Régularisation,approximationetrésolutionduproblèmedeschargeslimites B.M

P UBLICATIONS MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUES DE R ^ENNES

B. M ^ERCIER

Régularisation, approximation et résolution du problème des charges limites

Publications des séminaires de mathématiques et informatique de Rennes, 1976, fasci- cule S5

« Journées « éléments finis » », , p. 1-30

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DU PROBLÈME DES CHARGES LIMITES

B. MERCIER AvfUl 1976

Ecole. Polytechnique. - CENTRE VE MATHEMATIQUES APPLIQUEES Route, de, Saclay - 91120 PALAISEAU (F/Lance)

O n d é f i n i t le p r o b l è m e d e s c h a r g e s l i m i t e s d a n s u n c a d r e g é n é r a l . O n i n t r o d u i t u n p r o b l è m e p é n a l i s é , q u i a p p a r a i t c o m m e le p r o b l è m e v i s c o - p l a s t i q u e a s s o c i é .

L e d u a l d e c e p r o b l è m e e s t u n p r o b l è m e a u x v i t e s s e s , d o n t l a r é s o l u t i o n d o n n e u n m o y e n d e d é t e r m i n a t i o n d e s c h a r g e s l i m i t e s .

O n d o n n e u n p r o c é d é d ' a p p r o x i m a t i o n p a r é l é m e n t s f i n i s pour de t e l s p r o b l è m e s , et u n r é s u l t a t d e c o n v e r g e n c e . O n i n d i q u e , e n f i n , u n a l g o r i t h m e d e r é s o l u t i o n .

ABSTRACT

W e c o n s i d e r a p e r f e c t l y p l a s t i c s t r u c t u r e s u b j e c t e d to a load L . W e w i s h to d e t e r m i n e w h e t h e r t h e load L is a d m i s s i b l e , i.e. w h e t h e r the set of p l a s t i c a l l y s t r e s s f i e l d s , w h i c h e q u i l i b r a t e the load L , is n o n empty.

W e s h o w that t h i s p r o b l e m is e q u i v a l e n t to that of f i n d i n g w h e t h e r the s o l u t i o n of B i n g h a m p r o b l e m is e x a c t l y e q u a l to z e r o . T h e i n t e r e s t of t h i s r e m a r k is that this B i n g h a m p r o b l e m is r e g u l a r and easy to solve n u m e r i c a l l y .

T h e n , w e g i v e a c o n v e r g e n c e r e s u l t and some error e s t i m a t e s for the d e t e r m i n a t i o n of the set o f a d m i s s i b l e l o a d s , w h e n the v e l o c i t i e s are a p p r o x i m a t e d b y s p e c i a l p i e c e w i s e l i n e a r f i n i t e e l e m e n t s , and w e give some n u m e r i c a l r e s u l t s .

- 1 -

INTRODUCTION

O n s ' i n t é r e s s e à u n p r o b l è m e d ' e x i s t e n c e de s o l u t i o n s e n p l a s t i c i t é p a r f a i t e . E t a n t d o n n é e u n e c h a r g e L p o u r u n m i l i e u c o n t i n u , e x i s t e - t - i l u n c h a m p d e c o n t r a i n t e s O p l a s t i q u e m e n t a d m i s s i b l e , et q u i soit e n é q u i l i b r e p o u r la c h a r g e L ( s t a t i q u e m e n t a d m i s s i b l e ) ? [ 1 9 ] .

D a n s l ' a f f i r m a t i v e , o n d i r a q u ' u n e telle charge est CLdmAJxSZbZe., et s i n o n , e x c e s s i v e . L e p r o b l è m e d e s c h a r g e s l i m i t e s est d e d é t e r m i n e r l ' e n s e m b l e C d e s c h a r g e s a d m i s s i b l e s [ 1 0 ] .

O n v a m o n t r e r q u e la r é s o l u t i o n du d u a l d u p r o b l è m e i n i t i a l , p é n a l i s é d a n s u n c e r t a i n s e n s , (qui n'est a u t r e q u ' u n p r o b l è m e d e f l u i d e s d e B i n g h a m , si le c r i t è r e d e p l a s t i c i t é est c e l u i d e V o n îîisès) p e r m e t d e d o n n e r d e s i n d i c a t i o n s sur cet e n s e m b l e et d e le d é t e r m i n e r d e m a n i è r e a s s e z p r é c i s e .

O n d o n n e u n r é s u l t a t d ' e x i s t e n c e dawi> te. caA où le. cxLte.h.e. de.

pÙUtlcÂte, ne. potvtz que. &uA le. de.vlcute.uA (ce qui est le c a s p o u r le c r i t è r e d e V o n M i s é s ) . Il a p p p a r a î t , a l o r s , q u e le p r o b l è m e dual e s t s o u m i s à u n e c o n t r a i n t e d e d i v e r g e n c e n u l l e .

O n m o n t r e , d a n s u n c a d r e d ' a p p r o x i m a t i o n i n t e r n e , u n r é s u l t a t d e c o n v e r g e n c e d e v e r s C , o ù est l'ensemble d e s c h a r g e s a d m i s s i b l e s du p r o b l è m e a p p r o c h é , et u n r é s u l t a t d ' e s t i m a t i o n d ' e r r e u r .

O n i n t r o d u i t , e n s u i t e , u n é l é m e n t fini Pi à d i v e r g e n c e n u l l e , q u i est b i e n a d a p t é à c e t y p e d e p r o b l è m e s .

P o u r c e t é l é m e n t , o n o b t i e n t u n e e s t i m a t i o n d ' e r r e u r e n 0(Vh) p o u r la d i s t a n c e e n t r e C et C ^ , d a n s le c a s d ' u n ^ m a ^ l l a g e u n i f o r m e .

e s t u n e a p p r o x i m a t i o n de C p a r l ' e x t é r i e u r , c ' e s t - à - d i r e q u e Ch => C , V h .

O n d o n n e , e n f i n , q u e l q u e s r é s u l t a t s n u m é r i q u e s , a n n o n c é s d a n s [ 1 6 ] .

- 2

PLAN

1 - P o s i t i o n d u p r o b l è m e .

2 - R é g u l a r i s a t i o n et d u a l i t é .

3 - C a s d ' u n c r i t è r e d e p l a s t i c i t é n e p o r t a n t q u e sur le d é v i a t e u r .

4 - C a r a c t è r i s a t i o n d e s c h a r g e s a d m i s s i b l e s .

5 - A p p r o x i m a t i o n .

6 - E s t i m a t i o n d ' e r r e u r .

7 - R é s u l t a t s n u m é r i q u e s .

F i g u r e 1 : M i l i e u c o n t i n u Çl

(1.1)

1 - POSITION DU PROBLEME.

C o n s i d é r o n s u n m i l i e u c o n t i n u o c c u p a n t u n d o m a i n e Çl a /R^ ( F i g . 1 ) . O n s u p p o s e q u ' i l e s t s o u m i s à d e s f o r c e s d e m a s s e f^ et à d e s f o r c e s d e

s u r f a c e F . sur u n e p a r t i e r_ d e sa f r o n t i è r e . Sur l'autre p a r t i e T .

î t U o n s u p p o s e q u ' i l e s t f i x é .

L e t e n s e u r d e s c o n t r a i n t e s d o i t ê t r e e n é q u i l i b r e :

M do. .

£ — + f. = 0 d a n s Q , p o u r i = 1,..., N ;

j = l 3 x , 1

I a . . n . sur rp , p o u r i = 1,..., N ,

o ù (ⁿi ) j < £ ^^N d é s i g n e n t les c o m p o s a n t e s d u v e c t e u r n o r m a l à la f r o n t i è r e d e Q ( d i r i g é e x t é r i e u r e m e n t ) .

I n t r o d u i s o n s l e s e s p a c e s f o n c t i o n n e l s :

V = J v G ( H1( f ì ) )N I v = 0 sur J ;

Y

= {

I

i j

^ ) i

i j =

j i

i »

= w - - - .

}

V s e r a l ' e s p a c e d e s c h a m p s de v i t e s s e s , et Y sera l ' e s p a c e d e s champs d e c o n t r a i n t e s s y m é t r i q u e s .

O n d é f i n i t l ' o p é r a t e u r d e s t a u x d e d é f o r m a t i o n :

V -+ Y

v ~ e ( v ) a v e c (v) = y

/ 8 v . 9 v . x

( — + — 1 ) »

v 8 x . 3 x . ' 3 i

1 < i < N ; 1 < j < N

O n m u n i t Y d u p r o d u i t s c a l a i r e f N

(

I

x

et o n n o t e II . Il la n o r m e a s s o c i é e . O n n o t e e n f i n II v II = Il £ (v)ll la n o r m e d e V , q u i e s t b i e n u n e n o r m e sur V , d ' a p r è s l ' i n é g a l i t é de K o r n [ 6 ] .

O n a p p e l l e choJige. L , l'élément d e V (dual d e V ) , tel que la p u i s s a n c e d e s f o r c e s e x t é r i e u r e s p o u r u n champ d e v i t e s s e s v G V soit

( 1 . 2 ) L ( v ) =

J

ft

THEOREME 1.1 : (des ''puissances v i r t u e l l e s " ) . Soit

M ( L ) = | T €E Y | ( T , e(v)) = L ( v ) , V v e V j ,

on a l1 équivalence :

O en équilibre (ou (1.1) vérifié) o G M ( L ) .

D é m o n s t r a t i o n : C'est u n e c o n s é q u e n c e i m m é d i a t e de la f o r m u l e de G r e e n [ 6 ]

(1.3) ( a , e(v)) = I a . , n v d y - I

—±±

r J i,j = l ^{1J J 1} . £ i,j = l ^9xJ

O n v é r i f i e q u e M ( L ) est u n e v a r i é t é l i n é a i r e a f f i n e fermée de Y .

C r i t è r e d e p l a s t i c i t é : O n d i r a q u e a est plcu>£Lqueme.nt admit*bible, si

( 1 . 4 ) a e K = | T € Y | f (T ) < 0 p . p . | ,

où f est u n e f o n c t i o n c o n v e x e de /RN -> /R , a p p e l é e CAltene. de. plasticité.

- 5 -

E x e m p l e : C r i t è r e d e V o n M i s e s : O n a

( 1. 5 ) f ( a ) « | a ° | - g o ù QD est le d é v i a t e u r d e O :

D 1 / ^ \

( 1 - 6 ) a „ = - — ^ I ak k J Ôi j ^ i j tenseur de K r o n e c k e r ) et

/ N 2

| T| = v I T . . T . . est la n o r m e e u c l i d i e n n e de /R . •

i.j-1 1J J

DEFINITION : On dira que L est charge admissible si et seulement si K H M ( L ) *

P ,

et excessive dans le cas contraire.

L e p r o b l è m e d e s c h a r g e s l i m i t e s est donc d e d é t e r m i n e r l ' e n s e m b l e C d e s c h a r g e s a d m i s s i b l e s .

R e m a r q u o n s q u e , p l u s g é n é r a l e m e n t , o n p o u r r a i t c h e r c h e r à savoir si K O M ( L ) 0 d a n s d ' a u t r e s s i t u a t i o n s , où V et Y s e r a i e n t d i f f é r e n t s , a i n s i q u e l ' o p é r a t e u r e : c'est le c a s , p a r e x e m p l e , pour l e s plaqua.

LE MME 1.1 : C est convexe. [ 1 9 ] .

E n e f f e t , s o i e n t Li et L2 d e u x c h a r g e s a d m i s s i b l e s , a l o r s 3 O j , a2

a v e c

ai e K n M(Li) et a² e K n M ( L²) ;

v i s i b l e m e n t , K é t a n t c o n v e x e ,

a ai + (1-a) a2 e K n M(a Li + (1-a) L2) pour a £ [ 0, 1 ] ,

et d o n c a Li + ( 1- a ) L2 e s t admU>6iblo.. •

- 6 -

2 - RÉGULARISATION ET D U A L I T É ,

O n v a d é d u i r e d e s c o n s é q u e n c e s i m p o r t a n t e s de la r e m a r q u e suivante C o n s i d é r o n s le p r o b l è m e (pour y > 0 )

(P) sup - ±- l l a - P ( a ) l l2 ,

O G M ( L ) ^

où P d é s i g n e l ' o p é r a t e u r d e p r o j e c t i o n sur K. L a q u a n t i t é II a - P ( a ) l l

K K est é v i d e m m e n t la d i s t a n c e d e a au c o n v e x e K, et le p r o b l è m e (P) e s t ,

e n q u e l q u e s o r t e , le pfal&LLbQ. d u p r o b l è m e d e s c h a r g e s l i m i t e s . O n r e m a r q u e a l o r s q u e

L c h a r g e a d m i s s i b l e <=> 3 O s o l u t i o n d e (P) et sup (P) = 0 .

O n n e sait p a s , en g é n é r a l , si le p r o b l è m e (P) admet une s o l u t i o n , à moZriA que. K ne. hoiX. botinê., a u q u e l c a s (P) est v i s i b l e m e n t c o e r c i f .

O n v a é v a l u e r le p r o b l è m e d u a l d e (P) :

THEOREME 2.1 : Le problème dual de (P) est-:

(P*) Inf u l l e ( v ) l l2 + j „ ( e ( v ) ) - L ( v ) ,

v G V K

où jv est la fonction d'appui du convexe K : j „ ( e ) = sup (e, T ) . Il admet

K K T G K

toujours une solution que l'on appellera u .

D é m o n s t r a t i o n : O n r e m a r q u e , tout d ' a b o r d , q u e

r 0 si a e M ( L ) Inf [ ( a , e(v)) - L ( v ) ] = i

v ^ V *• - a> s i n o n .

(P) p e u t d o n c s ' é c r i r e

sup Inf [ - -~ Ha - P . . ( a ) l l2 + ( a , e(v)) - L ( v ) ]

L e p r o b l è m e d u a l est d o n c :

Inf sup [ - -¿7 Ha - Р Л а ) П2 + ( a , e(v)) - L ( v ) ]

vev a e y *y K

РоаЛ explLoUJieÂ. ce p r o b l è m e , o n r e m a r q u e que

На - Р „ ( а ) ] |2 = Inf На - eli 2 .

D o n c

( 2 . 1 ) sup [- j - На - Р „ ( а) 1 !2+ ( а , ' e(v))l = sup sup [ (a, e (v)) - j - Il a - e II 2 ]

sup sup [ ( a , e(v)) - j - Ha - e I I2] .

é € к a £ Y ^y

E n p e r m u t a n t l e s d e u x " s u p " , ce qui est t o u j o u r s l i c i t e ; le " s u p " en a est a t t e i n t p o u r a = e + 2 y e ( v ) , et v a u t

(e + 2y e ( v ) , e( v ) ) - Il 2y e( v) l l2 = (e, e( v ) ) + y II e( v) l l2 ,

d ' o ù , f i n a l e m e n t , la v a l e u r d e l ' e x p r e s s i o n (2.1) :

y lle(v)ll2 + sup (e, e(v)) = y l l e ( v ) l l2+ j „ ( e ( v ) ) ,

e G K K

pa/i de.ilyUJU.on de. la ^oncUUon d'appuU j ^ d u c o n v e x e K, d ' o ù le r é s u l t a t .

L ' e x i s t e n c e d e la s o l u t i o n u est e n f i n u n e c o n s é q u e n c e d u f a i t q u e lle(v)ll e s t u n e n o r m e sur V. •

R e m a r q u e s :

1) C e r é s u l t a t est très g é n é r a l , et n e d é p e n d p a s d u choix p a r t i c u l i e r q u e l'on a fait d e l ' o p é r a t e u r e .

2 ) I n d i q u o n s , b r i è v e m e n t , la d é p e n d a n c e d e u en y ( y apparaît comme u n e v i s c o s i t é ) .

A p p e l o n s , m o m e n t a n é m e n t , u ^ la s o l u t i o n du p r o b l è m e (P*) pour i n d i q u e r q u ' e l l e d é p e n d de y ; u ^ est s o l u t i o n de l ' i n é q u a t i o n v a r i a t i o n n e l l e

(2.2) y( e( u ) , e( v ) - e( u )) + j„ ( e( v ) ) - JK( e( u )) + L ( v - u ) > 0 , V v e V.

У У к- к y y

M u l t i p l i o n s (2.2) par y ( > 0 ) , j ^ étant p o s i t i v e m e n t h o m o g è n e de degré 1, et V é t a n t u n e s p a c e v e c t o r i e l , on a

(e(y.u ),e(v) - e ( y . u )) + j ( e( v ) ) - j ( e ( y. u )) + L ( v - y . u ) > 0 , V v e V , У У У y

q u i m o n t r e que

Р . ир = u ,

s o l u t i o n du p r o b l è m e (P*) où la v i s c o s i t é e s t p r i s e é g a l e à 1.

3) L e fait d ' a v o i r p é n a l i s é le p r o b l è m e (P) a p p a r a î t comme une

tâgulaSLUcutLon

COROLLAIRE 2.1 : Si (P) admet une solution a³ alors o et u sont liés par la relation d*extrêmalité

(2.3) e (u) = ± ( a - PR( a ) ) .

D é m o n s t r a t i o n : L a r e l a t i o n d ' e x t r ê m a l i t é [7] e x p r i m e q u e e ( u ) a p p a r t i e n t au s o u s - g r a d i e n t de la f o n c t i o n n e l l e y- lia - P „ ( a ) | | 2 . Or cette f o n c t i o n n e l l e est d i f f é r e n t i a b l e et son g r a d i e n t v a u t — ( a - P ( a ) ) . •

2y K

- 9 -

R e m a r q u e : O n p e u t se s e r v i r d e s r é s u l t a t s q u i p r é c è d e n t p o u r d é m o n t r e r c e r t a i n s r é s u l t a t s c l a s s i q u e s d e la t h é o r i e d e s c h a r g e s l i m i t e s :

PROPOSITION 2.2 : Dire que L est charge excessive équivaut à

(2.4) 3 v0 e v avec jR( e ( v o ) ) < L ( v0) .

D é m o n s t r a t i o n : L e t h é o r è m e 2.1 m o n t r e q u e

inf [ y l l e( v ) Il 2 + j„ ( e( v ) ) - L ( v ) ] = sup [- -777 II a - ?<o) Il2] .

P a r a i l l e u r s , o n a t r i v i a l e m e n t l ' i n é g a l i t é

y lle(v)ll 2 + JK( e ( v ) ) - L ( v ) > JK( e ( v ) ) - L ( v ) ,

d ' o ù

(2.5) s u p [--^ \\O - P__(o) Il 2 ] > inf [ j „ ( e ( v ) ) - L ( v ) ] .

o G M ( L ) Ay * v e v *

Si (comme o n le f a i t d a n s la s u i t e ) o n a p r o u v é que le sup en O est. a t t e i n t ( e x i s t e n c e d ' u n e s o l u t i o n p o u r (P) ) , a l o r s L , c h a r g e e x c e s s i v e , e n t r a î n e q u e c e s u p e s t n é g a t i f , d ' o ù ( 2 . 4 ) .

R é c i p r o q u e m e n t , s u p p o s o n s ( 2 . 4 ) v é r i f i é ; a l o r s , o n c h o i s i t

JK( e ( v0) ) - L ( v )

0 < u0 < — ;

lle(v0)ll2

o n a , a l o r s ,

y0 H e( v o) H 2 + JK( e ( v o ) ) - L ( v0) < 0 ,

ce q u i p r o u v e q u e l a s o l u t i o n d u p r o b l è m e ( P y0) c o r r e s p o n d a n t e s t d i f f é r e n t e d e 0 , d o n c q u e L e s t c h a r g e e x c e s s i v e .

- 10 -

3 - C A S D ' U N C R I T È R E DE P L A S T I C I T É NE PORTANT GUE SUR LE Dl'iVI ATEUR.

O n v a e n v i s a g e r ici le c a s o ù le c r i t è r e d e p l a s t i c i t é n e porte q u e s u r le d é v i a t e u r . O n s u p p o s e q u e

(3.1) f( T ) = < P( TD) ( T D d é f i n i e n (1.6))

N2

où tp : IR -+ R est u n e f o n c t i o n c o n v e x e telle q u e (3.2) { e e Rw |tp(e) < 0 } soit b o r n e

(c'est le c a s p o u t le c r i t è r e d e V o n M i s e s , et a u s s i de T r e s c a ) . E v i d e m m e n t , le c o n v e x e K l u i - m ê m e n ' e s t p a s b o r n é , c a r le d é v i a t e u r est i n v a r i a n t p a r l ' a d d i t i o n d ' u n e p r e s s i o n a r b i t r a i r e :

(Ti j + P Ôi j)D ^ Ti j » V P G » P-P'

L ' e x i s t e n c e d ' u n e s o l u t i o n p o u r le p r o b l è m e [P] n ' e s t p l u s iinmédiate

^ o m m e d a n s le c a s o ù K est b o r n é . O n v a m o n t r e r le

THEOREME 3.1 : Si Q est assez régulier, alors, sous les hypothèses (3.1) et (3.2), le problème (P) admet une au moins une solution a .

C e r é s u l t a t s ' a p p u i e sur l e s d e u x l e m m e s s u i v a n t s :

LEMME 3.1 : Si SI est un ouvert à frontière Lipschitz, alors, on a la majoration

( 3 . 3 ) |p| < C |grad p | .

L2( Œ ) / / R (H (Œ))

D é m o n s t r a t i o n : D a n s le c a s o ù 9, est r é g u l i e r , o n se r é f è r e à M A G E N E S - S T A M P A C C H I A [ 1 5 ] , et d a n s le c a s g é n é r a l , à B O L L E Y - C A M U S [ 3 ] .

I

LEMME g. 2 : Soit (R) la relation d'équivalence sur Y ;

(R) : T ~ a < = » 3 C £ | R avec т . . » а . . + С О . . p . p .

Si fi est "Lipschitz"л et si

n Э а . . ( 3 . 4 ) I - — J - + f.

. . Э х . ì

J = l J alors, on a la majoration

( 3 . 5 ) | o | < С (1 + | а D| ) .

Y / R Y

D e m o n s t r a t i o n : P o s o n s

Эа. .

( 3 . 6 ) С . = f. - I -r^J- p o u r l < i < N ; X 1 . / . d X .

J

( 3 . 7 ) b . . = a .1? . p o u r 1 < i < N - l , 1 < j < N

I J i l , j ' J

L a d é r i v a t i o n d e s d i s t r i b u t i o n s étant c o n t i n u e de L2(fi) d a n s H _ 1 (fi) , o n a

| c | < c ( i + | aD| )

1 H (fi) Y

(en e f f e t , les é l é m e n t s h o r s - d i a g o n a l e de O et a ° sont é g a u x ) , et

| b . . | < C | aD| .

1J H^-1 (fi) Y

O r , il r é s u l t e d e ( 1 . 6 ) , ( 3 . 4 ) , ( 3 . 6 ) , ( 3 . 7 ) , q u e les N² q u a n t i t é s Э х . . J 1 < i < N , 1 < j < N , sont s o l u t i o n s d u s y s t è m e l i n é a i r e (dans H (fi))

— " * С . 1 < i < N ;

Э x . i

Эа N Эа

Ce s y s t è m e d e N2 é q u a t i o n s à N2 i n c o n n u e s est i n v e r s i b l e (comme o n peut le v é r i f i e r p o u r N = 2 o u 3 ), o n a a i n s i

|grad a | < c (1 + | aD| ) .

H "1 (fi) Y

E n a p p l i q u a n t a l o r s le lemme 3 . 1 à c h a c u n d e s a ^ , o n o b t i e n t la m a j o r a t i o n a n n o n c é e . •

D é m o n s t r a t i o n d u t h é o r è m e 3 . 1 : O n a p p l i q u e , d ' a b o r d , le t h é o r è m e 1 . 1 . L e lemme 3 . 2 m o n t r e , e n s u i t e , la c o e r c i v i t é d u p r o b l è m e (P) sur Y / R , e t , p a r c o n s é q u e n t , l ' e x i s t e n c e d ' u n e s o l u t i o n a , d o n t la t r a c e ( p r e s s i o n ) sera d é f i n i e à u n e c o n s t a n t e a d d i t i v e p r è s , si T = 0 . Si T est d e m e s u r e

N F

n o n n u l l e , la c o n d i t i o n a u x l i m i t e s Z a .. n . = F. sur r_ , f i x e la j-i ^{13 J 1}

c o n s t a n t e . •

R e m a r q u e s :

1) Condution d*'sLncomptiQAAZbiJUste..

D a n s l e c a s , o ù l'on s'est p l a c é , d ' u n c r i t è r e d e p l a s t i c i t é ne d é p e n d a n t q u e d u d é v i a t e u r , o n v o i t q u e

j (e) = sup (т, e )

* т е к

D ^N

= sup (т , e ) + sup (p, I e ) . Ф ( Т^ ) < 0 p G L²( f i ) k=l

E n e f f e t , si т ° G K, a l o r s т P. + p ô. • G К a u s s i .

O n v o i t q u e le p r e m i e r t e r m e est b o r n é d ' a p r è s ( 3 . 2 ) , m a i s que le second t e r m e n ' e s t a u t r e q u e la f o n c t i o n i n d i c a t r i c e du s o u s - e s p a c e des t e n s e u r s à t r a c e n u l l e

N

Yx = { e G Y | I e = 0 } .

k = l

O n v o i t d o n c q u e le p r o b l è m e (P*) est e n fait u n p r o b l è m e a v e c c o n t r a i n t e de d e d i v e r g e n c e nul le .

2 ) CoA du eMteni de. Mon Miôê-A.

O n p e u t p a r t i c u l a r i s e r le c a l c u l p r é c é d e n t au c r i t è r e d e V o n M i s é s . O n o b t i e n t a l o r s :

JK( e ) « g j |e| d X + Tpx(e)

i

f

• 0 si e e Yj ll»i(e)

-0 0 s i n o n .

est la f o n c t i o n i n d i c a t r i c e d e Yi .

L e p r o b l è m e [?*) a p p a r a î t , a l o r s , comme u n problème, de, Bingham htatlonnaJjie, [ 1 2 ] [ 6 ] (sans t e r m e s d ' a c c é l é r a t i o n ) .

L e p r o b l è m e (P) s ' é c r i r a i t ([16]) :

sup - > ,|(|GD | g)+„ 2 F

0 € M ( L ) y

et la r e l a t i o n d ' e x t r è m a l i t é (2.3) a p p a r a î t , a l o r s , comme la l o i de, Q,ompohXeme.nt d u f l u i d e d e B i n g h a m .

e( v )

(

0 òl | aD| < g

2y J - r j j ) ^ n ûn - "

- 14 -

4 - CARACTÉRISATION DES CHARGES A D M I S S I B L E S .

O n se p l a c e d a n s u n c a s o ù le p r o b l è m e (P) a d m e t a u m o i n s une s o l u t i o n , V L G V ' (c'est le c a s d a n s la s i t u a t i o n du p a r a g r a p h e p r é c é d e n t , o u si K est b o r n é ) .

P o u r u n e c h a r g e L £ V , o n n o t e et u les s o l u t i o n s d e s p r o b l è m e s (P) et (P*) a s s o c i é s ( p e u t n e p a s ê t r e u n i q u e ) .

THEOREME 4.1 : On a la suite d'équivalences ;

L ctiange, admissible. ( L ^ C ) <=> g K <=> u ^ = 0.

D é m o n s t r a t i o n : M o n t r o n s la p r o p r i é t é a l l e r .

Si L est c h a r g e a d m i s s i b l e , a l o r s 3 O I € K fl M( L ) . O n a a l o r s

Oi = P ( O I ) et 0i e s t u n e s o l u t i o n de ( P ) , K

car

or

__!_ IL rr T) fn ML 2

4P Il o¹-?v(oi)\\ = 0 et a i £ M ( L ) ;

II o - PK( a ) Il 2 < 0 , V a .

aLG K.

D o n c , t o u t e s o l u t i o n a d e (P) v é r i f i e G - P (o ) = 0, d o n c L L K L

L a r e l a t i o n d ' e x t r è m a l i t é (2.3) m o n t r e , a l o r s , q u e e(uL) = 0, et l ' i n é g a l i t é d e K o r n et l e s c o n d i t i o n s a u x l i m i t e s m o n t r e n t q u e u ^ = 0.

RecÀ.pn.oqueme,nt, si uL = 0, a l o r s l ' e x i s t e n c e d ' u n e s o l u t i o n au p r o b l ê m e (P) , et la r e l a t i o n d ' e x t r è m a l i t é (2.3) m o n t r e n t q u e £ K.

P a r c o n s é q u e n t , £ K D M ( L ) , et d o n c L est c h a r g e a d m i s s i b l e . •

L a p o r t é e p r a t i q u e d e ce r é s u l t a t e s t IrC-s i n t é r e s s a n t e : pOitJi òavuVi òl une. change. oAt admissible, Il òufiilt de. siésoudne le. problème ( P * ) , et de

votA òl la òoluution coAJies pondant e est nulle..

COROLLAIRE 4.1 : Si 0 , alors L est charge excessive (h $ C j , et, de plus, on a

( 4 . 1 ) < I L , L - Li > > 0 , V L ! E C .

V L V

( c ' e s t - à - d i r e q u e u ^ e s t le v e c t e u r n o r m a l à u n h y p e r p l a n s é p a r a n t L d e C ) .

D é m o n s t r a t i o n : L a p r e m i è r e p a r t i e r é s u l t e i m m é d i a t e m e n t d e ce q u i p r é c è d e . D é m o n t r o n s la r e l a t i o n (4.1) :

D ' a p r è s la r e l a t i o n d1e x t r ê m a l i t é ( 2 . 3 ) , on a

<

< V » °L "

2ÏÏ

°L " № ' °L "

»

•

si l'on c h o i s i t T G K 0 M ( LX) (ce qui est p o s s i b l e V Lj £ C ) , o n a d o n c , e n r e m o n t a n t à la d é f i n i t i o n d e M ( L ) ,

(e(u ) , a - T) = < u _ , L - Li > > 0 , V LJ G C. • L L V V '

R e m a r q u e 4 . 1 : Si l1o n se r e s t r e i n t à ne c o n s i d é r e r q u e des c h a r g e s a p p a r t e n a n t à u n s o u s - e s p a c e d e d i m e n s i o n f i n i e H (par e x e m p l e 2 o u 3) , le r é s u l t a t p r é c é d e n t p e r m e t d e t r a c e r , p o u r t o u t e c h a r g e e x c e s s i v e , u n h y p e r p l a n e x t é r i e u r à C , ce q u i p e r m e t d ' a v o i r u n e i d é e , p e u t - ê t r e plus p r é c i s e , du c o n v e x e C .

5 --APPROXIMATION.

O n se p l a c e d a n s la s i t u a t i o n (plus d i f f i c i l e ) du p a r a g r a p h e 3, où le c r i t è r e de p l a s t i c i t é n e p o r t e q u e sur le d é v i a t e u r (le cas ou K s e r a i t b o r n é , serait t r a i t é d e f a ç o n a n a l o g u e , m a i s p l u s s i m p l e ) .

P o u r se r a m e n e r en d i m e n s i o n f i n i e , o n v a a p p r o x i m e r , de façon i n t e r n e , les e s p a c e s V et Y p a r c: V et Y ^c Y .

C o m m e o n l'a v u , le c r i t è r e de p l a s t i c i t é ne p o r t a n t que sur le d é v i a t e u r , les c h a m p s de v i t e s s e à d i v e r g e n c e n u l l e j o u e r o n t u n rôle p a r t i c u l i e r

J ,T £= \T I Al.r « n j , j

s o i t , a l o r s ,

Wh ⁼ { ^{v G V}h '^{div V = 0}

O n s u p p o s e q u e V ^ , et Y ^ sont d e s a p p r o x i m a t i o n s c o n v e r g e n t e s d e V , Vi et Y , ce q u i s'écrit, d a n s le cas d e W ^ ,

(5. I) V v e V, , 3 v, e W, a v e c v, -> v d a n s V

n n n

O n f a i t l ' h y p o t h è s e de c o m p a t i b i l i t é e n t r e et Y ^ :

(5.2) e ( V^h) c Y^h .

O n a p p r o c h e , a l o r s , le p r o b l è m e a u x v i t e s s e s (P*) par

(P* ) : Inf u l l e( v) l l2 + j (e(v)) - L ( v ) h

THEOREME 5.1 : Soit uh la solution du problème ^P*h^ 1) On a ujj ~* u quand h -+ 0 .

2) On a l'estimation d'erreur

Il uh - u ||2 < C ( Il vh - u ii 2 + Il vh - u H ) , y vh G Wh

D é m o n s t r a t i o n : Q P u i s g u e l'on est d a n s la s i t u a t i o n d u p a r a g r a p h e 3, la p r e m i è r e p a r t i e r é s u l t e d e l ' h y p o t h è s e ( 5 . 1 ) , et d ' u n r é s u l t a t de G L O W I N S K I - L I O N S - T R E M O L 1 E R E S [ 1 4 ] .

2 ) D e f a ç o n a n a l o g u e à G L O W I N S K I [ 1 3 ] , o n é c r i t q u e u et u ^ sont s o l u t i o n s d e s i n é q u a t i o n s v a r i a t i o n n e l l e s

(5.3) ( e( u ) , e( v ) - e(u)) + j(e(v)) - j( e( u ) ) + L(v - u ) > 0 , V v G ^Vl

(5.4) ( e ( uh) , e ( vh) - e ( uh) ) + j ( e ( vh» ~ j ( e ( uh) ) + L ( vh- uh) > 0 , V vh< E Wh

o ù l'on a p o s é

j (e) = sup ( T , e ) . cp(T) < 0

O n a d d i t i o n n e a l o r s ( 5 . 3 ) , é c r i t p o u r v = u^> à ( 5 . 4 ) , d'où

( e( u) - e( uh) , e( uh) - e( u ) ) + ( e ( u^h) , £ ( vh)- e (u)) + j( e( vh) ) - j(e( u ) ) + L ( v^h~ u ) > 0

c e q u i p e u t s é c r i r e

I u-u^hll ² < (e < u^h) - e ( u ) , e ( v^h) -e (u)) + L ( v^h- u ) + j (e < v^h» - j (e (u)) + ( e ( u ) , e < v^h) - e(u))

O n r e m a r q u e a l o r s q u e

(5.5) j ( e i ) - j ( e²) < j ( e^x - e²)

E n e f f e t ,

j ( e2+ e3) = sup (T, e²+ e3) < sup (T, e²) + sup (T, e³) < j ( e2) + j ( e3) . ip(T)<0 (p(T)<0 ip(T)<0

d ' o ù ( 5 . 5 ) e n p o s a n t

e3 - ej - e2

E n a p p l i q u a n t ( 5 . 5 ) , o n a

j ( e ( vh) ) - j(e(u)) < j( e( v^h- u ) ) < C | | s( vh- u ) | d X < C (mes ( ß ) )¹/2

P a r a i l l e u r s , o n a

(5.6) (e(u ) - e ( u ) , e( v . ) - e(u)). < C ( % Il u , - u II ² + 4~ " v - u l l²) , n n z h 2 a h '

(5.7) L ( vh - u ) < IlLlI* llvh - ull , (11.11* d é s i g n e la n o r m e duale de V) ,

d ' o ù le r é s u l t a t , en c h o i s i s s a n t a a s s e z p e t i t . •

VhobltmQ. phlmaJt approché.

O n v é r i f i e , f a c i l e m e n t , g r â c e à l ' h y p o t h è s e ( 5 . 2 ) , que ( P *h) est le d u a l du p r o b l è m e

( Ph) sup

- - L

M

h

" {

h l <

>

<V> •

< V •

h

h } •

qui a p p a r a î t c o m m e u n d i s c r é t i s é du p r o b l è m e (P) . Soit

Zh = j p G L²(ft) I 3 T G Y^] a v e c p = Z T , >

h k=i kK /

l ' e s p a c e d e s t r a c e s des é l é m e n t s de Yh , o n est c o n d u i t à f a i r e l'hypothèse s u p p l é m e n t a i r e

(5.8) d i v : V -> Z est &ulje.ctLve..

THEOREME 5.2 : Sous l'hypothèse (5.8), le problème (P ^ ) admet au moins une solution j liée à par la relation d'extrêmalité

( 5 . 9 ) E( vh) - ± ( oh - PK ( ah) ) .

D é m o n s t r a t i o n : C o m m e o n e s t e n d i m e n s i o n f i n i e , il suffit d e m o n t r e r q u e Il TD II e s t u n e n o r m e sur M ^ ( 0 ) (en e f f e t , p u i s q u e l'on e s t d a n s la s i t u a t i o n

d u p a r a g r a p h e 3 , o n a

HT - PR( T) Il 2

>

S u p p o s o n s d o n c q u e = 0 . O n a a l o r s

T . . = - p <5. . p . p . a v e c p G Z

ij I J h

d ' o ù

( T, e ( vh) ) = - (p, d i v vh) = 0 , V vh< E VH , et

p = 0 g r â c e à l ' h y p o t h è s e ( 5 . 8 ) . •

R e m a r q u e 5 . 1 : Si K é t a i t b o r n é , la c o e r c i v i t é du p r o b l è m e (P ^ ) s e r a i t a s s u r é e , et l ' h y p o t h è s e ( 5 . 8 ) serait i n u t i l e . •

O n a p p e l l e C. le c o n v e x e d e s c h a r g e s a d m i s s i b l e s " a p p r o c h é e s "

h

ch =

j

I

j

C o m m e d a n s le c a s c o n t i n u , o n m o n t r e r a i t le

THEOREME 5.3 : On a la suite d'équivalences

P o u r o b t e n i r u n e e s t i m a t i o n d ' e r r e u r , on é t a b l i t , d ' a b o r d , les m a j o r a t i o n s s u i v a n t e s :

THEOREME S.4 : Etant donnée une charge L , on appelle u la solution du problème (P*) associé.

Si L £ C j alors on g

( 5 . 1 0 ) d ( L , C ) = inf I I L - L i l l * < C y II u II ^T

L i € C V

D é m o n s t r a t i o n : Soit O u n e s o l u t i o n d u p r o b l è m e (P) a s s o c i é à L , et O0 = PK(a) «

L a f o r m e l i n é a i r e L0 : v G V ~ L o ( v ) = ( G⁰, £ ( v ) ) é t a n t c o n t i n u e , Lo e V , et o n a

I l L- L o l U sup

1

"

°

1

v G V II v II

. ^sup «2l°jùd£ù) < | | a - a⁰ II . v G V || v II

M a i s , d ' a p r è s la r e l a t i o n d ' e x t r ê m a l i t é ( 2 . 3 ) , o n a O - a0 = 2 y e ( u ) , d ' o ù ( 5 . 1 0 ) , e n r e m a r q u a n t q u e T G M( L⁰) H K =*• L⁰ G c .

R e m a r q u e : L a p r o p r i é t é (5.10) est u n r é s u l t a t q u i n ' a r i e n à v o i r avec l ' a p p r o x i m a t i o n . C e l a é t a n t , pour u n e c h a r g e L , la seule c h o s e dont on p u i s s e ê t r e sur n u m é r i q u e m e n t est q u e la s o l u t i o n u ^ du p r o b l è m e a p p r o c h é est n u l l e . C o m m e o n sait q u e II u - u ^ Il -> 0, o n v o i t q u ' à ce m o m e n t - l a , pour h a s s e z p e t i t , o n n e sera p a s trop l o i n d e C .

O n v e r r a , p a r la s u i t e , q u e si V est u n e s p a c e d ' é l é m e n t s f i n i s l i n é a i r e s p a r m o r c e a u x , a l o r s C c C ^ . O n a u r a d o n c , d a n s ce c a s , u n r é s u l t a t d e c o n v e r g e n c e d e C ^ v e r s C :

(5.11) C c C h e ^ V L G c^h, alo>u> 3 h⁰ avec h < hn => L C. .

- 21 -

O n v a v o i r , m a i n t e n a n t , q u e l'on peut m ê m e o b t e n i r , s o u s u n e h y p o t h è s e d e r é g u l a r i t é , u n e e s t i m a t i o n d ' e r r e u r p o u r la d i s t a n c e e n t r e

CU et C.

n

O n v a s u p p o s e r q u e l ' o n a u n r é s u l t a t d e r é g u l a r i t é p o u r le p r o b l è m e (P*) :

( 5 . 1 2 ) Il u II < С |L|

2,0. H

(où | L | p e u t ê t r e é g a l à ( | f . |2 + | F . |2 )1/2, si l'on e s t

H 1 0,ft 1 / 2 ,Г

d a n s le c a s d u p a r a g r a p h e 1, o u à u n e a u t r e n o r m e ) ( I l .11 „ d é s i g n e la n o r m e de

S>H Н8( О Д .

R e m a r q u o n s q u e si l e s c o n d i t i o n s a u x l i m i t e s sont v r a i m e n t d e type " m ê l é e s " , o n n e p e u t p a s , e n g é n é r a l , s ' a t t e n d r e à u n tel r é s u l t a t . N é a n m o i n s , si t e l e s t le c a s , a l o r s ,

COROLLAIRE 5.1 : Si l'approximation de Vi par Wh est en " 0( h ) " :

( 5 . 1 3 ) i n f II u - v- Il < С h Hull 3

vhGWh V 2,Çl

alors l'approximation de С par est en 0( V h )

( 5. 1 4 ) si L G CH , d ( L , С ) < С V h |L |

- 2 2 ~

6 - A P P L I C A T I O N A UN ÉLÉMENT F I N I DU PREMIER DEGRÉ.

O n p o u r r a i t t r a i t e r , très f a c i l e m e n t , le c a s o ù K est b o r n é , et tout m a r c h e r a i t b i e n . D a n s le c a s d u p a r a g r a p h e 3, d e s d i f f i c u l t é s s u r v i e n n e n t d u fait q u ' i l faut a p p r o c h e r d e s c h a m p s d e v i t e s s e à d i v e r g e n c e n u l l e .

O n s u p p o s e , m a i n t e n a n t , q u e l'on est e n d i m e n s i o n 2 (N = 2 ) . O n v a a p p l i q u e r l e s r é s u l t a t s q u i p r é c è d e n t à u n é l é m e n t fini d u p r e m i e r d e g r é à d i v e r g e n c e n u l l e , p a r t i c u l i è r e m e n t a d a p t é à ce g e n r e de s i t u a t i o n s . M a l h e u -

r e u s e m e n t , o n n e sait d é m o n t r e r l e s p r o p r i é t é s d e c o n v e r g e n c e ( 5 . 1 ) o u (5.13) q u e d a n s le c a s d ' u n m a i l l a g e u n i f o r m e . O n le d é c r i r a , n é a n m o i n s , d a n s le c a s g é n é r a l .

O n d é s i g n e r a p a r P i l ' e s p a c e d e s p o l y n ô m e s de d e g r é a u p l u s égal à 1.

6.1 - D e s c r i p t i o n de l ' é l é m e n t .

O n c o n s i d è r e u n q u a d r i l a t è r e c o n v e x e , q u e l'on d é c o u p e e n 4 t r i a n g l e s , e n t r a ç a n t ses 2 d i a g o n a l e s (Fig. 2 ) ( [ 1 7 ] ) .

-y

O n v a c o n s t r u i r e , sur ce q u a d r i l a t è r e , u n c h a m p d e v e c t e u r s u c o n t i n u et l i n é a i r e sur c h a q u e t r i a n g l e , et à d i v e r g e n c e c o n s t a n t e .

a ) sur le t r i a n g l e I (Fig. 2 ) , o n p o s e u = pi , a v e c pi G (Pi) q u e l c o n q u e b ) sur le t r i a n g l e I I , o n p o s e u = pi + P2 a v e c p2£ (Pi) » p2 = 0 sur la d i a g o n a l e m2 nu* ( F i g ) , d i v pi = 0.

c ) sur le t r i a n g l e I I I , o n p o s e , d e m ê m e , u = pi + p2 + P3 a v e c p3G (pj) , p3 = 0 sur mi 1113 , d i v p3 = 0

+ + f i g u r e 2 d ) o n c h o i s i t a l o r s u = p ¡ + p3 sur IV, et

o n v é r i f i e q u e le c h a m p d e v e c t e u r s u , a i n s i c o n s t r u i t , a b i e n u n e d i v e r g e n c e c o n s t a n t e sur le q u a d r i l a t è r e , q u ' i l e s t c o n t i n u et Pi p a r m o r c e a u x . De p l u s , il d é p e n d de 8 p a r a m è t r e s a r b i t r a i r e s . O n v é r i f i e , a l o r s , q u ' o n peut se d o n n e r

c o m m e d e g r é s d e l i b e r t é , l e s v a l e u r s de u a u x 4 s o m m e t s d u q u a d r i l a t è r e (Fig. 3 ) : ce q u i a c h è v e la d e s c r i p t i o n - d e

n o t r e é l é m e n t f i n i .

F i g u r e 3 : é l é m e n t fini u t i l i s é . 6.2 - A p p r o x i m a t i o n d e V .

O n se d o n n e , m a i n t e n a n t , u n e f a m i l l e de d é c o u p a g e s de fi e n q u a d r i l a t è r e s (0 < h < 1 ) , et on a p p e l l e r a V^h l ' e s p a c e d e s c h a m p s d e v i t e s s e qui sont c o n t i n u s , Pi sur c h a c u n d e s 4 t r i a n g l e s d e c h a q u e q u a d r i l a t è r e et d o n t la d i v e r g e n c e est c o n s t a n t e sur c h a q u e q u a d r i l a t è r e , comme d a n s la c o n s t r u c t i o n p r é c é d e n t e (on v é r i f i e que V, c v).

h

O n a p p e l l e r a Y ^ le s o u s - e s p a c e de Y , d e t e n s e u r s c o n s t a n t s p a r m o r c e a u x (sur c h a q u e t r i a n g l e ) , et dont la trace est c o n s t a n t e par q u a d r i l a t è r e .

O n v é r i f i e q u e e a p p l i q u e V. d a n s Y, . h h

O n d é m o n t r e , f a c i l e m e n t , q u e , d a n s ce c a s , C c , V h , e n u t i l i s a n t [ 8 ] .

Si le m a i l l a g e est a s s e z r é g u l i e r , o n p e u t d é m o n t r e r la p r o p r i é t é d e s u r j e c t i v i t é ( 5 . 8 ) ( l ' e s p a c e des p r e s s i o n s , , est u n e s p a c e de c o n s t a n t e s p a r q u a d r i l a t è r e ) [ 1 7 ] .

E n f i n , si le m a i l l a g e est u n i f o r m e , et c o n s t i t u é de p a r a l l é l o - g r a m m e s , o n sait d é m o n t r e r l e s p r o p r i é t é s de c o n v e r g e n c e (5.1) et (5.13) [ 2 0 ] , et d o n c , c o m m e C , o n a le r é s u l t a t de c o n v e r g e n c e s u i v a n t d e v e r s C

V L $ C , 3 h⁰ > 0 tel que h < h⁰ L $ C. , h

et c e c i est é g a l e m e n t v r a i si l'on se r e s t r e i n t à n e c o n s i d é r e r d e s c h a r g e s q u e d a n s u n s o u s - e s p a c e d e d i m e n s i o n f i n i e .

Si l ' o n a, m a i n t e n a n t , u n r é s u l t a t d e r é g u l a r i t é d u type ( 5 . 1 2 ) (ce q u i est v r a i d a n s le c a s p a r t i c u l i e r du p r o b l è m e d e M o s s o l o v , Cf [ 4 ] ) , a l o r s , o n a l ' e s t i m a t i o n d ' e r r e u r (5.14) d a n s V ' .

7 ~ RÉSULTATS NUMÉRIQUES.

O n a é t u d i é le p r o b l è m e de la h a u t e u r l i m i t e

d ' u n t a l u s de t e r r e , s o u m i s à s o n p r o p r e p o i d s (Fig. 4 ) . F Soit Ho la h a u t e u r du t a l u s , Y l ' a c c é l é r a t i o n

d e la p e s a n t e u r (Fig 4 ) . O n s u p p o s e q u e le m a t é r i a u s a t i s f a i t au c r i t è r e d e V o n M i s é s ( 1 . 5 ) . O n s ' i n t é r e s s e , e n f a i t , à la v a l e u r l i m i t e d u r a p p o r t 3 =^H° ^ — — [ 1 9 ] .

D a n s n o s e x p é r i e n c e s , n o u s a v o n s p r i s Ho = y = 1, et fait s e u l e m e n t v a r i e r g.

L e s e s s a i s n u m é r i q u e s ont été f a i t s en c o l l a b o r a t i o n avec P. L O R B E R .

F i g u r e A

7.1 - A p p r o x i m a t i o n s u t i l i s é e s .

N u m é r i q u e m e n t , le p r o b l è m e c o n s i s t e e s s e n t i e l l e m e n t à r é s o u d r e le p r o b l è m e a u x v i t e s s e s (P*^) p o u r g d o n n é . D a n s le cas où les c o n d i t i o n s a u x l i m i t e s sont e n t i è r e m e n t de t y p e D i r i c h l e t ( T = Ç> ) , o n t r o u v e r a des

r

r é s u l t a t s n u m é r i q u e s , p o u r ce type de p r o b l è m e , p a r d i f f é r e n c e s f i n i e s [ 1 ] , o u p a r é l é m e n t s f i n i s de d e g r é 2 [ 9 ] . L e fait q u e T^, soit n o n v i d e , e m p ê c h e , m a l h e u r e u s e m e n t , l ' u t i l i s a t i o n d ' é l é m e n t s n o n c o n f o r m e s [ 5 ] , car a l o r s la m a t r i c e d i s c r é t i s a n t l l e( v) l l2 n ' e s t p l u s n é c e s s a i r e m e n t d é f i n i e p o s i t i v e .

O n a, d ' a b o r d , u t i l i s é u n e a p p r o x i m a t i o n par é l é m e n t s finis Qi (Qi est l'espace d e s p o l y n ô m e s d u 1er d e g r é e n c h a c u n e d e s v a r i a b l e s ) , avec i n t é g r a t i o n n u m é r i q u e , au c e n t r e de c h a q u e é l é m e n t . B i e n que l'on ne sache p a s d é m o n t r e r d e c o n v e r g e n c e e n g é n é r a l p o u r c e t t e m é t h o d e , on T a cependant e s s a y é e , c a r elle e s t c o u r a m m e n t u t i l i s é e [2] [ 1 8 ] .

A y a n t c o n s t a t é d e s i n s t a b i l i t é s p o u r les o r d r e s de g r a n d e u r des v i t e s s e s o b t e n u e s , sur d e u x r é s e a u x d é c a l é s (comme les c a s e s n o i r e s et les c a s e s b l a n c h e s d ' u n d a m i e r ) , n o u s a v o n s a u s s i u t i l i s é l ' a p p r o x i m a t i o n d é c r i t e a u p a r a g r a p h e 6. C ' e s t d ' a i l l e u r s ce fait qui c o n s t i t u e n o t r e m o t i v a t i o n p r o f o n d e p o u r son é t u d e .

L e s m a i l l a g e s u t i l i s é s é t a i e n t u n i f o r m e s , de pas h = — n

7.2 - A l g o r i t h m e s d e r é s o l u t i o n .

O n a u t i l i s é d e u x a l g o r i t h m e s d i f f é r e n t s : le p r e m i e r e s t u n a l g o r i t h m e d e type U z a w a , d é c r i t d a n s [ 9 ] , le d e u x i è m e , u n a l g o r i t h m e de p é n a l i s a t i o n - d u a l i t é , d é c r i t d a n s [ i l ] , [ 1 6 ] .

L ' e x p é r i e n c e a c q u i s e a v e c le d e u x i è m e a l g o r i t h m e n o u s a p e r m i s d ' a c c é l é r e r b e a u c o u p la c o n v e r g e n c e d u p r e m i e r , e n p é n a l i s a n t f o r t e m e n t l a c o n t r a i n t e d i v u ^ = 0 . L e s p e r f o r m a n c e s d e s d e u x a l g o r i t h m e s se s o n t , a l o r s , r é v é l é e s c o m p a r a b l e s .

E n e f f e t , l e s d i f f i c u l t é s d u p r o b l è m e (P*^ ) sont de d e u x o r d r e s : la p r e m i è r e est la c o n t r a i n t e d ' i n c o m p r e s s i b i l i t é d i v u ^ = 0 ; la d e u x i è m e , la n o n - d i f f é r e n t i a b i l i t é d e la f o n c t i o n n e l l e j ^ . L ' a l g o r i t h m e d ' U z a w a e s t t r è s e f f i c a c e p o u r l a n o n - d i f f é r e n t i a b i l i t é , m a i s p e u pour l a c o n t r a i n t e d ' i n c o m p r e s s i b i l i t é , d ' o ù l ' i d é e d e la p é n a l i s e r f o r t e m e n t .

KJQonJjthmz d¹ Uzawa :

ot , pi , p2 > 0 d o n n é s , pn et СП étant d o n n é s p a r r é c u r r e n c e , VéXeAmlneA vⁿ⁺¹ mlnimuant бил V"^h :

(7.1) y lle(v)ll2 + | l l d i v v l l2 + g ( cn, e(v)) + j P n d i d i v v d X - L ( v )

CalculeA

s К + Pi ^e (^v ))

n+1 n ^ л n+1

p - p + p2 d i v v

AlgotUthme. de. pénalÂ^ation-dualtjté. :

a 9 r > 0 é t a n t d o n n é s , e1 1 et a*1 é t a n t d o n n é s p a r r é c u r r e n c e , VeXeAmlneA vⁿ⁺¹ mlïvLmtAant SUA vh :

(7.2) | I l e ( v ) | |2 + | l l d i v v l l2 + ( on- r en, £(v)) - L ( v ) . ,

CalculeA

ф = r e ( vn + 1) + an

0 si | фВ| < g

2y + r v J ФГ> | ' n+1 |

n+1 ri , . n + K n + K

о - a + r ( e ( v ) - e ) n+1 x

a d i v v . ô

( Ô d é s i g n e le t e n s e u r d e K r o n e c k e r ) .

L ' a l g o r i t h m e d e p é n a l i s a t i o n - d u a l i t é e s t , en e f f e t , u n e v a r i a n t e [ i l ] d e l ' a l g o r i t h m e d ' U z a w a a p p l i q u é a u L a g r a n g i e n a u g m e n t é

JC (v, e ; a ) = y fi e II 2 + j C e ) - L ( v ) + ( a , e ( v ) - e ) + | l l e( v) - e l l 2 + | Il div v l

7.3 - R é s u l t a t s .

1) Elément* jlnis (h a v e c intégration numéAlque.

a ) h = 1/4 (32 v a r i a b l e s , 16 é l é m e n t s ) .

y//

Ш

/ > / f ; / f >>>>>> 1> > > -' У g = 0.33

m %

m ^//-.

ш

. A -/ Y

"Г

( é c o u l e m e n t b l o q u é ) g = 0.39

F i g u r e 5 : T r a c é d e s z o n e s r i g i d e s ( h a c h u r é e s ) p o u r d i v e r s e s v a l e u r s d e g ( h = 1/4)

h ) h - 1/8 (128 v a r i a b l e s , 64 é l é m e n t s )

é c o u l e m e n t b l o q u é

g = 0.36 g = 0.365 g = 0.37

F i g u r e 6 : r é p a r t i t i o n d e s zones r i g i d e s ( h a c h u r é e s ) p o u r h = 1/8 ( é l é m e n t s Q j )

2) Elément* ^Inl* P i à (ILvQAQmca nulle.

(Essais e f f e c t u é s p a r P. L O R B E R ) . L e s e s s a i s o n t été e f f e c t u é s a v e c h = l/10e ce qui c o r r e s p o n d à 100 é l é m e n t s (coupés c h a c u n en 4 ) , et 2 0 0 v a r i a b l e s .

( é c o u l e m e n t b l o q u é ) F i g u r e 7 : R é p a r t i t i o n d e s zones r i g i d e s ( h a c h u r é s )

p o u r h • l/10e (éléments Pi à d i v e r g e n c e n u l l e ) .

' ' \ \ \ V

*

\ \ \ "V

• V \ \ \ \J

F i g u r e 8 : C h a m p s d e v i t e s s e (g = 0 . 1 , h = 1/I0e) (élément f i n i Pi à d i v e r g e n c e n u l l e ) .

C h a c u n d e s d e u x a l g o r i t h m e s u t i l i s é s c o n v e r g e a i t en u n nombre d ' i t é r a t i o n s i n f é r i e u r à 100, et l'on a v a i t p é n a l i s é a s s e z f o r t e m e n t la c o n t r a i n t e d e d i v e r g e n c e n u l l e (a = 1 0 0 ) , ce q u i se r é v è l e très important.

L e temps m a c h i n e p o u r 128 v a r i a b l e s est 5 " sur IBM 3 7 0 / 1 6 5 .

I n s i s t o n s , e n f i n , sur le fait q u e l ' é l é m e n t fini T\ à d i v e r g e n c e n u l l e s u p p r i m e les i n s t a b i l i t é s en v i t e s s e , o b s e r v é e s a v e c l'élément Qi + i n t é g r a t i o n n u m é r i q u e .

P o u r le r a p p o r t 3 , o n o b t i e n t la m a j o r a t i o n 3 . 8 7 , lorsque h = l/8e, ce q u i , c o m p t e - t e n u d e s s i m p l i f i c a t i o n s a p p o r t é e s au d o m a i n e fi (théoriquement i n f i n i ) , s e m b l e s a t i s f a i s a n t [ 1 9 ] .

R e m a r q u o n s , e n f i n , q u ' i l n'y a p a s de d i f f i c u l t é pour c a r a c t é r i s e r la n u l l i t é d ' u n champ d e v i t e s s e en p r a t i q u e : par e x e m p l e , d a n s l'algorithme d e p é n a l i s a t i o n - d u a l i t é , o n v o i t q u e la n u l l i t é de la s o l u t i o n sera c a r a c t é r i s é e p a r | i|iD| < g .

- 29 -

BIBLIOGRAPHIE

[1] D . B E G I S , T h è s e d e 3 è m e c y c l e , P a r i s ( 1 9 7 2 ) . [2] M. B E R C O V I E R , T h è s e (à p a r a î t r e ) .

[3] P. B O L L E Y , J. C A M U S , R é g u l a r i t é p o u r des s y s t è m e s à c o e f f i c i e n t s c o n s t a n t s C.R. A c a d . S e . P a r i s , T . 2 8 2 , S é r i e A , 1975, 4 5 - 4 7 .

[4] H . B R E Z I S , M o n o t o n i c i t y m e t h o d s in H i l b e r t spaces and some a p p l i c a t i o n s to n o n l i n e a r p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s , C o n t r i b u t i o n s to n o n l i n e a r f u n c t i o n a l a n a l y s i s , E . Z a r a n t o n e l l o ( e d . ) , A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k ( 1 9 7 1 ) , 1 0 1 - 1 5 6 .

[5] M . C R O U Z E I X , P.A. R A V I A R T , C o n f o r m i n g and n o n c o n f o r m i n g f i n i t e e l e m e n t m e t h o d s for s o l v i n g the s t a t i o n a r y Stokes e q u a t i o n s , R . A . I . R . O . , R - 3 , D e c . 1 9 7 3 , 3 3 - 7 6 .

[6] G. D U V A U T , J . L . L I O N S , L e s i n é q u a t i o n s en M é c a n i q u e et e n P h y s i q u e , D u n o d , P a r i s , 1 9 7 2 .

[7] I. E K E L A N D , R. T E M A M , A n a l y s e c o n v e x e et p r o b l è m e s v a r i a t i o n n e l s , D u n o d , P a r i s , 1 9 7 3 .

[8] R . S . F A L K , B. M E R C I E R , E s t i m a t i o n d ' e r r e u r e n é l a s t o - n l a s t i c i t é , C . R . A c a d . S e . P a r i s , T . 2 8 2 , Série A , 6 4 5 - 6 4 8 ( 1 9 7 6 ) . [9] M. F O R T I N , T h è s e d ' E t a t , P a r i s ( 1 9 7 2 ) .

[ 1 0 ] M . F R E M O N D , M . P E C K E R , J. S A L E N Ç O N , M é t h o d e v a r i a t i o n n e l l e p o u r le m a t é r i a u r i g i d e - p l a s t i q u e , R a p p o r t i n t e r n e , E c o l e P o l y t e c h n i q u e , L a b o r a t o i r e de M é c a n i q u e des S o l i d e s ( 1 9 7 5 ) .

[ 1 1 ] D . G A B A Y , B . M E R C I E R , A d u a l a l g o r i t h m for the s o l u t i o n o n n o n l i n e a r v a r i a t i o n a l p r o b l e m s v i a finite e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n , C o m p . and M a t h , w i t h A p p l i c a t i o n s (à p a r a î t r e ) .

[12] P. G E R M A I N , C o u r s d e M é c a n i q u e d e s M i l i e u x C o n t i n u s , M a s s o n , P a r i s , 1 9 6 2 . [ 1 3 ] R. G L O W I N S K I , Sur l ' a p p r o x i m a t i o n d'une i n é q u a t i o n v a r i a t i o n n e l l e

e l l i p t i q u e d e t y p e B i n g h a m , R . A . I . R . O . (à p a r a î t r e ) .

[ 1 4 ] R . G L O W I N S K I , J . L . L I O N S , R. T R E M O L 1 E R E S, A p p r o x i m a t i on d e s i n é q u a t i o n s v a r i a t i o n n e l l e s , D u n o d , P a r i s ( 1 9 7 6 , sous p r e s s e ) .

[ 1 5 ] E . M A G E N E S , G. S T A M P A C C H I A , I p r o b l e m a al c o n t o r n o per le e q u a z i o n i d i f f e r e n z i a l i d i t i p o e l l i t t i c o A n n a l i d e l l a S c u o l a N o r m a l e S u p e r i o r e di P i s a , S é r i e I I I , V o l . X I I , f a s e . I l i ( 1 9 5 8 ) , 2 4 7 - 3 5 7 , n o t e 2 7 , p . 3 2 0 .

[ 1 6 ] B . M E R C I E R , U n e m é t h o d e de r é s o l u t i o n d u p r o b l è m e des c h a r g e s l i m i t e s u t i l i s a n t les f l u i d e s de B i n g h a m , C.R. A c a d . S e . P a r i s , T . 2 8 1 , S é r i e A , 1 9 7 5 , 5 2 5 - 5 2 7 .

[ 1 7 ] B . M E R C I E R , n o n p u b l i é .

C. N A G T E D A A L , D . M . P A R K S , J.R. R I C E , O n n u m e r i c a l l y a c c u r a t e finit, e l e m e n t s o l u t i o n s in the f u l l y p l a s t i c r a n g e , C o m p . M e t h . A p p l i e d M e c h . and E n g . , 4 ( 1 9 7 4 ) , 1 5 3 - 1 7 7 .

S A L E N Ç O N , T h é o r i e de la p l a s t i c i t é , E y r o l l e s , P a r i s , 1 9 7 3 . T E M A M , O n the t h e o r y and n u m e r i c a l a n a l y s i s of the N a v i e r - S t o k c s

e q u a t i o n s , U n i v e r s i t é P a r i s X I , O r s a y , F r a n c e .