R´ esum´ e. — Nous ´ etablissons ici une suite exacte reliant la L

UNE SUITE EXACTE EN L

²

−COHOMOLOGIE

R´ esum´ e. — Nous ´ etablissons ici une suite exacte reliant la L

²

-cohomologie (r´ eduite) et la cohomologie ` a support compact pour des vari´ et´ es Riemannienne non compacte compl` ete qui v´ erifie une in´ egalit´ e de Sobolev et une condition int´ egrale sur la courbure. Ceci nous permet de donner une formule de Gauss-Bonnet relative.

Abstract. — We exhibit here an exact sequence relating the reduced L

²

- cohomology and the cohomology with compact support for non compact complete Riemannian Manifold which satisfy a Sobolev inequality and an integral bound on the curvature. This enables us to give a relative Gauss- Bonnet formula.

0. Introduction

Le but de cet article est d’´ etudier certains liens entre la cohomologie L

²

(r´ eduite) et la cohomologie ` a support compact.

Rappelons que si (M

ⁿ

, g) est une vari´ et´ e riemannienne compl` ete son k-i` eme espace de L

²

-cohomologie (r´ eduite) peut ˆ etre d´ efini comme l’espace, H

^k

(M ), des k-formes diff´ erentielles α ∈ L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ) qui sont ferm´ ees et coferm´ ees (dα = 0, δα = 0) ou de fa¸ con ´ equivalente, qui sont harmoniques pour le Laplacien de Hodge-deRham

∆

^k

= δd + dδ, (cf 1.a de cet article ou [Do]). Lorsque la vari´ et´ e M est compacte (sans bord), le th´ eor` eme de Hodge-de Rham dit que ces espaces sont de dimension finie et qu’ils sont isomorphes aux espaces de cohomologie r´ eelle de M ; et nous avons la formule de Gauss-Bonnet :

χ(M ) = Z

M

Ω =

n

X

k=0

(−1)

^k

dim H

^k

(M ),

o` u Ω est n−forme d’Euler ; par exemple en dimension 2, nous avons Ω = KdA/2π K ´ etant la courbure de Gauss de (M, g) et dA la forme d’aire.

Lorsque (M, g) n’est pas compacte, ces espaces ne sont pas, en g´ en´ eral, de dimension finie. Cependant nous avions, dans [C], obtenu le r´ esultat suivant

0.1. th´ eor` eme . — Si (M

ⁿ

, g) est une vari´ et´ e riemannienne compl` ete qui v´ erifie l’in´ egalit´ e de Sobolev

µ

p

(M ) Z

M

|u|

^p−22p

(x)dx

¹⁻_p²

≤ Z

M

|du|

²

(x)dx, ∀u ∈ C

₀^∞

(M ), et dont le tenseur de courbure v´ erifie

Z

M

|R|

^p2

(x)dx < ∞,

alors les espaces de L

²

-cohomologie de (M

ⁿ

, g) sont de dimension finie.

Remarquons alors que la n−forme d’Euler v´ erifie la majoration

|Ω|(x) ≤ c(n)|R|

ⁿ²

(x).

A la suite de ce th´ eor` eme et de la formule de Gauss-Bonnet, il apparaˆıt une question naturelle :

lorsque (M

ⁿ

, g) satisfait aux hypoth` eses du th´ eor` eme (pour p = n), comment peut-on relier la caract´ eristique d’Euler L

²

de (M

ⁿ

, g), d´ efinie par χ

_L2

(M ) = P

n

k=0

(−1)

^k

dim H

^k

(M ), et l’int´ egrale de la n−forme d’Euler sur M . Nous avons rappel´ e que, dans le cas d’une vari´ et´ e compacte, les espaces de L

²

- cohomologie sont isomorphes aux groupes de cohomologie r´ eelle de M , dans le cadre du th´ eor` eme (0.1), il serait int´ eressant de relier la L

²

- cohomologie r´ eduite de (M, g) ` a la cohomologie ` a support compact de M .

Le but de cet article est de r´ epondre, du moins en partie, ` a ces questions.

L’id´ ee est de g´ en´ eraliser les arguments avec lesquels nous avions calcul´ e explicite- ment la L

²

-cohomologie (r´ eduite) des sous-vari´ et´ es minimales d’un espace euclidien dont la seconde forme fondamentale II v´ erifie R

M

|II |

ⁿ

(x)dx < ∞ ([C]).

Notre principal r´ esultat (3.1) est une suite exacte reliant, la cohomologie ` a support compact d’un domaine born´ e D de M , la L

²

-cohomologie (r´ eduite) de M et de M − D.

0.2. Th´ eor` eme . — Soit (M

ⁿ

, g) une vari´ et´ e Riemannienne compl` ete, qui pour un p > 4, v´ erifie l’in´ egalit´ e de Sobolev

µ

_p

(M ) Z

M

|u|

^p−22p

(x)dx

1−_p²

≤ Z

M

|du|

²

(x)dx, ∀u ∈ C

₀^∞

(M ), et telle que son tenseur de courbure v´ erifie

Z

M

|R(x)|

^p2

dx < ∞,

alors si D est un ouvert born´ e (` a bord r´ egulier) de M , nous avons la suite exacte .. −→ H

^k

(D, ∂D) −→H

^{i k}

(M )

^j

∗

−→H

₍₂₎^k

(M − D) −→H

^{b k+1}

(D, ∂D) −→ ..

La L

²

-cohomologie (r´ eduite) de M − D, H

₍₂₎^∗

(M − D), est d´ efinie et ´ etudi´ ee dans la deuxi` eme partie ; on y verra notamment comment les r´ esultats obtenus pour la L

²

-cohomologie des vari´ et´ es compl` etes s’y transposent.

Remarques. —

i) Cette suite exacte est l’analogue le suite exacte de l’homomorphisme cobord en cohomologie classique ([Go]).

ii) Par exemple, une vari´ et´ e riemannienne compl` ete de dimension n > 4

`

a courbure nulle au dehors d’un compact et dont le volume des boules

g´ eod´ esiques a un comportement uniformement ´ equivalent ` a la fonction

(r 7→ r

ⁿ

) v´ erifie nos hypoth` eses pour p = n ; en effet pour ces vari´ et´ es

notre hypoth` ese sur la courbure est bien v´ erifi´ ee, de plus selon T. Coulhon

et L. Saloff-Coste, nous savons que pour les vari´ et´ es ` a courbure de Ricci

positive ou nulle sur un voisinage de l’infini, ce comportement uniforme du

volume des boules g´ eod´ esiques implique cette in´ egalit´ e de Sobolev ( en fait

il y a mˆ eme une ´ equivalence, cf. [C-S]).

iii) Et suivant la proposition (2.8), une vari´ et´ e connexe, de volume infini, de dimension n > 4 isom´ etriquement immerg´ ee dans un espace euclidien dont la seconde forme fondamentale de l’immersion est n−int´ egrable v´ erifie nos hypoth` eses pour p = n.

iv) En fait, lorsqu’on consid` ere la L

²

cohomologie non-r´ eduite, cette suite est toujours exacte. Cependant, la L

²

cohomologie r´ eduite et non-r´ eduite coincident uniquement lorsque 0 n’est pas dans le spectre essentiel du Laplacien de Hodge-de Rham ; or pour les exemples donn´ es donn´ es ci-dessus ce n’est pas le cas.

iv) L’hypoth` ese sur la dimension de l’in´ egalit´ e de Sobolev p > 4 est celle qui permet de savoir que certaines fonctions harmoniques d´ ecroissent assez vite

`

a l’infini.

Dans une premi` ere partie, on ´ etablira l’existence d’ op´ erateurs de Green et on montrera quelques propri´ et´ es de ces op´ erateurs, propri´ et´ es qui seront fondamen- tales pour la preuve de l’exactitude de cette suite. Cette suite sera d´ efinie dans la troisi` eme partie.

Certains liens entre L

²

-cohomologie, cohomologie classsique, et classe d’homotopie sont d´ ej` a connu :

M. Atiyah, V. Patodi et I. Singer avaient montr´ e, dans [A-P-S], que la L

²

-cohomologie (r´ eduite) d’une vari´ et´ e Riemannienne ` a bouts cylindriques ´ etait isomorphe ` a l’image de la cohomologie ` a support compact dans la cohomologie absolue.

Lorsque la vari´ et´ e est un revˆ etement galoisien infini d’une vari´ et´ e compacte, Γ −→ M −→ M ,

les espaces de L

²

-cohomologie (r´ eduite) ne sont pas de dimension finie (` a moins d’ˆ etre nuls), mais ils peuvent ˆ etre consid´ er´ es comme des Γ-modules pour lesquel ont peut d´ efinir une dimension de Von-Neuman, b

k

(Γ, M ) = dim

Γ

H

^k

(M ) ; dans [At], M. Atiyah montrait l’´ egalit´ e

Z

M

Ω = χ(M ) =

n

X

i=0

(−1)

ⁱ

b

i

(Γ, M ) ;

J. Dodziuk ([Do]) a ensuite montr´ e que ces nombres de Betti ´ etaient de nouveaux invariants d’homotopie de (Γ / π

1

(M ), M ). Dans [C-G], J. Cheeger et M. Gro- mov avaient ´ etabli des suites exactes de Mayer-Vietoris pour la L

²

-cohomologie (r´ eduite) d’un revˆ etement infini d’une vari´ et´ e de volume fini et de g´ eom´ etrie born´ ee, ceci leur permettaient de g´ en´ eraliser les r´ esultats de M. Atiyah et J. Dodz- iuk ` a ces vari´ et´ es. Enfin r´ ecement, J. Lott et W. L¨ uck ont calcul´ e ces nombres de Betti L

²

pour des vari´ et´ es de dimension trois, ceci grˆ ace notamment ` a une suite exacte de Mayer-Vietoris ([L-L]).

Dans [E-R], K. Elworthy et S. Rosenberg avaient ´ etudi´ e les effets de la

nullit´ e de la L

²

-cohomologie de vari´ et´ es ` a courbure essentiellement positive sur les

groupes de cohomologie et d’homotopie .

En fait cette suite est exacte au premier rang sans hypoth´ ese sur la dimension de l’in´ egalit´ e de Sobolev et nous pouvons en d´ eduire le r´ esultat suivant sur la topologie des vari´ et´ es que nous consid´ erons (cf 3.3)

0.3. Th´ eor` eme . — Si (M

ⁿ

, g) une vari´ et´ e Riemannienne compl` ete con- nexe, qui v´ erifie l’in´ egalit´ e de Sobolev

µ

_p

(M ) Z

M

|u|

^p−22p

(x)dx

1−_p²

≤ Z

M

|du|

²

(x)dx, ∀u ∈ C

₀^∞

(M ), alors

0 −→ H

_c¹

(M ) −→ H

¹

(M ).

Si de plus, la plus petite valeur propre n´ egative du tenseur de Ricci, ric

₋

, v´ erifie pour un > 0

ric

₋

∈ L

^p2

∩ L

^p2+

alors on a le majoration

dim H

_c¹

(M ) = dim H

⁽ⁿ⁻¹⁾

(M ) ≤ C(p)µ

p

(M )

⁻¹

Z

M

|ric

₋

(x)|

^p2

dx.

et dans ce cas M

ⁿ

a un nombre fini de bouts b et on a la majoration b ≤ 1 + C(p)µ

p

(M )

⁻¹

Z

M

|ric

₋

(x)|

^p2

dx.

De cette suite exacte, nous pouvons en d´ eduire les formules suivantes pour la caract´ eristique d’Euler L

²

:

0.4. Th´ eor` eme . — Soit (M

ⁿ

, g) une vari´ et´ e Riemannienne compl` ete qui v´ erifie les mˆ emes hypoth` eses qu’au th´ eor` eme (0.2) alors si D est un ouvert born´ e de M on a

χ

L²

(M, g) = χ(D, ∂D) + χ

L²

(M − D, g).

Si de plus la dimension n est paire alors χ

_L2

(M, g) =

Z

D

Ω + Z

∂D

P (II) + χ

_L2

(M − D),

o` u P (II) est un polynˆ ome en la seconde forme fondamentale de ∂D ⊂ M . En particulier si p = n alors nous avons la formule

χ

_L2

(M, g) = Z

M

Ω + lim

D→M

Z

∂D

P (II) + χ

_L2

(M − D)

.

Cette formule a de nombreuses cons´ equences, d’abord elle montre (cf. 3.5) 0.5. Corollaire . — La caract´ eristique d’Euler L

²

est un invariant d’homotopie ` a support compact.

En fait, selon J. Lott ([L]), c’est un fait g´ en´ eral, les espaces de L

²

coho-

mologie r´ eduite ou non sont des invariants d’homotopies Lipschitz. De plus, nous

pouvons en d´ eduire une formule de Gauss-Bonnet relative (cf. 3.7)

0.6. Corollaire . — Soient (M

₁ⁿ

, g

1

) et (M

₂ⁿ

, g

2

) deux vari´ et´ es Riemanni- ennes compl` etes qui v´ erifient les mˆ emes hypoth` eses qu’au th´ eor` eme (0.2) alors s’il existe D

₁

(resp. D

₂

) un domaine compact de M

₁

(resp. M

₂

) tel que (M − D

₁

, g

₁

) soit isom´ etrique ` a (M

₂

− D

₂

, g

₂

) alors

χ

L²

(M

1

, g

1

) − χ

L²

(M

2

, g

2

) = Z

D₁

Ω

^g1

− Z

D₂

Ω

^g2

.

M. Gromov et B. Lawson avaient d´ emontr´ e un tel r´ esultat pour des op´ erateurs de Dirac sur des vari´ et´ es non-compactes, compl` etes dont le potentiel courbure, qui apparait dans la formule de Bochner-Weitzenbock, est uniform´ ement strictement positif sur un voisinage de l’infini ([G-L]); en fait comme l’a montr´ e H. Donnely, le fait que le bas du spectre essentiel de l’op´ erateur de Dirac soit strictement positif suffit pour avoir une formule de l’indice L

²

-relatif ([D]).

Cependant les vari´ et´ es que nous consid` erons ont, g´ en´ eralement, un bas du spectre essentiel nul. De ce r´ esultat, nous pouvons en d´ eduire la formule de Gauss-Bonnet L

²

suivante qui g´ en´ eralise les travaux de N. Borisov, W. Muller, R. Schrader et J.

Br¨ uning sur les vari´ et´ es asymptotiquement euclidiennes ([B-M-S], [B]) :

0.7. th´ eor` eme . — Soit (M

ⁿ

, g) une vari´ et´ e riemannienne de dimension n ≥ 5 dont le tenseur de courbure R v´ erifie

Z

M

|R(x)|

ⁿ²

dx < ∞,

et s’il existe un compact D de M tel que chaque composante connexe de M − D soient quasi-isom´ etrique au compl´ ementaire d’une boule euclidienne de R

ⁿ

alors

χ

_L2

(M, g) = Z

M

Ω

^g

.

Remarque. — Nous pouvons adpater ces r´ esultats ` a d’autres op´ erateurs elliptiques que l’op´ erateur d + δ agissant sur les formes diff´ erentielles ; de mˆ eme nous pouvons aussi consid´ erer d’autres in´ egalit´ es de Sobolev (comme des in´ egalit´ es de Sobolev-Orlicz). Dans un prochain article, nous montrerons comment certains de ces r´ esultats se g´ en´ eralisent aux op´ erateurs de Dirac pour des in´ egalit´ es de Sobolev “tr` es” g´ en´ erales.

Notations et rappel. — Soit E un fibr´ e vectoriel riemannien sur (M, g), on note < , > (resp. | |) le produit scalaire (resp. la norme ) sur les fibres de E ou d’un fibr´ e naturel associ´ e. Soit D la connexion de E compatible avec ce produit scalaire, on a donc

X. hσ, τ i = hD

X

σ, τ i + hσ, D

X

τi ,

pour tout champ de vecteur X de M et toutes sections lisses σ, τ de E. A la connexion compatible, on associe un op´ erateur ¯ ∆, le Laplacien de Bochner de E (appel´ e aussi le Laplacien brut de E), qui est d´ efini ` a partir de la forme quadratique σ 7→ R

M

|Dσ|

²

, plus exactement, nous avons l’identit´ e suivante Z

M

hDσ, Dσi = Z

M

∆σ, σ ¯

, ∀σ ∈ C

₀^∞

(M ).

On a ∆σ ¯

(x) = − P

n

i=1

D

ei

D

ei

σ, o` u {e

i

}

ⁿ_i=1

est un rep` ere orthonorm´ e de T

x

M . On d´ efinit alors H

₀¹

(E) qui le compl` et´ e de l’espace C

₀^∞

(E) muni de la norme pr´ ehilbertienne kσk

²_H1

0(E)

= R

M

|Dσ|

²

.

Nous avons le r´ esultat suivant qui est une cons´ equence des travaux de N.

Varopoulos ([Va]) et de l’in´ egalit´ e de Kato et de ses cons´ equences (cf. th´ eor` eme 20 de l’appendice de [B] ´ ecrit par G. Besson).

Th´ eor` eme . — Si (M

ⁿ

, g) est une vari´ et´ e riemannienne compl` ete qui v´ erifie l’in´ egalit´ e de Sobolev

µ

_p

(M ) Z

M

|u|

^p−22p

(x)dx

1−_p²

≤ Z

M

|du|

²

(x)dx, ∀u ∈ C

₀^∞

(M ),

alors pour tout s > 1, l’op´ erateur ∆ ¯

^−1/2

agit de L

^s

(E) dans L

^p−sps

(E), avec une norme d’op´ erateur qui v´ erifie

k ∆ ¯

^−1/2

k

L^s→L

ps

p−s

≤ C(s, p)µ

^−1/2_p

.

1. Existence d’op´ erateurs de Green.

Le but de cette partie est de montrer que sous les hypoth` eses du r´ esultat de finitude (0.1) nous pouvons construire des op´ erateurs de Green. Pour cela nous commen¸ cons par rappeler ce qu’est la L

²

−cohomologie.

1.a. La L

²

-cohomologie. —

1.a.1. D´ efinition. — Soit (M

ⁿ

, g) une vari´ et´ e riemannienne compl` ete de dimension n : l’op´ erateur de diff´ erentiation exterieure agit de

d : C

₀^∞

(Λ

^k

T

^∗

M ) −→ C

₀^∞

(Λ

^k+1

T

^∗

M ) et v´ erifie d ◦ d = 0 ; on d´ efinit alors les espaces

i) Z

^k

L

²

(M ), qui est le noyau de l’op´ erateur d agissant, de fa¸ con non-born´ ee, sur L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ), ou de fa¸ con ´ equivalente

Z

^k

L

²

(M ) = {α ∈ L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ), dα = 0}, o` u on entend que dα est une distribution (ou un courant).

ii) B

^k

L

²

(M ), qui est l’adh´ erence dans L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ) de d

C

₀^∞

(Λ

^k−1

T

^∗

M ) . Comme d ◦ d = 0, nous avons B

^k

L

²

(M ) ⊂ Z

^k

L

²

(M ), le k

^ieme

espace de L

²

- cohomologie (r´ eduite) est d´ efini par

H

₍₂₎^k

(M ) = Z

^k

L

²

(M )/B

^k

L

²

(M ).

Ainsi deux k-formes L

²

, (faiblement) ferm´ ees α et β sont L

²

-cohomologues si et

seulement si il existe une suite de (k − 1)-formes lisses ` a support compacts (γ

l

)

^∞_l=0

telles que α − β = L

²

− lim

l→∞

dγ

l

.

Remarque. — Le k

^ieme

espace de L

²

−cohomologie (non-r´ eduite) est d´ efini comme le quotient de Z

^k

L

²

(M ) par l’image par d de l’espace des (k − 1)-formes L

²

dont la diff´ erentielle, au sens des distributions, est aussi dans L

²

. Sauf mention explicite du contraire, lorsque nous parlerons d’espace de L

²

-cohomologie ce sera des espaces de L

²

-cohomologie r´ eduite.

Nous pouvons exprimer la L

²

−cohomologie en termes de formes harmoniques 1.a.2. L

²

-cohomologie et formes harmoniques. — On note δ l’op´ erateur diff´ erentiel adjoint ` a d, i.e.

Z

M

dα ∧ ∗β = Z

M

α ∧ ∗δβ , ∀α ∈ C

₀^∞

(Λ

^k

T

^∗

M ), β ∈ C

₀^∞

(Λ

^k+1

T

^∗

M ), o` u ∗ est l’op´ erateur de Hodge agissant de Λ

^k

T

^∗

M dans Λ

^n−k

T

^∗

M ; par le th´ eor` eme de Stokes, on a donc δ = (−1)

^nk+n+1

∗ d∗ .

Si H

^k

(M ) est l’espace des k-formes harmoniques L

²

H

^k

(M ) = {α ∈ L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ), dα = δα = 0},

alors l’espace L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ) admet la d´ ecomposition orthogonale de Hodge-deRham- Kodaira suivante

L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ) = H

^k

(M ) ⊕ B

^k

L

²

(M ) ⊕ δC

₀^∞

(Λ

^k+1

T

^∗

M ), o` u l’adh´ erence s’entend pour la topologie de L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ). Nous avons aussi

Z

^k

L

²

(M ) = H

^k

(M ) ⊕ B

^k

L

²

(M ), ce qui signifie que nous avons l’isomorphisme

H

^k

(M ) ' H

₍₂₎^k

(M ).

1.a.3.Le probl` eme de l’existence d’op´ erateur de Green. — La d´ ecomposition de Kodaira implique que pour toute forme α ∈ L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ), il existe une unique forme harmonique H(α) et deux courants S et T tel que d S et δ T soient dans L

²

telles que

α = H(α) + d S + δ S ;

de plus par r´ egularit´ e ellipitique de l’op´ erateur d + δ, nous savons que si de plus α est lisse, alors S et T sont des formes diff´ erentielles lisses. Le probl` eme de l’existence d’op´ erateur de Green est de trouver un op´ erateur G qui agisse de L

²

dans un “bon” espace fonctionnel telle que l’on puisse ´ ecrire

α − H(α) = (d + δ)Gα, pour tout α ∈ L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ).

En fait, comme (M, g) est suppos´ ee compl` ete, si ∆

^k

= dδ + δd est le Laplacien de Hodge-deRham agissant sur les formes diff´ erentielles alors nous avons

H

^k

(M ) = {α ∈ L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ), ∆

^k

α = 0},

de plus ce Laplacien admet la d´ ecomposition de Bochner-Weitzenbock suivante

∆

^k

= ¯ ∆ + R

^k

,

o` u R

^k

est un endomorphisme sym´ etrique de Λ

^k

T

^∗

M que l’on peut d´ efinir ` a l’aide de l’op´ erateur de courbure de (M

ⁿ

, g) ( cf [G-M]) ; par exemple R

¹

est l’endomorphisme associ´ e au tenseur de Ricci, et nous avons toujours la majoration

|R

^k

|(x) ≤ c(n)|R|(x) o` u R est le tenseur de courbure de (M, g).

1.b. R´ esultat pr´ eliminaire. — Nous commen¸cons par prouver la propo- sition suivante qui am´ eliore le r´ esultat que nous avions obtenu dans [C].

1.1.proposition . — Si (M

ⁿ

, g) est une vari´ et´ e Riemannienne compl` ete qui pour un p > 4 v´ erifie l’in´ egalit´ e de Sobolev

µ

p

(M ) Z

M

|u|

^p−22p

(x)dx

1−²_p

≤ Z

M

|du|

²

(x)dx, ∀u ∈ C

₀^∞

(M ),

p

, et dont le tenseur de courbure R v´ erifie

Z

M

|R(x)|

^p2

dx < ∞,

alors nous avons

H

^k

(M ) ⊂ D( p

∆) ¯ et √

∆ ¯ r´ ealisent un isomorphisme de H

^k

(M ) sur Ker

_L2

Id

_L2

+ ¯ ∆

^−1/2

R

^k

∆ ¯

^−1/2

. Preuve. — Il nous suffit pour compl` eter la preuve de la proposition 1.4 de [C] de montrer que √

∆ est une application surjective de ¯ H

^k

(M ) sur Ker

_L2

Id

_L2

+ ¯ ∆

^−1/2

R

^k

∆ ¯

^−1/2

. Ceci repose sur le lemme suivant

1.2. lemme . — Sous les mˆ emes hypoth` eses que la proposition pr´ ec´ edente : si u ∈ H

₀¹

(Λ

^k

T

^∗

M ) v´ erifie ∆ + ¯ R

^k

u ∈ C

₀^∞

(Λ

^k

T

^∗

M ) alors u ∈ L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ).

Ce lemme nous permet de conclure car si α ∈ Ker

_L2

Id

_L2

+ ¯ ∆

^−1/2

R

^k

∆ ¯

^−1/2

, alors u = ¯ ∆

^−1/2

α est une forme de H

₀¹

(Λ

^k

T

^∗

M ) qui v´ erifie ∆ + ¯ R

^k

u = 0 donc u est une forme harmonique L

²

et

√ ∆u ¯ = α.

preuve du lemme 1.2 .— Soit u ∈ H

₀¹

(Λ

^k

T

^∗

M ) v´ erifiant ∆

^k

u ∈ C

₀^∞

(Λ

^k

T

^∗

M ), remarquons que par r´ egularit´ e elliptique u est lisse et il suffit donc de montrer que u est de carr´ e int´ egrable sur un voisinage de l’infini de M .

Choississons alors ρ une fonction lisse dont le support est inclus dans M − B

R

et telle que ρ = 1 sur M − B

R+1

, o` u on note B

R

la boule g´ eod´ esique de centre x

0

fixe et de rayon R ; et R est un r´ eel assez grand que l’on d´ eterminera plus tard.

Nous allons montrer que ρu ∈ L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ). La forme ρu v´ erifie

∆

^k

(ρ u) = (∆ρ)u − 2D

_dρ

u + ρ∆

^k

u,

si nous choisissons R assez grand pour que support ρ ∩ support ∆

^k

u = ∅ alors la forme v = ρu v´ erifie v ∈ H

₀¹

(Λ

^k

T

^∗

(M − B

R

)) et ∆ + ¯ R

^k

v = ϕ ∈ C

₀^∞

(Λ

^k

T

^∗

(M − B

_R

)). On a donc

∆ ¯

^−1/2_R

ϕ = ¯ ∆

^−1/2_R

∆v ¯ + ¯ ∆

^−1/2_R

R

^k

v,

o` u on note ¯ ∆

R

l’unique extension autoadjointe du Laplacien brut ¯ ∆, C

₀^∞

Λ

^k

T

^∗

(M − B

R

) . On a √

∆v ¯ ∈ L

²

puisque v est dans H

₀¹

. De plus v v´ erifie

∆ ¯

^−1/2_R

∆v ¯ = p

∆v ¯ ;

en effet ¯ ∆

^−1/2_R

∆v ¯ est bien d´ efini, car ¯ ∆v = ϕ − R

^k

v, or v est dans H

₀¹

donc dans v ∈ L

^p−22p

grˆ ace ` a l’in´ egalit´ e de Sobolev, et grˆ ace ` a l’in´ egalit´ e de H¨ older R

^k

v est dans L

^p+22p

. Mais ¯ ∆

^−1/2_R

agit de L

^p+22p

dans L

²

. Donc ω = ¯ ∆

^−1/2_R

∆v ¯ − ∆ ¯

^1/2_R

v est une forme L

²

; ainsi la forme h = ¯ ∆

^−1/2_R

ω est dans H

₀¹

(Λ

^k

T

^∗

(M − B

R

)) et on v´ erifie facilement que ¯ ∆h = 0 ; ainsi

Z

< h, ∆f >= ¯ Z

< Dh, Df >= 0, ∀f ∈ C

₀^∞

(Λ

^k

T

^∗

(M − B

R

)),

or par d´ efinition de H

₀¹

(Λ

^k

T

^∗

(M − B

R

)), on peut trouver une suite (h

l

)

l∈N

d’´ elements de C

₀^∞

(Λ

^k

T

^∗

(M − B

R

)) telle que Dh

l

L²

−→Dh,

ainsi on obtient Dh = 0, mais h est dans H

₀¹

sa trace sur ∂(M − B

R

) est nulle donc h = 0, la nullit´ e de ω provient alors du fait que ¯ ∆

^−1/2_R

est une isom´ etrie de L

²

sur H

₀¹

.

Nous pouvons maintenant montrer que v ∈ L

²

(Λ

^k

T

^∗

(M − B

_R

)) ; la forme f d´ efinie par f = p ∆ ¯

R

v est dans L

²

et de plus elle v´ erifie

Id

_L2

+ ¯ ∆

^−1/2_R

R

^k

∆ ¯

^−1/2_R

f = ¯ ∆

^−1/2_R

ϕ.

Nous allons montrer que f ∈ L

^p+22p

, ceci impliquera que v = ¯ ∆

^−1/2_R

f est dans L

²

car ¯ ∆

^−1/2_R

agit de L

^p+22p

dans L

²

. L’in´ egalit´ e de Sobolev implique que pour s ∈]1, p[, l’op´ erateur ¯ ∆

^−1/2_R

agit de L

^s

dans L

^p−sps

, avec une norme d’op´ erateur qui v´ erifie

k ∆ ¯

^−1/2_R

k

L^s→L

ps

p−s

≤ C(s, p)µ

^−1/2_p

,

ainsi grˆ ace ` a l’in´ egalit´ e de H¨ older, on v´ erifie facilement que si s >

_p−1^p

alors l’op´ erateur A = ¯ ∆

^−1/2_R

R

^k

∆ ¯

^−1/2_R

agit de L

^s

dans lui-mˆ eme avec une norme d’op´ erateur qui v´ erifie

k ∆ ¯

^−1/2_R

R

^k

∆ ¯

^−1/2_R

k

L^s→L^s

≤ C

⁰

(s, p) 1 µ

p

kRk

L^p2(M−B_R)

;

Em particulier si p > 4, alors on peut choisir R assez grand pour que cet op´ erateur agisse de L

²

∩ L

^p+22p

dans lui-mˆ eme avec une norme d’op´ erateur qui est inf´ erieur ` a

1

2

. Ainsi l’op´ erateur Id + A est un op´ erateur inversible de L

²

∩ L

^p+22p

. Or, comme ϕ est ` a support compact et que p > 4, nous avons ¯ ∆

^−1/2_R

ϕ ∈ L

²

∩ L

^p+22p

. Mais

f = (Id + A)

⁻¹_L2→L²

∆ ¯

^−1/2_R

ϕ = (Id + A)

⁻¹

L²∩L

2p p+2→L²∩L

2p p+2

∆ ¯

^−1/2_R

ϕ,

ce qui montre que f est dans L

^p+22p

.

Nous pouvons maintenant obtenir l’existence d’op´ erateur de Green.

1.c. Op´ erateur de Green. —

1.3. Th´ eor` eme . — Si (M

ⁿ

, g) est une vari´ et´ e Riemannienne compl` ete qui pour un p > 4 v´ erifie l’in´ egalit´ e de Sobolev

µ

_p

(M ) Z

M

|u|

^p−22p

(x)dx

1−²_p

≤ Z

M

|du|

²

(x)dx, ∀u ∈ C

₀^∞

(M ),

_p

, et dont le tenseur de courbure R v´ erifie

Z

M

|R(x)|

^p2

dx < ∞,

alors il existe un op´ erateur de Green

G = G

−

⊕ G

+

: L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ) −→ H

₀¹

(Λ

^k−1

T

^∗

M ) ⊕ H

₀¹

(Λ

^k+1

T

^∗

M ), telle que pour tout α ∈ L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ) alors

α = H(α) + (d + δ) Gα = H(α) + d G

₋

α + δ G

+

α.

Preuve. — Nous avons la d´ ecomposition orthogonale suivante L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ) = H

^k

(M ) ⊕ ∆

^k

C

₀^∞

(Λ

^k

T

^∗

M ),

ainsi pour tout α ∈ L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ) nous avons l’existence d’une suite (ψ

l

)

l∈N

∈ C

₀^∞

(Λ

^k

T

^∗

M ) telle que

α − H(α) = L

²

− lim

l→∞

∆

^k

ψ

_l

.

Donc en posant ϕ

_l

= (d + δ)ψ

_l

∈ C

₀^∞

Λ

^k−1

T

^∗

M ⊕ Λ

^k+1

T

^∗

M

, nous avons α − H(α) = L

²

− lim

l→∞

(d + δ)ϕ

l

. Or si ϕ = ϕ

₋

+ ϕ

+

∈ C

₀^∞

(Λ

^k−1

T

^∗

M ⊕ Λ

^k+1

T

^∗

M ), alors

k(d + δ)ϕk

²_L2

= k(d + δ)ϕ

−

k

²_L2

+ k(d + δ)ϕ

+

k

²_L2

.

Nous allons montrer qu’` a toute forme ϕ ∈ C

₀^∞

(Λ

^k

T

^∗

M ), nous pouvons associer une k-forme Γϕ qui v´ erifie

(1.4) k(d + δ)ϕk

_L2

= k(d + δ)Γϕk

_L2

≥ εkD(Γϕ)k

_L2

,

o` u ε est ind´ ependant de ϕ. Ce qui montrera que l’application d´ efinie par (d + δ) C

₀^∞

(Λ

^k

T

^∗

M )

−→ H

₀¹

(Λ

^k

T

^∗

M ) (d + δ)ϕ 7→ Γϕ

se prolonge par continuit´ e en une application G

k

: (d + δ) C

₀^∞

(Λ

^k

T

^∗

M )

^L

2

−→ H

₀¹

(Λ

^k

T

^∗

M ).

L’op´ erateur de Green est alors G = G

k−1

+ G

k+1

. Pour construire Γ, on remarque que si ϕ ∈ C

₀^∞

(Λ

^k

T

^∗

M ), alors

k(d + δ)ϕk

²_L2

=< ( ¯ ∆ + R

^k

)ϕ, ϕ >= D

Id

_L2

+ ¯ ∆

^−1/2

R

^k

∆ ¯

^−1/2

p

∆ϕ, ¯ p

∆ϕ ¯ E . Or nous avions d´ emontr´ e dans [C], que l’op´ erateur A = ¯ ∆

^−1/2

R

^k

∆ ¯

^−1/2

´ etait un op´ erateur compact autoadjoint de L

²

, de plus son spectre est contenu dans [−1, +∞[, car Id + A est un op´ erateur positif. La th´ eorie spectrale des op´ erateurs compacts autoadjoints nous montre qu’il existe ε > 0 tel que

∀u ∈ L

²

, u ⊥ Ker

L²

(Id

L²

+ A) , h(Id

_L2

+ A) u, ui ≥ εkuk

²_L2

. De plus la proposition 1.1, nous dit que Ker

_L2

(Id

_L2

+ A) = √

∆H ¯

^k

(M ). Soit donc {h

₁

, .., h

_b

} une base de H

^k

(M ) qui est orthonormale pour le produit scalaire de H

₀¹

(Λ

^k

T

^∗

M ), (i.e. { √

∆h ¯

₁

, .., √

∆h ¯

_b

} est une base orthonorm´ ee de Ker

_L2

(Id

_L2

+ A)) alors on pose

Γϕ = ϕ −

b

X

i=1

< p

∆h ¯

i

, p

∆ϕ > h ¯

i

. Ainsi Γϕ est dans H

₀¹

(Λ

^k

T

^∗

M ) et

√ ∆Γϕ ¯ est L

²

-orthogonale ` a Ker

L²

(Id

L²

+ A) donc Γϕ v´ erifie bien (1.4).

1.d. Propri´ et´ es des op´ erateurs de Green construits. — La construc- tion pr´ ec´ edente nous montre que l’op´ erateur de Green satisfait aux identit´ es suiv- antes

1.5. Propri´ et´ es . —

(d + δ)G = Id

_L2

− H

^k

G(d + δ) = Id

_H1

0

− H

^k,1

o` u H

^k

est le projecteur orthogonal sur H

^k

(M ) et o` u H

^k,1

est le projecteur orthogonal sur H

^k

(M ) pour le produit scalaire de l’espace H

₀¹

.

Et nous avons les propri´ et´ es suivantes 1.6. Propri´ et´ es compl´ ementaires . —

i) Si α ∈ L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ) est lisse alors Gα est aussi lisse.

ii) G est un op´ erateur ` a noyau lisse au dehors de la diagonale.

iii) si α ∈ L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ) alors dG

₊

(α) = 0 et de mˆ eme δG

₋

(α) = 0.

iv) Si α ∈ Z

^k

L

²

(M ) alors

α − H

^k

(α) = dG

−

(α),

c’est ` a dire que la composante sur Λ

^k+1

T

^∗

M de Gα est coferm´ ee, en fait

harmonique selon iii).

Et enfin le lemme 1.1, nous montre la

1.7. Proposition . — Si α ∈ L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ) est telle que ∆ + ¯ R

^k

Gα ∈ C

₀^∞

(Λ

^k

T

^∗

M ) alors Gα ∈ L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ).

2. L

²

−cohomologie des vari´ et´ es ` a bord.

Le but de cette partie est de pr´ esenter la L

²

-cohomologie de vari´ et´ es ` a bord, puis de montrer quel espace de formes harmoniques est isomorphe ` a ces espaces de L

²

-cohomologie, et d’en d´ eduire des r´ esultats de finitude similaire

`

a ceux que nous avions pr´ ecedement obtenu pour les vari´ et´ es compl` etes. Dans tout ce paragraphe (M

ⁿ

, g) est une vari´ et´ e riemannienne non-compacte, ` a bord compact, qui est m´ etriquement compl` ete, i.e. dont la vari´ et´ e double M #M porte une m´ etrique riemannienne compl` ete isom´ etrique ` a g sur le compl´ ementaire d’un voisinage de ∂M .

L’identification entre les espaces de L

²

-cohomologie et des espaces de formes harmoniques est due dans le cas des vari´ et´ es compactes ` a bord ` a G. Duff, D.C.

Spencer [D-F], et ` a P.E. Connor [Co], nous montrons ici que les arguments de G.

Duff, D.C. Spencer se g´ en´ eralisent aisement ` a notre cadre ; ces r´ esultats sont bien connus et ils sont, par exemple, assez explicites dans les articles de M. Lesch et J.

Br¨ uning ([B-L]) et de J. Lott ([L]).

2.a. La L

²

-cohomologie. — On note

- C

₀^∞

(Λ

^k

T

^∗

M ) l’espace des k−formes diff´ erentielles lisses qui sont ` a support compacte dans l’int´ erieur de M ;

- C

_c^∞

(Λ

^k

T

^∗

M ) l’espace des k−formes diff´ erentielles lisses qui sont ` a support born´ es.

L’op´ erateur de diff´ erentiation exterieure agit de

d : C

_c^∞

(Λ

^k

T

^∗

M ) −→ C

_c^∞

(Λ

^k+1

T

^∗

M ) et v´ erifie d ◦ d = 0 ; on d´ efinit alors les espaces

i) Z

^k

L

²

(M ), qui est le noyau de l’op´ erateur d agissant, de fa¸ con non-born´ ee, sur L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ), ou de fa¸ con ´ equivalente

Z

^k

L

²

(M ) = {α ∈ L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ), dα = 0}, o` u on entend que dα est une distribution (ou un courant).

ii) B

^k

L

²

(M ), qui est l’adh´ erence dans L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ) de d

C

_c^∞

(Λ

^k−1

T

^∗

M ) . Comme d ◦ d = 0, nous avons B

^k

L

²

(M ) ⊂ Z

^k

L

²

(M ), le k

^ieme

espace de L

²

- cohomologie est d´ efini par

H

₍₂₎^k

(M ) = Z

^k

L

²

(M )/B

^k

L

²

(M ).

2.1. Remarque. — Cette d´ efinition montre que les espaces de L

²

-cohomologie

ne d´ ependent que de la classe de quasi-isom´ etrie de la m´ etrique ; i.e. si g, g

⁰

sont

deux m´ etriques sur M telle que

_C¹

g ≤ g

⁰

≤ Cg, alors H

₍₂₎^k

(M, g) ' H

₍₂₎^k

(M, g

⁰

).

En particulier, si M est compacte ces espaces ne d´ ependent pas de la m´ etrique, en fait ils sont isomorphes aux groupes de cohomologie r´ eelle (absolu) de M . Et selon [D-S] (voir aussi [Co]), les espaces de L

²

-cohomologie sont isomorphes

`

a un sous-espace des formes harmoniques

H

₍₂₎^k

(M ) ' {h ∈ C

^∞

(Λ

^k

T

^∗

M ), dh = δh = 0 et int

ν

h = 0},

o` u int

_ν

h est la partie normale de h c’est ` a dire le produit int´ erieur de h par la normale int´ erieur ν de ∂M ⊂ M . Nous allons voir que dans notre cas, ce r´ esultat reste vrai.

2.b. L

²

-cohomologie et formes harmoniques. — L’espace L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ) admet aussi la d´ ecomposition orthogonale

L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ) = H

^k

(M ) ⊕ dC

₀^∞

(Λ

^k−1

T

^∗

M ) ⊕ δC

₀^∞

(Λ

^k+1

T

^∗

M ), o` u l’adh´ erence s’entend pour la topologie de L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ) et o` u on a not´ e

H

^k

(M ) = {α ∈ L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ), dα = δα = 0}.

Nous avons aussi

Z

^k

L

²

(M ) = H

^k

(M ) ⊕ dC

₀^∞

(Λ

^k−1

T

^∗

M ),

comme dC

₀^∞

(Λ

^k−1

T

^∗

M ) ⊂ B

^k

L

²

(M ), toute forme ferm´ ee L

²

est L

²

-cohomologue

`

a une forme harmonique, mais cette forme n’est forcement pas unique ; on a cependant

H

₍₂₎^k

(M ) = H

^k

(M )/

H

^k

(M ) ∩ dC

_c^∞

(Λ

^k−1

T

^∗

M )

' H

^k

(M )∩ dC

_c^∞

(Λ

^k−1

T

^∗

M )

^⊥

. Nous avons la

2.2.Proposition . —

H

₍₂₎^k

(M ) ' {h ∈ L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ), dh = δh = 0 et int

ν

h = 0}.

Preuve. — Il nous suffit donc de montrer que H

^k

(M ) ∩ dC

_c^∞

(Λ

^k−1

T

^∗

M )

^⊥

= {h ∈ L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ), dh = δh = 0 et int

_ν

h = 0}.

Ceci est une simple cons´ equence de la formule d’int´ egration par partie : si h est une forme harmonique, i.e. dh = δh = 0 et si ϕ ∈ C

_c^∞

(Λ

^k−1

T

^∗

M ) alors on a

hh, dϕi = hδh, ϕi − Z

∂M

(int

_ν

h, ϕ) = − Z

∂M

(int

_ν

h, ϕ) ,

car on peut trouver une (k − 1)-forme lisse ` a support born´ e telle que ϕ = int

_ν

h sur ∂M .

Cette preuve est simple, mais pour pouvoir retrouver nos r´ esultats de

finitude, nous allons introduire la vari´ et´ e double.

2.c. L

²

-cohomologie et vari´ et´ e double. — Nous modifions la m´ etrique sur un voisinage born´ e de ∂M de fa¸con ` a ce qu’un voisinage de ∂M devienne isom´ etrique au produit riemannien [0, ε[×∂M , o` u ∂M est muni de la m´ etrique induite par g. On note encore g la m´ etrique obtenu. Alors la vari´ et´ e double

X = M #M

est naturellement muni d’une m´ etrique riemannienne lisse compl` ete qui coincide avec g sur chaque copie de M , nous la notons encore g. Et grˆ ace ` a la remarque 2.1, nous savons que les espaces de L

²

- cohomologie ne sont pas modifi´ es.

La sym´ etrie σ par rapport ` a ∂M est une isom´ etrie de (X, g) qui v´ erifie σ ◦ σ = Id

X

, donc σ induit une isom´ etrie

σ

^∗

: L

²

(Λ

^k

T

^∗

X ) −→ L

²

(Λ

^k

T

^∗

X).

Cette application v´ erifie σ

^∗

◦σ

^∗

= Id et d◦σ

^∗

= σ

^∗

◦ d. On peut donc d´ ecomposer L

²

(Λ

^k

T

^∗

X ) en espace de formes paires et impaires par rapport ` a σ

L

²

(Λ

^k

T

^∗

X ) = L

²₊

(Λ

^k

T

^∗

X ) ⊕ L

²₋

(Λ

^k

T

^∗

X ), o` u on note L

²+

−

(Λ

^k

T

^∗

X) = {α ∈ L

²

(Λ

^k

T

^∗

X), σ

^∗

α =

⁺₋

α}. Il est ´ evident que L

²₊

(Λ

^k

T

^∗

X) est naturellement isom´ etrique ` a L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ), nous noterons ι cette isom´ etrie. On peut aussi d´ efinir la L

²

-cohomologie σ-invariante de X et on a la d´ ecomposition orthogonale

L

²

(Λ

^k

T

^∗

X )

₊

= H

^k₊

(X) ⊕ dC

_{0 +}^∞

(Λ

^k−1

T

^∗

X ) ⊕ δC

_{0 +}^∞

(Λ

^k+1

T

^∗

X ),

o` u H

^k₊

(X) est l’ espace des k−formes harmoniques L

²

qui sont σ-invariante. On a alors le

2.3. Th´ eor` eme . — L’isom´ etrie naturelle ι entre L

²₊

(Λ

^k

T

^∗

X) et L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ) fournit une isom´ etrie entre la L

²

-cohomologie σ-invariante de X et la L

²

- cohomologie de M .

Preuve. — Notons H

^k_n

(M ) l’espace des k-formes harmoniques L

²

dont la composante normale est nulle, montrons d’abord que

ι(H

^k₊

(X )) = H

^k_n

(M ) :

si h ∈ H

₊^k

(X ) alors ´ evidement ιh = 2j

^∗

h est une forme harmonique (o` u j : M −→ X est une copie de M dans X). Mais comme h = σ

^∗

h, on a bien sur int

ν

h = 0, i.e. ιh ∈ H

^k_n

(M ).

Puis soit h ∈ H

_n^k

(M ), pour voir que ι

⁻¹

h ∈ H

^k₊

(M ), il suffit de montrer que ι

⁻¹

h est harmonique. Or si ϕ ∈ C

₀^∞

(Λ

^k−1

T

^∗

X ) alors

ι

⁻¹

h, dϕ

= Z

M₊

< δh, ϕ > + Z

∂M₊

< ϕ, int

_ν+

h >

+ Z

M−

< δh, ϕ > + Z

∂M−

< ϕ, int

ν₋

h >= 0,

o` u on a not´ e M

+

−

les deux copies de M dans X . Et si ψ ∈ C

₀^∞

(Λ

^k+1

T

^∗

X ) alors ι

⁻¹

h, δψ

= Z

M₊

< dh, ψ > + Z

∂M₊

< h, int

_ν+

ψ >

+ Z

M−

< δh, ψ > + Z

∂M−

< h, int

ν−

ψ >

= Z

∂M₊

< h, int

(ν₊+ν₋)

ψ >= 0,

car les normales int´ erieures ` a M

+

et M

−

sont oppos´ ees. Ceci montre que h est harmonique.

Puis montrons que

ι(dC

₀^∞

(Λ

^k−1

T

^∗

M )) = dC

_c^∞

(Λ

^k−1

T

^∗

M ) :

on a ´ evidement ι(dC

₀^∞

(Λ

^k−1

T

^∗

M )) ⊂ dC

_c^∞

(Λ

^k−1

T

^∗

M ) et donc par continuit´ e ι(dC

₀^∞

(Λ

^k−1

T

^∗

M )) ⊂ dC

_c^∞

(Λ

^k−1

T

^∗

M ).

Soit maintenant α ∈ dC

_c^∞

(Λ

^k−1

T

^∗

M ) ∩ ι(dC

₀^∞

(Λ

^k−1

T

^∗

M ))

⊥

il est facile de v´ erifier que α est harmonique. Donc cette forme est lisse ; choisissons alors une (k − 1)-forme φ , σ-invariante, lisse ` a support compact sur X v´ erifiant φ = int

_ν

α le long de ∂M on a alors

0 = 1 2

Z

M

< α, ι(dφ) >=

Z

M

< α, dφ >=

Z

∂M

< φ, int

ν

α >=

Z

∂M

|int

ν

α|

²

,

donc on a int

ν

α = 0 ce qui signifie que α ∈ H

_n^k

(M ) mais cet espace est orthogonal

`

a dC

_c^∞

(Λ

^k−1

T

^∗

M ) donc α = 0 et on a montr´ e ce qu’on voulait. Comme ι est une isom´ etrie, on conclut que ι respecte la d´ ecomposition de Kodaira

(2.4)

L

²

(Λ

^k

T

^∗

X )

+

= H

^k₊

(X ) ⊕ dC

_{0 +}^∞

(Λ

^k−1

T

^∗

X) ⊕ δC

_{0 +}^∞

(Λ

^k+1

T

^∗

X) ι 



y ι 



y ι 



y ι 

 y

L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ) = H

_n^k

(M ) ⊕ dC

_c^∞

(Λ

^k−1

T

^∗

M ) ⊕ δC

₀^∞

(Λ

^k+1

T

^∗

M )

2.d. Finitude de la L

²

-cohomologie pour les vari´ et´ es ` a bord.

Nous allons montrer qu’une in´ egalit´ e de Sobolev sur (M, g) implique une in´ egalit´ e de Sobolev sur le double X = M #M ; on pourra alors ´ enoncer des r´ esultats de finitude grˆ ace au r´ esultat du paragraphe pr´ ec´ edent.

2.5.Proposition . — Si (M

ⁿ

, g) est une vari´ et´ e riemannienne connexe,

de volume infini, ` a bord compact, m´ etriquement compl` ete qui v´ erifie l’in´ egalit´ e de

Sobolev

µ

p

(M ) Z

M

|u|

^p−22p

(x)dx

1−_p²

≤ Z

M

|du|

²

(x)dx, ∀u ∈ C

₀^∞

(M ), alors X = M #M v´ erifie la mˆ eme in´ egalit´ e de Sobolev

µ

p

(X) Z

X

|u|

^p−22p

(x)dx

1−_p²

≤ Z

M

|du|

²

(x)dx, ∀u ∈ C

₀^∞

(X ).

Preuve. — La propri´ et´ e de v´ erifier une in´ egalit´ e de Sobolev est invariante par quasi-isom´ etrie, on peut donc supposer qu’un voisinage de ∂M dans M est isom´ etrique ` a [0, ε[×∂M . Ainsi la m´ etrique obtenue sur X est lisse. Soit donc K ˜ ⊂ K deux voisinages compacts (` a bord r´ egulier) de ∂M dans X et soit θ une fonction lisse ` a support dans K et valant 1 sur ˜ K et telle que 0 ≤ θ ≤ 1. Soit u ∈ C

₀^∞

(X ), on a

u = (1 − θ)u + θu = (1 − θ)u + θ

u − R

K

u vol K

+ θ

R

K

u vol K

.

Or comme K est ` a bord r´ egulier, nous avons l’in´ egalit´ e de Sobolev

v − R

K

v vol K

_Lp−2^2p _(K)

≤ S

_K

kdvk

_L2

, ∀v ∈ C

^∞

(K).

donc kuk

L

2p p−2

≤

u − R

K

u vol K

_Lp−2^2p _(K)

+

R

K

u (vol K)

^1/2+1/p

+ k(1 − θ)uk

L

2p p−2

≤ S

K

kduk

_L2(K)

+

R

K

u (vol K)

^1/2+1/p

+ k(1 − θ)uk

L

2p

p−2(M−K)˜

. Or nous pouvons appliquer l’in´ egalit´ e de Sobolev ` a (1 − θ)u pour obtenir

k(1 − θ)uk

L

2p

p−2(M−K)˜

≤ (µ

p

(M ))

^(−1/2)

kduk

_L2(M−K)˜

+ kdθk

L^∞

kuk

_L2(K)

.

On obtient donc kuk

L

2p

p−2

≤ C(µ

p

(M ), K )

kduk

_L2(X)

+ kuk

_L2(K)

+ | Z

K

u|

; L’in´ egalit´ e de Poincar´ e nous donne ensuite la majoration

kuk

_L2(K)

≤

λ

^N₁

(K)

^(−1/2)

kduk

_L2(K)

+ 1 (vol K)

^1/2

|

Z

K

u|,

o` u λ

^N₁

(K) est la premi` ere valeur propre non-nulle de Laplacien sur K pour le probl` eme de Neumann. Ainsi on obtient

(2.6) kuk

L

2p p−2

≤ C

⁰

kduk

_L2(X)

+ | Z

K

u|

.

Or si nous montrons que X est non-parabolique, nous aurons, selon le crit` ere ´ etabli par Ancona ([A]), que pour tout ouvert born´ e U de X il existe une constante C telle que

| Z

U

v| ≤ C kdvk

_L2(X)

, ∀v ∈ C

₀^∞

(X ), ceci nous permettra de conclure.

Mais selon A. Grigor’yan ([G]), pour que (X, g) soit non-parabolique, il suffit de trouver un domaine born´ e Ω de X telle que sa capacit´ e soit non-nulle. Rappellons que

cap(Ω) = inf{kduk

²_L2

, u ∈ C

₀^∞

(X), u = 1 sur Ω} ;

choisissons alors Ω telle que K ⊂ Ω et vol Ω > (2C

⁰

vol K)

^p−22p

alors en appliquant l’in´ egalit´ e (2.6) on obtient

(vol Ω)

^12−1p

≤ C

⁰

(cap Ω)

^1/2

+ vol K , ce qui implique, par notre choix, de Ω que (cap Ω)

^1/2

> vol K > 0.

Remarquons que la preuve de cette proposition , nous permet d’´ enoncer les deux propositions suivantes :

2.7. Proposition . — Si (M

ⁿ

, g) est une vari´ et´ e Riemannienne compl` ete connexe, de volume infini et si K est un compact de M tel que l’on ait l’in´ egalit´ e de Sobolev

Z

M−K

|u|

^p−22p

(x)dx

1−²_p

≤ C

^te

Z

M−K

|du|

²

(x)dx, ∀u ∈ C

₀^∞

(M − K), alors (M

ⁿ

, g) v´ erifie la mˆ eme in´ egalit´ e de Sobolev

µ

n

(M ) Z

M

|u|

^p−22p

(x)dx

¹⁻²_p

≤ C

^te

Z

M

|du|

²

(x)dx, ∀u ∈ C

₀^∞

(M ).

2.8. Corollaire . — Si (M

ⁿ

, g) est une vari´ et´ e connexe, de volume infini, de dimension n > 2 isom´ etriquement immerg´ ee dans un espace euclidien R

^N

telle que le vecteur courbure moyenne k de l’immersion satisfait ` a

Z

M

|k|

ⁿ

(x)dx < ∞, alors (M

ⁿ

, g) v´ erifie l’in´ egalit´ e de Sobolev

µ

n

(M ) Z

M

|u|

ⁿ⁻²²ⁿ

(x)dx

1−_n²

≤ Z

M

|du|

²

(x)dx, ∀u ∈ C

₀^∞

(M ).

preuve du corollaire.— Ceci repose sur l’in´ egalit´ e de Sobolev obtenue par Hoffman-Spruck [H-S]

c

_n

Z

M

|u|

ⁿ⁻¹ⁿ

(x)dx

1−¹_n

≤ Z

M

|du| + |k||u|, ∀u ∈ C

₀^∞

(M ).

Si n > 2 et si on applique cette in´ egalit´ e ` a u = v

^2n−1n−2

, en appliquant l’in´ egalit´ e de Cauchy -Schwarz, on obtient l’in´ egalit´ e suivante

˜ c

_n

Z

M

|v|

ⁿ⁻²²ⁿ

(x)dx

1−_n²

≤ Z

M

|dv|

²

(x) + |k|

²

|v|

²

(x)dx, ∀v ∈ C

₀^∞

(M ), o` u ˜ c

n

= c

²_{n 4(n−1)}ⁿ⁻²

. Le corollaire se d´ eduit de la proposition 2.7 en choisissant K compact de M telle que

Z

M−K

|k|

ⁿ

(x)dx ≤ 1

2˜ c

n

_n²

.

Notons qu’il serait int´ eressant de connaitre une constante de Sobolev explicite pour ces vari´ et´ es. Maintenant, nous savons que si les espaces de L

²

-cohomologie de la vari´ et´ e double M #M sont de dimension finie alors ceux de M sont aussi de dimension finie, ceci nous permet d’´ enoncer le

2.9. Th´ eor` eme . — Si (M

ⁿ

, g) est une vari´ et´ e Riemannienne, ` a bord compact, m´ etriquement compl` ete qui v´ erifie l’in´ egalit´ e de Sobolev

µ

p

(M ) Z

M

|u|

^p−22p

(x)dx

¹⁻_p²

≤ Z

M

|du|

²

(x)dx, ∀u ∈ C

₀^∞

(M ), et telle que son tenseur de courbure v´ erifie

Z

M

|R(x)|

^p2

dx < ∞,

alors les espaces de L

²

-cohomologie de (M

ⁿ

, g) sont de dimension finie.

2.e. Op´ erateur de Green pour les vari´ et´ es ` a bord. — L’isom´ etrie ι et le diagramme 2.4. nous permettent d’adapter le th´ eor` eme 1.3 au cas des vari´ et´ es

` a bord

2.10. Th´ eor` eme . — Soit (M

ⁿ

, g) est une vari´ et´ e Riemannienne ` a bord compact, m´ etriquement compl` ete, dont un voisinage du bord est isom´ etrique au produit riemannien [0, ε[×∂M . Si pour un p > 4, (M, g) v´ erifie l’in´ egalit´ e de Sobolev

µ

_p

(M ) Z

M

|u|

^p−22p

(x)dx

1−_p²

≤ Z

M

|du|

²

(x)dx, ∀u ∈ C

₀^∞

(M ), et si son tenseur de courbure v´ erifie

Z

M

|R(x)|

^p2

dx < ∞,

alors il existe un op´ erateur de Green

G = G

−

⊕ G

+

: L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ) −→ L

^p−22p

(Λ

^k−1

T

^∗

M ) ⊕ L

^p−22p

(Λ

^k+1

T

^∗

M ),

telle que pour tout α ∈ L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ) alors

α = H(α) + (d + δ) Gα = H(α) + d G

₋

α + δ G

₊

α.

De plus l’op´ erateur de Green v´ erifie les propri´ et´ es suivantes

i) si α ∈ L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ) alors dG

₊

(α) = 0 et de mˆ eme δG

₋

(α) = 0.

ii) Si α ∈ Z

^k

L

²

(M ) alors

α − H

^k

(α) = dG

−

(α),

c’est ` a dire que la composante sur Λ

^k+1

T

^∗

M de Gα est coferm´ ee, en fait harmonique selon i).

iii) Si α ∈ L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ) est telle que ∆ + ¯ R

^k

Gα ∈ C

_c^∞

(Λ

^k

T

^∗

M ) alors Gα ∈ L

²

(Λ

^k

T

^∗

M ).

Remarque. — En toute rigueur, nous n’avons montr´ e ce th´ eor` eme que dans le cas o` u toutes les composantes connexes de M sont non-compactes ; en fait ce th´ eor` eme reste encore vrai si certaines composantes connexes sont compactes, en effet, selon [D-S], sur ces composantes connexes, il existe des op´ erateurs de Green satisfaisant au th´ eor` eme.

3. Suite exacte en L

²

-cohomologie pour l’homomorphisme cobord Le but de cette partie est de syst´ ematiser la m´ ethode avec laquelle nous avions, dans [C], calcul´ e la L

²

-cohomologie (r´ eduite) des sous-vari´ et´ es min- imales d’un espace euclidien dont la seconde forme fondamentale II v´ erifie R

M

|II |

ⁿ

(x)dx < ∞. Le th´ eor` eme suivant est une cons´ equence (presque) directe des r´ esultats d´ emontr´ es dans les deux parties pr´ ec´ edentes.

3.1. Th´ eor` eme . — Soit (M

ⁿ

, g) une vari´ et´ e Riemannienne compl` ete, qui pour un p > 4 v´ erifie l’in´ egalit´ e de Sobolev

µ

p

(M ) Z

M

|u|

^p−22p

(x)dx

¹⁻_p²

≤ Z

M

|du|

²

(x)dx, ∀u ∈ C

₀^∞

(M ), et telle que son tenseur de courbure v´ erifie

Z

M

|R(x)|

^p2

dx < ∞,

alors si D est un ouvert born´ e (` a bord r´ egulier) de M , nous avons la suite exacte .. −→ H

^k

(D, ∂D) −→H

ⁱ ₍₂₎^k

(M )

^j

∗

−→H

₍₂₎^k

(M − D) −→H

^{b k+1}

(D, ∂D) −→ ..

Preuve. — Rappelons que d’apr` es le lemme d’excision forte, la cohomologie

relative de (D, ∂D) est isomorphe ` a la cohomologie ` a support compact de l’int´ erieur

de D ([Go]), par la suite nous identifierons ces deux notions. Nous pouvons

supposer qu’un voisinage born´ e de ∂M dans M est isom´ etrique ` a [0, ε[×∂M .

Commen¸ cons d’abord par d´ efinir les homomorphismes i, j

^∗

, b : i est l’application