R´esum´e de recherches doctorales.

R´esum´e de recherches doctorales.

Olivier Bouillot 30 novembre 2012

Table des mati` eres

1 Rappels et contexte math´ ematique. 2

1.1 Quelques rappels sur la sommation de Borel et la th´ eorie de la r´ esurgence. 2

1.2 Multizˆ etas et multitangentes. . . . 5

1.3 Autour des invariants holomorphes. . . . 6

2 Formule universelle et algorithmes de calculs des invariants. 9 2.1 Cadre de travail et notations. . . . . 9

2.2 Expression de l’application de cornes. . . . 10

2.3 Formule universelle pour les invariants. . . . 10

2.4 M´ ethodes de calculs des invariants. . . . 13

3 Etude des multitangentes. 16 3.1 D´ efinition et premi` eres propri´ et´ es. . . . 16

3.2 R´ eduction en monotangentes et projection sur l’espace des multitangentes. 17 3.3 Renormalisation des multitangentes divergentes. . . . 19

3.4 Relations entre multizˆ etas retrouv´ ees par l’´ etude des multitangentes. . . 20

4 Conclusion 21

Nous nous proposons dans ces quelques pages de pr´ esenter un r´ esum´ e de notre re- cherche doctorale. Celle-ci comporte deux parties distinctes et ind´ ependantes, mais qui sont aussi ´ etroitement li´ ees. La premi` ere, de nature analytique, concerne le calcul effec- tif en s´ eries de multizˆ etas des invariants holomorphes d’un diff´ eomorphisme local f de C dans le cas-type, ayant l’origine pour point fixe ; elle concerne aussi le calcul num´ erique de ces invariants. La seconde partie, de nature plus alg´ ebrique, traite des fonctions multitan- gentes ; plus pr´ ecis´ ement, elle pr´ esente une recherche des relations liant les multitangentes entres-elle, notamment celles qui sont responsables de l’invariance des quantit´ es ´ etudi´ ees dans la premi` ere partie.

Ce travail, dans son ensemble, comprend ` a la fois de l’analyse complexe (th´ eorie de la r´ esurgence, dynamique holomorphe et th´ eorie des singularit´ es) et de la th´ eorie des nombres (recherche de relations alg´ ebriques liant des nombres entre eux). La m´ ethode employ´ ee, dans les deux parties, rel` eve du calcul moulien.

Enfin, indiquons que, dans ce texte, toutes les r´ ef´ erences ` a un paragraphe que l’on pourra trouver renvoient au dit paragraphe de la th` ese elle-mˆ eme.

1 Rappels et contexte math´ ematique.

Avant d’introduire la notion d’invariants, nous pr´ esenterons bri` evement les rudiments techniques n´ ecessaires ` a leur calcul. Ensuite, nous introduirons deux objets apparent´ es : les multizˆ etas (qui sont des nombres) et les multitangentes (qui sont des fonctions) . Il s’agit des deux types de briques ´ el´ ementaires des invariants holomorphes : les multitan- gentes interviennent naturellement dans le calcul des invariants, alors que les multizˆ etas permettent leur calcul.

Viendra alors notre premi` ere probl´ ematique : le calcul des invariants holomorphes.

A travers l’exemple d’une ´ equation aux diff´ erences, nous expliquerons comment le proc´ ed´ e de sommation de Borel permet d’arriver au prototype des r´ esultats que l’on obtiendra.

Nous introduirons ensuite la notion d’invariants et expliquerons leur complexit´ e.

1.1 Quelques rappels sur la sommation de Borel et la th´ eorie de la r´ esurgence.

1.1.1 Le proc´ ed´ e de sommation sectoriel de Borel.

La transformation B de “Borel formelle” est une op´ eration agissant sur 1 z C

1 z

,

`

a valeurs dans C [[ζ]], d´ efinie par B : X

n≥0

c

z

7−→ X

n≥0

c

n! ζ

.

Cette transformation est bien connue et v´ erifie des propri´ et´ es calculatoires simples.

Elle poss` ede un inverse (formel ` a ce stade), la transformation de Laplace L

. Cet inverse est un op´ erateur lin´ eaire d´ efini sur l’ensemble des fonctions ϕ v´ erifiant les conditions suivantes :

ζ 7−→ ϕ(ζ) est analytique sur un ouvert de C contenant {ζ ∈ C ; arg ζ = θ} . (1)

∃C > 0 , ∃τ > 0 , ∀r > 0 ,

ϕ(re

)

≤ Ce

. (2)

L’id´ ee (dˆ ue ` a Emile Borel) est alors d’effectuer une transform´ ee de Borel formelle ` a

une s´ erie ϕ e (souvent divergente, en vue de r´ etablir sa convergence si ses coefficients ne

grossissent pas trop vite), puis de d´ eterminer sa transform´ ee de Laplace pour obtenir une somme ou un prolongement analytique de ϕ e ` a un demi-plan de C .

Ce proc´ ed´ e est g´ en´ eral et s’appelle naturellement proc´ ed´ e de sommation de Borel : D´ efinition : Etant donn´ e θ ∈ R , nous dirons que ϕ e ∈ 1

z C

1 z

est Borel-sommable dans la direction θ et nous noterons ϕ e ∈ S

lorsque les conditions suivantes sont v´ erifi´ ees :

1. ϕ b = B( ϕ) se prolonge analytiquement sur un voisinage Ω de e e

R

. 2. ∃C > 0 , ∃τ > 0 , ∀ζ ∈ Ω , | ϕ(ζ)| ≤ b Ce

.

Dans ce cas, la somme de Borel correspondante, not´ ee S

( ϕ) , est d´ e efinie par :

S

( ϕ) = e L

(B( ϕ)) e .

Une telle somme est alors automatiquement analytique sur le demi-plan {z ∈ C ; <e (e

z) > τ } .

Ce proc´ ed´ e est r´ esum´ e par le diagramme de la figure 1 (cf. page 4) .

Cependant, nous avons envie, lorsque cela est possible, de faire varier la direction de Borel-sommabilit´ e. On dit alors qu’une s´ erie formelle ϕ e est uniform´ ement Borel-sommable dans l’intervalle de direction [θ

; θ

] lorsque les conditions suivantes sont r´ ealis´ ees :

1. ϕ b se prolonge analytiquement sur un voisinage de Ω = {z ∈ C ; θ

≤ arg z ≤ θ

} . 2. ∃(C; τ ) ∈ ( R

)

, ∀ζ ∈ Ω , | ϕ(ζ)| ≤ b Ce

.

Pour une telle s´ erie formelle ϕ, il est possible de faire varier la direction de sommation entre θ

et θ

dans l’application du proc´ ed´ e de Borel. Les diff´ erentes sommes de Borel se prolongent alors analytiquement les unes avec les autres. Ceci vaut tant que ϕ b ne poss` ede pas de singularit´ e sur le secteur angulaire Ω. Sinon, c’est l’apparition du ph´ enom` ene de Stokes.

1.1.2 Rappels sur la r´ esurgence.

De mani` ere g´ en´ erale, l’une des id´ ees phare de la th´ eorie de la r´ esurgence est de dire que les s´ eries divergentes provenant de probl` emes naturels (i.e. issues de l’´ etude d’´ equations aux diff´ erences, d’´ equations diff´ erentielles, de dynamique holomorphe, · · · ) poss` edent des transform´ ees de Borel dont les singularit´ es sont “analysables” et apparent´ ees. Pour mieux comprendre ces singularit´ es, Jean Ecalle a alors d´ evelopp´ e, ` a la fin des ann´ ees 1970, un calcul diff´ erentiel sur une certaine classe de fonctions : le calcul diff´ erentiel ´ etranger agissant sur l’alg` ebre des fonctions r´ esurgentes.

Pour tout ω ∈ Ω = 2iπ Z

, nous allons d´ efinir un op´ erateur lin´ eaire “mesurant” les singularit´ es au voisinage de Ω : ∆

: RES g

−→ RES g

.

Ici, RES g

d´ esigne l’ensemble des fonctions r´ esurgentes dans le mod` ele formel. Il

s’agit des s´ eries formelles ϕ e dont la transform´ ee de Borel ϕ b = B( ϕ) poss` e ede des singularit´ es

simples, du type logarithmiques, au dessus de Ω et se prolongeant sans fin sur C , c’est-` a-

dire qu’il existe, pour toute ligne bris´ ee finie L, un ensemble fini Ω

⊂ L de singularit´ es

tel que ϕ se prolonge analytiquement le long de tous les chemins possibles obtenus en

suivant L et en contournant chaque point de Ω

soit ` a gauche, soit ` a droite.

ϕ(z) = e

+∞

X

n=0

c

z

∈ 1 z C

1 z

∩ S

. (s´ erie formelle sommable au sens

de Borel dans la direction θ) .

B //

ϕ(ζ) = b

+∞

X

n=0

c

n! ζ

.

(fonction se prolongeant analytiquement au voisinage de e

R

et ` a croissance exponentiellement contrˆ ol´ ee) .

S

( ϕ)(z) = e L

ϕ(z) = b

Z

0

ϕ(ζ)e b

dζ . (fonction analytique d´ efinie sur le demi-plan

{z ∈ C ; <e (e

z) > 0}) .

L^θ

D´eveloppement asymptotique `a l’infini.

WW

Figure 1 : Proc´ ed´ e de sommation de Borel dans la direction θ .

Figure 2 : Resommation sectorielle.

L’action de la d´ eriv´ ee ´ etrang` ere ∆

sur ϕ e ∈ RES g

est alors d´ efinie par la formule :

∆

( ϕ) = b X

ε=(ε±1;···;ε_±(m−1))∈{+1;−1}^|m|−1

p(ε)! q(ε)!

m! sing

(cont

ϕ) b . Ici, ϕ b = B( ϕ), e p(ε) et q(ε) d´ esignent respectivement le nombre de signes + et − dans ε . De plus, cont

d´ esigne le prolonge- ment analytique de ϕ b le long du chemin γ(ε) alors que sing

d´ esigne la prise de d´ eveloppement asymptotique au voisinage du point ω .

La d´ efinition pr´ ecise de la d´ eriv´ ee ´ etrang` ere ∆

est, certes, compliqu´ ee, mais il est clair qu’elle agit trivialement sur une fonction r´ eguli` ere en ω. L’autre point important est qu’il s’agit bien d’une d´ erivation.

1.2 Multizˆ etas et multitangentes.

1.2.1 Les multizˆ etas.

Les multizˆ etas sont les nombres d´ efinis, pour les s´ equences (s

; · · · ; s

) ∈ ( N

)

, r ∈ N

, v´ erifiant s

≥ 2, par les sommes suivantes :

Ze

= X

1≤nr<···<n1

1

n

· · · n

.

Lorsque r = 1, ces nombres sont simplement les valeurs de la fonction ζ de Riemann appliqu´ ee aux entiers. Leur premi` ere introduction remonte ` a l’ann´ ee 1775 lorsqu’Euler

´

etudia le cas des multizˆ etas de longueur 2 .

Aujourd’hui, les multizˆ etas interviennent dans des branches des math´ ematiques aussi vari´ ees que la th´ eorie des nombres, les groupes quantiques, la th´ eorie des noeuds, la physique math´ ematique, l’´ etude des diagrammes de Feynman, l’´ etude de P

− {0 ; 1 ; ∞} , l’´ etude du “groupe de Galois absolu”, ...

Actuellement, l’une des questions importantes est la compr´ ehension des nombreuses relations entre ces nombres. Les plus importantes sont les relations dites de sym´ etralit´ e et de sym´ etr´ elit´ e qui, une fois ´ etendues au cas divergent, semblent, de l’avis unanime des chercheurs s’int´ eressant ` a ces nombres, engendrer toutes les autres relations possibles, et donc ´ epuisent leur arithm´ etique.

1.2.2 Les multitangentes.

Les multitangentes sont les fonctions d´ efinies, pour z ∈ C − Z , par les sommes : Te

(z) = X

−∞<nr<···<n1<+∞

1

(n

+ z)

· · · (n

+ z)

.

Ici

, (s

; · · · ; s

) ∈ S

= {s ∈ seq( N

) ; s

≥ 2 et s

≥ 2} .

Les multitangentes sont, en fait, une g´ en´ eralisation ` a plusieurs variables des s´ eries d’Einsenstein, d´ efinies par :

E

(z) = X

n∈Z

1

(n + z)

, k ∈ N − {0 ; 1} , z ∈ C − Z .

Les multitangentes semblent ˆ etre apparues en th´ eorie de la r´ esurgence pour la premi` ere fois dans un texte de Jean Ecalle. A notre connaissance, elles n’avaient jusque l` a jamais ´ et´ e

´

etudi´ ees syst´ ematiquement pour elles-mˆ emes, alors qu’il s’agit d’un objet math´ ematique int´ eressant et tout ` a fait naturel.

1.3 Autour des invariants holomorphes.

1.3.1 Etude d’une ´ equation aux diff´ erences.

Dans tout ce paragraphe, fixons-nous un germe de fonction holomorphe a ∈ 1 z

C

1 z

et ´ etudions l’´ equation aux diff´ erences dont l’inconnue est la s´ erie formelle ϕ e :

ϕ(z e + 1) − ϕ(z) = e a(z) . (3)

En notant ϕ b = B( ϕ), o` e u ϕ e est une solution de (3), on a ϕ(ζ) = b b a(ζ)

e

− 1 , ce qui d´ efinit une fonction m´ eromorphe sur C dont les pˆ oles ne peuvent ˆ etre situ´ es qu’en 2iπ Z

. Ainsi, l’´ equation poss` ede une unique solution ϕ e ∈ 1

z C

1 z

qui est donc S-r´ esurgente et v´ erifie :

∆

ϕ b = − b a(ω) = (1 − e

) ϕ(ω) , pour b ω ∈ 2iπ Z

. Ainsi, ϕ b “re-surgit” en la singularit´ e ω.

De plus, ϕ e est sommable au sens de Borel dans les directions θ ∈

− π 2 ; π

2

∪ π

2 ; 3π 2

. Le principe de re-sommation sectorielle donne donc deux fonctions analytiques, ϕ

et ϕ

, solutions de (3) et d´ efinies par :

ϕ

= L

b a(ζ) e

− 1

, θ ∈

− π 2 ; π

2

et ϕ

= L

b a(ζ) e

− 1

, θ ∈

π 2 ; 3π

2

. Il existe alors une constante τ > 0 telle que ϕ

et ϕ

soient analytiques sur des domaines du type D

= C −{z ∈ C ; d(z ; R

) ≤ τ } et D

= C −{z ∈ C ; d(z ; R

) ≤ τ } :

On v´ erifie alors facilement que :



 

 



 

 



∀z ∈ C , =m z < −τ , ϕ

(z) − ϕ

(z) = − X

ω∈2iπN^∗

2iπ b a(ω)e

.

∀z ∈ C , =m z > τ , ϕ

(z) − ϕ

(z) = − X

ω∈−2iπN^∗

2iπ b a(ω)e

.

1 Si Ω est un ensemble, nous d´esignons par seq(Ω) l’ensemble des s´equences dont les ´el´ements appar- tiennent `a Ω. Contrairement `a la notation habituelle, `a savoir Ω^?, nous pourrons noter plus facilement les s´equences d’entiers non nuls par seq(N^∗) , ce qui se serait not´e traditionnellement par (N^∗)^? ...

Domaine d’holomorphie de Domaine d’holomorphie de la re-somm´ ee sectorielle ϕ

. la re-somm´ ee sectorielle ϕ

.

Figure 3 : Illustration des compl´ ementaires de D

et D

.

Enfin, on peut remarquer que ϕ

(z) = −

+∞

X

k=0

a(z + k) et ϕ

(z) =

+∞

X

k=1

a(z − k) . Alors, si a(z) = 1

z

pour p ≥ 2, l’expression de ϕ

− ϕ

donne une monotangente (c’est-

`

a-dire une multitangente de longueur 1) et son d´ eveloppement en s´ erie de Fourier.

En r´ esum´ e, la r´ esolution de cette ´ equation produit des fonctions S-r´ esurgentes ; la m´ ethode ´ etablit un premier lien entre ce calcul et les multitangentes. Qui plus est, celle-ci, convenablement it´ er´ ee, nous sera ` a nouveau utile pour calculer les invariants holomorphes des diff´ eomorphismes tangents ` a l’identit´ e et renforcera le lien avec les multitangentes.

1.3.2 Notion d’it´ erateur direct et d’it´ erateur r´ eciproque.

On sait que tout diff´ eomorphisme local f de C , ayant l’origine pour point fixe, est formellement conjugu´ e ` a un diff´ eomorphisme du type f

= exp(X

) · Id . Apr` es avoir effectu´ e pour des raisons techniques le changement de variable z = x

, envoyant l’origine

`

a l’infini, le champ de vecteurs X

devient (en notant toujours ∂

la d´ eriv´ ee ordinaire par rapport ` a la variable z) :

X

= 1 p

z

1 + ρz

z∂

.

On v´ erifie facilement que l’´ equation de conjugaison f ◦ u = u ◦ f

, d’inconnue u, admet alors une unique solution formelle du type u(z) = z + ϕ(z), o` u ϕ ∈ 1

z C

1 z

. Celle-ci s’appelle it´ erateur r´ eciproque de f, elle est not´ ee

f et v´ erifie par construction :

f ◦

f =

f ◦ f

. (4)

De mˆ eme, appelons aussi it´ erateur direct de f, et notons f

, l’inverse de

f . Il s’agit de l’unique s´ erie formelle du type v (z) = z+ψ(z), o` u ψ ∈ 1

z C

1 z

, v´ erifiant v◦f = f

◦v . Le cas-type correspond au cas o` u le champ de vecteurs X

est le plus simple possible : c’est obtenu lorsque (p ; ρ) = (1 ; 0). Dans ce cas, f

devient alors : f

(z) = z + 1 = l(z) . Son nom provient du fait qu’il est repr´ esentatif de ce qui se passe pour les autres classes de conjugaison formelle. Dor´ enavant, nous nous placerons dans ce cas.

1.3.3 L’´ equation du pont, porteuse des invariants analytiques.

L’´ equation (4) se r´ e´ ecrit alors sous la forme :

ϕ(z e + 1) − ϕ(z) = e a (z + ϕ(z)) e , o` u a(z) = f (z) − (z + 1) . (5) On est alors dans une situation similaire ` a celle de l’´ equation aux diff´ erences (3) , puisque le second membre de (5) s’interpr` ete comme une perturbation du second membre de (3) . La m´ ethode de r´ esolution de (3) permet alors de trouver “l’´ equation du pont”, qui s’´ ecrit : ∆

f(z) = A

f (z) , pour tout ω ∈ 2iπ Z

. Ici, pour tout ω ∈ 2iπ Z

, A

est un op´ erateur diff´ erentiel d’ordre 1, de la forme A

= A

∂

o` u A

∈ C .

L’importante suite scalaire des (A

)

est une suite d’invariants. Par invariance, on entend conjugaison du diff´ eomorphisme local f par un autre diff´ eomorphisme local.

De plus, cette suite forme un syst` eme complet d’invariants. Cela signifie qu’elle permet d’´ enoncer une condition n´ ecessaire et suffisante pour que deux diff´ eomorphismes soient analytiquement conjugu´ es : deux diff´ eomorphismes de C tangents ` a l’identit´ e, d’invariants (A

)

et (A

)

respectivement, sont analytiquement conjugu´ es si et seulement s’il existe c ∈ C tel que pour tout ω ∈ 2iπ Z

, on ait : A

= e

A

.

Enfin, cette suite forme un syst` eme libre d’invariants : la suite (A

)

cesse d’ˆ etre un syt` eme complet d` es qu’on lui retire un ´ el´ ement quelconque.

S’agissant de fonctions, les qualificatifs “holomorphe” et “analytique” sont presque synonymes. S’agissant d’invariants, on va leur donner des qualifications bien distinctes :

1. Un invariant sera dit analytique (par opposition ` a formel) s’il est invariant relativement aux changements de cartes, ou conjugaison analytique (par opposition

`

a la conjugaison formelle) .

2. Un invariant sera dit holomorphe s’il est fonction holomorphe du diff´ eomorphisme f, c’est-` a-dire de l’infinit´ e des coefficients de Taylor

.

Dans notre contexte, c’est-` a-dire lorsque le multiplicateur f

(0) vaut 1 ou est une racine de l’unit´ e (ce qui est presque la mˆ eme chose), la suite (A

)

est une suite d’invariants analytiques et holomorphes, g´ en´ erant un syst` eme complet et libre.

1.3.4 Des objets complexes, mais explicitement calculables.

De nombreux dynamiciens posent r´ eguli` erement la question :

Peut-on calculer ces in- variants ?

Ils ont id´ ee que cela n’est pas possible, mais y attachent beaucoup d’importance et seraient tr` es heureux d’ˆ etre capables de les calculer. En effet, ces nombres codent

2 A l’exclusion du premier coefficient non nul.

compl` etement la dynamique du diff´ eomorphisme. Pouvoir les calculer, avec autant de d´ ecimales que l’on veut, permettrait de faire avancer plus vite certaines questions.

Malheureusement, ces invariants holomorphes ont la r´ eputation infond´ ee d’ˆ etre pour certains incalculables, pour d’autres tr` es difficiles ` a calculer. Une premi` ere explication tient aux diff´ erentes causes de divergence en dynamique holomorphe. Il y en a trois : la pr´ esence de petits diviseurs liouvilliens, la pr´ esence de petits diviseurs m´ ecaniques ou encore notre contexte. Dans les deux premi` eres classes, la situation est sans espoir. Dans la troisi` eme classe, la situation est toute autre : le calcul explicite est possible, mais coˆ uteux (` a l’exception des deux premiers invariants) . Une autre explication de cette r´ eputation est li´ ee aux m´ ethodes g´ eom´ etriques que les dynamiciens utilisent, pourtant tr` es performantes, mais assez mal adapt´ ees dans ce contexte.

Bien entendu, mˆ eme si dans notre cadre, ces nombres sont calculables, ils n’en sont pas moins tr` es compliqu´ es. Il ne peut en ˆ etre autrement puisque les objets auxquels ils sont li´ es (les ensembles de Julia ou de Mandelbrot), ainsi que leurs ingr´ edients, les multizˆ etas, sont tous tr` es complexes. Mais, par d´ efinition mˆ eme, ils sont parfaitement calculables.

La r´ ealisation explicite de ce calcul est l’objet central de toute la premi` ere partie de ce travail.

2 Formule universelle et algorithmes de calculs des invariants.

L’objectif de la premi` ere partie de ce travail est de convaincre que les invariants holomorphes sont des objets calculables ` a haute pr´ ecision, mais aussi que l’on connait leur structure interne (` a savoir des rationnels, des multizˆ etas et des coefficients de Taylor).

Alors que les invariants holomorphes ont la r´ eputation d’ˆ etre incalculables, on se propose de montrer la possibilit´ e de leur calcul par diff´ erentes m´ ethodes. Pr´ ecis´ ement, dans cette partie, on exposera une formule explicite et universelle ` a la base d’un des algorithmes de calcul.

2.1 Cadre de travail et notations.

Consid` erons un diff´ eomorphisme f tangent ` a l’identit´ e dont le r´ esidu it´ eratif est nul, c’est-` a-dire s’exprimant ` a l’infini sous la forme :

f (z) = z + 1 + γ

(z) , o` u γ

(z) = X

n≥3

a

z

.

On suppose que la s´ erie d´ efinissant γ

est convergente au voisinage de +∞, ce qui s’exprime par : ∃(C

; C

) ∈ ( R

)

, |a

| ≤ C

C

. Notons aussi g(z) = f (z) − 1 , de sorte que : f = l ◦ g , o` u l(z) = z + 1 .

On dispose de deux it´ erateurs direct et r´ eciproque formels,

f(z) = z + ϕ(z) et e f

(z) = z + ψ e (z), v´ erifiant les ´ equations du pont :







∀ω ∈ 2iπ Z

, ∆

f

= −A

e

.

∀ω ∈ 2iπ Z

, ∆

f = A

∂

.

Ces deux it´ erateurs formels permettent de d´ efinir des it´ erateurs sectoriels, f

, f

,

∗

f

et

f

, qui sont des fonctions holomorphes sur des domaines du type D

et D

respectivement.

La diff´ erence ϕ

−ϕ

consid´ er´ ee lors de la r´ esolution de l’´ equation (3) admet ici comme analogue l’application de cornes π

d´ efinies par : π

= f

◦

f

. Celle-ci est d´ efinie sur tout C priv´ e d’une bande contenant l’axe des abscisses. Il est ais´ e de voir que π

− id est une fonction 1-p´ eriodique dont les coefficients de Fourier sont

les invariants holomorphes de f .

2.2 Expression de l’application de cornes.

Bien qu’il s’agisse d’un objet tr` es compliqu´ e, on dispose d’une formule explicite pour l’application de cornes π

:

π

(z) = z + X

r≥1

X

−∞<n_r<···<n₁<+∞

Γ

· z . (6)

Ici, Γ

est un op´ erateur agissant sur les fonctions tests comme suit :



 

 

 

 

Γ

· ϕ(z) = X

k≥1

(g(z + n) − z)

k!

∂

ϕ

∂z

.

Γ

= Γ

◦ · · · ◦ Γ

.

Ce r´ esultat important reviens ` a Jean Ecalle. Malheureusement, il est peu connu car la d´ emonstration que son auteur en a donn´ e est elliptique ; aussi, la d´ emonstration uti- lise les notations mouliennes. Notre contribution dans ce r´ esultat a ´ et´ e de pr´ eciser et pr´ esenter des ´ el´ ements de calcul moulien (cf. Annexe A) mais surtout de reprendre la preuve originale en pr´ esentant tous les d´ etails omis (cf. §2).

Rappellons aussi que la convergence de (6) est normale sur tout compact de C contenu dans l’ensemble de d´ efinition de π

. Avec ce mode de convergence, la formule (6) sera notre point de d´ epart.

2.3 Formule universelle pour les invariants.

A partir de maintenant, on notera N

= {n ∈ N ; n ≥ p} .

Expression de l’application de cornes et des invariants : Il s’agit de d´ eduire de (6) l’expression des invariants holomorphes. Pour cela, on va d´ evelopper l’expression de Γ

· z, l’ins´ erer dans (6), puis permuter les sommes pour faire apparaˆıtre des multitangentes.

On obtient typiquement le r´ esultat suivant (cf. §3) :

3 Il ne s’agit pas `a proprement parler des invariants holomorphes Aω, mais des A⁺_ω qui d´ependent polynomialement des A_ω . Mais ce d´etail technique est sans importance.

Th´ eor` eme 1 : Consid´ erons la famille de rationnels H

, o` u (s ; n) ∈ seq( N

)×seq( N

), d´ efinie r´ ecursivement par :

H

= X

(n⁰;n⁰⁰)∈(seq(N3)−{∅})² s⁰∈seq(N2) n⁰·n⁰⁰=n ,s⁰≤s

||s⁰||+l(n⁰⁰)=||s||

s_l+1+l(n⁰⁰)=||n⁰⁰||

(−1)

H





l(s)

Y

k=1

s

− 1 s

− 1



 .

Notons aussi A

le comoule d´ efini sur seq( N

) par :

∀n ∈ seq( N

) , A

= a

· · · a

.

Alors, l’application de cornes π

est donn´ ee par les expressions sui- vantes :

π

= X

(s;n)∈seq(N2)×seq(N3) l(n)≥l(s)

||n||=||s||+1

A

H

Te

(7)

= X

s∈seq(N2)

He

Te

(8)

= X

n∈seq(N3)

A

T

. (9)

Ici, les expressions (8) et (9) se d´ eduisent de (7) apr` es regroupement des s´ equences n ∈ seq( N

) et s ∈ seq( N

) respectivement. Remarquons aussi que (8) est une contraction moule-comoule.

En fait, pour d´ emontrer ce th´ eor` eme, une permutation de sommes est n´ ecessaire, mais celle-ci n’est pas simple ` a justifier. C’est une difficult´ e de taille, mais puisqu’il s’agit des coefficients de Fourier de π

que l’on cherche ` a calculer, la convergence de (6) ´ etant normale sur tout compact, il n’est pas difficile de permuter l’int´ egrale de Fourier avec la somme. Le calcul se poursuit alors en montrant que chaque int´ egrale ` a calculer est une int´ egrale de Fourier d’une multitangente (cf. §3). Il reste donc ` a calculer les coefficients de Fourier des multitangentes, ce qui n’est pas difficile et est fait dans la seconde partie (cf. Partie 2, §7) . On obtient alors le r´ esultat suivant :

Th´ eor` eme 2 : Notons MZV = Vect

(Z e

)

d

, o` u S

= {s ∈ seq( N

) ; s

≥ 2} . Notons aussi sg(N) le signe de l’entier N et A

= a

· · · a

.

Alors, il existe des coefficients explicites ( b τ

)

∈ MZV

, tels que les invariants holomophes de f admettent l’expression sui- vante :

∀N ∈ Z

, A

= sg(N) X

n∈seq(N3)

b τ

A

. (10)

Ce qui est remarquable dans cet ´ enonc´ e, c’est l’universalit´ e des coefficients ( b τ

)

:

il s’agit de multizˆ etas ind´ ependants de f !

Essentiellement, les ( b τ

)

sont les coefficients de Fourier des fonctions 1-p´ eriodi- ques T

∈ MTGF = Vect

(Te

)

(o` u S

= {s ∈ seq( N

) ; s

≥ 2 et s

≥ 2}) . Le th´ eor` eme 2 ´ etant d´ emontr´ e, il n’est alors plus difficile d’obtenir une d´ emonstration du fait que π

− id

est somme de sa s´ erie de Fourier.

Ainsi, on passe des formules (6) ` a (10) en remplacant les multitangentes par des multizˆ etas, et inversement : les expressions sont donc similaires.

Exemple : Choisissons f en posant g(z) = exp(αz

∂

)

· z = z (1+3 αz

)

. Alors : f (z) = l ◦ g(z) = z + 1 + α

z

+ O(z

) .

Si T a

d´ esigne une combinaison lin´ eaire de multitangentes faites pour simplifier l’´ ecriture, alors on obtient :

π

= +α · T a

−α

· 2Ta

+α

· 4T a

+ 6T a

−α

· 8Ta

+ 12T a

+ 12Ta

+ 24Ta

+ 24Ta

+O(α

) .

Apr` es r´ eduction des multitangentes en monotangentes (cf. partie 2, §3) , et en utilisant les valeurs des multizˆ etas r´ eduits, on obtient :

π

= +α · Te

·

+α

· Te

· − 6 ζ(3) +α

· Te

·

− 32

5 ζ(2)

+ 36 ζ(3)

+ α

· Te

·

− 1 5 ζ(2)

+ α

· Te

·

− 1 3 ζ(2)

+α

· Te

· 576

5 ζ(3)ζ(2)

− 216 ζ(3)

− 210 ζ(9)

+α

· Te

·

14 ζ(7) + 18

5 ζ(3)ζ(2)

+ α

· Te

·

6 ζ(2)ζ(3) − 10 3 ζ(5)

+O(α

) .

Enfin, A

(f ) = X

n∈N^∗

c

α

est une fonction enti` ere de l’unique param` etre α, de type exponentiel en α

. Ses 12 premiers coefficients, de signes altern´ es, valent :

c

= −39.4784176043574344753... c

= −356.388791016996809...

c

= +284.7318264428106410205... c

= +131.76870562724...

c

= −788.4456763395103611766... c

= −38.5440209553...

c

= +1183.670897479215553310... c

= +9.1457604...

c

= −1124.013101882737214516... c

= −1.796...

c

= +738.577609773162031453... c

= +0.3...

2.4 M´ ethodes de calculs des invariants.

Nous avons d´ ej` a rappel´ e que les invariants holomorphes ont la r´ eputation infond´ ee d’ˆ etre pour certains incalculables, pour d’autres tr` es difficiles ` a calculer. Cela ne peut ˆ etre vrai puisque ce sont des coefficients de Fourier.

Afin de convaincre du contraire, nous pr´ esentons, en les comparant, trois m´ ethodes de calcul num´ erique des invariants (cf. §6) .

2.4.1 M´ ethode 0 :

En tant que coefficients de Fourier, les invariants sont exprimables ` a l’aide d’une int´ egrale dans le plan multiplicatif :

A

= lim

p−→+∞

Z

l

◦ f

◦ l

(z) − z

e

dz .

Cette m´ ethode est appel´ ee la m´ ethode 0 , car elle n’est pas v´ eritablement exploitable.

Du moins, num´ eriquement, ce sera la plus mauvaise des m´ ethodes.

2.4.2 M´ ethode 1, issue de l’asymptotique des coefficients :

Consid´ erons un germe ϕ b de fonction holomorphe en 0, prolongeable sur un disque de rayon r = |ω| , o` u ω est une singularit´ e de ϕ b suppos´ ee unique

. Exprimons ϕ b sous la forme :

ϕ(ζ) = b X

n≥0

J(n)ζ

.

Le principe consiste ` a d´ eterminer cette singularit´ e ` a partir de la connaissance de l’asymptotique des coefficients de ϕ. Supposons que les coefficients J(n) admettent le b d´ eveloppement asymptotique : J(n) = e

J

(n) + o e

J

(n)

, o` u J

(n) ∈ C

1 n

. En ´ ecrivant J

(n) = X

k≥0

α

n

, on peut alors consid´ erer la transformation de Borel de J

. Celle-ci est reli´ ee ` a ϕ b par :

ϕ(ζ) = b b J

log

1 + ζ

ζ

.

Il s’agit d’une m´ ethode simple et tr` es utile mais qui ne permet de calculer que la premi` ere paire d’invariants non nuls.

2.4.3 M´ ethode 2, issue de l’analyse r´ esurgente dans le plan de Borel.

On sait qu’il existe un isomorphisme entre le demi-plan de Poincar´ e H et C − ^ 2 πi Z . Celui-ci est explicite et est donn´ e par z 7−→ − ln(1−λ(z)), o` u λ est la fonction automorphe classique. Plus pr´ ecisemment, cet isomorphisme est donn´ e par :

z 7−→ − ln(1 − λ(z)) = 16 X

n≥1 nimpair

u

e

, o` u u

= 1 n

X

d|n

d .

4 Cette hypoth`ese d’unicit´e de la singularit´e n’est pas restrictive.

On dispose alors de trois homographies dans le demi-plan de Poincar´ e : R(z) = z + 2 , S(z) = z

−2z + 1 , T(z) = z − 2 2z − 3 .

Leurs images dans C ^ − 2iπ Z correspondent respectivement ` a la rotation d’angle π autour de 0, la translation de pas −2iπ et enfin la translation de pas 2iπ . Ainsi, pour connaˆıtre la valeur de A

, il suffit de connaitre les valeurs limites en 2iπ

n + 1

2

par la droite et par la gauche. On transforme le chemin suivi pour calculer usuellement les d´ eriv´ ees ´ etrang` eres par transformation conforme.

Cette m´ ethode est tr` es efficace si ω est petit ; plus ω est grand, plus inf

= h

(w) sera petit, ce qui force ` a approcher la fronti` ere de H o` u les calculs sont coˆ uteux.

2.4.4 M´ ethode 3, reposant sur les formules universelles.

Contrairement aux deux m´ ethodes pr´ ec´ edentes, la m´ ethode que nous allons d´ ecrire maintenant permet de calculer tous les invariants. L’id´ ee g´ en´ erale est de tronquer la s´ erie (10) donnant le n-i` eme invariant. Mais pour cela, il est n´ ecessaire d’avoir un ordre de grandeur du reste.

Evaluation du reste. Toute la section 4 est consacr´ ee ` a une majoration des invariants.

Elle permet d’aboutir ` a une majoration fine du reste :

Propri´ et´ e 1 : ∃(K

; K

) ∈ ( R

)

, ∀p

∈ N ,

X

p∈seq(N3)

||p||>p 0

τ b

A

≤ K

e

2e|n|π p

.

Cela provient d’estimations d´ ej` a faites par Jean Ecalle, que nous avons reprises, compl´ et´ ees, adapt´ ees et surtout mises en forme avec le souci d’optimiser les constantes apparaissant. Ces majorations sont le coeur de l’algorithme ; la m´ ethode est tr` es proche de celle d´ ej` a vue lors de la r´ esolution de l’´ equation (3) :

1. on exprime l’it´ erateur f

` a l’aide d’op´ erateurs not´ es H

et L ; 2. on exprime f b

= B(f

) ;

3. on majore f b

= B(f

) dans un secteur du type ]θ

; θ

[ ⊂ i

− π 2 ; π

2 h

;

4. on d´ eduit de ces trois premiers points une majoration de f

sur un demi-plan ; 5. on reprend les majorations du point 3 en vue de majorer

f

, apr` es avoir exprim´ e

l’inverse de z + ϕ(z) ∈ z + C

1 z

;

6. on d´ eduit des points 3 et 4 que π

est bien d´ efinie sur un demi plan sup´ erieur et inf´ erieur, mais surtout on obtient une majoration de π

− id

;

7. on conclut par une majoration des coefficients de Fourier de π

− id

, c’est-` a-dire

des invariants.

Acc´ el´ eration de la convergence. En vue d’acc´ el´ erer la convergence de l’algorithme, il est souhaitable d’augmenter l´ eg` erement la valuation du diff´ eomorphisme f, c’est-` a- dire d’augmenter la puissance du premier terme de f (z) − z − 1 en conjuguant f ` a ϕ

(z) = (1 + cz

)

, pour un c bien choisi. Cela est possible, car un conjugu´ e de f poss` ede les mˆ eme invariants holomorphes que f . Globalement, la valuation aug- ment´ ee, les coefficients de Taylor se trouvent ˆ etre beaucoup plus compliqu´ es. Il faut donc utiliser cela avec pr´ ecaution.

Une autre mani` ere d’augmenter la vitesse de calcul est de n´ egliger les termes de f d’ordre ´ el` ev´ e, ce qui est justifi´ e par une majoration similaire ` a celle dans la propri´ et´ e pr´ ec´ edente.

L’algorithme. L’algorithme de calcul des invariants, bas´ e sur la formule universelle (10) se divise en trois ´ etapes :

1. L’augmentation de la valuation de f .

2. La troncature de f pour n´ egliger ses derniers termes.

3. Le calcul de la somme partielle.

2.4.5 Comparaison des m´ ethodes.

Dans le cas-type :

• La m´ ethode 1 permet de calculer les deux premiers invariants rapidement et avec une pr´ ecision extrˆ eme (une centaine de d´ ecimales en une heure de calculs Maple) . De plus, elle est peu sensible ` a la taille des coefficients de f.

• La m´ ethode 2 est elle aussi peu sensible ` a la taille des coefficients de f , mais elle est de moins en moins efficace lorsque les indices ω croissent.

Elle pourrait aussi s’´ etendre (th´ eoriquement et via la synth` ese des diff´ eomorphismes) aux paires successives d’invariants.

• La m´ ethode 3 est la plus satisfaisante th´ eoriquement car elle fournit l’expression exacte des invariants holomorphes en fonction des coefficients de Taylor de f et du seul ingr´ edient transcendant, qui sont les multizˆ etas. Elle permet donc d’´ etudier les invariants en fonction de param` etres, ce que ne permettaient pas les deux premi` eres m´ ethodes.

A l’inverse de la m´ ethode 2, elle est peu sensible ` a la taille de ω, mais en revanche tr` es sensible ` a la taille de f .

• Pour des f et ω “grands”, ou mˆ eme “moyens”, les m´ ethodes 2 et 3 se valent ` a peu pr` es.

Ni l’une ni l’autre n’est tr` es performante. La m´ ethode 3 a l’avantage de l’universalit´ e : elle vaut pour tous les f , mais n´ ecessite la tabulation pr´ ealable de nombreux multizˆ etas.

La m´ ethode 2 fait l’´ economie de cette tabulation, mais n´ ecessite le calcul de plusieurs centaines de coefficients de Taylor.

Ce qui change hors du cas-type.

Lorsque p = 1 mais ρ 6= 0, les trois m´ ethodes restent inchang´ ees pratiquement.

Lorsque p ≥ 2, il y a des ramifications. La premi` ere m´ ethode fonctionne sans change-

ment, si ce n’est qu’elle fournit les 2p invariants les plus proches. En dehors de la rami-

fication, la m´ ethode de la transformation conforme ne change pas. Quant ` a la troisi` eme

m´ ethode, il faut distinguer :

1. l’expression de π

, qui semble ˆ etre toujours vraie, mais avec des multitangentes ramifi´ ees ;

2. l’expression des invariants, qui change : il devrait y avoir des multizˆ etas ramifi´ ees.

Les changements sont s´ erieux.

3 Etude des multitangentes.

La formule universelle montre en quoi les multitangentes (resp. les multizˆ etas) sont l’unique ingr´ edient transcendant entrant dans la construction de l’application de cornes (resp. les invariants analytiques). Cette formule permet de comprendre, pr´ ecis´ ement et au niveau microscopique, quelles sont les propri´ et´ es des multitangentes et multizˆ etas qui sont responsables de cette invariance. C’est l` a une premi` ere raison de s’int´ eresser aux relations entre ces objets.

Une seconde raison tient aux analogies manifestes entre multitangentes et multizˆ etas, qui sont d´ efinis par des sommes analogues et v´ erifient une mˆ eme table de multiplication.

La partie arithm´ etique de nos travaux permet d’apporter un ´ eclairage nouveau sur les multitangentes, les invariants analytiques et les multizˆ etas : appelons multizˆ etas dynamiques toute famille de nombres qui, substitu´ es aux “vrais” multizˆ etas, pr´ eserve les invariants par conjugaison, appelons aussi multizˆ etas dimorphiques toute famille de nombres satisfaisant aux deux classiques familles de “relations quadratiques” qui sont v´ erifi´ ees par les “vrais” multizˆ etas et qui, de l’avis g´ en´ eral, paraissent ´ epuiser la totalit´ e de leur arithm´ etique.

Il se trouve que :

1. les propri´ et´ es des multizˆ etas dynamiques sont plus faibles que celles des multizˆ etas dimorphiques ;

2. les propri´ et´ es des multizˆ etas dynamiques sont pr´ ecis´ ement celles qui se d´ eduisent de leurs analogues chez les multitangentes ;

3. les multizˆ etas dynamiques et les multizˆ etas dimorphiques constituent deux Q -anneaux engendr´ es chacun par une famille d´ enombrable d’irr´ eductibles, mais avec des irr´ educ- tibles dynamiques plus “nombreux” (car sujets ` a moins de contraintes) et plus faciles

`

a d´ ecrire que les irr´ eductibles dimorphiques.

Ces trois assertions proviennent de l’´ etude des relations liant les multitangentes entre elles.

3.1 D´ efinition et premi` eres propri´ et´ es.

Avant toute chose, rappelons qu’un moule n’est rien d’autre qu’une application d´ efinie sur un ensemble de s´ equences (d’´ el´ ements de Ω), c’est-` a-dire sur un mono¨ıde seq(Ω) ou une partie de seq(Ω) . Rappelons aussi qu’un moule M

, d´ efini sur un alphabet Ω poss´ edant une structure de semi-groupe, est dit sym´ etrel lorsque :

∀(α α α ; β β β) ∈ (seq(Ω))

, M

M

= X

γ

γγ∈she(ααα;βββ)

M

.

Ici, she(α α α ; β β β) d´ esigne le produit de battage contractant des s´ equences α α α et β β β .

Alors, nous disposons de la propri´ et´ e suivante r´ esumant les principales propri´ et´ es

´

el´ ementaires des multitangentes (cf. §2) :

Propri´ et´ e 2 : Soit S

= {s ∈ seq( N

) ; s

≥ 2 et s

≥ 2} .

1. La fonction Te

est correctement d´ efinie pour toute s´ equence s ∈ S

.

2. La fonction T e

est holomorphe sur C − Z pour toute s´ equence s ∈ S

, elle converge uniform´ ement sur tout compact de C − Z , et v´ erifie, pour tout s ∈ S

et tout z ∈ C − Z :

∂T e

∂z (z) = −

l(s)

X

i=1

s

Te

(z) . 3. Pour tout z ∈ C − Z , Te

(z) est un moule sym´ etrel, i.e. :

∀z ∈ C − Z , ∀(α α α ; β β β) ∈ (S

)

, T e

(z) T e

(z) = X

γ

γγ∈she(ααα;βββ)

T e

(z) . 4. ∀z ∈ C − Z , ∀s ∈ S

, Te

(−z) = (−1)

T e

(z) .

3.2 R´ eduction en monotangentes et projection sur l’espace des multitangentes.

Le principe qui semble r´ egir les multitangentes est le suivant : tout r´ esultat sur les multitangentes se traduit en un r´ esultat sur les multizˆ etas, et r´ eciproquement. Ainsi, la rigidit´ e des multitangentes provient de la rigidit´ e des multizˆ etas. Effectivement, un r´ esultat simple mais extrˆ emement profond indique que chaque multitangente s’exprime de mani` ere ´ el´ ementaire sous la forme d’une somme de produits d’un nombre rationnel, d’une Q -combinaison lin´ eaire de multizˆ etas et enfin d’une monotangente

. Ces relations, appel´ ees r´ eduction en monotangentes, r´ ealisent un lien fort entre multitangentes et mul- tizˆ etas. Pr´ ecis´ ement, nous disposons du th´ eor` eme suivant :

Th´ eor` eme 3 : Notons :

B

=

i−1

Y

l=1

(−1)

!

Y

l=i+1

(−1)

!







r

Y

l=1 l6=i

s

+ k

− 1 s

− 1





 . Z

= X

k1,···,cki,···, kr≥0 k1+···+cki+···+kr=k

i

B

Ze

Ze

. Alors, pour toute s´ equence s ∈ S

, on a :

∀z ∈ C − Z , Te

(z) =

r

X

i=1 si

X

k=2

Z

i−k

Te

(z) .

La d´ emonstration repose sur une d´ ecomposition en ´ el´ ements simples. Mais, ce qui est remarquable dans ce r´ esultat, c’est l’absence de composante T e

, ce qui redonne une partie d’une des deux tables de multiplication des multizˆ etas. Cette absence peut se d´ emontrer

5 Une monotangente est une multitangente de longueur 1, c’est-`a-dire pour laqueller= 1. Il s’agit en fait d’une s´erie qu’Eisenstein a consid´er´e pour d´evelopper sa th´eorie des fonctions p´eriodiques.

par un argument analytique (cf. §7) ou en utilisant les relations entre multizˆ etas tout juste mentionn´ ees. Rappelons encore une fois que ce r´ esultat est beaucoup plus profond qu’il n’y paraˆıt car il r´ ealise un lien fort entre multitangentes et multizˆ etas : tout r´ esultat sur les multitangentes semble se traduire en un r´ esultat sur les multizˆ etas, grˆ ace ` a son utilisation.

Voici quelques exemples de relations de r´ eductions :

Poids 6

Poids 4 T e

= 8

5 ζ(2)

Te

− 2ζ(3)Te

+ ζ(2)Te

. Te

= 2ζ(2)Te

. T e

= − 12

5 ζ(2)

Te

. T e

= 8

5 ζ(2)

Te

+ 2ζ(3)Te

+ ζ(2)T e

.

Poids 5 Te

= 8

5 ζ(2)

Te

. Te

= −3 ζ(3)Te

+ ζ(2)Te

. Te

= − 2

5 ζ(2)

Te

+ ζ(3)Te

. Te

= 3 ζ(3)Te

+ ζ(2)Te

. Te

= − 2

5 ζ(2)

Te

− ζ(3)Te

.

Te

= 0 . Te

= 4

5 ζ(2)

T e

.

En fait, le lien d´ ej` a mentionn´ e semble encore plus profond, puisque admettant pro- bablement une sorte de r´ eciproque. Rappelons que l’on note MZV = Vect

(Ze

)

d

et MTGF = Vect

(Te

)

df

.

Conjecture 1 : MTGF est un MZV-module, ce qui signifie que tout produit d’un multizˆ eta et d’une multitangente est une Q -combinaison lin´ eaires de multitangentes.

Cette conjecture a ´ et´ e v´ erifi´ ee pour tout multizˆ eta dont le poids (c’est-` a-dire la somme des arguments) est inf´ erieur ` a 16. Elle permettrait de pouvoir traduire tout r´ esultat sur les multizˆ etas en des r´ esultats sur les multitangentes. En particulier, un tel r´ esultat montrerait par exemple que :

1. le nettoyage

des multizˆ etas entraˆıne le nettoyage des multitangentes (cf §6) ; 2. l’absence conjecturale de Q -combinaison lin´ eaire entre multizˆ etas de poids diff´ erents

serait ´ equivalente ` a l’absence de Q -combination lin´ eaire entre multitangentes de poids differents (cf. §8) ; cela donnerait un ´ equivalent fonctionnel de cette conjecture sur les multizˆ etas.

D´ emontrer cette conjecture aurait donc des cons´ equences arithm´ etiques importantes sur la nature de multizˆ etas.

6 Par nettoyage des multizˆetas (resp. multitangentes), on entend une expression des multizˆetas