SUR LA TORSION DANS LA COHOMOLOGIE DES VARI ETES DE SHIMURA DE KOTTWITZ-HARRIS-TAYLOR

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SUR LA TORSION DANS LA COHOMOLOGIE DES VARI ETES DE SHIMURA DE

KOTTWITZ-HARRIS-TAYLOR

Pascal Boyer

To cite this version:

Pascal Boyer. SUR LA TORSION DANS LA COHOMOLOGIE DES VARI ETES DE SHIMURA

DE KOTTWITZ-HARRIS-TAYLOR. Journal de l’Institut de Mathématiques de Jussieu, 2016. �hal-

01137273v2�

VARI´ ET´ ES DE SHIMURA DE KOTTWITZ-HARRIS-TAYLOR

par Pascal Boyer

R´ esum´ e. — Lorsque le niveau en l d’une vari´ et´ e de Shimura de Kottwitz-Harris-Taylor n’est pas maximal, sa cohomologie ` a coefficients dans un Z

-syst` eme local n’est en g´ en´ eral pas libre. Afin d’obtenir des ´ enonc´ es d’annulation de la torsion, on localise en un id´ eal maximal m de l’alg` ebre de Hecke. Nous prouvons alors un ´ enonc´ e d’annulation de la torsion de ces localis´ es, reposant soit sur m directement, soit sur la repr´ esentation galoisienne ρ

qui lui est associ´ ee. En ce qui concerne la torsion, dans un cadre bien moins g´ en´ eral que [6], nous obtenons de mˆ eme que la torsion ne fournit pas de nouveaux syst` emes de param` etres de Satake, en prouvant que toute classe de torsion se rel` eve dans la partie libre de la cohomologie d’une vari´ et´ e d’Igusa.

Abstract (Torsion in the cohomology of Kottwitz-Harris-Taylor Shimura varieties) When the level at l of a Shimura variety of Kottwitz-Harris-Taylor is not maximal, its cohomology with coefficients in a Z

-local system isn’t in general torsion free. In order to prove torsion freeness results of the cohomology, we localize at a maximal ideal m of the Hecke algebra. We then prove a result of torsion freeness resting either on m itself or on the Galois representation ρ

associated to it. Concerning the torsion, in a rather restricted case than [6], we prove that the torsion doesn’t give new Satake parameters systems by showing that each torsion cohomology class can be raised in the free part of the cohomology of a Igusa variety.

Introduction

Dans [12], K.-W. Lan et J. Suh prouvent un r´ esultat tr` es g´ en´ eral sur l’absence de torsion dans la cohomologie d’une vari´ et´ e de Shimura PEL compacte ` a valeur dans un Z

-syst` eme local. Pour obtenir un r´ esultat aussi g´ en´ eral, les donn´ ees doivent v´ erifier un certain nombre d’hypoth` eses

— sur le syst` eme local qui est suppos´ e tr` es r´ egulier au sens de la d´ efinition 7.18 de [12],

Classification math´ ematique par sujets (2010). — 11F70, 11F80, 11F85, 11G18, 20C08.

Mots clefs. — classes de cohomologie de torsion, vari´ et´ e de Shimura, faisceau pervers, repr´ esentation

automorphe.

— sur l qui doit ˆ etre bon au sens de la d´ efinition 2.3 de [12] et donc suffisamment grand relativement au poids du syst` eme local consid´ er´ e et

— sur le niveau en l suppos´ e maximal, i.e. la vari´ et´ e de Shimura est non ramifi´ ee en l.

Ces hypoth` eses sont loin d’ˆ etre superflues comme pourra le noter le lecteur en consid´ erant, par exemple, un niveau qui est un pro-l-sous-groupe d’Iwahori en l, et un syst` eme local r´ egulier V

Zl,ξ

tel que V

Fl,ξ

poss` ede des vecteurs invariants par le sous-groupe des matrices unipotentes triangulaires sup´ erieures. Alors

— d’une part la cohomologie de V

Zl,ξ

⊗

Zl

Q

est concentr´ ee en degr´ e m´ edian et donc son H

est nul ;

— d’autre part le H

de V

Zl,ξ

⊗

Zl

F

correspond aux vecteurs invariants sous le pro-l-sous groupe d’Iwahori en l qui est donc non nul.

De ces deux faits, on en d´ eduit que la torsion du H

est non nulle. En ce qui concerne le syst` eme local trivial, consid´ erons la suite exacte

0 → H

G, H

(X, F

)

−→ H

(Y, F

) −→ H

(X, F

)

o` u X → Y est un revˆ etement galoisien de groupe de Galois G, que l’on applique dans le cas o` u

— X est une vari´ et´ e de Shimura g´ eom´ etriquement connexe de sorte que H

(X, F

) ' F

,

— G est de la forme ( Z /l Z )

et

— H

(Y, Q

) est nul.

Ainsi comme H

( Z /l Z )

, F

est non nul, on en d´ eduit que la torsion de H

(Y, Z

) est non nulle. L’exemple le plus simple pour obtenir ces conditions consiste ` a prendre une vari´ et´ e de Shimura de Kottwitz-Harris-Taylor pour U (2, 1) et deux niveaux interm´ ediaires pour que G soit de la forme voulue, cf. [14] th´ eor` eme 3.4.

A la vue de ces exemples, il semble clair que si on veut une annulation de la torsion ` lorsque le niveau en l augmente, il est raisonnable de localiser la cohomologie en un id´ eal maximal m de l’alg` ebre de Hecke agissant sur la cohomologie. D’apr` es [13], est associ´ ee ` a tel m une F

-repr´ esentation galoisienne ρ

et on cherche des conditions sur m ou sur ρ

, pour que la localisation de la cohomologie en m soit sans torsion. Des r´ esultats dans ce sens sont obtenus dans [7], via la th´ eorie de Hodge l-adique de la fibre sp´ eciale en l de la vari´ et´ e de Shimura dans le cas o` u celle-ci est de Kottwitz-Harris-Taylor.

Dans ce travail on s’int´ eresse ` a la mˆ eme question mais ` a partir de l’´ etude de la cohomo- logie de la fibre sp´ eciale en une place au dessus de p 6= l en utilisant les calculs explicites de [3]. On montre alors deux cas d’annulation de la torsion dans la cohomologie d’une vari´ et´ e de Shimura de Kottwitz-Harris-Taylor X

de niveau I et de dimension relative d − 1, ` a coefficients dans un syst` eme local V

Zl

associ´ e ` a une repr´ esentation irr´ eductible alg´ ebrique ξ, selon que la condition porte, th´ eor` eme 4.7, sur les param` etres de Satake modulo l, i.e.

sur m directement, ou, th´ eor` eme 4.18, sur la repr´ esentation galoisienne ρ

associ´ ee.

Th´ eor` eme A Supposons qu’il existe une place v non ramifi´ ee pour les donn´ ees, cf. la

notation 4.1, telle que le multi-ensemble des param` etres de Satake modulo l en v associ´ e

`

a m ne contient aucun sous-multi-ensemble de la forme {α, q

α} o` u q

est le cardinal du corps r´ esiduel en v . Alors pour tout i, les localis´ es H

(X

, V

Zl

)

sont sans torsion.

Th´ eor` eme B Supposons qu’il existe un sous-corps k ⊂ F

tel que SL

(k) ⊂ ρ

(G

) ⊂ F

GL

(k). Alors si l ≥ d + 2, les localis´ es H

(X

, V

Zl

)

sont sans torsion pour tout i.

Remarque : le th´ eor` eme B est l’une des formes que peut prendre le th´ eor` eme 4.18 qui utilise une hypoth` ese tir´ ee de [7] et qui est aussi v´ erifi´ ee si ρ

est induit d’un caract` ere du groupe de Galois d’une extension K/F galoisienne cyclique.

En ce qui concerne la torsion, nous obtenons deux types de contraintes pour son exis- tence :

— son apparition dans le localis´ e en m du i-` eme groupe de cohomologie, implique des restrictions sur le multi-ensemble des param` etres de Satake modulo l en toute place non ramifi´ ee, cf. la proposition 4.10.

— Si on consid` ere le plus petit groupe de cohomologie o` u le localis´ e en m n’est pas libre, alors pour une sous-repr´ esentation galoisienne irr´ eductible de cette torsion, l’action du Frobenius en toute place non ramifi´ ee n’admet pas beaucoup de valeurs propres distinctes, cf. la proposition 4.14. En particulier si on cherche des repr´ esentations galoisiennes irr´ eductibles sans valeur propre multiple pour l’action des Frobenius, leur dimension est major´ ee explicitement, cf. le corollaire 4.15, selon le principe que plus on s’´ eloigne du degr´ e m´ edian, plus la majoration est contraignante.

— Dans un cadre beaucoup plus simple que celui de [6], on montre que, pour tout m apparaissant dans la cohomologie, le syst` eme de param` etres de Satake associ´ e est la r´ eduction modulo l d’un syst` eme apparaissant dans la partie libre de la cohomologie d’une vari´ et´ e d’Igusa sur une strate de Newton. Dans l’esprit de [13], on peut alors associer, d’apr` es [9], ` a un tel syst` eme, une repr´ esentation galoisienne dont la r´ eduction modulo l est telle qu’aux places non ramifi´ ees, les frobenius annulent le polynˆ ome de Hecke associ´ e ` a m, cf. le th´ eor` eme 4.16. Cependant on notera bien que comme dans [6] et contrairement ` a [13], on n’obtient rien de nouveau.

Pour l’essentiel, les arguments reposent sur les calculs explicites de [3] des groupes de cohomologie des strates de Newton ; ces r´ esultats sont rappel´ es au §3.

Les r´ esultats de ce papier et notamment le th´ eor` eme 4.7 devraient, ` a l’instar du corollaire 3.5.1 de [7], permettre de prouver la partie poids de Serre de la conjecture de [10] pour U (d − 1, 1), tout comme [7] le fait pour U (2, 1). Il faudrait pour ce faire g´ en´ eraliser les r´ esultats de [8].

L’auteur remercie vivement Benoˆıt Stroh pour nos nombreuses discussions et en parti- culier pour les exemples de classes de cohomologie de torsion ´ evoqu´ ees dans l’introduction.

Enfin je remercie le rapporteur anonyme qui a permis de corriger coquilles, mal-dits et erreurs de la version initialement soumise.

Table des mati` eres

Introduction. . . . 1

1. G´ eom´ etrie de quelques vari´ et´ es de Shimura unitaires . . . . 4

2. Repr´ esentations automorphes cohomologiques. . . . 6

3. Rappels sur la Q

-cohomologie d’apr` es [3]. . . . 9

4. Localisation de la cohomologie. . . 12

R´ ef´ erences. . . 19

1. G´ eom´ etrie de quelques vari´ et´ es de Shimura unitaires

Dans la suite l et p d´ esigneront deux nombres premiers distincts. Soit F = F

E un corps CM avec E/ Q quadratique imaginaire, dont on fixe un plongement r´ eel τ : F

, → R . Pour v une place de F , on notera

— F

le compl´ et´ e du localis´ e de F en v,

— O

l’anneau des entiers de F

,

— $

une uniformisante et

— q

le cardinal du corps r´ esiduel κ(v) = O

/($

).

1.1. Hypoth` ese. — On supposera dans la suite que l est non ramifi´ e dans E.

Soit B une alg` ebre ` a division centrale sur F de dimension d

telle qu’en toute place x de F , B

est soit d´ ecompos´ ee soit une alg` ebre ` a division et on suppose B munie d’une involution de seconde esp` ece ∗ telle que ∗

est la conjugaison complexe c. Pour β ∈ B

, on note ]

l’involution x 7→ x

= βx

β

et G/ Q le groupe de similitudes, not´ e G

dans [9], d´ efini pour toute Q -alg` ebre R par

G(R) ' {(λ, g) ∈ R

× (B

⊗

R)

tel que gg

= λ}

avec B

= B ⊗

F . Si x est une place de Q d´ ecompos´ ee x = yy

dans E alors G( Q

) ' (B

)

× Q

' Q

× ^Y

zi

(B

i

)

,

o` u, en identifiant les places de F

au dessus de x avec les places de F au dessus de y, x = ^Q

z

dans F

.

1.2. Notation. — Pour x une place de Q d´ ecompos´ ee dans E et z une place de F

au dessus de x, on notera G(F

) le facteur (B

)

de G( Q

) et G( A

) pour G( A ) auquel on ˆ

ote le facteur (B

)

. De mˆ eme pour T un ensemble de places de Q et x ∈ T , on notera T − {z} pour d´ esigner la r´ eunion des places de T distinctes de x avec les places de F , autres que z, au dessus de x.

Dans [9], les auteurs justifient l’existence d’un G comme ci-dessus tel qu’en outre :

— si x est une place de Q qui n’est pas d´ ecompos´ ee dans E alors G( Q

) est quasi- d´ eploy´ e ;

— les invariants de G( R ) sont (1, d − 1) pour le plongement τ et (0, d) pour les autres.

On fixe ` a pr´ esent un nombre premier p = uu

d´ ecompos´ e dans E tel qu’il existe une place v de F au dessus de u avec

(B

)

' GL

(F

).

On note v = v

, v

, · · · , v

les places de F au dessus de u. Pour tout m = (m

, · · · , m

) ∈ Z

, on pose

m

= (0, m

, · · · , m

), et pour tout sous-groupe compact U

de G( A

), on note

U

(m) = U

× Z

×

r

Y

i=1

Ker O

vi

−→ (O

/P

i

)

, ainsi que

U

(m) = U

(m

).

1.3. Notation. — On note Spl l’ensemble des places v de F telles que p

:= v

est d´ ecompos´ e dans E et distinct de l, avec

G( Q

) ' Q

× GL

(F

) ×

r

Y

i=2

(B

i

)

, o` u p

= v. ^Q

v

dans F

.

1.4. Notation. — Pour v ∈ Spl, on note I

l’ensemble des sous-groupes compacts ouverts

assez petits

de G( A

), de la forme U

(m). Pour I = U

(m) ∈ I

, on note

— I

= U

(m),

— n(I) := m

, et

— Spl(I) l’ensemble des places w ∈ Spl telles que I est maximal en w.

1.5. D´ efinition. — Pour U

(m)

assez petit

, soit X

/ Spec O

la vari´ et´ e de Shi- mura dite de Kottwitz-Harris-Taylor associ´ ee ` a G

construite dans [9].

Remarque : X

est un sch´ ema projectif sur Spec O

tel que quand U

et m varient, les X

forment un syst` eme projectif dont les morphismes de transition sont finis et plats.

Quand m

= m

alors X

−→ X

est ´ etale. Par ailleurs le syst` eme projectif

X

U^p,m

est naturellement muni d’une action de G( A

) × Z telle que l’action d’un ´ el´ ement w

du groupe de Weil W

de F

est donn´ ee par celle de − deg(w

) ∈ Z , o` u deg = val ◦ Art

o` u Art

: W

' F

est l’isomorphisme d’Artin qui envoie les Frobenius g´ eom´ etriques sur les uniformisantes.

1. tel qu’il existe une place x pour laquelle la projection de U

(m) sur G( Q

) ne contienne aucun

´

el´ ement d’ordre fini autre que l’identit´ e, cf. [9] bas de la page 90

Notons A la vari´ et´ e ab´ elienne universelle sur X

puis G := diag(1, 0, · · · , 0).A[v

] le groupe de Barsotti-Tate de dimension 1 associ´ e.

1.6. Notations. — (cf. [2] §1.3) Pour I ∈ I

, on note :

— X

la fibre sp´ eciale de X

en v et X

:= X

× Spec ¯ F

la fibre sp´ eciale g´ eom´ etrique.

— Pour tout 1 ≤ h ≤ d, X

(resp. X

) d´ esigne la strate ferm´ ee (resp. ouverte) de Newton de hauteur h, i.e. le sous-sch´ ema dont la partie connexe du groupe de Barsotti-Tate en chacun de ses points g´ eom´ etriques est de rang ≥ h (resp. ´ egal ` a h).

1.7. Notations. — Pour tout 1 ≤ h < d, nous utiliserons les notations suivantes : i

: X

, → X

, j

: X

, → X

.

Remarque : par la suite, lors de l’introduction de nouvelles notations relativement ` a des inclusions g´ eom´ etriques, nous conserverons la convention qu’une lettre i (resp. j ) d´ esigne une inclusion ferm´ ee (resp. ouverte).

Rappelons que L := (Lie G)

est un fibr´ e en droite ample sur X

.

1.8. Th´ eor` eme. — (cf. [11]) Pour tout 1 ≤ h ≤ d, il existe un invariant de Hasse g´ en´ eralis´ e

H

∈ H

(X

, L

)

qui est inversible sur X

et poss` ede un z´ ero simple sur X

. Remarque : en particulier X

est affine et r´ eguli` ere.

Pour tout 1 ≤ h < d, les strates X

sont g´ eom´ etriquement induites sous l’action du parabolique P

(F

) au sens o` u il existe un sous-sch´ ema ferm´ e X

muni d’une action par correspondances de G( A

) × GL

(F

) × Z tel que :

X

' X

×

h,d(O_v/($^n(I)v ))

GL

(O

/($

)).

1.9. Notation. — On note X

l’adh´ erence de X

dans X

et j

: X

, → X

.

2. Repr´ esentations automorphes cohomologiques

Avant de parler de repr´ esentations automorphes, rappelons quelques notations sur les repr´ esentations admissibles de GL

sur un corps local K. Pour P = M N un parabo- lique standard de GL

de L´ evi M et de radical unipotent N , on note δ

: P (K ) → Q

l’application d´ efinie par

δ

(h) = | det(ad(h)

)|

.

Pour (π

, V

) et (π

, V

) des repr´ esentations de respectivement GL

(K) et GL

(K), et P

le parabolique standard de GL

de Levi M = GL

×GL

et de radical unipotent N ,

π

× π

d´ esigne l’induite parabolique normalis´ ee de P

(K ) ` a GL

(K) de π

⊗ π

c’est ` a dire l’espace des fonctions f : GL

(K) → V

⊗ V

telles que

f (nmg) = δ

1,n2

(m)(π

⊗ π

)(m)

f(g)

, ∀n ∈ N, ∀m ∈ M, ∀g ∈ GL

(K ).

Rappelons qu’une repr´ esentation π de GL

(K ) est dite cuspidale si elle n’est pas un sous- quotient d’une induite parabolique propre.

2.1. Notation. — Soient g un diviseur de d = sg et π une repr´ esentation cuspidale irr´ eductible de GL

(K). L’unique quotient (resp. sous-repr´ esentation) irr´ eductible de π{

} × π{

} × · · · × π{

} est not´ e St

(π) (resp. Speh

(π)).

Remarque : du point de vue galoisien, via la correspondance de Langlands locale, la repr´ esentation Speh

(π) correspond ` a la somme directe σ(

)⊕· · ·⊕σ(

) o` u σ correspond

`

a π. Plus g´ en´ eralement pour π une repr´ esentation irr´ eductible quelconque de GL

(K) as- soci´ ee ` a σ par la correspondance de Langlands locale, on notera Speh

(π) la repr´ esentation de GL

(K) associ´ ee, par la correspondance de Langlands locale, ` a σ(

) ⊕ · · · ⊕ σ(

).

Rappelons, cf. [9] p.97, la param´ etrisation des repr´ esentations alg´ ebriques irr´ eductibles de G sur ¯ Q

. Fixons pour ce faire un plongement σ

: E , → Q ¯

et notons Φ l’ensemble des plongements σ : F , → Q ¯

dont la restriction ` a E est σ

.

Fait : Il existe une bijection explicite entre les repr´ esentations alg´ ebriques irr´ eductibles ξ de G sur ¯ Q

et les (d + 1)-uplets a

, ( − → a

)

o` u a

∈ Z et pour tout σ ∈ Φ, on a

−

→ a

= (a

≤ · · · ≤ a

).

Soit K ⊂ Q ¯

, une extension finie de Q

telle que la repr´ esentation ι

◦ ξ de plus haut poids a

, ( − → a

)

, soit d´ efinie sur K ; notons W

l’espace de cette repr´ esentation et W

un r´ eseau stable sous l’action du sous-groupe compact maximal G( Z

), o` u O d´ esigne l’anneau des entiers de K.

Remarque : si on suppose que ξ est l-petit, i.e. que pour tout σ ∈ Φ et pour tout 1 ≤ i <

j ≤ n, on a 0 ≤ a

− a

< l, alors un tel r´ eseau stable est unique ` a homoth´ etie pr` es.

Notons λ une uniformisante de O et soit pour n ≥ 1, un sous-groupe distingu´ e I

∈ I

de I ∈ I

, compact ouvert agissant trivialement sur W

:= W

⊗

O/λ

. On note alors V

le faisceau sur X

dont les sections sur un ouvert ´ etale T −→ X

sont les fonctions

f : π

X

×

T −→ W

telles que pour tout k ∈ I et C ∈ π

X

×

T , on a la relation f (Ck) = k

f (C).

2.2. Notation. — On pose alors V

= lim

n

V

et V

= V

⊗

K.

On utilisera aussi la notation V

et V

pour les versions sur Z ¯

et Q ¯

respectivement.

Remarque : rappelons que la repr´ esentation ξ est dite r´ eguli` ere si son param` etre

a

, ( − → a

)

est tel que pour tout σ ∈ Φ, on a a

< · · · < a

.

On fixe ` a pr´ esent une C -repr´ esentation irr´ eductible alg´ ebrique de dimension finie ξ de G.

2.3. D´ efinition. — Une C -repr´ esentation irr´ eductible Π

de G( A

) est dite ξ- cohomologique s’il existe un entier i tel que

H

((Lie G( R )) ⊗

C , U

, Π

⊗ ξ

) 6= (0)

o` u U

est un sous-groupe compact modulo le centre de G( R ), maximal, cf. [9] p.92. On no- tera d

(Π

) la dimension de ce groupe de cohomologie. Une ¯ Q

-repr´ esentation irr´ eductible Π

de G( A

) sera dit automorphe ξ-cohomologique s’il existe une C -repr´ esentation ξ- cohomologique Π

de G( A

) telle que ι

Π

⊗ Π

est une C -repr´ esentation automorphe de G( A ).

2.4. Notation. — Pour Π une repr´ esentation irr´ eductible admissible de G( A ), on note m(Π) sa multiplicit´ e dans l’espace des formes automorphes.

Pour Π une repr´ esentation automorphe irr´ eductible admissible cohomologique de G( A ), rappelons, cf. par exemple le lemme 3.2 de [5], que pour x une place de Q d´ ecompos´ ee x = yy

dans E et z une place de F au dessus de y telle que, avec la notation 1.2, G(F

) := (B

)

' GL

(F

), la composante locale Π

, au sens de 1.2, est de la forme Speh

(π

) pour π

une repr´ esentation irr´ eductible non d´ eg´ en´ er´ ee et s un entier ≥ 1 qui ne d´ epend que de Π et non de la place z comme ci-dessus.

2.5. D´ efinition. — L’entier s ci-avant est appel´ e la profondeur de d´ eg´ en´ erescence de Π.

Remarque : on rappelle qu’un telle repr´ esentation Π est dite temp´ er´ ee si sa profondeur de d´ eg´ en´ erescence s est ´ egale ` a 1.

2.6. Notation. — Les d

(Π

) sont nuls si |d − 1 − i| ≥ s ou si d − 1 − i ≡ s mod 2.

Sinon ils sont tous ´ egaux, on note d

(Π

) la valeur commune non nulle des d

(Π

).

3. Rappels sur la Q

-cohomologie d’apr` es [3]

Dans ce paragraphe v d´ esigne une place de F telle que p

:= v

est d´ ecompos´ e dans E distinct de l et G( Q

) ' Q

× GL

(F

) × ^Q

(B

)

, o` u p

= v. ^Q

v

dans F

. 3.1. Notation. — Pour 1 ≤ h ≤ d, on note I

(h) l’ensemble des sous-groupes compacts ouverts de la forme

U

(m, h) := U

(m

) × I

0 0 K

(m

)

!

,

o` u K

(m

) = Ker GL

(O

) −→ GL

(O

/($

)) . La notation [H

(h, ξ)] (resp.

[H

(h, ξ)]) d´ esignera l’image de lim

I∈Iv(h)

H

(X

, V

[d − h]) resp. lim

I∈Iv(h)

H

(X

, j

V

[d − h])

dans le groupe de Grothendieck Groth(v, h) des repr´ esentations admissibles de G( A

) × GL

(F

) × Z .

Remarques :

(i) comme tous les compacts de I

(resp. I

(h)) contiennent le facteur Z

, les repr´ esentations Π qui vont intervenir par la suite, dans les diff´ erents groupes de cohomologie, devront toutes v´ erifier que leur composante Π

sur le facteur de similitude Q

, est telle (Π

)

Z^×pv

= 1.

(ii) L’action de σ ∈ W

sur ces GL

(F

)× Z -modules est donn´ ee par celle de − deg σ ∈ Z compos´ ee avec celle de Π

(Art

(σ)).

(iii) Par ailleurs, on munit ces espaces d’une action de GL

(F

) via le morphisme val ◦ det : GL

(F

) −→ Z

et enfin une action de P

(F

) via son facteur de L´ evi GL

(F

) × GL

(F

), i.e. en faisant agir trivialement son radical unipotent.

Pour I

∈ I

(h) qui est maximal en v , i.e. m

= 0, on a H

(X

, V

Ql

) =

lim

I∈Iv(h)

H

(X

, V

)

(3.2) ainsi que

H

(X

, j

V

Ql

) =

lim

I∈I_v(h)

H

(X

, j

V

)

. (3.3)

3.4. Notation. — Pour Π

une repr´ esentation irr´ eductible de G( A

), on notera

Groth(h){Π

} le sous-groupe facteur direct de Groth(v, h) engendr´ e par les irr´ eductibles

de la forme Π

⊗ π

⊗ ζ o` u π

(resp. ζ) est une repr´ esentation irr´ eductible quelconque de GL

(F

) (resp. de Z ). On notera alors

[H

(h, ξ)]{Π

} la projection de [H

(h, ξ)] sur ce facteur direct.

On ´ ecrit

[H

(h, ξ)]{Π

} = Π

⊗

X

Ψv,ξ

m

(Π

)Ψ

⊗ ζ

,

o` u Ψ

(resp. ξ) d´ ecrit l’ensemble des repr´ esentations admissibles de GL

(F

), (resp. de Z que l’on voit comme une repr´ esentation non ramifi´ ee de W

).

3.5. Proposition. — Pour P l’ensemble des nombres premiers de Z et I = ⊗

I

∈ I

maximal en v , dans le groupe de Grothendieck des repr´ esentations de l’alg` ebre de Hecke

⊗

Q

[I

\G( Q

)/I

], on a avec les notations pr´ ec´ edentes [H

(X

, V

l

)] = ^X

Π^∞,v

(Π

)

⊗

X

Ψv,ξ

m

(Π

) Speh

ζ × Ψ

. D´ emonstration. — Le r´ esultat d´ ecoule directement de (3.2) avec la description de l’action de GL

(F

), et du fait que, d’apr` es [3], la d´ ecomposition de lim

I∈Iv

H

(X

, V

) selon ses Π

-composantes est semi-simple.

Remarque : on a une ´ egalit´ e du mˆ eme style pour la cohomologie ` a support compact H

(X

v

, j

V

Ql

).

Les r´ esultats suivants se d´ eduisent directement, dans le cas de la repr´ esentation triviale, de la description des groupes de cohomologie des extensions interm´ ediaires (resp. par z´ ero) des syst` emes locaux d’Harris-Taylor donn´ es aux §3 (resp. §5) de [3]. Le lecteur pourra trouver utile, la r´ e´ ecriture de ces r´ esultats dans [5].

3.6. Proposition. — Soit Π une repr´ esentation automorphe irr´ eductible ξ-cohomologique temp´ er´ ee. Pour tout h = 1, · · · , d et pour tout i 6= 0,

[H

(h, ξ)]{Π

} et [H

(h, ξ)]{Π

} sont nuls.

D´ emonstration. — Le r´ esultat pour H

(h, ξ) est un cas particulier de la proposition

3.6 de [5] pour le syst` eme local constant, i.e. π

est la repr´ esentation triviale, et s = 1. Pour la cohomologie ` a support compact, on peut soit ´ evoquer la proposition 3.12 de [5], soit utiliser la description, d’apr` es le corollaire 5.4.1 de [2], de cette extension par z´ ero en termes des syst` emes locaux sur les strates de Newton d’indices h

≥ h.

2. laquelle d´ ecoule directement de la proposition 3.6.1 de [3]

3.7. Proposition. — Soit Π une repr´ esentation automorphe irr´ eductible ξ-cohomologique non temp´ er´ ee de profondeur de d´ eg´ en´ erescence s > 1 au sens de la d´ efinition 2.5. Alors

(i) pour tout h > s, les [H

(h, ξ)]{Π

} sont nuls pour tout i ; (ii) pour tout h 6= s, [H

(h, ξ)]{Π

} est nul.

D´ emonstration. — Le r´ esultat est donn´ e ` a la proposition

3.12 de [5] en prenant t = 1.

En particulier pour (ii), le r´ esultat d´ ecoule du fait que, avec les notations de loc. cit., n

(h, 0) est non nul si et seulement si h = s.

Remarque : dans loc. cit. on montre plus pr´ ecis´ ement que [H

(h, ξ)]{Π

} 6= (0) si et seulement si i = s − h ≥ 0.

3.8. Notation. — Soit U

(Π

) l’ensemble des repr´ esentations irr´ eductibles auto- morphes Π

de G( A ) telles que (Π

)

' Π

.

Remarque : d’apr` es le corollaire VI.2.2 de [9], la composante locale Π

d’un Π

∈ U

(Π

) ne d´ epend pas de Π

tel que d

(Π

) 6= 0, cf. le corollaire VI.2.2 de [9].

On suppose pour la fin de ce paragraphe que Π est une repr´ esentation automorphe irr´ eductible ξ-cohomologique temp´ er´ ee dont la composante locale en v est

Π

' St

(π

) × · · · × St

(π

),

o` u pour i = 1, · · · , u, π

est une repr´ esentation irr´ eductible cuspidale de GL

(F

).

3.9. Proposition. — Avec les notations et les hypoth` eses pr´ ec´ edentes concernant Π,

— [H

(h, ξ)]{Π

} est nulle sauf si tous les π

pour i = 1, · · · , u sont des caract` eres.

— Dans le cas o` u pour tout i = 1, · · · , u, π

est un caract` ere de F

que l’on note χ

, on les ordonne de fa¸ con que les r premiers correspondent aux non ramifi´ es. On a alors dans Groth(h){Π

}, l’´ egalit´ e

[H

(h, ξ)]{Π

} =

] Ker

( Q , G) d

X

Π⁰∈U_G(Π^∞,v)

m(Π

)d

(Π

)

X

1≤k≤r: tk=h

Π

⊗ χ

Ξ

o` u

— Ker

( Q , G) est le sous-ensemble de H

( Q , G) constitu´ e des ´ el´ ements qui de- viennent triviaux dans H

( Q

, G) pour toute place p

de Q ,

— Π

:= St

(χ

) × · · · × St

(χ

) × St

(χ

) × · · · × St

(χ

) et

— Ξ :

Z −→ Z

est d´ efini par Ξ(

) = q

1

v2

.

D´ emonstration. — Il s’agit ` a nouveau de la proposition 3.6 de [5] avec s = 1 et π

la repr´ esentation triviale de F

: avec les notation de loc. cit., R

(1, t

)(h, 0) disparait i.e.

c’est la repr´ esentation triviale de GL

(F

).

3. laquelle d´ ecoule directement des calculs de [3] §5

Remarque : ` a partir de ces descriptions cohomologiques en niveau infini, on retrouve leurs versions en niveau fini, et maximal en v , en utilisant la proposition 3.5. En particulier dans la formule de la proposition, on prend les invariants sous I de Π

⊗

Π

× Speh

(χ

)

.

4. Localisation de la cohomologie 4.1. Notation. — Pour I un niveau fini, soit

T

:= Z

h T

: w ∈ Spl(I) et i = 1, · · · , d ⁱ ,

l’alg` ebre de Hecke associ´ ee ` a Spl(I), o` u T

est la fonction caract´ eristique de GL

(O

) diag(

i

z }| {

$

, · · · , $

,

d−i

z }| {

1, · · · , 1)GL

(O

) ⊂ GL

(F

).

Le r´ esultat suivant tir´ e de [7] est la relation d’Eichler-Shimura d´ emontr´ ee par Wedhorn dans [15], dans le cadre de nos vari´ et´ es de Shimura de Kottwitz-Harris-Taylor.

4.2. Th´ eor` eme. — (cf. [7] 3.3.1) Pour tout w ∈ Spl(I), l’action de

d

X

i=0

(−1)

q

i(i−1)

w 2

T

Frob

sur chacun des H

(X

, V

Zl

) est nulle.

Dans la suite, on fixe une place v ∈ Spl, un id´ eal I ∈ I

tel que I = I

ainsi qu’un id´ eal maximal m de T

de corps r´ esiduel F

tel qu’il existe un entier 1 ≤ h ≤ d et i ∈ Z tels que

H

(X

, V

Zl

)

6= (0). (4.3)

Pour tout w ∈ Spl(I), on note P

(X) :=

d

X

i=0

(−1)

q

i(i−1)

w 2

T

X

∈ F

[X]

le polynˆ ome de Hecke associ´ e ` a m et

S

(w) := ⁿ λ ∈ T

/m ' F

tel que P

(λ) = 0 ^o , le multi-ensemble des param` etres de Satake modulo l en w associ´ es ` a m.

Remarque : on rappelle qu’un multi-ensemble est un couple (A, m) o` u A est un ensemble appel´ e le support et m : A −→ N

∪ {+∞} est la multiplicit´ e au sens o` u a ∈ A apparait m(a) fois dans le multi-ensemble (A, m). On dira qu’un multi-ensemble (A, m) est contenu dans (A

, m

) si et seulement si A ⊂ A

et pour tout a ∈ A, on a m(a) ≤ m

(a).

4. En particulier, on a v ∈ Spl(I).

Avec les notations pr´ ec´ edentes, l’image T

de T

dans T

/m s’´ ecrit T

= q

i(1−i)

w 2

σ

(λ

, · · · , λ

)

o` u S

(w) = {λ

, · · · , λ

} et σ

d´ esigne la i-` eme fonction sym´ etrique ´ el´ ementaire.

4.4. Notation. — On notera alors m

l’id´ eal maximal de T

d´ efini par T

∈ T

7→ q

i(1−i)

w 2

σ

(λ

, · · · , λ

) ∈ F

. 4.5. D´ efinition. — On d´ efinit

l

(w; α) := max

s tel que {α, q

α, · · · , q

α} ⊂ S

(w)

et

l

(w) := max

α∈Sm(w)

l

(w; α).

Remarque : dans la d´ efinition pr´ ec´ edente, {α, q

α, · · · , q

α} est consid´ er´ e comme un multi-ensemble et l’inclusion associ´ ee est relative aux multi-ensembles. En particulier si q

≡ 1 mod l, alors l

(w; α) est simplement la multiplicit´ e de α dans S

(w).

4.6. Lemme. — Avec les notations pr´ ec´ edentes, s’il existe i avec H

(X

, V

Zl

)

⊗

Zl

Q

6= (0) resp. H

(X

, j

V

Zl

)

⊗

Zl

Q

6= (0), alors l

(v) ≥ h.

D´ emonstration. — Rappelons que l’action du facteur GL

(F

) du L´ evi P

(F

) sur lim

I∈Iv

H

(X

v,1

, V

) (resp. lim

I∈Iv

H

(X

v,1

, j

V

)) se factorise par val ◦ det : GL

(F

) −→

Z de sorte que le r´ esultat d´ ecoule via (3.2) (resp. de (3.3)) de la proposition 3.5, en re- marquant que les param` etres de Satake des invariants sous GL

(F

) de la repr´ esentation triviale Speh

(1

) sont {q

1−h

v2

, q

3−h

v2

, · · · , q

h−1

v2

}.

4.7. Th´ eor` eme. — Si l

(v ) = 1 alors pour toute repr´ esentation alg´ ebrique ξ, la locali- sation H

(X

, V

Zl

)

en m de la cohomologie de V

Zl

est nulle pour i 6= d − 1 et sans torsion, pour i = d − 1.

Remarque : dans l’´ enonc´ e pr´ ec´ edent, il faut voir la place v comme une place auxiliaire au sens o` u, pour I fix´ e, d` es qu’il existe v ∈ Spl(I) avec I = I

∈ I

telle que l

(v) = 1, alors la localisation de la cohomologie est sans torsion concentr´ ee en degr´ e m´ edian.

D´ emonstration. — Nous allons montrer par r´ ecurrence sur h de d ` a 2 que les H

(X

, V

Zl

)

sont nuls : d’apr` es le lemme pr´ ec´ edent c’est d´ ej` a vrai pour les parties libres, il ne reste donc plus qu’` a consid´ erer la torsion de ces groupes. Pour h = d, les H

(X

, V

Zl

) sont

nuls pour i 6= 0 et sans torsion pour i = 0, le r´ esultat d´ ecoule donc du lemme pr´ ec´ edent.

Supposons le r´ esultat acquis jusqu’au rang h + 1 et traitons le cas de h ≥ 2. Consid´ erons la suite exacte courte de faisceaux pervers sans torsion

0 → i

V

Zl,|X_I,¯^≥h+1_sv

[d − h − 1] −→ j

j

V

Zl,|X_I,¯^≥h_sv

[d − h] −→ V

Zl,|X_I,¯^≥h_sv

[d − h] → 0.

Il r´ esulte du th´ eor` eme d’Artin, cf. par exemple le th´ eor` eme 4.1.1 de [1] et, donc, de l’affinit´ e des strates X

d’apr` es le th´ eor` eme 1.8, que les H

(X

, j

j

V

Zl,|X_I,¯^≥h_sv

[d − h]) sont nuls pour i < 0 et sans torsion pour i = 0, de sorte que pour i > 0, on a

0 → H

(X

v

, V

l

[d − h]) −→ H

(X

v

, V

l

[d − h − 1]) → 0, (4.8) et pour i = 0,

0 → H

(X

, V

Zl

[d − h]) −→ H

(X

, V

Zl

[d − h − 1]) −→

H

(X

, j

j

V

Zl

[d − h]) −→ H

(X

, V

Zl

[d − h]) → · · · (4.9) Ainsi apr` es localisation en m et en utilisant l’hypoth` ese de r´ ecurrence, on obtient que les H

(X

, V

Zl

[d − h])

sont nuls pour i < 0 et sans torsion pour i = 0. En utilisant que la propri´ et´ e l

(v) = 1 est invariante par dualit´ e, i.e.

l

(v ) = 1 ⇔ l

(v) = 1,

on en d´ eduit alors par application de la dualit´ e de Verdier que les H

(X

, V

Zl

[d − h])

sont nuls pour i 6= 0 et sans torsion pour i = 0. On est ainsi ramener sur Q

en degr´ e m´ edian o` u le r´ esultat d´ ecoule du lemme pr´ ec´ edent.

Les mˆ emes arguments appliqu´ es au cas h = 1, nous donnent que les H

(X

, V

l

)

sont nuls pour i 6= d − 1 et sans torsion pour i = d − 1. Le th´ eor` eme de changement de base lisse fournit H

(X

, V

l

) ' H

(X

v

, V

l

), d’o` u le r´ esultat.

Une analyse plus fine de la preuve pr´ ec´ edente permet d’obtenir la pr´ ecision suivante.

4.10. Proposition. — Soit i ≥ 0 tel que la torsion de H

(X

, V

Zl

[d − 1])

est non nulle. On a alors l

(v ) ≥ i + 2.

Remarque : l’in´ egalit´ e ´ evidente l

(v ) ≤ d, nous donne en particulier que la torsion de H

(X

, V

Zl

)

est nulle ; on peut donc comprendre l’´ enonc´ e pr´ ec´ edent comme une g´ en´ eralisation de ce fait ´ el´ ementaire.

D´ emonstration. — Notons r = l

(v). En reprenant la preuve du th´ eor` eme pr´ ec´ edent, on obtient que les H

(X

, V

Zl

[d − h])

sont nuls pour tout i (resp. i 6= 0 et sans torsion pour i = 0) tant que h > r (resp. pour h = r). Montrons ` a pr´ esent par r´ ecurrence sur h de r ` a 1 que les H

(X

, V

Zl

[d− h])

sont nuls pour i > r − h et sans torsion pour i = r − h.

5. Les strates X

v

´ etant lisses et j

´ etant affine, les trois termes de la suite exacte sont pervers et

sont libres au sens de la th´ eorie de torsion naturelle issue de la structure Z

-lin´ eaire, cf. [4] §1.1-1.3.