LE LEMME D'IHARA POUR LES GROUPES UNITAIRES

(1)

HAL Id: hal-01136910

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Preprint submitted on 26 May 2016

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LE LEMME D’IHARA POUR LES GROUPES UNITAIRES

Pascal Boyer

To cite this version:

Pascal Boyer. LE LEMME D’IHARA POUR LES GROUPES UNITAIRES. 2015. �hal-01136910v2�

(2)

par Boyer Pascal

R´esum´e. — Le r´esultat principal de ce travail est la preuve de certaines instances de ce que depuis les travaux de Clozel-Harris-Taylor sur Sato-Tate, on appelle le lemme d’Ihara.

Ces instances sont liées aux hypothèses restrictives portées par l’idéal maximal de l’algèbre de Hecke par lequel on localise l’espace des formes automorphes modulol du groupe unitaire considéré. La stratégie consiste à transférer cet énoncé en une propriété similaire portant sur la cohomologie d’une variété de Shimura de type Kottwitz-Harris-Taylor que l’on montre en prouvant que la cohomologie, localisé en cet idéal maximal, d’un faisceau pervers d’Harris- Taylor est sans torsion.

Abstract (Ihara’s lemma for some unitary groups). — The main result of this paper is the proof of some new instances of the so called Ihara’s lemma as it was introduced in their work on Sato-Tate by Clozel-Harris-Taylor. These new cases are linked to the particular hypothesis on the maximal ideal of the Hecke algebra by which we localize the space of automorphic forms modulol of the unitary group. The strategy consists to go through the same property of genericness of subspace of the localized cohomology of some Kottwitz-Harris- Taylor Shimura variety, which relies on the freeness of the localized cohomology groups of Harris-Taylor’s perverse sheaves.

Table des mati`eres

Introduction. . . 2

1. Géométrie des variétés de Shimura de Kottwitz-Harris-Taylor . . . 5

1.1. Donn´ees de Shimura. . . 5

1.2. Syst`emes locaux d’Harris-Taylor. . . 7

1.3. Faisceau pervers des cycles ´evanescents. . . 9

1.4. Structures enti`eres. . . 11

Classification math´ematique par sujets (2010). — 11F70, 11F80, 11F85, 11G18, 20C08.

Mots clefs. — Variétés de Shimura, cohomologie de torsion, idéal maximal de l’algèbre de Hecke, localisation de la cohomologie, représentation galoisienne.

L’auteur remercie l’ANR pour son soutien dans le cadre du projet PerCoLaTor 14-CE25.

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2. Cohomologie enti`ere. . . 14

2.1. Localisation en un id´eal non pseudo-Eisenstein. . . 14

2.2. Repr´esentations elliptiques et libert´e de la cohomologie. . . 15

2.3. Du lemme d’Ihara `a la cohomologie. . . 19

3. Sur la cohomologie modulol. . . 21

3.1. R´eseaux globaux. . . 21

3.2. R´eseaux locaux. . . 22

3.3. Preuve du lemme d’Ihara. . . 23

3.4. Augmentation du niveau. . . 25

R´ef´erences. . . 27

Introduction

Soit F “ F^`E un corps CM avec E{Q quadratique imaginaire. Pour B une alg`ebre

`

a division centrale sur F de dimension d² munie d’une involution de seconde espèce ˚ et β PB^˚“´1, on considère le groupe des similitudes G{Q défini pour touteQ-algèbre R par

GpRq:“ tpλ, gq PR^ˆˆ pB^opb_QRq^ˆ tel que gg⁷^β “λu

avec Bôp “ BbF,cF où c“ ˚|F est la conjugaison complexe et 7β l’involution x ÞÑx⁷^β “ βx^˚β^´1. On noteG0 le groupe des similitudes associé. Pourp“uu^cun premier décomposé dans E, on a

GpQpq » Q^ˆp ˆź

w|u

pB^op_v q^ˆ

o`uw d´ecrit les places de F au dessus de u. On suppose en outre que :

— G₀pRqest compact,

— sixest une place deQqui n’est pas décomposée dansEalorsGpQxqest quasi-déployé,

— qu’il existe une place v₀ de F au dessus de u telle que B_v₀ » D_v₀_,d est l’algèbre à division centrale sur le complété F_v₀ de F à la place v₀, d’invariant ¹_d.

Soit `a pr´esent l un nombre premier distinct de p et S un ensemble fini de premiers de Q contenant l : on note Spl (resp. Spl^S) l’ensemble des places finies de F (resp. et p_w :“

w_|_Q R S) telles que p_w est décomposé dans E et le facteur de GpQpwq correspondant à w soit isomorphe à GL_dpF_wq. Soit alors

TS “ZlrT_w,1,¨ ¨ ¨ , T_w,d: wPSpl^Ss

l’algèbre de Hecke associée aux opérateurs de Hecke non ramifiés aux placeswPSpl^S. Pour m un idéal maximal deTS etwP Spl^S, on note

S_mpwq “

! T_w,i

T_w,i´1, i“1,¨ ¨ ¨, d )

,

le multi-ensemble des paramètres de Satake modulo l en w associé à m, où on a posé T_w,0 “1.

(4)

Les idéaux premiers minimaux de TS sont ceux au dessus de l’idéal nul de Zl et sont donc en bijection naturelle avec les idéaux premiers de TSb_Z_l Ql. Ainsi pour mr Ă m un tel idéal premier minimal, pTSb_Z_lQlq{mr est une extension finie K_m_r de Ql.

A un id´` eal premier minimalmr cohomologique est associé une classe d’équivalence proche Π_m_r au sens de [12], i.e. un ensemble fini de représentations automorphes irréductibles Π non ramifiées aux placeswRStelles que la réduction modulolde ses paramètres de Satake est le multi-ensemble S_mpwq. On note

ρ_m_r :G_F :“GalpF¯{Fq ÝÑGL_dpQlq

la représentation galoisienne associée à un tel Π d’après [11] et [12], laquelle est nécessairement bien définie à isomorphisme près d’après le théorème de Cebotarev. Les va- leurs propres de Frob_w de la réduction modulo l, ρ_m :G_F ÝÑGL_dpFlq sont alors données par le multi-ensemble S_mpwq. La version du lemme d’Ihara pour G est la conjecture suivante.

Conjecture. — (Lemme d’Ihara) Soient

— U un sous-groupe ouvert compact de GpAq tel que pour tout place w P Spl^S, sa composante locale Uw est le sous-groupe compact maximal GLdpOwq,

— w0 PSpl^S et

— m un id´eal maximal de T^S tel que ρ_m est absolument irr´eductible.

Si π¯ est une sous-représentation irréductible de C⁸pGpQqzGpAq{U^w⁰,Flqm, où U “ U_w₀U^w⁰, alors la composante locale π¯_w₀ de π¯ en w₀ est générique.

Remarque : cette version en dimension supérieure du classique lemme d’Ihara pourGL2 est due à Clozel-Harris-Taylor dans leur preuve de la conjecture de Sato-Tate . Pour contourner cette conjecture, Taylor inventa, peu après, ce que désormais on appelle^!Ihara avoidance^", qui lui permit donc de faire l’automorphie nécessaire pour prouver la conjecture de Sato- Tate. Malgré cela l’obtention du lemme d’Ihara soulève toujours un très vif intérêt, cf. par exemple les travaux de Clozel et Thorne [8], ou ceux d’Emerton et Helm [10].

Dans cet article, nous allons prouver cette conjecture sous les conditions restrictives suivantes portant sur m.

— (H1) : Il existe une place v₁ P Spl telle que la restriction ρ_m,v₁ de ρ_m au groupe de d´ecomposition env₁ est irr´eductible,

— (H2) : Il existe w₁ P Spl^S tel que S_mpw₁q ne contient aucun sous-multi-ensemble de la forme tα, q_w₁αuo`u q_w₁ est le cardinal du corps r´esiduel de F_w₁,

— (H3) : L’image de ρ_m,w₀ dans son groupe de Grothendieck, est sans multiplicit´es.

La stratégie consiste à considérer la cohomologie de la tour de variétés de Shimura XI

associ´ee au groupe des similitudes G o`u G{Q est tel que

— GpA⁸q “ GpA^8,pq ˆGL_dpF_v₀q ˆś

w|u w‰v0

pB^op_wq^ˆ,

— GpRqa pour signatures p1, d´1q ˆ p0, dq ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ p0, dq.

En calculant la cohomologie deX_U à l’aide de la suite spectrale des cycles évanescents à la place v₀, on construit, proposition 2.3.3, tout d’abord une sous-représentation irréductible

(5)

π du localisé H^d´1pX_U,Flqm en m de H^d´1pX_U,Flq telle que π^8,v⁰ » π¯^8,v⁰. On est ainsi ramener à prouver que π_w₀ est générique. Pour l’essentiel cette propriété repose sur le fait que, après localisation parm, la cohomologie des faisceaux pervers d’Harris-Taylor est sans torsion, théorème 2.2.5. Concernant les hypothèses restrictives,

— on utilise tout d’abord (H1) au §3.1, pour montrer que le réseau de la cohomologie entière de la variété de Shimura localisée en m, s’écrit comme un produit tensoriel d’un réseau automorphe par un réseau galoisien.

— La contrainte (H2) intervient pour s’assurer que la partie localisée de la cohomologie de toute la variété de Shimura est, d’après [4], sans torsion.

— Enfin (H3) est utilisée pour contrôler la combinatoire des représentations modulo l, cf. le§2.2 et le lemme 3.2.2.

La stratégie de la démonstration permet aussi d’obtenir des énoncés d’augmentation de niveau, lesquels doivent normalement se déduire des travaux de Taylor et de son école. Par exemple dans le cas d“2, supposons qu’il existe mr tel que

(a) pour tout idéal premier mr Ăm, la composante locale enw₀ de Π_m_r est non ramifiée, (b) qu’il existe un tel idéal premier avec Π_m,w_r ₀ »χ_w₀_,1ˆχ_w₀_,2 tel que

χ_w₀_,1χ^´1_w

0,2 “ν : αP F_w^ˆ

0 ÞÑq_w^´^valpαq

0

(c) et que l’ordre de q_w₀ modulo lě3 est ´egal `a 2.

De (a), en utilisant la suite spectrale des cycles évanescents à la placew₀, on en déduit que H¹pX_U,Flqm “H¹pX_U,¯^“1_s_w

0,ΨpFlqqm

où, ΨpFlqdésigne le complexe des cycles évanescents à coefficients dans Fm etX_U,¯^“1_s_w

0 est la fibre spéciale géométrique deX_U enw₀ privée de ses points supersinguliers. Classiquement cette cohomologie est une induite parabolique et d’après (b) et (c), la seule représentation irréductible non dégénérée sous-quotient de la réduction modulo l de χ_w₀_,1 ˆχ_w₀_,1ν est cuspidale et ne peut donc pas être une sous-représentation de H¹pX_U,Flq. Ainsi, si le lemme d’Ihara est vrai, pour m vérifiant les points (b) et (c) ci-dessus, le point (a) doit ˆ

etre faux, autrement dit il existe unmr Ămtel que Π_m,w_r ₀ est une représentation de Steinberg tordue par un caractère. En d’autres termes, on a une propriété d’augmentation du niveau.

Nous prouverons un résultat similaire, plus précisément, pour un idéal premier mr Ăm, la réduction modulolde Π_m,w_r ₀ qui ne dépend que dem, a un support supercuspidalSw0pmq qui, par hypothèse sur m, est sans multiplicité. On décompose alors

S_w₀pmq “ ž

%

S_%pmq

selon les classes d’équivalence inertielle%deFl-représentations irréductibles supercuspidales d’un GL_gp%qpF_w₀qpour 1 ďgp%q ď d. Pour chaque % on note alors

l₁pm, %q ď ¨ ¨ ¨ ďl_rpm,%qpm, %q

de sorte que S_%pmq puisse s’écrire comme la réunion de rp%q segments de Zelevinsky non liés

r%ν_i^k,ρν¯ ^k`lⁱ^pm,%qs “ %ν^k, %ν^k`1,¨ ¨ ¨ , %ν^k`lⁱ^pm,%q( .

(6)

Proposition. — Il existe un id´eal premier mr Ăm tel que Π_m,w_r ₀ »

ą

%PScusp_w

0

Π_m,w_r ₀p%q

où Scusp_w₀ désigne l’ensemble des classes d’équivalence inertielles des F^l-représentations irréductibles de GLnpFw0q pour n ě 1 et où pour tout % P Scusp_w

0, il existe des repr´esentations irr´eductibles cuspidales π₁p%q,¨ ¨ ¨ , π_rpm,%qp%q de GL_gp%qpF_vq telles que

Π_m,w_r ₀ »St_l₁_pm,%qpπ₁p%qq ˆ ¨ ¨ ¨ ˆSt_l_rpm,%q_pm,%qpπ_rpm,%qp%qq.

1. Géométrie des variétés de Shimura de Kottwitz-Harris-Taylor

1.1. Données de Shimura. — On fixe un nombre premierlrelatif aux coefficients dont on prend la cohomologie. Par la suite les différents nombres premiers qui interviendront, seront toujours supposés être distincts de l.

Soit F “ F^È un corps CM avec E{Q quadratique imaginaire, dont on fixe un plongement réel τ : F^` ãÑ R et tel que l est non ramifié dans E. Pour v une place de F, on notera F_v le complété du localisé de F en v, O_v son anneau des entiers de F_v, $_v une uniformisante et q_v le cardinal du corps résiduelκpvq “O_v{p$_vq.

1.1.1. Notation. — On note ν le caract`ere de F_v^ˆ d´efini par αÞÑq_v^´^valpαq.

Soit B une algèbre à division centrale sur F de dimension d² telle qu’en toute place x de F, B_x est soit décomposée soit une algèbre à division et on suppose B munie d’une involution de seconde espèce˚telle que˚|F est la conjugaison complexec. Pourβ PB^˚“´1, on note 7β l’involution x ÞÑx⁷^β “ βx^˚β^´1 et G{Q le groupe de similitudes, noté G_τ dans [11], défini pour toute Q-algèbre R par

GpRq » tpλ, gq PR^ˆˆ pB^opb_QRq^ˆ tel que gg⁷^β “λu

avec Bôp“BbF,cF. Si x est une place deQ décomposéex“yy^c dans E alors GpQ^xq » pB_yôpq^ˆˆQ^ˆx »Q^ˆx ˆ

ź

zi

pB_z^op_iq^ˆ,

o`u, en identifiant les places de F^` au dessus de x avec les places de F au dessus de y, x“ś

iz_i dans F^`.

Dans [11], les auteurs justifient l’existence d’un G comme ci-dessus tel qu’en outre :

— si x est une place de Q qui n’est pas décomposée dans E alors GpQxq est quasi- déployé ;

— les invariants deGpRq sontp1, d´1q pour le plongement τ etp0, dqpour les autres.

On fixe à présent un nombre premier p “ uu^c décomposé dans E tel qu’il existe une place v deF au dessus de u telle que

pB^op_v q^ˆ»GL_dpF_vq.

(7)

On note abusivement

GpA^8,vq “GpA^8,pq ˆQ^ˆp ˆ ź

w|p w‰v

pB_w^opq^ˆ.

Remarque : par rapport aux notations de l’introduction, la place v sera, selon les cas, soit v₀,v₁ ouw₀.

Pour tout sous-groupe compact U^p deGpA^8,pq etm“ pm₁,¨ ¨ ¨ , m_rq PZ^rě0, on pose U^vpmq “ U^pˆZ^ˆp ˆ

r

ź

i“2

Ker` O_B^ˆ

vi ÝÑ pO_B_vi{P_v^mⁱ

i q^ˆ˘ .

1.1.2. Notation. — Soit I l’ensemble des sous-groupes compacts ouverts ^! assez pe-

tits^"^p1q de GpA⁸q, de la forme U^vpmqKv. Pour m comme ci-dessus, on a une application

m₁ :I ÝÑ N. 1.1.3. D´efinition. — Pour un tel I P I, soit

X_I ÝÑSpecO_v

la variété de Shimura de [11] dite de Kottwitz-Harris-Taylor associée à G.

Remarque : X_I est un schéma projectif sur SpecO_v tel que pX_IqIPI forme un système projectif dont les morphismes de transition sont finis et plats. Quand m₁ “ m¹₁ alors X_U^p_pmq ÝÑ X_U^p_pm¹_q est étale. Ce système projectif est par ailleurs muni d’une action de GpA⁸q ˆZ telle que l’action d’un élément w_v du groupe de Weil W_v de F_v est donnée par celle de ´degpw_vq P Z, où deg“val˝Art^´1 où Art^´1 :W_vâb »F_v^ˆ est l’isomorphisme d’Artin qui envoie les Frobenius géométriques sur les uniformisantes.

1.1.4. Notations. — (cf. [1] §1.3) Pour I PI, on note :

— X_I,s_v (resp. X_I,¯_s_v :“ X_I,s_v ˆSpec ¯Fp) la fibre spéciale (resp. géométrique) de X_I en v et X_I,η_v (resp. X_I,¯_η_v) la fibre générique (resp. géométrique).

— Pour tout 1 ď h ď d, X_I,¯^ěh_s_v (resp. X_I,¯^“h_s_v) désigne la strate fermée (resp. ouverte) de Newton de hauteur h, i.e. le sous-schéma dont la partie connexe du groupe de Barsotti-Tate en chacun de ses points géométriques est de rangěh (resp. égal à h).

Remarque :pour tout 1ďhďd, la strate de Newton de hauteurhest de pure dimensiond´ h. La strate ouverte est en outre^!géométriquement induite^"au sens où il existe un système projectifX_I,¯^“h_s

v,1 de sous-sch´emas ferm´es deX_I,¯^“h_s

v muni d’une action par correspondance de P_h,dpF_vq tel que

X_I,¯^“h_s_v “X_I,¯^“h_s_v_,1ˆPh,dpFvqGL_dpF_vq.

1. tel qu’il existe une placexpour laquelle la projection deU^v surGpQxqne contienne aucun élément d’ordre fini autre que l’identité, cf. [11] bas de la page 90

(8)

1.1.5. Notations. — Nous utiliserons les notations suivantes : i^h :X_I,¯^ěh_s ãÑX_I,¯^ě1_s, j^ěh :X_I,¯^“h_s ãÑX_I,¯^ěh_s ainsi que j^“h “i^h˝j^ěh.

1.2. Systèmes locaux d’Harris-Taylor. — Pour g un diviseur de d “ sg et π_v une Ql-représentation cuspidale irréductible deGL_gpF_vq, l’induite parabolique

π_vt1´s

2 u ˆπ_vt3´s

2 u ˆ ¨ ¨ ¨ ˆπ_vts´3

2 u ˆπ_vts´1 2 u poss`ede

— un unique quotient irréductible noté St_spπ_vq; c’est une représentation de Steinberg généralisée.

— une unique sous-représentation irréductible notée Speh_spπ_vq; c’est une représentation de Speh généralisée.

Remarques :

— si π_v est un caractère χ_v de F_v^ˆ alors Speh_spχ_vq est le caractère de GL_dpF_vq donné par χ_v ˝det.

— Une Ql-représentation irréductible de GL_dpF_vq sera dite essentiellement de carré intégrable si elle est de la forme St_spπ_vq pour un diviseur g de d “ sg et π_v une représentation irréductible cuspidale de GL_gpF_vq.

La correspondance de Jacquet-Langlands locale, sur Ql, est une bijection entre les classes d’équivalences des représentations irréductibles essentiellement de carré intégrable de GL_dpF_vq et les représentations irréductibles du groupe des inversibles D_v,d^ˆ de l’algèbre

`

a division centraleD_v,d sur F_v d’invariant ¹_d.

1.2.1. Notation. — On note π_vrss_D la représentation irréductible de D_v,d^ˆ associée à St_spπ_v^_q par la correspondance de Jacquet-Langlands locale.

Rappelons que dans [11], les auteurs, via les variétés d’Igusa de première et seconde espèce, associent à toute représentationρ_v deD_v,h^ˆ , oùD_v,h est l’ordre maximal deD_v,h, un système localLpρ_vq1 surX_I,¯^“h_s_v_,1 dont on noteLpρ_vqla version^!induite^" surX_I,¯^“h_s_v. D’après [1] §1.4.2, le système local Lpρ_vq1 est muni d’une action par correspondances de

GpA^8,pq ˆQ^ˆp ˆP_h,dpF_vq ˆ

r

ź

i“2

pB_v^op_iq^ˆˆZ qui d’apr`es [11] p.136, se factorise par G^phqpA⁸q{D_F^ˆ

v,h via

pg^8,p, g_p,0, c, g_v, g_v_i, kq ÞÑ pg^p,8, g_p,0q^k´vpdet^g^c^v^q, g_v^et, g_v_i, δq. (1.2.2) o`u

— G^phqpA⁸q:“GpA^8,pq ˆQ^ˆp ˆGL_d´hpF_vq ˆśr

i“2pB^op_v_iq^ˆˆD_F^ˆ_v_,h,

(9)

— g_v “

ˆ g_v^c ˚ 0 g_v^et

˙ et

— δP D_v,h^ˆ est tel que vprnpδqq “k`vpdetg_v^cq.

Remarque : on prendra l’habitude d’identifier D_v,h^ˆ {D^ˆ_v,h avecZ via la norme r´eduite.

1.2.3. Définitions. — Pourπ_v uneQ¯l-représentation irréductible cuspidale deGL_gpF_vq et tě1, on note

HTQlpπ_v, t,Π_tqpnq:“L

Qlpρ_v,tqrd´tgs bΠ_tbΞ^tg´d² ^´nbLpπ_vq o`u

— L est la correspondance Langlands sur F_v, à dualité près,

— Ξ : ¹₂ZÝÑ Z^ˆl est d´efinie par Ξp¹₂q “ q^1{2,

— ρ_v,t est un sous-quotient irr´eductible quelconque de pπ_vrtsDq_|D^ˆ

v,tg o`u D_v,tg est l’ordre maximal de D_v,tg;

— GL_hpF_vq agit diagonalement sur Π_t et sur Lpπ_v, tq b Ξ^tg´d² ^´n via son quotient GL_hpF_vqZ,

— le groupe de Weil W_v en v agit diagonalement sur Lpπ_vq et le facteur Ξ^tg´d² ^ń via l’application deg :W_v Z qui envoie les frobenius géométriques sur 1.

Une Z^l-version entière sera notée HT_Γpπ_v, t,Π_tqpnq où Γ désigne un réseau stable, par forcément sous la forme d’un produit tensoriel et la version sans Γ désignera une Z^l- structure quelconque. Enfin on utilisera les notations HT_Γ,1pπ_v, t,Π_tqpour les versions non induites.

Remarque : HTpπ_v, t,Π_tqpnqne d´epend pas du choix deρ_v,t. On utilisera, comme dans [1], parfois la notation

HTpπ_v, t,Π_tq

en rempla¸cant dans la formule précédente Lpρ_v,tq par Lpπ_vrtsDq où π_vrtsD est vue, par restriction, comme une représentation deD_v,tg^ˆ . En outre en un certain sens il ne dépend que de la classe d’équivalence inertielle de π_v. Précisons cela dans le cas où Π_t“St_tpπ_vq, alors pour χ: Z ÝÑQ^ˆl , les faisceaux pervers HTpπ_v, t,St_tpπ_vqq et HTpπ_v bχ, t,St_tpπ_v bχqq, munis de leurs actions par corrrespondances, sont isomorphes.

1.2.4. Notation. — On notera plus simplement

HTpπ_v, tq:“HTpπ_v, t,1tgq où 1tg désigne la représentation triviale de GL_tgpF_vq.

1.2.5. Définition. — Pour π_v une représentation irréductible cuspidale de GL_gpF_vq et 1ďt ďs :“t^d_gu, le Ql-faisceau pervers d’Harris Taylor est, cf. [1] définition 2.1.3,

Ppπ_v, tq:“j_!˚^“tgHTpπ_v, t,St_tpπ_vqq.

(10)

1.2.6. Lemme. — Avec les notations précédentes, si ρbσ est un sous-GL_dpF_vq ˆW_v- quotient irréductible de HⁱpXI,¯sv,Ppπ_v, tq b

ZlFlq alors

— σ est un constituant irréductible de la réduction modulo l de Lpπ_v bχ_vq, où χ_v est un caractère non ramifié de F_v, et

— ρ est un sous-quotient irréductible de la réduction modulo l d’une induite de la forme St_tpπ_vbχ_vq ˆψ_v où ψ_v est une représentation irréductible entière de GL_d´tgpF_vq.

Démonstration. — Le r´esultat découle, cf. la formule donnée en (1.2.2), de la description des actions.

1.3. Faisceau pervers des cycles évanescents. — Rappelons que pour X un F^p- schéma et Λ“Q¯^l,Z¯^l,F¯^l, lat-structure usuelle sur la catégorie dérivéeD_c^bpX,Λqest définie par :

AP ^pD^ď0pX,Λq ô @xPX, h^ki^˚_xA “0, @ką ´dimtxu AP ^pD^ě0pX,Λq ô @xPX, h^ki^!_xA“0, @kă ´dimtxu

o`u i_x : Specκpxq ãÑ X. On note alors ^pCpX,Λq le cœur de cette t-structure et ^pHⁱ les foncteurs cohomologiques associ´es.

Pour Λ un corps, cettet-structure est autoduale pour la dualité de Verdier. Pour Λ“Z¯l, on peut munir la catégorie abélienne ¯Zl-linéaire ^pCpX,Λq d’une théorie de torsion pT,Fq oùT (resp.F) est la sous-catégorie pleine des objets de torsionT (resp. libres F) , i.e. tels que l^N1_T est nul pour N assez grand (resp. l.1_F est un monomorphisme). Soit alors

`D^ď0pX,Z¯lq:“ tAPD^ď1pX,Z¯lq: ^ph¹pAq PTu

`D^ě0pX,Z¯lq:“ tAPD^ě0pX,Z¯lq: ^ph⁰pAq PFu

lat-structure duale de cœur^`CpX,Z¯lqmuni de sa th´eorie de torsionpF,Tr´1sq^!duale^"de celle de ^pCpX,Z¯lq.

1.3.1. Définition. — (cf. [5] §1.3) Soit FpX,Λq :“ ^pCpX,Λq X^p`CpX,Λq la catégorie quasi-abélienne des faisceaux pervers ^!libres^" sur X à coefficients dans Λ.

Pour toutI PI, le complexe ΨI,v,Λ:“RΨ_η

v,IpΛqrd´1sp^d´1₂ q surXI,¯sv est alors un objet de de FpXI,¯sv,Λq, i.e. un faisceau pervers libre dit des cycles évanescents. Pour I variant dans I, on obtient, au sens de la définition 1.3.6 de [1], un Wv-faisceau pervers de Hecke noté Ψ_I,v,Λ ou plus simplement Ψ_I,v dans le cas où Λ“Z^l.

Rappelons, cf. [1] §2.4, que la restriction

´ ΨI,v,Λ

¯

|X_I,¯^“h_sv du faisceau pervers des cycles

´

evanescents `a la strate X_I,¯^“h_s_v, est munie d’une action de pD^ˆ_v,hq⁰ :“Ker

´

val˝rn :D_v,h^ˆ ÝÑ Z

¯

et de $_v^Z que l’on voit plong´e dans F_v^ˆĂD^ˆ_v,h.

(11)

1.3.2. Notation. — Pour touthě1, on noteR

Flphql’ensemble des classes d’équivalence des Fl-représentations irréductibles de D_v,h^ˆ dont le caractère central est trivial sur $^Z Ă K^ˆ.

Pour ¯τ P R

Flphq, la sous-cat´egorie C_τ_¯ Ă Rep⁸_Znr

l pD^ˆ_v,dq formée des objets dont tous les Z^nrl D_v,d^ˆ -sous-quotients irréductibles sont isomorphes à un sous-quotient de ¯τ_|D^ˆ

v,d, est facteur direct dans Rep⁸

Z^nrl pD_v,d^ˆ q de sorte que touteZ^nrl -repr´esentationV_Z^nr

l de D_v,d^ˆ se d´ecompose en une somme directe

V_Z^nr

l » à

τPR¯

Flphq

V_Z^nr

l,¯τ (1.3.2)

o`uV_Z^nr

l,¯τ est un objet de C_¯_τ.

1.3.3. Proposition. — (cf. [11] proposition IV.2.2 et le §2.4 de [1]) On a un isomorphisme GpA^8,vq ˆP_h,d´hpF_vq ˆW_v-´equivariant^p2q

ind^D

ˆ v,h

pD^ˆ_v,hq⁰$_v^Z

´

H^h´d´iΨ_I,

Zl

¯

|X_I,¯^“h_s » à

τPR¯

Flphq

LZlpU_{τ ,N}_¯^h´1´iq

o`u L

ZlpU_{τ ,}_¯^h´1_N q est le système local associé à la D_v,h^ˆ -représentation^p3q U_{τ ,}_¯^‚_N “ lim

Ñ U_¯_{τ ,n}^‚ où U_{τ ,n}_¯^‚ est le τ¯-facteur isotypique de la D_v,h^ˆ -représentation admissible U_n^‚ :“ H^‚pM^h{F_{LT ,n}^v,Zlq obtenue comme la cohomologie de la fibre générique géométrique

M^h{F_{LT ,n}^v :“M_LT,h,nbˆFˆ_v^nrFˆ_v

du schéma formel de Lubin-Tate représentant les classes d’isomorphismes des déformations par quasi-isogénies du O_v-module formel de hauteur h et de dimension 1.

Pour LPFpX,Λq, on consid`ere le diagramme suivant L

can˚,L

**p`j_!j^˚L

can!,L

99

` //// ^pj_!˚j^˚L

`//// ^p`j_!˚j^˚L ^// ^pj_˚j^˚L

où la ligne du bas est la factorisation canonique de ^p`j_!j^˚LÝÑ ^pj_˚j^˚Let les flèches can_!,L et can_˚,Ldonnées par adjonction. Rappelons que les flèches aux extrémités (resp. du milieu) de la ligne du bas, sont strictes (resp. est un bimorphisme), i.e. la flèche canonique de la coimage vers l’image est un isomorphisme (resp. la flèche est un monomorphisme et un

´

epimorphisme).

2. Noter le d´ecalagerd´1sdans la d´efinition de Ψ_I,

Zl.

3. La correspondance entre le système indexé parI et Nest donnée par l’application m1 de 1.1.2.

(12)

Si X est en outre muni d’une stratification S “ tX “ X^ě1 Ą X^ě2 Ą ¨ ¨ ¨ Ą X^ědu, en utilisant des notations similaires `a celles de 1.1.5, on d´efinit dans [5], une filtration dite de stratification de L

0“Fil⁰_S,!pLq ĂFil¹_S,!pLq ĂFil²_S,!pLq ¨ ¨ ¨ ĂFil^d´1_S,! pLq ĂFil^d_S,!pLq “L, o`u pour 1 ď r ď d´1, on pose Fil^r_S,!pLq :“ ImF

´

j_!^1ďrj^1ďr,˚L ÝÑ L

¯

. Par construction tous les gradu´es gr^r_S,!pLq sont libres. Dans [5] proposition 2.3.3, on construit par ailleurs, de fa¸con fonctorielle, la filtrationS-exhaustive de stratification de tout objetLdeFpX,Λq

0“Fill^´2_S,!ê´1pLq Ă Fill^´2_S,!ê´1^`1pLq Ă ¨ ¨ ¨ ĂFill⁰_S,!pLq Ă ¨ ¨ ¨ ĂFill²_S,!ê´1^´1pLq “L, dont tous les gradués grr^r_S,!pLq sont libres et, après tensorisation par Ql, des extensions intermédiaires de systèmes locaux irréductibles.

1.4. Structures entières. — Dans ce paragraphe nous allons rappeler quelques uns des résultats de [6] concernant la filtration de stratification de Ψ_I. La première étape consiste

`

a le d´ecomposer selon ses %-types au sens suivant.

1.4.1. Proposition. — (cf. [6] proposition 3.2.2) Il existe une d´ecomposition ΨI,v » à

1ďgďd

à

%PScusp_vpgq

ΨI,%

o`u

— Scusp_vpgqdésigne l’ensemble des classes d’équivalences inertielles desFl-représentation irréductibles supercuspidales de GL_gpF_vq;

— ΨI,% est un faisceau pervers de type % au sens où tous les constituants irréductibles de ΨI,%b_Z_lQl sont des extensions intermédiaires de systèmes locaux HTpπ_v, t,Πqpnq où la réduction modulol de π_v a pour support supercuspidal un segment relativement

` a %.

Remarque : on rappelle qu’une représentation irréductible π deGL_npKqest dite cuspidale (resp. supercuspidale) si elle n’est pas un sous-quotient (resp. un quotient) d’une induite parabolique propre. SurQl, ces deux notions co¨ıncident et d’après [13] III.5.10, la réduction modulo l d’une ¯Ql-représentation irréductible cuspidale entière est irréductible cuspidale, mais pas nécessairement supercuspidale auquel cas son support supercuspidal est un segment.

Un des r´esultats clefs de [4] concernant la filtration de stratification Fil^‚_S,!pΨI,%q est le fait que les morphismes d’adjonction

j_!^“rj^“r,˚gr^r_S,!pΨI,vq ÝÑgr^r_S,!pΨI,vq sont surjectifs dans ^pC.

(13)

Pour décrire plus précisément les gr^r_S,!pΨI,vq, commen¸cons par quelques rappels sur la réduction modulo l d’une représentation de Steinberg St_spπq, pour π irréductible cuspidale dont la réduction modulo l, not´ee %, est supercuspidale. Cette r´eduction n’est en général, pas irréductible mais contient toujours une unique représentation irréductible non dégénérée notée St_sp%q. Si p%q est le cardinal de la droite de Zelevinsky de %, on note suivant [14] p.51,

mp%q “

"

p%q, si p%q ą 1;

l, sinon.

Alors St_sp%qest cuspidale si et seulement si s“1 ou mp%ql^k pour kP N : on le note alors

%k :“St_mp%ql^kp%q, kP N

et %_´1 :“ %. La description compl`ete de la réduction modulo l de Stspπq est donnée dans [3]. Dans [3], on construit des réseaux stables des St_spπq dits réseaux d’induction. Parmi ceux-ci, il en existe un noté

RI_´pπ, sq

dont la réduction modulo l admet comme unique sous-espace irréductible St_sp%q, qui est donc générique.

1.4.2. Définition. — Une Ql représentation π irréductible entière et cuspidale dont la réduction modulo l est isomorphe à%_k est dite de %-typek. On note

Scusp_kp%q

l’ensemble des classes d’´equivalences de ces repr´esentations de GL_g_kpF_vqavec donc g_´1p%q “g et @0ďiďsp%q, g_ip%q “mp%qlⁱg,

o`u on a not´esp%qla plus grande puissance de l divisant _mp%qg^d .

Revenons à présent à la description des gr^r_S,!pΨI,%q. Par construction il est à support dans X_I,¯^ěr_s_v nul si g ne divise par r et sinon

j^“tg,˚gr^tg_S,!pΨ_I,%q b_Z_lQl »

sp%q

à

i“´1 tigip%q“tg

à

πvPScusp_ip%q

HTpπ_v, t_i,St_t_ipπ_vqqp1´t_i 2 q. Consid´erons alors la%-filtration na¨ıve de

Fil_%,sp%q,

QlpΨ, tgq Ă ¨ ¨ ¨ ĂFil_%,´1,

QlpΨ, tgq “j^“tg,˚gr^tg_S,!pΨI,%q b_Z_lQl

o`u

Fil_%,k,

QlpΨ, tgq

¯

»

sp%q

à

i“k tigip%q“tg

à

πvPScusp_ip%q

HTpπ_v, t_i,St_t_ipπ_vqqp1´t_i 2 q,

(14)

ainsi que la filtration associ´ee de j^“tg,˚gr^tg_S,!pΨI,%q Fil_%,kpΨ, tgq:“Fil_%,k,

QlpΨ, tgq Xj^“tg,˚gr^tg_S,!pΨI,%q.

Pour k “ ´1,¨ ¨ ¨, sp%q, les gradu´es gr_%,kpΨ, tgq associés sont alors sans torsion et de %- type k. On filtre `a nouveau chacun de ces gradués en séparant, sur Ql, les différents π_v P Scusp_kp%qet on note

p0q “Fil⁰_%pΨ, tgq Ă Fil¹_%pΨ, tgq Ă ¨ ¨ ¨ ĂFil^r_%pΨ, tgq “ j^“tg,˚gr^tg_S,!pΨI,%q

la filtration ainsi obtenue. On consid`ere alors la filtration de gr^tg_S,!pΨI,%q construite comme suit :

— on prend l’image de

j_!^“tgFil¹_%pΨ, tgq ÝÑgr^tg_S,!pΨ_I,%q et on note gr^tg_S,!pΨ_I,%q¹ le quotient libre ;

— commej^“tg,˚gr^tg_S,!pΨ_I,%q¹ »

´

j^“tg,˚gr^tg_S,!pΨ_I,%q

¯

{Fil¹_%pΨ, tgq, on prend l’image de j_!^“tg

´

Fil²_%pΨ, tgq{Fil¹_%,π_vpΨ, tgq

¯

ÝÑgr^tg_S,!pΨI,%q¹ et ainsi de suite.

— On filtre enfin chacune des images considérées à l’aide d’une filtration de stratification exhaustive.

D’après [1], les gradués obtenus sont, sur Ql et en utilisant les notations de 1.2.5, de la forme Ppπ_v, tqp^s´1´2k₂ q pour k “0,¨ ¨ ¨, s´1. Par construction et d’après [1], la filtration ci-avant vérifie les propriétés suivantes :

— si deux gradués ne diffèrent, surQl, que par leur poids, alors celui de plus petit poids possède un indice plus petit que l’autre (cf. [1] ou [5]) ;

— Étant donné un gradué de poids minimal parmi tous les autres gradués qui lui sont, surQl, isomorphes au poids près, les gradués d’indice strictement plus petit sont

— soit tous `a supports dans une strate de dimension strictement plus petite,

— soit à support dans la même strate et de %-type inf´erieur ou égal.

— Dans le cas de même support et de %-type ´egal, on peut modifier la filtration précédente pour échanger l’ordre des deux gradués considérés.

— Enfin, d’après le résultat principal de [6], tant que t^d_gu`1 ďmp%q, pour tout π_v de type%, il n’y a à isomorphisme près qu’une notion d’extension intermédiaire, i.e. avec les notations de [4], ^pj_!˚^“tgHTpπ_v, t,Π_tqpnq » ^p`j_!˚^“tgHTpπ_v, t,Π_tqpnq.

Remarque : dans la suite les hypothèses faites sur l’idéal mferont que les systèmes locaux d’Harris-Taylor considérés, vérifieront tous la condition du dernier tiret ci-avant.