3) evérifiée dès que les propriétés (C_0,2) le sont.

) Les propriétés (C1) et (C3) trouvent chacune une interprétation galoisienne très claire : les quo- tients d’un groupe de Galois correspondent aux groupes de Galois des extensions intermédiaires et le produit fibré de deux groupes de Galois sur leur interseion correspond au groupe de Galois du compositum des deux extensions associées.

Dans la continuité de la terminologie introduite dans [RZ, §.] sur le sujet, nous posons : Définition.—Nous dirons de la classeC que c’e

•une "pré-formation" si elle vérifie la propriété(C₁),

•une "formation" si elle vérifie les propriétés(C_1,3),

•une "formation extensive" si elle vérifie les propriétés(C1,2,3),

•une "pré-variété" si elle vérifie les propriétés(C_0,1),



•une "variété extensive" si elle vérifie les propriétés(C_0,1,2,3).

Exemples :•Les classesC(p) desp-groupes (ppremier),C(rés) des groupes finis résolubles,C(gr) de tous les groupes finis etC() composée uniquement du groupe trivial sont des variétés extensives.

•Les classesC(ab) des groupes finis abéliens etC(nil) des groupes finis nilpotents sont à la fois des pré-variétés et des formations, mais ne sont pas des variétés extensives.

•La classeC(cycl) des groupes cycliques eune pré-variété qui n’epas une formation.

..— Classe associée.

Nous généralisons maintenant le passage de la classe des groupes abéliens à celle des groupes résolubles.

Définition.—On appelle "classe associée" àC la classe, notéeCb, des groupes finisGpossédant une suite de composition

{1}=G₀EG₁E· · ·EG_n−1EG_n=G telle que les quotients successifsG₁/G₀, . . . , G_n/G_n−1soient dansC. Exemples :•On aC(rés) =C[(rés) =C[(nil) =C[(ab).

•On aC[(p) =C(p) pour tout nombre premierp.

•Puisque tout groupe fini possède une suite de Jordan-Hölder, on voit queC[(cycl) =C(rés) et que, siC contient la classeC(simp) des groupes finis simples, alorsCb=C(gr).

Nous montrons ci-dessous que certaines des propriétés précédemment évoquées se transmettent par passage à la classe associée.

Proposition.—)SiC vérifie(C₀), alorsCbvérifie(C₀).

)SiC vérifie(C₁), alorsCbvérifie(C₁).

)La classeCbela plus petite classe contenant la classeC et vérifiant(C₂).

)SiC vérifie(C₀), alorsCbvérifie(C₃).

Preuve :) On se donneG∈Cbet un sous-groupeHdeG. Il exie alors une suite de composition {1}=G₀EG₁E· · ·EG_n−1EG_n=G

deG telle que les quotients successifsG1/G0, . . . , Gn/Gn−1 soient dansC. Considérons la suite de composition

{1}=G0∩HEG1∩HE· · ·EGn−1∩HEGn∩H=H

deH. Pour touti∈ {0, . . . , n−1}, le quotient (G_i+1∩H)/(G_i∩H) eisomorphe à un sous-groupe de G_i+1/G_iet, puisqueG_i+1/G_i∈C etC vérifie (C₀), ce sous-groupe eun élément deC. AinsiH∈Cb.

) On se donneG∈Cbet un sous-groupe normalHdeG. Il exie alors une suite de composition {1}=G0EG1E· · ·EGn−1EGn=G

deGtelle que les quotients successifsG₁/G₀, . . . , G_n/G_n−1 soient dansC. Notonsπ:G →G/H la surjeion canonique et considérons la suite de composition

{1}=π(G0)Eπ(G1)E· · ·Eπ(Gn−1)Eπ(Gn) =G/H

deG/H. Pour touti∈ {0, . . . , n−1}, le quotientπ(G_i+1)/π(G_i) eisomorphe à un quotient deG_i+1/G_i et, puisqueGi+1/G_i∈C etC vérifie (C1), ce quotient eun élément deC. AinsiG/H∈Cb.

) Commençons par montrer queCbvérifie (C₂). Pour cela, on se donne un groupe finiGet un sous- groupe normalHdeGtels queHetG/Hsoient dansCb. Il exie alors une suite de composition

{1}=H₀EH₁E· · ·EH_m=H

deHtelle queHi+1/Hi soit dansC pour touti∈ {0, . . . , m−1}, et une suite H=H_mEH_m+1E· · ·EH_n=G



telle queH≤H_ipour touti∈ {m, . . . , n}et telle que

{1}=H_m/HEH_m+1/HE· · ·EH_n/H=G/H

soit une suite de composition de G/H vérifiant (H_i+1/H)/(H_i/H)∈ C pour tout i ∈ {m, . . . , n−1}. Puisque (Hi+1/H)/(H_i/H)'Hi+1/H_ipour touti∈ {m, . . . , n−1}, on en déduit que

{1}=H0E· · ·EHm=HEHm+1E· · ·EHn=G

eune suite de composition deGtelle queHi+1/Hi∈C pour touti∈ {0, . . . , n−1}. AinsiG∈Cb. Par ailleurs, il eclair queC ⊆Cb.

On se donne maintenant une classeC0de groupes finis contenantC et vérifiant (C2). Fixons un groupe finiG∈Cb, muni d’une suite de composition

{1}=G₀EG₁E· · ·EG_n−1EG_n=G

telle que les quotients successifsG₁/G₀, . . . , G_n/G_n−1soient dansC. CommeG₀etrivial etG₁/G₀∈ C, on voit queG₁∈C ⊆C0. De plus,G₂/G₁∈C ⊆C0etC0vérifie (C₂). AinsiG₂eun élément de C0. Par récurrence, on voit alors queGn=Geun élément deC0. AinsiCb⊆C0.

) Il s’agit d’une conséquence immédiate du) et du) ci-dessus, et du) des remarques du §..

Corollaire.—SiC eune pré-variété, alorsCbeune variété extensive.

..— Classe duale.

Nous étudions maintenant une notion capitale pour notre étude : celle de classe duale.

Définition.—On appelle "classe duale" de C la classe, notéeC^∗, des groupes finis Gtels que, pour tout sous-groupe normalHdeGtel queG/Hsoit dansC, on aitH=G.

Cette notion eintimement liée à la théorie inverse de Galois : siC désigne la classe des groupes finis qui n’apparaissent pas comme groupes de Galois sur un corpsk fixé, on voit que, pour qu’un groupe finiGdonné soit groupe de Galois surk, il faut nécessairement queGsoit élément deC^∗. L’étude de la classe duale va jouer un rôle important dans cet article, en particulier l’étude des pro- priétés deC^∗qui découlent de celles deC. Il edéjà facile de voir que le passage à la classe duale dualise certaines des opérations ensemblies usuelles : siC1etC2désignent deux classes quelcon- ques de groupes finis, alors

a) (C1∪C2)^∗=C₁^∗∩C₂^∗, b)C1⊆C2⇒C₂^∗⊆C₁^∗, c)C₁^∗∪C₂^∗⊆(C1∩C2)^∗.

De manière un peu moins triviale, on a : Proposition.—)La classeC^∗vérifie(C₁).

)SiC vérifie(C1), alorsC^∗vérifie(C2).

)On aC^∗= Cb^∗

.

Preuve : ) On se donne un groupe finiG∈C^∗, un sous-groupe normalHdeGet un sous-groupe normalV deG/Htel que (G/H)/V ∈C. Clairement, on aV =H⁰/H pour un certain sous-groupe normal H⁰ de G contenant H. Comme (G/H)/V ∈ C et (G/H)/V = (G/H)/(H⁰/H) ' G/H⁰, on a G/H⁰∈C. Le groupeGétant dansC^∗, on obtientG=H⁰, c’e-à-direV=G/H. AinsiG/H∈C^∗.

) On se donne un groupe finiGet un sous-groupe normalH deGtels queHet G/Hsoient dans C^∗. Par l’absurde, supposons queGne soit pas dansC^∗. Il exie alors un sous-groupe normalH⁰ deGtel queH⁰ ,GetG/H⁰ ∈C. S’il exie un sous-groupe normalH⁰⁰ deGtel queH⁰≤H⁰⁰,G, on aG/H⁰⁰'(G/H⁰)/(H⁰⁰/H⁰). CommeC vérifie (C1) etG/H⁰ edansC, on voit queG/H⁰⁰ elui

L’inclusion réciproque efausse en général. En effet, considérons par exemple les classesC1={{1},Z/2Z}etC2= {{1},Z/3Z}. On a alorsC1∩C2=C() et donc (C1∩C2)^∗=C(gr), alors queZ/6Z<C₁^∗∪C₂^∗.



aussi dansC. On peut donc supposer queG/H⁰ e simple. SiH econtenu dansH⁰, alorsH⁰/H eun sous-groupe normal deG/Het (G/H)/(H⁰/H)G/H⁰∈C. OrG/Heun élément deC^∗par hypothèse. On a doncH⁰/H =G/H, c’e-à-direH⁰ =G, ce qui eabsurde. SiHn’epas contenu dansH⁰, alorsHH⁰ e un sous-groupe normal deG contenantriement H⁰. Comme G/H⁰ e simple, on a HH⁰ =G. AinsiH/H∩H⁰ 'HH⁰/H⁰ =G/H⁰ ∈C. OrH eun élément de C^∗ par hypothèse. On a doncH∩H⁰=H, ce qui eabsurde. On en déduit ainsi queGeélément deC^∗.

) PuisqueC ⊆Cb (cf. ) de la proposition ), on a Cb^∗

⊆ C^∗ d’après la propriété de dualité ensemblie b) ci-dessus. Réciproquement, on se donne un groupe finiGn’appartenant pas à

Cb^∗ . Il exie alors un sous-groupe normalHdeGtel queH,GetG/H∈Cb. Par définition deCb, il exie un sous-groupe normalH⁰deG/Htel que (G/H)/H⁰∈C, et que l’on peut de plus supposer différent deG/HpuisqueG/H,{1}. Clairement, on aH⁰=H⁰⁰/H pour un certain sous-groupe normalH⁰⁰de GcontenantH. AinsiG/H⁰⁰∈C et on aH⁰⁰,G. Par conséquent,G<C^∗.

..— Multidualité.

Nous finissons cette seion en nous intéressant aux classes duales successives de la classeC. Commençons par l’étude de laclasse bidualeC^∗∗= (C^∗)^∗ deC. Dans ce qui suit, on noteraHCG pour dire queHeun sous-groupe normalrideGetHC

maxGpour dire queHemaximal dans l’ensemble des sous-groupes normauxris deG(c’e-à-direG/Hesimple).

Pour un groupe finiGdonné, on a :

G∈C^∗∗ ⇐⇒ ∀HCG, G/H<C^∗

⇐⇒ ∀HCG,∃N CG/H,(G/H)/N∈C

⇐⇒ ∀HCG,∃N CGtel queH≤N etG/N ∈C

⇐⇒ ∀HC

maxG, G/H∈C.

De cette caraérisation découlent les deux remarques suivantes :

a) SiC vérifie (C1), alorsC econtenue dansC^∗∗. En général, l’inclusionC ⊆C^∗∗n’epas vraie, comme le montre l’exempleC ={Z/4Z}.

b) Si C(simp)⊆ C, alors C^∗∗ =C(gr). Cette remarque prouve en particulier que l’inclusion ré- ciproqueC^∗∗⊆C n’epas vraie non plus en général.

Pour un groupe fini non trivialGdonné, rappelons que leradical de BaerdeG(cf. [Bae]), que nous noterons Rad(G), el’interseion de tous les sous-groupes normaux maximaux deG:

Rad(G) = \

HC

maxG H.

Nous pouvons maintenant caraériser les éléments non triviaux deC^∗∗de la manière suivante : Proposition.—Étant donné un groupe fini non trivialG, les deux assertions

i)G∈C^∗∗,

ii)G/Rad(G)eisomorphe à un produit direnon vide de groupes finis simples appartenant àC, sont équivalentes.

Preuve : Parmi les sous-groupes normauxH deGtels queHC

maxG, l’on considère une famille finie H₁, . . . , H_ntelle que Rad(G) =H₁∩ · · · ∩H_net telle queH_i+1∩ · · · ∩H_n*H_i pour touti∈ {1, . . . , n−1}.

CommeG/H1esimple etK=H2∩ · · · ∩Hn eun sous-groupe normal deGnon contenu dans H1, on aH1K=G. Ainsi, en appliquant le deuxième théorème d’isomorphisme, on a

|G/(H1∩K)|= |H1K|

|H₁∩K|= |H1||K|

|H1∩K|² =|H1K|

|H₁|

|H1K|

|K|



et donc|G/(H₁∩K)|=|G/H₁×G/K|. Par ailleurs, le morphisme canoniqueG→G/H₁×G/K ede noyauH₁∩K, ce qui montre finalement que

G/Rad(G) =G/(H₁∩K)'G/H₁×G/K=G/H₁×G/(H₂∩ · · · ∩H_n).

Une récurrence immédiate montre alors queG/Rad(G)'G/H1× · · · ×G/H_n.

Venons-en maintenant à la démonration de l’équivalence annoncée. Supposons tout d’abord queGsoit dansC^∗∗. D’après ce qui précède, on aG/Rad(G)'G/H₁× · · · ×G/H_n, et chaque quotient G/H_i eun groupe simple appartenant àC, en vertu de la caraérisation des éléments de la classe biduale vue précédemment. Réciproquement, supposons queG/Rad(G) soit isomorphe à un produit direG₁×· · ·×G_rde groupes simples appartenant àC. Pour toutHC

maxG, on a alors un épimorphisme G₁× · · · ×G_r →G/H. Comme les groupesG/H, G₁, . . . , G_r sont simples, cet épimorphisme fournit un isomorphismeG_jG/Hpour un certainj∈ {1, . . . , r}. AinsiG/H∈C etGedonc dansC^∗∗.

Définissons maintenant lan-ième classe dualeC^∗[n]deC par récurrence sur l’entiern, en posant C^∗[0]=C et, pour toutn≥0,C^∗[n+1]=

C^∗[n]∗ .

Nous avons alors le résultat de cyclicité des classes multiduales suivant : Proposition .—)On aC^∗⊆C^∗∗∗et, siC vérifie(C₁), alorsC^∗=C^∗∗∗.

)Pour tout entiern≥1, on aC^∗[2n]=C^∗∗etC^∗[2n+1]=C^∗∗∗.

Preuve : ) D’après le) de la proposition, la classeC^∗ vérifie (C₁) et on a doncC^∗ ⊆C^∗∗∗ en vertu de la remarque a) ci-dessus. SiC vérifie (C₁), alors on aC ⊆C^∗∗, et doncC^∗∗∗⊆C^∗d’après la propriété de dualité ensemblie b) du §..

) Il suffit d’effeuer une récurrence sur l’entiernen appliquant le) et en remarquant que, d’après le) de la proposition, la classeC^∗[n]vérifie (C₁) pour toutn≥1.

L’étude de la multidualité de la classeC se résume donc à la donnée deC^∗,C^∗∗ etC^∗∗∗ (et, si C vérifie (C₁), seulement à la donnée des classes duale et biduale de C). L’exemple de la classe C ={{1},Z/4Z}montre queC,C^∗<{C,C(1),C(gr)},C^∗∗=C(1) etC^∗∗∗=C(gr) peuvent être des classes deux à deux diines.

.— Arithmétique des C -clôtures d’un corps.

On s’intéresse maintenant aux extensions galoisiennes finies à groupe de Galois dans une classe donnée. Dans toute cette seion,k désigne un corps de clôture séparablek^sép etC une classe de groupes finis.

Définition.—On appelle "C-clôture" dekle corps, noték^C, égal au compositum (dansk^sép) de toutes les extensions galoisiennes finies dekayant un groupe de Galois élément deC. Le corpskedit "C-clos"

sik=k^C, c’e-à-dire sik ne possède aucune extension galoisienne finie non triviale à groupe de Galois dansC.

..— Groupes de Galois etC-clôtures.

Si l’on prend pour C la classeC(cycl) ou la classeC(ab), le corpsQC e alors la tradition- nelle clôture cyclotomique de Q, souvent notée Q^ab. Tous les groupes abéliens finis se réalisant comme groupes de Galois surQ, l’on voit que, bien queQ^absoit laC(cycl)-clôture deQ, l’extension Q^ab/Qpossède des sous-extensions finies galoisiennes surQà groupes de Galois non cycliques. Cette pathologie disparaît si l’on regarde le corpsQ^abcomme laC(ab)-clôture deQ. Pour autant, on peut facilement conruire des extensions finies abéliennes non triviales de Q^ab, et Q^ab n’e donc pas C(ab)-clos. La C(rés)-clôture de Q, notée Q^rés, ne présente elle aucune de ces pathologies : les sous-extensions galoisiennes finies surQ deQ^résont toutes un groupe de Galois résoluble et au- cune extension galoisienne finie non triviale deQ^résne possède un groupe de Galois résoluble. Le théorème qui suit vise à déterminer quelles propriétés il faut demander à la classeC pour que la C-clôture associée ait ces "bonnes" propriétés.

