SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE DJILLALI LIABES DE SIDI-BEL-ABBES FACULTE DE TECHNOLOGIE DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE
Thèse de Doctorat
Présentée par:
Mr. MERAZI Sayah
Filière: Génie Mécanique
Option: Comportement mécanique des structures
CONTRIBUTION À L’ÉTUDE DU COMPORTEMENT
DYNAMIQUE D’UN TURBOCOMPRESSEUR TOURNANT
A GRANDE VITESSE SUPPORTÉ PAR DES
PALIERS LISSES A COUSSINETS DEFECTUEUX
Soutenue le : 25/ 07 /2019
Présenté devant le jury composé de :
Mr. GHAZI Abdelkader MCA (U. Mascara) Président
Mr. LEBBAL Habib MCA (UST. Oran) Examinateur
Mr. SERIER Mohamed MCA (CU. Relizane) Examinateur
Mr. BOUKHOULDA Farouk Benallel Professeur (UDL Sidi Bel-Abbès) Directeur de thèse Mr. REFASSI Kaddour Professeur (UDL Sidi Bel-Abbès) Co-Directeur de thèse Mr. MERAD Kamal Larbi Ingénieur / Chef de section maintenance-SONATRACH Invité
I
Remerciements
Nous commençons par remercier الله qui nous a donné la volonté, la santé, le courage et surtout la patience pour pouvoir produire ce modeste travail et faire face à toutes les contraintes qui se sont posées au cours de son élaboration.
En premier lieu, je tiens à exprimer ma gratitude et reconnaissance envers mon directeur de thèse, Professeur Farouk Benallel BOUKHOULDA, pour m’avoir accueilli au sein du Laboratoire Mécanique de Structure et Solides, encadré et soutenu tout au long des années de mon doctorat à Université de Sidi Bel Abbés. Je le remercie de m’avoir apporté toute son expérience et ses compétences sans lesquelles ce travail n’aurait pas pu aboutir.
Je ne pourrais jamais remercier suffisamment mon co-directeur de thèse, le Professeur Kaddour REFASSI, pour m’avoir guidé avec perspicacité tout au long de ces années. Sa disponibilité, son attention et son soutien sont, sans doute, les éléments majeurs qui m’ont permis de mener à bien cette thèse.
Je voudrais également remercier Kamal Larbi MERAD de m'avoir accueilli à la complexe GL2Z de Arzew à Sonatrach sur la durée du stage est un ingénieur en maintenance prédictive et chef de section maintenance conditionnelle.
Notre reconnaissance à tous les enseignants du département de génie mécanique qui ont contribué à notre formation en nous inculquant leur savoir, Nous tiens à remercier tous mes collègues, amies et
II
Sidi Bel Abbés qui m’ont soutenu et aidé de manière directe ou indirecte.
Enfin, les mots les plus forts sont les mots les plus simples, et ici je parle de tout émotionnel envers moi Mère, père, épouse et fils. Malgré la distance, leur confiance, leur tendresse L'amour ne m'a pas arrêté et guidé. Est-ce le meilleur endroit pour vous dire quoi?
Genre de choses? Je ne sais pas, en tout cas, pas mal. Je t'aime!
III
Dédicace
J'espère que ce travail témoignera de mon respect:
Mes chers parents (ZOUAOUIA et le père (MAACHOU) et ma femme (DOUNIAZED) et le fils (WASSIM ANAS), mes frères et ma famille dans son ensemble et la famille de ma femme. Grâce aux encouragements de tendresse et Leurs grands sacrifices,
La dédicace ne peut exprimer mon respect, mon point de vue et le mien. Je ne me sentais pas profondément à leur sujet.
Je prie Dieu de les bénir et de les surveiller dans l'espoir qu'ils seront toujours Fiers de moi.
A tous mes professeurs: Leur générosité et leur soutien m'obligent à leur témoigner ;
Mon profond respect et ma loyauté. À tous mes amis et collègues du tout: Buamamah Mohammed et Lameesh Abbas ;
Ici, ils trouveront un témoignage de l'infinie sincérité et de l'amitié.
VI صخلم يف هذه ةحورطلاا ، ةساردب موقن كولسلا يكيمانيدلا نحاشل ينيبروت رودي ةعرسب ةيلاع ، ةموعدم لماحمب ءاسلم ( ةعنام لكآتلل ) يف دوجو بويع . ضرغلا نم اذه لمعلا وه ديلوت ليلحتو تاباجتسلاا ةيزازتهلاا لاطعلأل ةضورفملا اًقفو فلاتخلال يف س ةعر ليغشتلا ( عافترا طوقسو ةعرسلا .) متيس ءارجإ ةسارد ةيفيط ديدحتل عون للخلا ىلع لماحملا ذيفنتو لوكوتورب ةنايصلا ةيؤبنتلا ريفوتل ح لول ةيجولونكت دحلل نم زازتهلاا . تاملكلا ةيسيئرلا : تلالآا ةراودلا ; لمحم يداع ; نحاشلا ينيبرتلا راودلا ; بويع لماحملا ةيداعلا .
IV
Résumé
Dans le cadre de la présente thèse, on a procédé à l’étude du comportement dynamique d'un turbocompresseur tournant à grande vitesse, soutenu par des paliers lisses (antifriction) en présence des défauts.
Le but de ce travail est de générer puis analyser les réponses vibratoires des défauts imposés en fonction de la variation de la vitesse de fonctionnement (montée et baisse de la vitesse).
Une étude spectrale sera menée pour identifier le type de défaut sur les paliers et mettre en place un protocole de maintenance prédictive permettant de donner des solutions technologiques pour la réduction des vibrations.
Mots clés: Machines tournantes; Palier lisse; Turbocompresseur rotatif; Défauts des
V
Abstract
The aim of this thesis is to study the dynamic behavior of a rotating turbocharger at high speed and supported by smooth bearings (antifriction) in the presence of defects.
First of all, it will be necessary to numerically simulate the "turbine / bearings" system and the kinematic chain, based on a three-dimensional model, using appropriate software for finite element and DAO calculations.
The goal is to generate and subsequently analyze the vibrations according to the faults and the variation of the speed of operation (rise and fall in speed).
Investigations will be conducted to identify the type of defect by signal processing, and further the establishment of a predictive maintenance protocol or technological solutions for mitigation of vibration.
Keyword: Rotating machines; plain bearing; Optimization plain bearing; Rotary turbocharger;
VII
Table des matières
Remerciement………..…..I Dédicace……….……….…...III Résumé……..………..………..….……IV Abstract……….………...………V صخلم…………... VI .... Table des matières………..………….………...VII List des figures……...………...……….…………...…….…XIV List des tableaux………...……….……….……...…..…….……XVIII Nomenclature………...………...……….………….…….…...XX
Introduction générale………..……….………....………...………..1
CHAPITRE 1: Généralité sur les rotors dynamiques. I.1 Introduction...3
I.2 Etat de l’art...3
I.3 Etude dynamique ...8
I.3.1 Machines tournantes...8
I.3.1.1 Les liaisons dans les machines tournantes……….…..9
I.3.2.2 La structure……….………….……...10
I.3.2 Caractéristiques des éléments du rotor...10
I.3.2.1 Les éléments de rotor……….10
I.3.2.1.1 Le disque………..11
I.3.2.1.2 L’arbre………..15
I.3.2.1.3 Le balourd………18
I.3.2.1.4 Les paliers lisses………...20
I.3.3 Équations du mouvement………...………..21
I.3.3.1 forme spatiale du mouvement………...…..21
VIII
I.3.4.1 Les vecteurs propres a droite et a gauche………...………..22
I.3.5 Réponse au balourd……….………...….24
I.3.5.1 Solution modale……….……….……..…..24
I.3.6 l’analyse de solution spectrale……….……….…………...26
I.4 Conclusion………..….…………..26
CHAPITRE II: Etudes des paliers lisses. II.1 Introduction...27
II.2 Palier lisse……….……….………..…27
II.2.1 Définition des paliers lisses……….………27
II.2.2 les propriétés des paliers lisses………...27
II.2.3 Description générale d’un palier……….…….…..….…27
II.2.4 Classes des paliers lisses………..………...….28
II.2.4.1 Palier hydrodynamique………...………..…...29
II.2.4.1.1 Différent type de Palier hydrodynamique………....…30
II.2.4.1.1.1 Paliers à géométrie variable………...………….……….…...30
a) Paliers à patins oscillants………30
II.2.4.1.1.2 Paliers à géométrie fixe……….……….……….………..…..32
a) Paliers multilobées………...……….………..32
b) Paliers à films amortisseurs……….…………...…………33
c) Palier à arc partiel……….………...…33
d) Palier citron……….…………....34
e) Palier citron à gorge supérieure……….……..………...34
f) Palier citron décentré……….………..……...34
g) Palier trilobé………...35
h) Palier à segments………..………..35
i) Palier cylindrique……….………...35
i).1 Les paliers courts………...……….37
i).2 Les paliers infiniment longs……….…….…...37
IX
II.2.4.2 Paliers hydrostatiques………..……….…….…………37
II.2.5 Caractéristiques d’un palier lisse………...………...………….…...38
II.2.5.1 Rainures axiales………...………...39
II.2.5.2 Rainure circonférentielle……….………...…...………….…....39
II.2.6 Choix d'un palier………...40
II.2.7 Modes de fonctionnement des paliers(lubrification)……….….…...42
II.2.7.1 Le régime hydrodynamique………....…...42
II.2.7.2 le régime avec contact………..………....….….43
II.2.7.3 le régime mixte……….……….………....43
II.2.8 Les avantages et les inconvénients des paliers lisses……….………...44
II.2.8.1 Avantages des paliers lisses………..………...44
II.2.8.2 Inconvénients des paliers lisses………...……….….44
II.2.9 Coefficients dynamiques des paliers lisses……….………....….44
II.3 Lubrification………..……….………….47
II.3.1 Théorie du « COIN D’HUILE »……….…....48
II.3.1.1 Formule de Reynolds…………...………....………...48
II.3.1.2 Répartition des pressions……….……..……...……..49
II.3.1.3 Calcul de la force de frottement et du coefficient de frottement Équivalent...49
II.3.1.4 Influence de l’inclinaison……….….………....…....50
II.3.1.5 Influence des fuites latérales……….……….…...50
II.3.1.6 Formation du coin d’huile dans un coussinet……….………...51
II.3.2 Frottement dans lubrification…………....………...……….…...…..52
II.3.2.1 Frottement entre deux pièces……….….……….…..…...52
II.3.2.2 Définitions de frottement entre deux surfaces……….…...52
II.3.2.2.1 Frottement immédiat..………...………..……52
II.3.2.2.2 Frottement médiat………...…….53
II.3.2.3 Influence de la forme des surfaces : le coin d’huile………...….55
II.3.2.3.1 Surfaces planes………...………...55
II.3.2.3.2 Surfaces cylindriques……….…...……..56
II.3.2.4 Influence de la nature des surfaces……….…….…..…...58
X
II.4 Solutions analytiques de l'équation de Reynolds………...…..……58
II.4.1 Solution à palier lisse court……….………..….…….…...59
II.4.1.1 Equation de Reynolds………...…....59
II.4.1.2 Les Conditions aux limites pour le champ de pression du Film fluide…...……61
II.4.2 Solution de palier lisse infiniment long (Sommerfeld)………..….…..…68
II.4.3 Solution de palier lisse finis à longueur finie (Moes)………...…...….69
II.5 Signification physique des coefficients de relèvement……….…..…....71
II.6 Conclusion………...……...………..75
Chapitre III: Etude des défauts des paliers lisses. III.1 Introduction……….……….………..……....76
III.2 Défauts spécifiques aux paliers lisses (Turbomachines)………..…………..……....77
III.2.1 défaut d’Instabilité de palier lisse………...….78
III.2.2 Défaut d’instabilité d’arbre (tournoiement et fouettement d’huile)…….……...……....79
III.2.3 Défaut de jeu du palier lisse………..………....80
III.2.3.1 Préconisations sur le jeu………...………..….…..80
III.2.3.2 les causes des défauts de jeu palier lisse…….………...…………..…..……81
III.2.4 Influence du mésalignement dans le palier lisse……….……….….82
III.2.5 Défauts de lubrification-Instabilité …...………...……….…….……...83
III.2.6 Phénomène de Tourbillonnement d’huile sur le palier lisse………...……86
III.2.6.1 Identification du problème de tourbillonnement.………… ….………..…...86
III.2.7 Frottement et usure de contact……….……….………...87
III.2.8 Mauvais serrage mécanique (jeu de fondation)…… ……….…...…88
III.2.9 Défaut de l’état de surface et dynamique du palier hydrodynamique……….…....…..89
III.5.9.1 Rugosité et défauts de surface…….……..…...………...………..89
III.2.9.2 Introduction à la texturation de surface.………..…….………...….90
III.2.9.2.1 Les procédés de texturation utilisés en tribologie…..……….…90
III.2.9.2.2 Texturation par LASER…..……….……..……..90
III.2.9.3 La texturation de surface en régime hydrodynamique…………..………..…....90
XI
III.2.11 Cavitation d'huile et Bruit de cavitation……….………...………..95
III.3 Conclusion………..……….……...96
Chapitre IV: Etudes expérimentales sur les turbomachines. IV.1 Introduction………...………...………...98
IV.2 Equipements utilisés pour l’analyse de la vibration……….……….…….99
IV.2.1 Analyseur de Vibrotest 60 (VT60)……… ………...…….…...99
a/ Caractéristique d’affichage d’un spectre dans le Vibrotest 60………...…103
b/ Caractéristique de l'appareil Vibrotest 60………...103
IV.2.2 Logiciel d'analyse de diagnostic vibratoire « VIBROEXPERT CM-400 » ………….104
a/ Caractéristiques du logiciel………...………..…………105
b/ Avantages du logiciel……….………..………..105
c/ Utilisation………..…….106
d/ Un puissant outil de visualisation……….…….106
IV.3 Présentation des seuils d'alarme et de la fréquence moyenne………....…….….106
IV.4 Etudes expérimentales de l’analyse vibratoire des turbomachines………...111
IV.4.1 Application au cas du turbocompresseur 103J……….……...………...111
a) Cas du palier lisse N°01 de côté basse pression……….………...112
b) Cas du palier lisse N°02 de côté haute pression………...…115
IV.4.2 Application au cas du turbo ventilateur 102-BJ………..………….……....…...118
IV.4.2.1 L’analyse spectrale du palier lisse N°03 de la turbine………...……...119
a) Cas du palier lisse N°03 au point de mesure (Dans la direction verticale V)………...119
b) Cas du palier lisse N°04 au point de mesure (Dans la direction verticale V)………...119
IV.4.3 Application au cas de la turbine à vapeur (HP)………...…………...…...121
IV.4.3.1 Principe de fonctionnement de la turbine à vapeur………....……....….121
IV.4.3.2 Caractéristiques techniques de la turbine à vapeur HP……….……..…...….122
IV.4.3.3 Localisation des points de mesure………...….…….…..…123
IV.4.3.4 Analyse spectrale du palier lisse N°17………..……….……….123
a) Cas du palier lisse N°17 au point de mesure horizontal ‘H’………...123
XII
IV.4.3.5 L’analyse spectrale du palier lisse N°18……….…………...………..………127
a) Cas du palier lisse N°18 au point ‘H’………...………….…...………....127
b) Cas du palier lisse N°18 au point ‘A’………...…....128
IV.5 Conclusion………...……….……...129
Conclusion générale……….…132
XIV
List des figures
Chapitre I
Figure I.1: Elément générale des Machine tournante.……….……….…..………...9
Figure I. 2: Eléments de base d’un rotor………...………....11
Figure I. 3: Repères liés au disque sur un arbre flexible en rotation………11
Figure I.4: Angles d’Euler……….12
Figure I.5: Modèle du disque………..…...15
Figure I.6: Mouvement de l’arbre: Rotation & Tournoiement………..15
Figure I.7: Section droite de l’arbre………...18
Figure I.8: Répartition du balourd sur le rotor………..19
Figure I.9: Modélisation de la répartition du balourd sur le rotor……….19
Figure I.10: Position du balourd……….………...19
Figure I.11: Amortissement et raideur du palier lisse……..………..20
Chapitre II Figure II.1: Schéma descriptif de Palier à demi-coussinets……….…….28
Figure II.2: Palier hydrodynamique avec champs de pression hydrodynamique…………...…..30
Figure II.3: Photographie d’un palier à quatre patins oscillants………...30
Figure II.4: Photographie d’un palier à n patins……….………..31
Figure II.5: Caractéristiques géométriques d’un palier à trois patins……….……..32
Figure II.6: Schéma d’un palier à lobes………...………33
Figure II.7: Schéma d’un palier à arc partiel………34
Figure II.8: Image représenté de Coussinets………..………..36
Figure II.9: Éléments constitutifs d’un palier lisse…………..………..36
XV
Figure II.11: Caractéristiques de fonctionnement du palier hydrodynamique……….38
Figure II.12: Position des rainures axiales………39
Figure II.13: Variation de la pression en fonction de la coordonnée axiale z……….……….….40
Figure II.14: Palier à rainure circonférentielle………...……….………..40
Figure II.15: Phase du régime hydrodynamique………...………....41
Figure II.16: Modes de fonctionnement des paliers………...………...42
Figure II.17: Caractéristique de Régime hydrodynamique………...………....43
Figure II.18: La linéarisation des forces de réaction des paliers lisses………...45
Figure II.19: Interaction des éléments en tribologie………..47
Figure II.20: Schéma d’un contact lubrifié………....48
Figure II.21: Un exemple de répartition des pressions………..49
Figure II.22: Représentation des forces sur le patin………...……...50
Figure II.23: Formation du film d’huile………...……….51
Figure II.24: Exemple de régime onctueux………...53
Figure II.25: Variation de f en fonction des différents régimes de lubrification……….54
Figure II.26: Coin d’huile entre deux plaques planes………....55
Figure II.27: Formes de la plaque plane et distribution des pressions………...55
Figure II.28: Points de contact sur un palier lisse………..56
Figure II.29: Influence d’une rainure sur la pression………...………..57
Figure II.30: Formes de rainures sur des coussinets………..57
Figure II.31: Exemple de paliers lisses………...………...58
Figure II.32: l’équilibre des forces de pression et du frottement visqueux; forces Agissant sur un volume de fluide élémentaire……….……….59
Figure II.33: La plaine des paliers lisses cylindriques en cas de fonctionnement en régime permanent………...………61
Figure II.34: Le composant de flux de Poiseuille (x-component) dans la direction axiale...62
Figure II.35: Il est pratique de calculer les composantes de la force dans le sens radial et directions tangentielles, respectivement (Fε)et (𝐹𝜑) ………..63
Figure II.36: Un système de coordonnées défini avec l’axe r dans la direction radiale (ε0-direction) et l’axe t dans la direction tangentielle (𝜑0 - direction)..65
XVI
Figure II.37: Une variante des coefficients de rigidité et d’amortissement sans
dimension………67
Figure II.38: Les courbes pour L/D = 0,25 et Pour toute application spécifique…....……..….…68
Figure II.39: Les courbes Pour certaines valeurs L/D et Pour une donnée charge appliquée sur les paliers lisses………...……..70
Figure II.40: les orbites droites (dégénérées), où l'échange cyclique net d'énergie zéro………...73
Chapitre III Figure III.1: Position d’équilibre du rotor……….77
Figure III.2: Instabilités de paliers lisses hydrodynamiques……….…78
Figure III.3: Spectre correspond Tournoiement d’huile………..………..79
Figure III.4: Spectre correspond Fouettement d’huile………..………80
Figure III.5: Effet du jeu de palier lisse………...…..81
Figure III.6: Spectre correspond à l’effet du jeu de palier lisse……….….…..82
Figure III.7: Représentation d’un palier mésaligné………..….…83
Figure III.8: analyse spectrale d’un palier mésaligné………..….…….83
Figure III.9a: Spectre de vibration d’un palier lisse en limite de stabilité on reconnaît de l'énergie désorganisée au voisinage de (ωr/2)……….85
Figure III.9b: Spectre de vibration d’un palier lisse est devenu instable pour la vibration dominante est à (ωr/2)………...85
Figure III.10: Phénomène de Tourbillonnement………...…….………86
Figure III.11: Spectre de tourbillonnement d’huile pour un rotor tournant à 6000 trs/mn……...87
Figure III.12: Défaut de frottement………..….……….………..87
Figure III.13: Instabilité du film d’huile et le spectre typique correspond……….………..……88
Figure III.14: Jeu de fondation et le spectre correspond…….……….……….88
Figure III.15: Jeu d’arbre et le spectre correspond………..………….…....89
Figure III.16: Image interférométrique d’un motif de texturation de 5mm de profondeur et de 15 mm de diamètre obtenu par laser femto Seconde sur un arbre de diamètre 5mm………..……….91
XVII
Figure.III.18: Système du palier lisse (a) Géométrie du palier; (b) Section
droite du palier; (c) Géométrie de la texture……….92
Figure.III.19: Epaisseur du film dans un contact hydrodynamique avec texture…………...…92
Figure.III.20: Les formes géométriques des textures étudiées…………...………...93
Figure III.21: Schéma d’un palier cylindrique……….……….………...…..…93
Figure III.22: Déférents Schéma de quelques formes de rupture observées dans le cas d’un film de faibles épaisseurs formées entre un cylindre en rotation et une plaque plane fixe………94
Figure III.23: Palier lisse soumis à un chargement statique: (a) fonctionnement avec un film complet, (b) fonctionnement avec un film rompu………95
Figure III.24: Évolution des vibrations à haute fréquence……….….………...94
Chapitre iv Figure IV.1: Appareil de mesure de vibration « VIBROTEST 60 »…………..………..…...100
Figure IV.2: Capteurs de vibration………...………...…102
Figure IV.3: Principe du capteur de déplacement inductif à courants de Foucault……….102
Figure IV.4: Interface logiciel CM400………...……….104
Figure IV.5: Chaîne de mesure des vitesses dans un palier lisse………..………...………105
Figure IV.6: Chaîne de mesure des déplacements dans un palier lisse…….………..………….110
Figure IV.7: Détermination des seuils par la méthode du relevé global……….….111
Figure IV.8: Turbocompresseur en fonctionnement……….…...112
Figure IV.9: Point de mesure sur un palier lisse radial du côté base pression (Cas du turbocompresseur)………...113
Figure IV.10: Analyse spectrale du turbocompresseur d'un palier lisse radial en fonctionnement normal du côté basse pression……….113
Figure IV.11: Analyse spectrale du palier (N°01) d’un turbocompresseur (état défectueux)...114
XVIII
Figure IV.13: Point de mesure du turbocompresseur d'un palier lisse radial du côté
haute pression………...115
Figure IV.14: Analyse spectrale Point de mesure du turbocompresseur d'un palier lisse normal radial du côté haute pression………116
Figure IV.15: Analyse spectrale du point de mesure du turbocompresseur d'un palier lisse radial avec un défaut du côté haute pression……….……...117
Figure IV.16: Usure du palier lisse (N°02) du côté haute pression……….117
Figure IV.17: Schéma cinématique du turbo ventilateur……….118
Figure IV.18: Spectre de la vitesse vibratoire crête du palier (N°03) de la turbine dans la direction verticale ‘V’………..119
Figure IV.19: Spectre de la vitesse vibratoire crête du palier (N°04) de la turbine dans l a direction verticale ‘V’………120
Figure IV.20: Figure IV.20: Usure du palier lisse N°03 dû à un mésalignement…………...…121
Figure IV.21: le principe de fonctionnement de la turbine à vapeur (HP).………122
Figure IV.22: Schéma cinématique de la turbine à vapeur (HP)………....123
Figure IV.23: Spectre des vitesses vibratoires du palier lisse N°17 au point ‘H’…………...124
Figure IV.24: Spectre des vitesses vibratoires du palier lisse (N°17’A’)………...125
Figure IV.25: Usure du palier lisse N°17 dû à un balourd d’origine thermique……….126
Figure IV.26: Spectre des vitesses vibratoires du palier lisse (N°18’H’)……….……..127
Figure IV.27: Spectre des vitesses vibratoires du palier lisse (N°18 ‘A’)…………..…………128
Figure IV.28: Usure du palier lisse N°18 dû à un balourd d’origine thermique.………129
XVIII
List des tableaux
Chapitre iv
Tableau IV.1: Seuils d'alarme et fréquence moyenne……….107 Tableau IV.2: Palier lisse et logements de palier lisse………...112 Tableau IV.3: Caractéristiques techniques de la turbine à vapeur (HP)……….123
XX Nomenclature aij Accélération, [m/s²]. Aij FFT de l’accélération, [m/s²]. [C] Matrice d’amortissements. C Jeu radial, [m]. Cij Amortissement, [Ns/m]. D Diamètre, [m]. E Excentricité, [m]. f Coefficient de frottement. fij Force, [N]. Fij FFT de la force, [N]. h Epaisseur du film, [m].
h1,2 Epaisseur du film max./min. pour blochet et butée, [m].
i,j Indices représentant les directions des grandeurs physiques.
ij Indices représentant respectivement la direction de la mesure et la direction de
L’excitation;
Par exemple : FXY est la force mesurée suivant X pour une excitation suivant Y.
L, l Longueur de rotor, [m]. m Masse, [kg].
n Nombre des essais.
N Nombre des fréquences d’excitation.
P Pression moyennée suivant l’épaisseur du film, [Pa]. Pa Pression ambiante, [Pa].
s Variable de la transformé de Laplace. t Temps, [sec].
V Vitesses linéaires d’une paroi, [m/s]. W Charge axiale, [N].
Wm Vitesse d’écoulement, [m/s]. R Repère mobile.
(X, Y, Z) Coordonnée de repère fixe. (x, y, z) Coordonnée de repère mobile.
XXI
x, y, X ,Y Déplacement du coussinet, [m].
𝑥̇, 𝑦,̇ 𝑋̇,𝑌̇ Vitesse du coussinet, [m/s]. 𝑥̈, 𝑦,̈ 𝑋̈,𝑌̈ Accélération du coussinet, [m/s²]. θ Angle de rotation, [rad/s]. 𝜔⃗⃗ 𝑅/𝑅𝑅 0 Vecteur rotation de disque.
(𝜔𝑥,𝜔𝑦, 𝜔𝑧) Composants du vecteur de rotation. 𝐼𝐶 Tenseur d'inertie principal.
𝑇𝑑 L’énergie cinétique du disque.
𝛺 Vitesse de rotation de rotor (rad/s). Trans Translation.
rot Rotation.
̇ Dérivé temporaire.
̈ Deuxième dérivé temporaire. Ra1 Rayon intérieur du disque, [m]. Ra2 Rayon extérieur du disque, [m].
𝐼𝑎 Moment d’inertie transverse de l’arbre. 𝐼𝑑𝑥 Moment d’inertie du disque /x.
𝐼𝑑𝑦 Moment d’inertie du disque /y. r Rayon du disque, [m].
y Position de disque dans le rotor, [m]. d Distance de balourd, [m].
ε Déformation longitudinale. T Energie cinétique.
𝑇𝑑 Énergie cinétique de disque. 𝑇𝑎 Énergie cinétique de l’arbre. 𝑇𝑏𝑎𝑙 Énergie cinétique de balourd. 𝑈𝑎 Énergie de déformation de l’arbre.
𝛿𝑤𝑝 Travail virtuel des forces extérieures.
𝑉𝑚(𝑦) Fonctions de forme de l’arbre.
𝜕2
𝜕∗2 Dérivées du second ordre.
U Energie de déformation. Qi Forces généralisées.
XXII
O1 Centre de coussinet. O2 Centre de l’arbre.
Ψ Angle de précession autour de l’axe O. Θ Angle de nutation autour de l’axe Ox. φ Angle de rotation autour de l’axe Oy. ω Pulsation propre, [Hz].
u Déplacement de l’arbre selon l’axe Ox. v Déplacement de l’arbre selon l’axe Oy. w Déplacement de l’arbre selon l’axe Oz. up Déplacement du palier lisse selon l’axe Ox. wp Déplacement du palier selon l’axe Oz. IO Tenseur d’inertie dans le repère ROxyz. S Surface, [m2].
𝑆𝑎 Section de l’arbre, [m2].
Fu Force généralisée autour de l’axe Ox. Fw Force généralisée autour de l’axe Oz. η Vecteur des déplacements nodaux.
𝑊𝑠𝑢𝑝 Le travail effectué par les forces porteuses (supérieure) de la Amortissement
«négatif».
qi Déplacements nodaux selon l’axe Oz. δi Déplacements nodaux selon l’axe Ox. E Module de Young.
C Amortissement, [N.s/m].
M ij Eléments de la matrice des masses. K ij Eléments de la matrice de rigidité. Gij Eléments de la matrice gyroscopique. Cij Coefficients de la matrice d’amortissement. [C]p Matrice d’amortissement due aux paliers. [K]p Matrice de rigidité due aux paliers. λi Valeurs propres.
{X} Vecteur de déplacements nodaux. Mp Masse du palier, [kg].
XXIII
D Diamètre du palier, [m].
𝑎𝐺 Accélération linéaire.
A,B Réactions aux paliers lisses.
C
Matrice d’amortissement.𝐶𝑥 Le coefficient de traînée.
𝐶𝑧𝑚 Le coefficient moyen de portance.
d Distance de balourd du centre géométrique de l’arbre. fi Fréquence propre, [Hz] .
e Excentricité du rotor à l’équilibre, [m]. f (y) Fonction de forme.
I Moment d’inertie.
𝐼𝑃 Moment d’inertie polaire. [ 𝐽𝑃] Tenseur d’inertie. K Rigidité, [N/m]. 𝐿𝐻 La portance, [m]. M Masse, [kg].
𝑀⃗⃗⃗ Moment des forces. 𝑀𝑧 Moment.
𝑀𝑠 Moment statique de la pale. 𝑚𝑎 Masse de l’arbre,[kg]. 𝑚𝑑 Masse de disque,[kg]. 𝑚𝑏 Masse de balourd,[kg]. 𝑁𝑖 (𝑦) Fonction de forme. 𝑄̅ Débit massique. {𝑞𝑖} Cordonnées généralisés. 𝑅𝐻 La force résultante.
u et w Coordonnées du centre géométriques de disque O dans le repère fixe. 𝑢 ∗et 𝑤∗ Coordonnées du centre géométriques de disque O dans le repère mobile. 𝑉𝐼 La vitesse induite,[m/s].
V La vitesse de translation de l’appareil,[m/s]. ⃗⃗ 𝑉0 La vitesse à l’infini amont.
XXIV
𝑉⃗⃗ 2 La vitesse à l’infini aval.
𝑤𝑥, 𝑤𝑦, 𝑤𝑧 Vecteurs de rotations instantanées suivantes x, y et z, [N]. . 𝑥𝑐, 𝑦𝑐, 𝑧𝑐 Coordonnée de centre de masse.
𝑇𝑑𝑟𝑜𝑡 Energie cinétique en rotation du disque.
𝑥̅, 𝑦̅, 𝑧̅ Coordonnées adimensionnées.
𝑁1, 𝑁2 Vecteurs des fonctions de forme. 𝑃̅ Pression adimensionnée.
𝑇𝑑𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 Energie cinétique en translation du disque.
𝑢̅, 𝑣̅, 𝑤̅ Déplacements adimensionnés. G Module de cisaillement. ℜe Nombre de Reynolds. S Nombre de Sommerfeld.
𝜗 Coefficient de Poisson. μ La viscosité de l’huile, [Ps.s]. ρ Masse volumique, [kg/m3]. σ Contrainte,[N.m-2]. ε L’excentricité relative.
ф L’angle de calage, [deg]. Frot ;F0 Fréquence de rotation,[Hz].
Liste des indices
a Arbre. b Balourd. c Critique. d Disque. tb Tourbillon d’huile.
Liste des symboles
XXV
FFT Transformée de fourrier (Fast Fourier Transform). RMS Root mean square.
MHI Mitsubishi havie industrie. C.S Acier en carbone.
DSP Densité spectrale de puissance. CAN Convertisseur analogique/numérique. NPSE Net Positive Suction Energy [J/kg].
dB Le décibel est une unité de grandeur sans dimension définie comme dix fois le logarithme décimal du rapport entre deux puissances.
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Introduction Générale
Dans de nombreux secteurs industriels et pétroliers, la surveillance des activités dans les machines tournantes est une tâche très complexe et nécessite beaucoup d’informations et de données intrinsèques, relatives au processus de fonctionnement. À l'origine, la surveillance visait à assurer la protection d'une machine en déclenchant automatiquement son arrêt ou en générant des alarmes avant que des dommages graves ne se produisent. En effet, le développement actuel des nouvelles technologies a permis l'amélioration des performances qui s'expriment à travers différents dispositifs, et qui contribuent à l'évolution des systèmes de surveillance et de contrôle des installations industrielles. Dans ce contexte, de nombreuses approches de surveillance des systèmes industriels sont développées pour la détection des pannes ou des anomalies de fonctionnement ainsi que pour le diagnostic des pannes.
A travers cette thèse, l’analyse vibratoire sera l’occasion de détecter les différents dysfonctionnements des paliers lisses et leurs évolutions dans le temps. Pour cette problématique, la solution envisagée consiste à établir un programme de surveillance et de maintenance préventive pour remédier aux défauts avant qu'ils n'atteignent le seuil critique.
La maintenance prédictive conduit à assurer la continuité de la production industrielle en contrôlant l’anticipation des conséquences des défauts et en ordonnant en temps opportun leur réparation afin qu’ils n’affectent pas le fonctionnement des machines tournantes.
Généralement, les turbocompresseurs sont soumis à des conditions de travail très difficiles. Ainsi, la maintenance doit être omniprésente à tous les niveaux et à tout moment;
La présente thèse est constituée de d’une introduction générale, de quatre chapitres et d’une conclusion générale.
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o Le premier chapitre est consacré à une étude bibliographique sur les rotors dynamiques reposant sur des paliers. Dans la littérature, une modélisation des rotors reposant sur des paliers lisses construite à partir de formulations mathématiques est proposée.
o Le deuxième chapitre est consacré aux paliers lisses (propriétés, classes,…) et à leur mode de fonctionnement. La problématique du frottement y est également exposée (la lubrification et les lubrifiants, le contact et l’usure, ….) ainsi que les solutions analytiques de l’équation de Reynolds.
o Dans le troisième chapitre, nous entamons l’étude des défauts des paliers lisses, notamment la classification des défauts. Cette partie a permis l’identification des défauts constatés dans les différentes applications.
o Le quatrième chapitre présente les résultats expérimentaux. Des études vibratoires sur les turbomachines y sont exposées. Ces études sont basées sur l’application des techniques de diagnostic vibratoire sur des cas réels autour des paliers lisses (paliers lissé montés sur des rotors de turbocompresseur, de turbine à vapeur, et de turbo-ventilateur).
Chapitre I:
Généralité sur les rotors
dynamiques
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I.1 Introduction
Les arbres ou les rotors sont définis comme étant tout élément tournant autour d’un axe fixe. Ils constituent les pièces maîtresses des machines tournantes dont le domaine d’applications industrielles est très vaste (machines outils, turbines, véhicules, turbocompresseurs, nucléaire, l’industrie pétrolière, etc.). Parmi leurs fonctions on peut citer la transmission de puissance ou la transformation de l’énergie mécanique en énergie électrique.
L’arbre d’un rotor peut être considéré en tant qu’un corps élastique continu avec des propriétés d’inertie et de masse réparties tout le long de sa longueur surtout dans le domaine de grandes vitesses. Pour cela des types variés de vibrations apparaissent dans ce système mécanique et souvent limitent les performances et mettent en danger la sécurité d’opération. L’analyse dynamique des corps continus en rotation s’impose donc car la connaissance précise du comportement vibratoire est indispensable pour assurer un bon fonctionnement.
I.2 Etat de l’art
La recherche sur rotor dynamique couvre au moins un 140 an d'histoire, en commençant par le papier de sur les mouvements tourbillonnants d'un rotor en 1869.
Rankine a discuté de la relation entre forces centrifuges et de rappel et conclu cette opération au-dessus d'une certaine vitesse de rotation est impossible [1].
Bien que cette conclusion soit fausse, son papier est important que la première publication sur rotor dynamique.
De Laval, ingénieur en Suède, a inventé une turbine à vapeur à un étage et a réussi dans son fonctionnement. Il a montré qu'il était possible de fonctionner au-dessus de la vitesse critique en fonctionnant à une vitesse de rotation d'environ sept fois la vitesse critique. Au début, la principale préoccupation des chercheurs et les concepteurs était de prédire la vitesse critique, parce que la première chose qui devait être fait dans la conception de machines tournantes était d’éviter la résonance.
Dunkerley (1894) a dérivé une formule empirique qui a donné la vitesse critique la plus basse pour un système multi rotor [2].
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Holzer (1921) a proposé une méthode approximative méthode pour calculer les fréquences naturelles et formes de mode de vibrations de torsion [3].
- La première théorie fondamentale enregistrée de rotor dynamique peut être trouvé dans un article écrit par JEFFCOTT, Henry Homan. (1919) [4].
- Un arbre avec un disque au milieu est appelé le Jeffcott rotor. - Il s’appelle aussi le rotor de Laval, nommé d'après Laval.
- Par la suite, le centre de recherche s'est déplacé de l'Europe aux États-Unis.
- Campbell (1924) [5], chez General Electrique étudié les vibrations des turbines à vapeur dans détail. Son diagramme, représentant la vitesse critique en relation avec les points de croisement de la nature courbes de fréquence et les lignes droites proportionnelle à la vitesse de rotation, est maintenant largement utilisé et appelé le Diagramme de Campbell.
- Comme la vitesse de rotation a augmenté au-dessus la première vitesse critique, l'apparition de vibrations auto-excitées est devenue un grave problème.
- NEWKIRK, Charles L. et SCOTT, Mcgowan (1924) [6] et KIMBALL JR, A. L (1924) [7], ont reconnu pour la première fois que le frottement des matériaux de l’arbre pourrait provoquer un mouvement tourbillonnaire instable.
- Ces phénomènes, dans lesquels les frictions qui amortit habituellement les vibrations, provoque des vibrations auto excitées, attire l’attention de nombreux chercheurs.
- NEWKIRK, B. L. et TAYLOR, H. D (1925) ont enquêté sur une vibration instable appelée huile fouet, qui était due à un film d'huile dans le journal roulements [8].
- NEWKIRK, Burt L (1926) a montré un tourbillon avant induit par un point chaud à la surface du rotor, qui a été généré par le contact du rotor et les environs [9].
- Cette instabilité de point chaud s'appelle le Newkirk effet.
- Environ une décennie plus tard, l’étude de l’asymétrie systèmes d'arbres et systèmes de rotors asymétriques a commencé.
- Lorsque ces différences de direction tournent avec l’arbre, les termes avec des coefficients variables dans le temps apparaissent dans équations régissant.
- Ces systèmes entrent donc dans la catégorie des systèmes à excitation paramétrique.
- La propriété la plus caractéristique d’asymétriques systèmes est l'apparition de vibrations instables certaines plages de vitesse de rotation.
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- Le rapport de SMITH, David Macleish (1933) est un travail de pionnier dans ce domaine [10]. - Divers phénomènes liés à la les asymétries des rotors ont été étudiées activement au milieu du vingtième siècle par TAYLOR, Jr William S. (1940) [11] et Foote, FOOTE, W. R., PORITSKY, H., et SLADE, J. J. (1943) [12], BROSENS, Pierre J. et CRANDALL, S. H. (1961) [13] et YAMAMOTO, Toshio et OTA (1963) [14], ET YAMAMOTO, Toshio et OTA, Hiroshi (1964) [15].
- Phénomènes non stationnaires en passage à travers les vitesses critiques ont été étudiés depuis Lewis a rapporté son enquête sur le rotor JEFFCOTT, H. H. dans 1932 [16].
-les rapports sur ce sujet sont classés en deux groupes:
Avec une accélération constante;
Avec un couple moteur limité.
- En raison de la complexité du problème numérique les intégrations ont été utilisées.
- La méthode asymptotique développée par la russe école de Krylov et Bogoliubov (1947) [17] et BOGOLYUBOV, N. N. et MITROPOL’SKII, Yu A. (1958) [18], considérablement stimulé la recherche sur ce sujet.
- Les vibrations des rotors avec en continu masse distribuée ont également été étudiés.
- Le modèle de rotor continu le plus simple correspondant à la poutre d'Euler a d'abord été étudié dans le livre de STODOLA, A. (1924) [19].
- Dans les années 1950 et 1960, BISHOP, R. E. D (1959) [20], BISHOP, R. E. D. et GLADWELL, G. M. L. (1959) [21] et BISHOP, Richard Evelyn Donohue et PARKINSON, Amie Gladys (1965) [22] a rapporté une série d'articles sur le déséquilibre réponse et l’équilibrage d’un rotor continu.
- ESHLEMAN, R. L. et EUBANKS, R. A (1969) [23] ont tiré davantage équations générales de mouvement compte tenu des effets de l'inertie rotative, de la déformation en cisaillement et moment gyroscopique.
- La procédure la plus importante et fondamentale pour réduire les vibrations défavorables est d'éliminer déséquilibre géométrique dans le rotor. Le balancement technique pour un rotor rigide a été établi relativement de bonne heure.
- Une machine à équilibrer pratique basée sur cette technique a été inventée par TAFEL, Julius et LAWACZECK, Paul en 1907 [24].
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- En 1934, THEARLE, Ernest L. Développa l'équilibrage à deux plans [25].
- L’arrivée des machines tournantes à grande vitesse a rendu nécessaire de développer une technique d’équilibrage rotors flexibles.
- Deux théories représentatives ont été proposées. L’une était la méthode d’équilibrage modal proposée dans dans les années 1950 par FEDERN, K. (1957) [26].
- L'autre était la méthode du coefficient d'influence proposé au début des années 1960 et développé principalement aux États-Unis seulement avec les progrès de des ordinateurs.
- GOODMAN, Thomas P. A (1964) a amélioré cette méthode en prenant dans les méthodes des moindres carrés [27].
- Dans la seconde moitié du vingtième siècle, divers les vibrations dues aux fluides ont été étudiées.
- HORI, Yukio (1959) a réussi à expliquer diverses raisons caractéristiques fondamentales du fouet à l'huile par enquêter sur la stabilité du mouvement de l'arbre et compte tenu des forces de pression dues aux pellicules d'huile [28].
- En 1964, ALFORD, Harvey E. et FRANKLIN, Veatch a signalé des accidents dus à phoques à labyrinthe [29].
- Un autre était une vibration auto-excitée appelée le tourbillon de vapeur. Le mécanisme de cette vibration dans turbines a été expliqué par THOMAS, H. J. (1958) [30] et que dans les compresseurs a été expliqué par ALFORD, J. S. (1965) [31].
- Comme les rotors sont devenus plus légers et leur fonctionnement opérationnel des vitesses plus élevées, l'apparition de non linéaire résonances telles que résonances subharmoniques est devenu un problème grave.
- Dans les années 1960, TONDL, A. (1965) a étudié la théorie non linéaire résonances dues aux pellicules d'huile dans les paliers de tourillon [32].
- EHRICH, Fredric F. (1966) a rapporté des effets subharmoniques résonances observées dans un gaz d'avion turbine avec paliers à amortisseur à film pressé [33].
- La cause de la forte non-linéarité dans les avions turbines à gaz est le jeu radial de paliers lisse d'amortisseur à film pressable.
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- EHRICH, Fredric F. (1988) [34] et EHRICH, F. F. (1991) [35] a ensuite rapporté que apparition de divers types de subharmoniques résonances jusqu'à un ordre très élevé et aussi vibrations chaotiques dans les moteurs pratiques.
- Dans la conception pratique des machines tournantes, il est nécessaire de connaître avec précision les naturelles fréquences, modes et réponses forcées à dans les systèmes de rotor en forme complexe.
- PROHL, M. A. A (1945) [36] a utilisé la méthode de la matrice de transfert pour l'analyse d'un système de rotor en élargissant la Méthode développée à l'origine par GLASSCO, R. B. et MYKLESTAD, N. O. (1944) [37].
- Cette méthode analytique est particulièrement utile pour systèmes multi rotors et se développent rapidement depuis les années 1960 grâce à la contribution de nombreux chercheurs tels LUND, J. Widebæk et ORCUTT, F. K. (1967) [38] et LUND, J. W. (1974) [39].
- La méthode des éléments finis a été la première développée dans la dynamique structurelle, puis utilisé dans divers domaines technologiques.
- La première application de l'élément fini méthode à un système de rotor a été faite par RUHL, Roland L. et BOOKER, J. F. (1972) [40].
- Ensuite, NELSON, H. D. et MCVAUGH, J. M. (1976) [41] généralisé en considérant l'inertie de rotation, moment gyroscopique et force axiale.
- À partir des années 1950, des fissures ont été trouvées dans les rotors de Turbines à vapeur. - Prévenir les accidents graves et développer un système de diagnostic de vibrations pour détecter les fissures, la recherche sur les vibrations des arbres fissurés a commencé.
- Dans les années 1970, GASCH, Robert. (1976) [42] et Henry et HENRY, M. A. et OKAH-AVAE, B. E. (1976) [43] ont étudié les vibrations, en donnant prise en compte de la non-linéarité de la rigidité due à mécanismes d'ouverture-fermeture.
-Ils ont montré qu’une région instable est apparue ou disparu à la vitesse critique majeure, en fonction de la direction du balourd. La recherche est encore en cours de développement et divers systèmes de surveillance ont été proposés.
De 15 Décembre 2013, SILANI, M., ZIAEI-RAD, S., et TALEBI, H; Ils ont publié un article sur Analyse vibratoire de système en rotation avec fissures ouvertes et respirantes; Ce document traite de l’analyse vibratoire de systèmes en rotation contenant des fissures. La matrice de
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flexibilité de l'élément fissuré est calculée avec des limites d'intégration modifiées, ce qui est plus précis que les méthodes conventionnelles. L’effet de cette modification sur la matrice de coefficients de flexibilité est présenté pour un système de rotor simple contenant une fissure ouverte. la réponse dynamique d’un rotor présentant une fissure respiratoire est évaluée en utilisant l’approche fréquence/temps (transformée de Fourier à temps court). La capacité de la transformée de Fourier à court terme à détecter les petites fissures est étudiée et comparée à la réponse transitoire. Les résultats fournissent une base possible pour un système de surveillance en ligne [44].
May 2013, RAMEZANPOUR, R., GHAYOUR, M., et ZIAEI-RAD, S; Ils ont publié un article sur Une nouvelle méthode de détection de fissure oblique dans les rotors basée sur la rotation dans les deux sens; Cet article présente une nouvelle façon de détecter les fissures de fatigue obliques dans les rotors, basée sur une discussion théorique. Ainsi, le comportement dynamique d’un système de rotor Jeffcott avec une fissure inclinée à mi-portée sous des orientations arbitraires est étudié. Tout d’abord, en utilisant les concepts de mécanique de la rupture, la matrice de flexibilité et ensuite la matrice de rigidité du système sont calculées. Une relation symétrique pour une matrice de rigidité globale est présentée et prouvée. [45].
Décembre 2008; KERMANPUR, A., AMIN, H. Sepehri, ZIAEI-RAD, S., et al. Failure ; Ils ont publié un article sur Analyse de défaillance des aubes de compresseur de turbine à gaz Ti6A14V; Le mécanisme de défaillance des aubes de compresseur Ti6Al4V d’une turbine à gaz industrielle a été analysé à la fois par des caractérisations expérimentales et par des techniques de simulation numérique. Plusieurs pannes prématurées sont survenues dans la section haute pression du compresseur en raison de la fracture des racines des aubes. [46].
- Les derniers sujets en rotor dynamique sont magnétiques paliers lisses qui supportent un rotor sans le toucher et contrôle actif.
I.3 Etude dynamique I.3.1 Machines tournantes
Les machines tournantes considèrent essentiellement les vibrations engendrées par des arbres supportés par paliers et affectés par divers effets parasites. Ces vibrations dépendent de la structure du mécanisme. Tout défaut de construction ou d'assemblage est susceptible
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d'aggraver ces vibrations ou d'altérer leur signature (comme on le voit dans les instabilités de certaines turbomachines). Les vibrations provoquées par un déséquilibre sont l'un des principaux sujets de la théorie des machines tournantes : elles doivent être prises en compte dès la phase de conception.
Lorsque la vitesse de rotation augmente, l’amplitude de vibration passe généralement par un maximum, qui caractérise la « pulsation critique. » Il existe en fait souvent plusieurs vitesses critiques successives, entre lesquelles l'amplitude des vibrations est beaucoup plus faible. Cette amplification provient fréquemment d'un déséquilibre des masses en rotation : cela se manifeste quotidiennement par la pratique de l'équilibrage des moteurs et des roues. L'amplitude critique peut avoir des conséquences catastrophiques.
Les machines tournantes jouent un rôle souvent stratégique dans un procédé de fabrication. Ce partie donne une explication générale sur les principaux défauts des machines tournante par l’analyse fréquentielle; de but pour voir les forces excessives appliqué sur les systèmes de machine et intégrer dans l’analyse (spectrale fréquentielle) [47].
I.3.1.1 Les liaisons dans les machines tournantes
Les rotors sont liés à la structure non rotative par des liaisons qui assurent le guidage du rotor. Les liaisons sont classées dans trois ensembles [48]:
Les liaisons à fluids,
Les liaisons à paliers lisses,
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Figure I.1 [48]: Elément générale des Machine tournante.
I.3.1.2 La structure
La structure non rotative comprend les éléments essentiels suivants:
Les coussinets: de faibles dimensions au droit des tourillons du rotor.
Les paliers: qui relient les coussinets au stator.
Le stator: ou enveloppe de la machine ; il contient des éléments essentiels : circuit magnétique dans les machines électriques, ailette pour les turbomachines…etc.
Le massif: des systèmes embraqués peut prendre des formes beaucoup plus variées que celles des systèmes terrestres dont les massifs sont liés aux radies. Une interface adapte le stator au massif. Cette adaptation exige de résoudre un problème qui relève de la suspension des machines dont peut dépendre la tranquillité vibratoire, spécialement celle de l’envenimement.
Le radier: est un élément spécifique aux systèmes terrestres. Il assure la liaison entre le massif et sols et a pour mission de diminuer les pressions exercées au sol dans des limites acceptables. C’est par lui que les séismes perturbent les machines tournantes ; il peut être responsable de certains délignages entre les paliers.
I.3.2 Caractéristiques des éléments du rotor
- La mise en équation commence par la détermination des caractéristiques des éléments du rotor. Il s'agit de déterminer les expressions des énergies ainsi que du travail virtuel correspondant aux éléments de base : disque, arbre, palier, balourd.
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- L’énergie de déformation caractérise l’arbre.
-Enfin, le travail virtuel des forces des paliers lisses sur le rotor.
-L’application des équations de Lagrange permet ensuite la détermination des équations du mouvement. 𝑑 𝑑𝑥( 𝜕𝑇 𝜕𝑞𝑖̇) − 𝜕𝑇 𝜕𝑞𝑖+ 𝜕𝑈 𝜕𝑞𝑖 = 𝐹𝑖 (I.1)
I.3.2.1 Les éléments de rotor
Les éléments de base d’un rotor sont: (voir Figure I. 1) Le disque, l’arbre, les paliers lisses et le balourd.
Figure 1.2 [48]: Eléments de base d’un rotor.
I.3.2.1.1 Le disque
Le disque est supposé rigide et donc caractérisé seulement par son énergie cinétique. La Figure I.2 présente les repères de référence utilisés dans l’étude du rotor. Le repère R0(XYZ) définit un
repère galiléen. R(xyz) est le repère lié au disque. Le système d’axes (xyz) est repéré par rapport à
XYZ par les trois angles d’Euler. et , Supposons que la position initiale du repère R(xyz) lié au disque, était confondue avec celle du repère R0(XYZ). Le passage à la position xyz, s’effectue
d’abord par une première rotation autour de l’axe Z suivie d’une rotation autour du nouvel axe x1; Enfin d’une dernière rotation de autour de l’axe y.
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Figure I.3 [48]: Repères liés au disque sur un arbre flexible en rotation.
Ainsi pour déterminer l’orientation du disque on effectue les rotations successives suivantes : - La précession ψ: rotation autour de l’axe (o,Z) qui fait passer de (o,X,Y,Z) à (o,x1,y1,Z) (voir
figure I.3.a).
- La nutation: rotation autour de l’axe (o,x1) qui fait passer de (o,x1,y1,Z) à (o,x1,y,z1) (voir figure
I.3.b).
- La rotation propre φ: rotation autour de l’axe (o,y) qui fait passer de (o,x1,y,z1) à (o,x,y,z) (voir
figure. I.3.c).
Figure I.4 [49]: Angles d’Euler.
(a) (b)
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Dans ces conditions, le vecteur rotation instantané du repère R(xyz) est donné par: 𝜔⃗⃗ 𝑅
𝑅0
⁄ = 𝜓̇Z + 𝜃̇x1 + 𝜑̇ y (I.2)
Où: Z, x1 et y sont des vecteurs unitaires liés aux axes (O,Z), (O,x1) et (O,y).
Ce dernier doit être exprimé dans le repère d’inertie du disque. Pour cela on détermine les expressions des vecteurs unitaires 𝑍 et 𝑋⃗⃗⃗⃗ en fonction des vecteurs unitaires du repère (o,x,y,z) à 1 l’aide des représentations données sur la figure I.2. Par projection on a :
𝑋⃗⃗⃗⃗ = 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑧 (I.3) 1
𝑍 = −𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑧 (I.4) Et
𝑍 = 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑧 1
= - 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑧 (I.5)
L’énergie cinétique du disque autour de son centre d’inertie O, supposé situer sur l’axe de l’arbre, est calculée dans le repère R(xyz). Dans ce repère, la vitesse angulaire du disque est donnée par: En substituant (I.3) et (I.5) dans (I.2), on aboutit à :
𝜔⃗⃗ 𝑅 𝑅 𝑅0 ⁄ = [ 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 ] = [ − 𝜓̇𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 + 𝜃̇𝑐𝑜𝑠𝜑 𝜑̇ + 𝜓̇ 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜓̇𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝜃̇𝑠𝑖𝑛𝜑 ] (I.6)
Dans le cas d’un régime stationnaire: 𝜑̇ = Cste = Ω
L’énergie cinétique de rotation du disque autour de son centre de masse est donnée par :
𝑇𝑑𝑟𝑜𝑡 = 1 2 𝐼𝑑𝑥 𝜔𝑥 2 + 1 2 𝐼𝑑𝑦 𝜔𝑦 2 + 1 2 𝐼𝑑𝑧 𝜔𝑧 2 = 1 2 𝐼𝑑𝑥2+ (− 𝜓̇𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 + 𝜃̇𝑐𝑜𝑠𝜑) 2 + 1 2 𝐼𝑑𝑦2 (Ω + 𝜓̇𝑠𝑖𝑛𝜃) 2 + 1 2 𝐼𝑑𝑧2 (− 𝜓̇𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 + 𝜃̇𝑐𝑜𝑠𝜑) 2 (I.7)
Où: Idx, Idy, Idz représentent les moments d’inertie du disque par rapport à ces axes principaux
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Comme les angles 𝜓 et θ sont petits, on peut faire les approximations cosθ≈1 et sinθ≈1, et cos𝜓 ≈1 et sin 𝜓 ≈1 et le terme 𝜓2̇ 𝑒𝑡 𝜃2̇ qui est d’un ordre élevé peut être négligé.
Soient u et w les coordonnées de O dans R0, la coordonnée suivant y est constante. La masse du
disque donnée par MD et son tenseur d’inertie en O avec xyz directions principales d’inertie.
Si sa densité volumique est ƿd, son rayon extérieur R son rayon intérieur r et son épaisseur h sa
masse MD sera donnée par:
MD = π (R2- r2) h ƿd (I.8)
Et: son tenseur d’inertie sera donnée par :
I / O = [ 𝐼𝑑𝑥 0 0 0 𝐼𝑑𝑦 0 0 0 𝐼𝑑𝑧 ] (I.9) Où: 𝐼𝑑𝑥 = 𝐼𝑑𝑧 = 𝑀𝐷 12(3r 2 + 3R2- h 2) (I.10) 𝐼𝑑𝑦 = 𝑀𝐷 12 (r 2 + R2) (I.11)
L’énergie cinétique du disque est dans ce cas donnée par:
TD = 1 2 MD (𝑢̇ 2 + 𝑤̇2) + 1 2 (IDx𝑤𝑥 2 + IDy𝑤𝑦2 + IDz𝑤𝑧2) (I.12)
Où: , et φ sont les angles d’orientation du repère lié au disque par rapport au repère fixe voir Figure I. 2.
L’expression de l’énergie cinétique peut être simplifiée. Les angles et sont petits. Dans ce cas, l’énergie cinétique du disque devient :
𝑇𝑑𝑟𝑜𝑡 = 1
2 IDx (̇
2 + 𝜃̇2) + 1
2 IDy (
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Pour le vecteur vitesse, on considère les coordonnées u et w du centre du disque suivant les axes (O,X) et (O,Z) du repère fixe R avec la coordonnée suivant (O,Y) constante. Avec sa masse égale à md, le disque a son énergie cinétique de translation donnée par :
TD = 𝑇𝑑𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 + 𝑇𝑑𝑟𝑜𝑡 𝑇𝑑𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = 1 2 MD (𝑢̇ 2 + 𝑤̇2) TD = 1 2 MD (𝑢̇ 2 + 𝑤̇2) + 1 2𝐼𝑑𝑥 (̇ 2 + 𝜃̇2) + 1 2𝐼𝑑𝑦 ( 2 + 2 ̇𝜃) (I.14) Le terme : 1
2 IDy ̇ 𝜃 représente l’effet gyroscopique (Coriolis).
Le terme : 1
2 IDy
2 est constant, et n’a donc pas d’influence dans les équations.
Pour identifier le disque, on peut adopter la géométrie illustrée par la figure I.4.
Figure I.5 [50]: Modèle du disque.
I.3.2.1.2 L’arbre
L’arbre est représenté par une poutre de section circulaire et caractérisé par l’énergie cinétique et l’énergie de déformation (voir figure IV.5).
Effet Coriolis Terme constant
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Figure I.6 [51]: Mouvement de l’arbre: Rotation & Tournoiement.
Pour l’énergie cinétique, la formulation peut être déduite par extension de l’énergie cinétique du disque en considérant une masse d’arbre infiniment mince d’épaisseur dY, de section droite Sa, de
masse volumique ƿa et de moment d’inertie diamétral « I ».
Pour cela, il suffit de prendre comme masse élémentaire: dMa = ƿaSa dy et comme inerties
principales dans le repère lié a l’élément:
dIdx = ∭ (𝑦2 2 (𝑀) + 𝑧 2) 𝑑𝑀 = (∬ 𝑧2 2 𝑑𝑆 (𝑆) ) ƿa dy = ƿa Idy (I.15) dIdy = ∭ (𝑥2 2 (𝑀) + 𝑧 2) 𝑑𝑀 = (∬ 𝑥2 𝑑𝑆 + ∬ 𝑧2 2 𝑑𝑆 (𝑆) 2 (𝑆) ) ƿa dy = 2ƿa Idy (I.16)
L’expression de l’énergie cinétique de l’arbre est une extension de l’expression de l’énergie cinétique du disque. Pour un élément de longueur L, l’énergie cinétique est donnée par:
Ts = 𝜌𝑆 2 ∫ (𝑢̇ 𝐿 0 2 + 𝑤̇2) dy +𝜌𝐼 2 ∫ (̇ 𝐿 0 2 + 𝑤̇2) dy +ƿ I L 2 +2 𝜌𝐼 ∫𝐿̇ 0 θdy
(I.17)
L’énergie de déformation de l’arbre se calcule à partir de la déformation d’un point de la section droite de l’arbre.
Effet Gyroscopique Terme constant
Rotation Translation
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Considérons le point C comme centre géométrique de la section transversale de l’arbre et A(x,z) un point générique de cette section; ɛ et σ représentent successivement la déformation et la contrainte suivant l’axe de l’arbre, et u* et w* et les déplacements du centre géométrique de
l’arbre par rapport au repère R’(x,y,z) (voir fig. I.4), le déplacement suivant l’axe y étant supposé négligeable.
La déformation en flexion du point A de l’arbre est:
ε = ε1 + εnI (I.18) Avec: La déformation linéaire: ε1 = - x 𝜕2𝑢∗ 𝜕𝑦2 - z 𝜕2𝑤∗ 𝜕𝑦2
(I.19)
La déformation non linéaire : εnI = 1 2( 𝜕𝑢∗ 𝜕𝑦 ) 2 + 1 2( 𝜕𝑤∗ 𝜕𝑦 ) 2
(I.20)
L’énergie de déformation est donnée par :
Us = = 1
2∫ (𝜀
𝐿
𝜏
t σdτ) (I.21)
Compte tenu de la loi de Hooke: E
E : module de Young
, : Déformation et contrainte suivant l’axe de l’arbre
- qui donne la relation entre les contraintes et les déformations, on a:
Us = 𝐸 2 ∫ ( 𝐿 𝜏 𝜀𝐼 2 + 2𝜀 1𝜀𝑛𝐼+ 𝜀𝑛𝐼2 ) dτ (I.22)
A cause de symétrie de l’arbre par rapport aux axes x et z :
∫ (𝜏𝐿 𝜀1𝜀𝑛𝐼) dτ = 0 (I.23)
Le troisième terme de l’intégrale (I.22) est un terme de second ordre et sera négligé. En utilisant (I.19), l’énergie de déformation s’écrit:
Page 16 Us = 𝐸 2∫ [− 𝑥 𝜕2𝑢∗ 𝜕𝑦2 − 𝑧 𝜕2𝑤∗ 𝜕𝑦2] 𝐿 𝜏 dτ
(I.24) Us = 𝐸 2∫ ∫ [ 𝑥 2 (𝜕2𝑢∗ 𝜕𝑦2)2 − 𝑥2 ( 𝜕2𝑤∗ 𝜕𝑦2)2+ 2𝑥𝑧 𝜕2𝑢∗ 𝜕𝑦2 𝜕2𝑤∗ 𝜕𝑦2 ] 𝐿 (𝑆) 𝐿 0 ds dy
(I.25)
Le troisième terme de l’intégrale est nul par suite de la symétrie de la section, d’où:
Us = 𝐸 2∫ ∫ [ 𝑥 2 (𝜕2𝑢∗ 𝜕𝑦2) 2+ 𝑧2 (𝜕2𝑤∗ 𝜕𝑦2) 2 ] 𝐿 (𝑆) 𝐿 0 ds dy (I.26)
En introduisant les inerties diamétrales de la section:
Ix = ∬ 𝑧2 𝑑𝑆 2 (𝑆) (I.27) Iz = ∬ 𝑥2 𝑑𝑆 2 (𝑆) (I.28)
L’énergie de déformation a donc pour expression:
Us = 𝐸 2∫ [( IZ ( 𝜕2𝑢∗ 𝜕𝑦2) 2+ I x ( 𝜕2𝑤∗ 𝜕𝑦2) 2)] 𝐿 0 dy (I.29)
Pour exprimer l’énergie de déformation dans le repère fixe (o,X,Y,Z) , on utilise les relations qui expriment 𝑢∗ et 𝑤∗ en fonction de u et w (voir figure. I.7), soient :
𝑢∗ = u cos Ωt – w sin Ωt (I.30) 𝜔∗ = u sin Ωt + w cos Ωt (I.31)
Comme on a pour le cas de l’arbre symétrique Ix = Ix = I, l’énergie de déformation s’écrit [52]:
Us = 𝐸𝐼 2 ∫ [((cos Ωt 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2− sin 𝛺𝑡 𝜕2𝑤 𝜕𝑦2) 2 + (sin Ωt 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2+cos 𝛺𝑡 𝜕2𝑤 𝜕𝑦2) )] 𝐿 0 (I.32)