Sur la $\overline{\mathbb F}_l$-cohomologie des variétés de Shimura unitaires simples.

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Preprint submitted on 6 Apr 2016

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Sur la F _l-cohomologie des variétés de Shimura unitaires simples.

Pascal Boyer

To cite this version:

Pascal Boyer. Sur la F _l-cohomologie des variétés de Shimura unitaires simples.. 2015. �hal-

01238906v2�

SHIMURA UNITAIRE SIMPLE par

Boyer Pascal

R´ esum´ e. — On ´ etudie les classes de cohomologie de torsion des vari´ et´ es de Shimura de type Kottwitz-Harris-Taylor et on montre qu’elles se rel` event

` a une place arbitraire pr` es

en une repr´ esentation automorphe. En application ` a tout syst` eme de valeurs propres de Hecke modulo l apparaissant dans la F l -cohomologie d’une vari´ et´ e de Shimura de type Kottwitz-Harris-Taylor, on associe une F l -repr´ esentation galoisienne dont les valeurs propres des Frobenius sont donn´ ees par celles de Hecke. Par rapport ` a la construction bien plus g´ en´ erale de Scholze dans [10], on gagne ` a la fois la simplicit´ e des arguments et le contrˆ ole aux places ramifi´ ees et ` a celles divisant l.

Abstract (On the F l -cohomology of a simple unitary Shimura variety)

We study the torsion cohomology classes of Shimura varieties of type Kottwitz-Harris- Taylor and we show that

up to an arbitrary place

one can raise them to an automorphic representation. In application, to any mod l system of Hecke eigenvalues appearing in the F l - cohomology of a Shimura’s variety of Kottwitz-Harris-Taylor type, we associate a F ^l -Galois representation which Frobenius eigenvalues are given by Hecke’s. Compared to the highly more general construction of Scholze in [10], we gain both the simplicity of the proof and the control at places ramified and at those dividing l.

Table des mati` eres

Introduction. . . . 2

1. G´ eom´ etrie des vari´ et´ es de Shimura unitaires simples. . . . 3

2. Syst` emes locaux d’Harris-Taylor et leur Q l -cohomologie . . . . 6

3. Cohomologie d’un F l -syst` eme local. . . . 9

R´ ef´ erences. . . 13

Classification math´ ematique par sujets (2010). — 11F70, 11F80, 11F85, 11G18, 20C08.

Mots clefs. — Vari´ et´ es de Shimura, cohomologie de torsion, id´ eal maximal de l’alg` ebre de Hecke, localisation de la cohomologie, repr´ esentation galoisienne.

L’auteur remercie l’ANR pour son soutien dans le cadre du projet PerCoLaTor 14-CE25.

Introduction

Soit F = F ⁺ E un corps CM d’anneau des entiers O _F et o` u F <sup>+</sup> est une extension finie de Q totalement r´ eelle et E/ Q est quadratique imaginaire. Pour K ⊂ GL <sub>n</sub> ( A <sup>∞</sup> F ) un sous- groupe ouvert compact de GL <sub>n</sub> sur les ad` eles finies de F , on note

X _K := GL _n (F )\ ^h D × GL _n ( A ^∞ F ) ⁱ /K

o` u D := GL _n (F ⊗ _Q R )/ R ^>0 K _∞ est l’espace sym´ etrique pour GL _n (F ⊗ _Q R ) avec K _∞ un sous-groupe compact maximal. Pour S un ensemble fini de places de F stable par la conjugaison complexe contenant les places au dessus de p et les places ramifi´ ees sur F ⁺ , dans [10] Peter Scholze associe

— ` a tout syst` eme de F ^l -valeurs propres de Hecke hors de S, apparaissant dans la coho- mologie de X _K o` u K = K _S K ^S avec K ^S = ^Q _v6∈S GL _n (O _F

),

— une F l -repr´ esentation semi-simple de dimension d, du groupe de Galois de F ,

de sorte qu’en toute place v 6∈ S, les valeurs propres du Frobenius Fr _v sont donn´ ees par les valeurs propres de Hecke.

Les restrictions sur S portant sur les places ramifi´ ees sur F ⁺ ne sont pas s´ erieuses contrairement ` a ce qui se passe au dessus de p. Le but premier de ce travail est de s’attaquer

`

a la question portant sur la compatibilit´ e aux places au dessus de p dans une situation consid´ erablement plus simple o` u l’espace localement sym´ etrique X <sub>K</sub> est d´ esormais une vari´ et´ e de Shimura de type Kottwitz-Harris-Taylor, i.e. associ´ ee ` a un groupe de similitudes G/ Q donn´ e par une alg` ebre ` a division B centrale et de dimension d ² sur une extension CM F/ Q dont les signatures ` a l’infini sont (1, d − 1)× (0, d) × · · · ×(0, d). Pour tout sous-groupe compact ouvert I assez petit de G( A ^∞ ), on note X I /F la vari´ et´ e de Shimura de niveau I associ´ ee. On choisit une place v de F telle que p := v _{| Q} est d´ ecompos´ ee p = yy ^c dans E et telle que dans l’´ ecriture

G( Q ^p ) ' (B _y ^op ) ^× × Q ^× p ' Q ^× x × ^Y

z

(B _z ^op

i

) ^× ,

avec p = ^Q _i z _i dans F ⁺ o` u on identifie les places de F <sup>+</sup> au dessus de p avec les places de F au dessus de y, le facteur associ´ e ` a v est GL _d (F _v ).

Th´ eor` eme. — Soit π ¯ une F l -repr´ esentation irr´ eductible de G( A ). On suppose qu’il existe

— un entier i,

— un sous-groupe ouvert compact I de G( A ^∞ ),

— un Q l -syst` eme local L <sub>ξ</sub> associ´ e ` a une Q l -repr´ esentation irr´ eductible alg´ ebrique enti` ere ξ de G/ Q suppos´ ee l-petite

tels que π ¯ ^∞ est un sous-quotient irr´ eductible de H ⁱ (X _{I,¯ η} , L _ξ ⊗

Z

F l ). Alors pour toute place v de F comme ci-avant, il existe une Q l -repr´ esentation automorphe enti` ere Π de G( A ) cohomologique relativement au syst` eme local L _ξ telle que :

— Π a des vecteurs invariants sous J ⊂ I o` u J et I sont ´ egaux hors de v, i.e ´ egaux hors de p et en p, via l’isomorphisme pr´ ec´ edent, seule la composante index´ ee par v est ´ eventuellement diff´ erente,

— la r´ eduction modulo l de Π _v a le mˆ eme support supercuspidal que π ¯ _v ;

— π ¯ ^v,∞ est un sous-quotient de la r´ eduction modulo l de Π ^v,∞ . Remarques :

— comme ξ est suppos´ e l-petite, sa r´ eduction modulo l est irr´ eductible de sorte qu’` a isomorphisme pr` es, il n’y a qu’un unique r´ eseau stable ;

— toute repr´ esentation irr´ eductible ¯ ξ de G( F l ) s’obtient d’apr` es [8], comme la r´ eduction modulo l d’une repr´ esentation irr´ eductible alg´ ebrique enti` ere ξ qui est l-petite ;

— la repr´ esentation ¯ π ne se rel` eve pas n´ ecessairement en une repr´ esentation automorphe sur ¯ Q l , c’est cependant valable si on autorise ` a modifier une et une seule composante locale en gardant le support supercuspidal ⁽¹⁾ .

Grˆ ace aux travaux de Harris et Taylor [7], on peut associer ` a un Π comme dans le th´ eor` eme pr´ ec´ edent, une repr´ esentation σ(Π) de Gal( ¯ F /F ) telle que :

— en toute place finie w de F ne divisant pas l, la restriction de σ(Π) au groupe de Weil en w est la repr´ esentation galoisienne attach´ ee ` a Π _w par la correspondance de Langlands locale ;

— pour w une place divisant l alors σ(Π) est potentiellement semi-stable en w et pour tout plongement τ : F , → Q l , les param` etres de Hodge-Tate de σ(Π) sont donn´ es par ceux de la repr´ esentation alg´ ebrique ξ selon la formule du th´ eor` eme VII.1.9 de [7].

En particulier en toute place w de F telle que Π _w est non ramifi´ ee, la r´ eduction modulo l des param` etres de Satake de Π <sub>w</sub> , qui d’apr` es le th´ eor` eme pr´ ec´ edent est ´ egale aux param` etres de Satake de ¯ π _w , correspond aux F l -valeurs propres de Fr _w agissant sur un sous-quotient irr´ eductible σ(¯ π) quelconque de la r´ eduction modulo l de σ(Π), autrement dit la situation est similaire ` a celle de [10]. En outre en une place au dessus de l, les param` etres de Hodge- Tate de σ(Π) sont donn´ es par ceux de la repr´ esentation alg´ ebrique ξ de G/ Q .

Remarque : ` a chaque choix d’une repr´ esentation l-petite ξ <sup>0</sup> dont la r´ eduction modulo l est isomorphe ` a celle de ξ, et d’une place v ⁰ de F v´ erifiant les conditions pr´ ec´ edentes, on associe ` a ¯ π une F l -repr´ esentation galoisienne. Cette collection de repr´ esentations partagent la propri´ et´ e que les valeurs propres des Frobenius aux places non ramifi´ ees sont fix´ ees, donn´ ees par les param` etres de Satake de ¯ π.

1. G´ eom´ etrie des vari´ et´ es de Shimura unitaires simples

Soit F = F ⁺ E un corps CM avec E/ Q quadratique imaginaire, dont on fixe un plonge- ment r´ eel τ : F ⁺ , → R . Pour v une place de F , on notera

— F _v le compl´ et´ e du localis´ e de F en v,

— O _v l’anneau des entiers de F _v ,

— $ _v une uniformisante et

— q _v le cardinal du corps r´ esiduel κ(v) = O _v /($ _v ).

Soit B une alg` ebre ` a division centrale sur F de dimension d ² telle qu’en toute place x de F , B _x est soit d´ ecompos´ ee soit une alg` ebre ` a division et on suppose B munie d’une involution de seconde esp` ece ∗ telle que ∗ |F est la conjugaison complexe c. Pour β ∈ B ^∗=−1 ,

1. Cette condition est clairement n´ ecessaire.

on note ] _β l’involution x 7→ x ^]

= βx ^∗ β ⁻¹ et G/ Q le groupe de similitudes, not´ e G _τ dans [7], d´ efini pour toute Q -alg` ebre R par

G(R) ' {(λ, g) ∈ R ^× × (B ^op ⊗ _Q R) ^× tel que gg ^]

= λ}

avec B ^op = B ⊗ _F,c F . Si x est une place de Q d´ ecompos´ ee x = yy ^c dans E alors G( Q x ) ' (B _y ^op ) ^× × Q ^× x ' Q ^× x × ^Y

z

(B _z ^op

i

) ^× , (1)

o` u, en identifiant les places de F ⁺ au dessus de x avec les places de F au dessus de y, x = ^Q _i z _i dans F ⁺ .

Dans [7], les auteurs justifient l’existence d’un G comme ci-dessus tel qu’en outre :

— si x est une place de Q qui n’est pas d´ ecompos´ ee dans E alors G( Q x ) est quasi- d´ eploy´ e ;

— les invariants de G( R ) sont (1, d − 1) pour le plongement τ et (0, d) pour les autres.

1.2. Notation. — On fixe un nombre premier l non ramifi´ e dans E et on note Spl l’en- semble des places v de F telles que p v := v | Q 6= l est d´ ecompos´ e dans F et B _v ^× ' GL d (F _v ).

Rappelons, cf. [7] bas de la page 90, qu’un sous-groupe ouvert compact de G( A ^∞ ) est dit

assez petit

s’il existe une place x pour laquelle la projection de U ^v sur G( Q ^x ) ne contienne aucun ´ el´ ement d’ordre fini autre que l’identit´ e.

1.3. Notation. — Soit I l’ensemble des sous-groupes compacts ouverts

assez petits

de G( A ^∞ ). Pour I ∈ I , on note X _I,η −→ Spec F la vari´ et´ e de Shimura associ´ ee, dit de Kottwitz-Harris-Taylor.

Remarque : pour tout v ∈ Spl, la vari´ et´ e X _I,η admet un mod` ele projectif X _I,v sur Spec O _v de fibre sp´ eciale X _I,s

. Pour I d´ ecrivant I, le syst` eme projectif (X <sub>I,v</sub> ) I∈I est naturellement muni d’une action de G( A <sup>∞</sup> ) × Z telle que l’action d’un ´ el´ ement w <sub>v</sub> du groupe de Weil W <sub>v</sub> de F <sub>v</sub> est donn´ ee par celle de − deg(w <sub>v</sub> ) ∈ Z , o` u deg = val ◦ Art ⁻¹ o` u Art ⁻¹ : W _v ^ab ' F _v ^× est l’isomorphisme d’Artin qui envoie les Frobenius g´ eom´ etriques sur les uniformisantes.

1.4. Notations. — (cf. [1] §1.3) Pour I ∈ I, la fibre sp´ eciale g´ eom´ etrique X _{I,¯ s}

admet une stratification de Newton

X I,¯ s

=: X _I,¯ ^≥1 _s

⊃ X _I,¯ ^≥2 _s

⊃ · · · ⊃ X _I,¯ ^≥d _s

o` u X _I,¯ ^=h _s

:= X _I,¯ ^≥h _s

− X _I,¯ ^≥h+1 _s

est un sch´ ema affine, lisse de pure dimension d − h form´ e des points g´ eom´ etriques dont la partie connexe du groupe de Barsotti-Tate est de rang h. Pour tout 1 ≤ h < d, nous utiliserons les notations suivantes :

i _h+1 : X _I,¯ ^≥h+1 _s

, → X _I,¯ ^≥h _s

, j ^≥h : X _I,¯ ^=h _s

, → X _I,¯ ^≥h _s

, ainsi que j ^=h = i _h ◦ j ^≥h .

Pour tout 1 ≤ h < d, les strates X _I ^=h

v

,¯ s

sont g´ eom´ etriquement induites sous l’action

du parabolique standard P _h,d (F _v ) de Levi GL _h (F _v ) × GL d−h (F _v ), au sens o` u il existe un

sous-sch´ ema X _I ^=h

v

,¯ s

,1 muni d’une action par correspondances de G( A ^∞,v ) ×GL d−h (F _v ) × Z tel que :

X _I ^=h

v

,¯ s

' X _I ^=h

v

,¯ s

,1 × _P

(O

/($

)) GL _d (O _v /($ _v ⁿ )).

1.5. Notation. — On note X _I ^≥h

v

,¯ s

,1 l’adh´ erence de X _I ^=h

v

,¯ s

,1 dans X _I ^≥h

v

,¯ s

et j ₁ ^≥h : X _I ^=h

v

,¯ s

,1 , → X _I ^≥h

v

,¯ s

,1 .

Rappelons que les repr´ esentations irr´ eductibles alg´ ebriques de GL _d sont en bijection avec l’ensemble X ( G ^d m ) ⁺ des poids dominants − → a := (a ₁ ≤ · · · ≤ a _d ) ∈ Z ^d : la repr´ esentation correspondante est celle dont l’action de diag(t ₁ , · · · , t _d ) sur le vecteur de plus haut poids est donn´ ee par la multiplication par t ^a ₁

· · · t ^a _d

. En notant St la repr´ esentation standard St de GL d , la repr´ esentation associ´ ee ` a − → a est donn´ ee par c <sup>− →</sup> <sub>a</sub> St <sup>⊗|− → a |</sup> o` u |− → a | = ^{P d} _i=1 a i et c ^{− →} _a est la fonction sym´ etrique de Young. Pour a ₀ ≤ a ₁ , la repr´ esentation

Λ ^d St) ^⊗a

⊗ c _(a

−a

≤···a

−a

) St ^{⊗|− → a |−da}

d´ efinit un Z -r´ eseau stable de la repr´ esentation associ´ ee ` a − → a . En ce qui concerne les repr´ esentations irr´ eductibles alg´ ebriques de G, d’apr` es [7] p97, elles sont classifi´ ees par les (d + 1)-uplets µ := (a ₀ , − → a _σ ) o` u a ₀ ∈ Z et − → a _σ ∈ X ( G ^d m ) ⁺ pour σ d´ ecrivant les plongements F , → C prolongeant un E , → C fix´ e. La recette pr´ ec´ edente pour GL _d , permet de d´ efinir des Z -r´ eseaux stables.

Remarque : d’apr` es [8], les F l -repr´ esentations irr´ eductibles de G( F l ) sont encore classifi´ ees par les poids dominants comme ci-dessus, ` a la diff´ erence pr` es que µ et µ+(l, · · · , l) donnent la mˆ eme repr´ esentation irr´ eductible.

1.6. D´ efinition. — Avec les notations pr´ ec´ edentes, on dit que µ = (a ₀ , − → a _σ ) est l-petit si pour tout prolongement σ de σ ₀ , le poids − → a _σ = (a _σ,1 ≤ · · · ≤ a _σ,d ) est tel que pour tout i = 1, · · · , d − 1, on a

a _σ,i+1 − a _σ

≤ l.

Fait : toute F ^l -repr´ esentation irr´ eductible alg´ ebrique de G( F ^l ), associ´ e donc ` a un poids dominant µ d´ efini modulo (l, · · · , l), est la r´ eduction modulo l d’un poids dominant µ qui est l-petit. En outre comme la r´ eduction modulo l d’une repr´ esentation alg´ ebrique irr´ eductible de G associ´ ee ` a un param` etre l-petit, est irr´ eductible, tous ses r´ eseaux stables sont isomorphes.

Soit alors ξ une ¯ Q ^l -repr´ esentation alg´ ebrique irr´ eductible ξ de G. D’apr` es le th´ eor` eme de Baire, celle-ci est d´ efinie sur une extension finie K de Q ^l . On note W ξ,K l’espace de cette repr´ esentation et W _ξ,O un r´ eseau stable o` u O d´ esigne l’anneau des entiers de K . Notons λ une uniformisante de O et soit pour n ≥ 1, un sous-groupe distingu´ e I _n ∈ I de I ∈ I, compact ouvert agissant trivialement sur W _ξ,O/λ

:= W ξ,O ⊗ O O/λ ⁿ . On note alors L _ξ,O/λ

le faisceau sur X _I dont les sections sur un ouvert ´ etale T −→ X _I sont les fonctions

f : π ₀ X _I

× _X

T −→ W ξ,O/λ

telles que pour tout k ∈ I et C ∈ π ₀ X _I

× _X

T , on a la relation f (Ck) = k ⁻¹ f (C).

1.7. Notation. — On pose alors L ξ,O = lim _←

n

L ξ,O/λ

et L _ξ,K = L ξ,O ⊗ O K.

On utilisera aussi la notation L _ξ, Z ¯

et L _ξ, Q ¯

pour les versions sur Z ¯ ^l et Q ¯ ^l respectivement.

1.8. D´ efinition. — Une C -repr´ esentation irr´ eductible Π ∞ de G( A ^∞ ) est dite ξ- cohomologique s’il existe un entier i tel que

H ⁱ ((LieG( R )) ⊗ _R C , U _τ , Π _∞ ⊗ ξ ^∨ ) 6= (0)

o` u U _τ est un sous-groupe compact modulo le centre de G( R ), maximal, cf. [7] p.92. On no- tera d ⁱ _ξ (Π ∞ ) la dimension de ce groupe de cohomologie. Une ¯ Q l -repr´ esentation irr´ eductible Π ^∞ de G( A ^∞ ) sera dit automorphe ξ-cohomologique s’il existe une C -repr´ esentation ξ- cohomologique Π ∞ de G( A ^∞ ) telle que ι _l

Π ^∞

⊗ Π ∞ est une C -repr´ esentation automorphe de G( A ).

2. Syst` emes locaux d’Harris-Taylor et leur Q l -cohomologie Fixons une place v ∈ Spl.

2.1. D´ efinition. — Dans [7], les auteurs, via les vari´ et´ es d’Igusa de premi` ere et seconde esp` ece, associent ` a toute repr´ esentation ρ <sub>v</sub> de l’ordre maximal D <sup>×</sup> <sub>v,h</sub> de D <sub>v,h</sub> <sup>×</sup> , un syst` eme local L(ρ v ) sur X _I,¯ ^=h _s .

Rappelons, cf. [1], que L(ρ _v ) est

g´ eom´ etriquement induit

au sens suivant. Soit L ₁ la restriction de L ` a la strate X <sub>I,¯</sub> <sup>=h</sup> <sub>s,1</sub> , alors L <sub>1</sub> est muni, cf. [1] §1.4.2, d’une action de G( A <sup>∞,p</sup> ) × P <sub>h,d</sub> (F <sub>v</sub> ) × Z tel que le sous-groupe unipotent de P <sub>h,d</sub> (F <sub>v</sub> ) agit trivialement alors que l’action du facteur GL <sub>h</sub> (F <sub>v</sub> ) de son Levi agit via val ◦ det : GL <sub>h</sub> (F <sub>v</sub> ) Z . Le syst` eme local L(ρ _v ) est alors muni d’une action ´ equivariante de G( A ^∞,p ) ×GL _d (F _v )× Z qui se d´ ecrit comme suit :

L := L ₁ × _P

_(F

₎ GL _d (F _v ),

o` u g´ eom´ etriquement GL _d (F _v ) permute les sous-sch´ emas X _I,¯ ^=h _s,a index´ es par a ∈ GL _d (F _v )/P _h,d (F _v ).

2.2. D´ efinition. — Pour π v une repr´ esentation irr´ eductible cuspidale de GL g (F v ) et t ≥ 1, on note π _v [t] _D la repr´ esentation de D ^× _v,tg associ´ ee ` a St _t (π _v ) par la correspondance de Jacquet-Langlands.

Remarque : toute repr´ esentation irr´ eductible de D ^× _v,h est de la forme π v [t] _D pour h = tg.

2.3. Notation. — Pour Π _t une repr´ esentation de GL _tg (F _v ), on introduit alors HT (π _v , Π _t )(n) := L(π _v , t)[d − tg] ⊗ Π _t ⊗ Ξ

⊗ L (π _v )

o` u L ^∨ est la correspondance Langlands sur F _v , Ξ : 1

2 Z −→ Z

×

l

est d´ efinie par Ξ( ¹ ₂ ) = q ^1/2 et

— GL _tg (F _v ) agit diagonalement sur Π _t et sur L(π _v , t) ⊗ Ξ

via son quotient GL _tg (F _v ) Z ,

— le groupe de Weil W _v en v agit diagonalement sur L (π _v ) et le facteur Ξ

via l’application deg : W _v Z qui envoie les frobenius g´ eom´ etriques sur 1.

Une Z l -version enti` ere sera not´ ee HT <sub>Γ</sub> (π <sub>v</sub> , Π <sub>t</sub> )(n) o` u Γ d´ esigne un r´ eseau stable, par forc´ ement sous la forme d’un produit tensoriel.

2.4. Notations. — Soient π ₁ et π ₂ des repr´ esentations de respectivement GL _n

(K ) et GL _n

(K ). On note alors

— π ₁ {n} := π ₁ ⊗ | det | ⁿ ;

— π ₁ × π ₂ l’induite ind ^GL _P

^(K)

n1,n1+n2

(K) π ₁ {n ₂ /2} ⊗ π ₂ {−n ₁ /2}.

2.5. D´ efinition. — Une repr´ esentation irr´ eductible Π de GL _d (F _v ) est dite elliptique s’il existe un diviseur g de d = sg et une repr´ esentation irr´ eductible cuspidale π v de GL g (F v ) tels que Π est un sous-quotient de

π _v { 1 − s

2 } × π _v { 3 − s

2 } × · · · × π _v { s − 1 2 }.

Cette induite admet par ailleurs un unique quotient (resp. sous-espace) irr´ eductible que l’on note St _s (π _v ) (resp. Speh _s (π _v )) : c’est une s´ erie discr` ete.

Remarque : avec cette d´ efinition une repr´ esentation est elliptique si et seulement si, cf. [6]

lemme 2.1.6, son caract` ere est non nul sur les ´ el´ ements elliptiques semi-simples r´ eguliers.

2.6. D´ efinition. — On rappelle que π ⁰ _v est inertiellement ´ equivalente ` a π v si et seulement s’il existe un caract` ere ζ : Z −→ Q ^× l tel que π _v ⁰ ' π _v ⊗ (ζ ◦ val ◦ det).

Remarque : Les faisceau pervers HT (π _v , Π _t )(n) ne d´ epend en un certain sens que de la classe d’´ equivalence inertielle de π _v . Nous utiliserons exclusivement cette ind´ ependance dans le cas o` u Π t est une repr´ esentation elliptique relativement ` a π v , i.e. un sous-quotient de π _v { ^1−t ₂ } × · · · × π _v { ^t−1 ₂ }. Ainsi par exemple pour Π _t = St _t (π _v ) et χ : Z −→ Q

× l , les faisceaux pervers HT (π _v , St _t (π _v )) et HT (π _v ⊗ χ, St _t (π _v ⊗ χ)), munis de leurs actions par corrrespondance, sont isomorphes. Dans cette situation on a en outre

HT (π _v , Π _t )(n) = e _π

HT (π _v , Π _t )(n)

o` u HT (π _v , Π _t )(n) est un faisceau pervers irr´ eductible. Dans la suite on utilisera la notation HT (π _v , Π _t )(n) dans ce contexte.

Fixons ` a pr´ esent une repr´ esentation irr´ eductible alg´ ebrique ξ de G. ´ Etant donn´ e un

syst` eme local d’Harris-Taylor HT (π _v , Π _t ), on note [H _!∗ ⁱ (π _v , Π _t )] (resp. [H _! ⁱ (π _v , Π _t )]) l’image

de lim _→

I∈I

H ⁱ X _I,¯ ^≥tg _s

, j _!∗ ^≥tg HT (π _v , Π _t ) ⊗ L _ξ,

Q

resp. lim _→

I∈I

H ⁱ X _I,¯ ^≥h _s

, j _! ^≥tg HT (π _v , Π _t ) ⊗ L _ξ,

Q

dans le groupe de Grothendieck Groth(v, h) des repr´ esentations admissibles de G( A ^∞ ) × Z . 2.7. Proposition. — Soit Π _t une repr´ esentation irr´ eductible elliptique relativement ` a π _v et soit π ^∞ un constituant irr´ eductible de [H _!∗ ⁱ (π _v , Π _t )] ou de [H _! ⁱ (π _v , Π _t )]. Il existe alors une repr´ esentation automorphe irr´ eductible Π de G( A ), cohomologique pour ξ telle que

— Π ^∞,v ' π ^∞,v et

— Π _v a mˆ eme support cuspidal que π ^∞ _v .

D´ emonstration. — Commen¸cons par le cas de [H _!∗ ⁱ (π v , Π t )] : le calcul explicite est donn´ e

§3 de [2] mais pour la commodit´ e du lecteur nous allons donner une preuve plus ra- pide de l’´ enonc´ e ci-dessus. On part de l’´ egalit´ e 2.6.3 de [2] prouv´ ee dans [1] qui exprime j _!∗ ^≥tg HT (π _v , Π _t ) comme une somme altern´ ee d’extensions par z´ ero de syst` emes locaux d’Harris-Taylor. Le calcul de la somme altern´ ee des groupes de cohomologie ` a support compact d’un syst` eme local d’Harris-Taylor HT (π _v , Π _t ) ⊗ V _ξ,

Q

est donn´ ee dans [7] V.5.4, V.6.4, VI.2.4, cf. aussi la formule 3.3.2 de [2] : ce calcul s’exprime en appliquant ` a la cohomologie globale de la vari´ et´ e de Shimura, le foncteur

red _π

_[t]

: Groth

GL _d (F _v )

−→ Groth

D _v,tg ^× /D ^× _v,tg × GL d−tg (F _v )

d´ efini comme la compos´ ee des deux applications suivantes : Groth

GL _d (F _v )

−→ Groth

GL _tg (F _v ) × GL d−tg (F _v )

[Π] 7→ [J _P

tg,d

(Π) ⊗ δ ^1/2 _P

] et

Groth

GL tg (F _v ) × GL d−tg (F _v )

−→ Groth

D ^× _v,tg /D _v,tg ^× × GL d−tg (F _v )

α ⊗ β 7→ vol(D ^× _v,tg /F _v ^× ) ^{−1 P} _ψ Tr α(ϕ _π

_[t]

⊗ψ

)ψ ⊗ β, o` u

— P _tg,d ^op est le parabolique oppos´ e au parabolique standard P _tg,d et

— J _P

tg,d

est le foncteur de Jacquet des vecteurs coinvariants sous le sous-groupe uni- potent de P _tg,d ^op tordu par δ ^−1/2 _P

tg,d

(−) := | det(ad(−) _|LieN

tg,d

)| ^1/2 ;

— ψ d´ ecrit les caract` eres de F _v ^× ;

— ϕ _π[t]

⊗ψ

est un pseudo-coefficient tel que, cf. [7] lemme I.3.4, si π ⁰ _v n’est pas un sous-

quotient irr´ eductible de (π _v ⊗ψ){− ^1−t ₂ }×· · ·×(π _v ⊗ψ){ ^t−1 ₂ }, alors Tr π ⁰ (ϕ _π

_[t]

⊗ψ

) =

0 et sinon il est ´ egal ` a un signe multipli´ e par vol(D ^× _F

_,tg /F _v ^× ).

On en d´ eduit alors que si Π _t est elliptique pour π _v , i.e. a pour support cuspi- dal ⁿ π _v { ^1−t ₂ }, · · · , π _v { ^t−1 ₂ } ^o , alors, avec les notations ci-dessus, pour tout constituant irr´ eductible α ⊗ β d’un J _P

tg,d

(Π) ⊗ δ _P ^1/2

et pour tout ψ tel que Tr α(ϕ _π

_[t]

⊗ψ

)ψ 6= 0, la repr´ esentation Π _t ⊗ ψ a mˆ eme support cuspidal que α et donc l’induite (Π _t ⊗ ψ) × β aura mˆ eme support cuspidal que la repr´ esentation Π de d´ epart. Ainsi en utilisant que la somme altern´ ee des groupes de cohomologie de X I s’exprime ` a l’aide des repr´ esentations automorphes ξ-cohomologiques de G( A ), on en d´ eduit que la conclusion de la proposition est valable pour le calcul de la somme altern´ ee de la cohomologie ` a support compact des HT (π _v , Π _t ) ⊗ V _ξ,

Q

et donc, d’apr` es l’´ egalit´ e 2.6.3 de [2], pour la somme altern´ ee

P

i (−1) ⁱ [H _!∗ ⁱ (π v , Π t )]. Par puret´ e on en d´ eduit que le r´ esultat est valable pour chacun des [H _!∗ ⁱ (π _v , Π _t )].

En ce qui concerne les [H _! ⁱ (π _v , Π _t )] individuellement, on part de l’´ egalit´ e (2.6.2) de [2] qui exprime j _! ^≥tg HT (π _v , Π _t ) en terme d’extensions interm´ ediaires de syst` emes locaux d’Harris- Taylor : cette ´ egalit´ e peut ˆ etre vu comme une filtration de j <sub>!</sub> <sup>≥tg</sup> HT (π <sub>v</sub> , Π <sub>t</sub> ) qui fournit une suite spectrale E <sub>1</sub> <sup>i,j</sup> calculant les [H <sub>!</sub> <sup>i</sup> (π <sub>v</sub> , Π <sub>t</sub> )] ` a l’aide de la cohomologie de ces extensions interm´ ediaires. On vient de voir que la propri´ et´ e de l’´ enonc´ e est valable pour chacun des E ₁ ^i,j et donc aussi pour l’aboutissement de cette suite spectrale, d’o` u le r´ esultat.

3. Cohomologie d’un F l -syst` eme local

Consid´ erons ` a pr´ esent un niveau fini I ∈ I et notons Bad(I) l’ensemble form´ e des places w de Q divisant I ou ramifi´ ees dans F . On fixe en outre une place v ∈ Spl et ξ une Q l - repr´ esentation alg´ ebrique enti` ere irr´ eductible enti` ere associ´ ee ` a un poids dominant l-petit de sorte que le syst` eme local associ´ e admet, ` a isomorphisme pr` es, une unique Z l -structure L _ξ,

Z

. D’apr` es le changement de base propre, la cohomologie de X <sub>I,¯ η</sub> ` a coefficients dans le syst` eme local L _ξ,

Z

, est donn´ ee par la cohomologie de X I,¯ s

` a coefficients dans Ψ I,v ⊗ L _ξ,

Z

o` u

Ψ _I,v := RΨ _η

_,I ( Z l )[d − 1]( d − 1 2 ) est le faisceau pervers des cycles ´ evanescents sur X I,¯ s

. 3.1. Notations. — On note

— I ^v le sous-groupe compact isomorphe ` a I en toute place distincte de p = v | Q alors qu’en p, son facteur associ´ e ` a la place v, cf. la formule (1), est GL _d (O _v ) ;

— Iv ^∞ le syst` eme inductif infini de niveaux (I <sup>v</sup> K(v <sup>n</sup> )) n∈ N o` u K(v ⁿ ) := Ker GL _d (O _v ) GL _d (O _v /($ ⁿ _v )) ;

— Ψ _Iv

le faisceau pervers de Hecke sur le syst` eme projectif (X _{J,¯ s}

) J∈Iv

;

— T Iv la Z l -alg` ebre de Hecke de G( A ^∞ ) hors S = Bad(I) ∪ {v | Q }.

3.2. D´ efinition. — On dira d’un T Iv [GL _d (F _v )]-module M qu’il v´ erifie la propri´ et´ e P(ξ), s’il admet une filtration finie

(0) = Fil ⁰ (M ) ⊂ Fil ¹ (M ) · · · ⊂ Fil ^r (M ) = M telle que pour tout k = 1, · · · , r, il existe

— une repr´ esentation automorphe Π _k irr´ eductible et enti` ere de G( A ), cohomologique pour ξ

— une repr´ esentation irr´ eductible enti` ere Π ^e _k,v de mˆ eme support cuspidal que Π _k,v

— et un T Iv [GL _d (F _v )]-r´ eseau stable Γ de (Π ^∞,v _k ) ^I

⊗ Π ^e _k,v muni d’une surjection

´ equivariante

Γ gr ^k (M ) := Fil ^k (M)/ Fil ^k−1 (M ).

3.3. Lemme. — La propri´ et´ e P(ξ) est stable par sous-quotient.

D´ emonstration. — En raisonnant par r´ ecurrence sur la longueur de la filtration, il suffit de traiter le cas d’un suite exacte courte

0 → Fil ¹ (M ) −→ M −→ gr ² (M ) → 0.

Soit alors f : M N un quotient et Fil ¹ (N ) l’image de Fil ¹ (M) par f de sorte que f induit une surjection gr ² (M ) gr ² (N ) := N/ Fil ¹ (N ). Soient, pour i = 1, 2, un r´ eseau stable Γ _i de (Π ^∞,v _i ) ^I

⊗ Π ^e _i,v . En composant les surjections Γ ₁ Fil ¹ (M ) et Γ ₂ gr ² (M ), avec respectivement, Fil ¹ (M ) Fil ¹ (N ) et gr ² (M ) gr ² (N ), on en d´ eduit que N v´ erifie P(ξ).

Soit ` a pr´ esent N , → M et Fil <sup>1</sup> (N ) = N ∩ Fil <sup>1</sup> (M ). On consid` ere alors le tir´ e en arri` ere A ^{ //}

Γ ₁

Fil ¹ (N ) ^{ //} Fil ¹ (M )

qui est n´ ecessairement de la forme demand´ ee. On proc` ede de mˆ eme pour gr ² (N ) :=

N/ Fil ¹ (N ).

Remarque : soit M un T Iv [GL _d (F _v )]-module qui est libre en tant que Z l -module libre. Si M v´ erifie P(ξ) alors son dual M ^∨ = Hom

Z

(M, Z ^l ) en tant que T ^Iv [GL _d (F _v )]-module, v´ erifie P(ξ ^∨ ). Pour M v´ erfiant P(ξ) qui est de torsion en tant que Z ^l -module, par d´ efinition il s’´ ecrit sous la forme 0 → L ⁰ −→ L −→ M → 0 o` u L et L ⁰ sont des T Iv [GL _d (F _v )]-modules, libres en tant que Z ^l -modules et v´ erifiant P(ξ), alors de la suite exacte courte

0 → L ^∨ −→ (L ⁰ ) ^∨ −→ M ^∨ → 0.

et de ce qui pr´ ec` ede, on en d´ eduit que M ^∨ v´ erifie P(ξ ^∨ ).

3.4. Proposition. — Soit π v une Q l -repr´ esentation irr´ eductible enti` ere cuspidale de GL g (F <sub>v</sub> ) dont la r´ eduction modulo l, not´ ee %, est suppos´ ee supercuspidale. Alors pour toute repr´ esentation irr´ eductible elliptique Π <sub>t</sub> relativement ` a π _v , et pour tout i, les T ^Iv [GL _d (F _v )]-modules H ⁱ (X _Iv

_{,¯ s}

, ^p j _!∗ ^=tg HT _Γ (π _v , Π _t ) ⊗ L _ξ,Z

l

)) v´ erifient la propri´ et´ e P(ξ).

Remarque : d’apr` es le r´ esultat principal de [5], comme % est supercuspidal, on a une unique notion d’extension intermd´ ediaire de HT _Γ (π _v , Π _t ), i.e.

p j _!∗ ^=tg HT _Γ (π _v , Π _t ) ' ^p+ j _!∗ ^=tg HT _Γ (π _v , Π _t ), ce qui nous permettra d’utiliser la dualit´ e de Verdier.

D´ emonstration. — D´ emonstrons le r´ esultat par r´ ecurrence sur t de s = b ^d _g c ` a 1. Pour t = s, d’apr` es [1], on a

p j _!∗ ^=tg HT Γ (π v , Π t ) ' j _! ^=tg HT Γ (π v , Π t )

de sorte que, les strates X _J,¯ ^=tg _s

´ etant affines, les H ⁱ (X _Iv

_{,¯ s}

, ^p j _!∗ ^=tg HT _Γ (π _v , Π _t ) ⊗ L _ξ,

Z

) sont nuls pour i < 0 et sans torsion pour i = 0. En utilisant que l’´ egalit´ e des extensions interm´ ediaires p et p+ et la dualit´ e de Grothendieck-Verdier, on obtient la nullit´ e de la cohomologie pour tout i 6= 0 et la libert´ e du H ⁰ . On conclut en utilisant la proposition 2.7.

Supposons ` a pr´ esent le r´ esultat acquis jusqu’au rang t + 1.

3.5. Lemme. — Pour tout t ⁰ ≥ t + 1 et pour Π _t

elliptique relativement ` a π _v , les T Iv [GL _d (F _v )]-modules H ⁱ (X _Iv

_{,¯ s}

, j _! ^=t

^g HT _Γ

(π _v , Π _t

) ⊗ L _ξ,

Z

) v´ erifient la propri´ et´ e P(ξ) pour tout i ∈ Z .

D´ emonstration. — D’apr` es [3], j _! ^=t

^g HT Γ

(π _v , Π _t

)) admet une filtration dont les gradu´ es sont des p-extensions interm´ ediaires de syst` emes locaux HT _Γ

(π _v , Π _t

) avec Π _t

elliptique relativement ` a π _v , pour t ⁰⁰ ≥ t ⁰ . Cette filtration fournie une suite spectrale calculant les H ⁱ (X _Iv

_{,¯ s}

, j _! ^=t

^g HT _Γ

(π _v , Π _t

) ⊗ L _ξ,

Z

), dont, d’apr` es l’hypoth` ese de r´ ecurrence pr´ ec´ edente, les termes initiaux v´ erifient la propri´ et´ e P(ξ). Le r´ esultat d´ ecoule alors du lemme 3.3.

Consid´ erons ` a pr´ esent dans le cas g > 1, la suite spectrale E ₂ ^p,q = H _c ^p (X _Iv

_{,¯ s}

, H ^{q p} j _!∗ ^=tg HT Γ (π _v , Π _t ) ⊗ L _ξ,

Z

)

= ⇒

H ^p+q (X _Iv

_{,¯ s}

, ^p j _!∗ ^=tg HT _Γ (π _v , Π _t ) ⊗ V _ξ,

Z

).

Remarque : pour g = 1, les arguments qui suivent sont valables pourvu qu’on utilise la suite spectrale associ´ ee ` a la stratification qui, d’apr` es [1], est de la forme

E ₁ ^p,q = H _c ^p+q (X _Iv ^=p−1

,¯ s

, HT _Γ

(π _v , Π p−1 ) ⊗ L _ξ,

Z

) = ⇒ H ^p+q (X _Iv

_{,¯ s}

, ^p j _!∗ ^=t HT _Γ )(π _v , Π _t ) ⊗ L _ξ,

Z

).

D’apr` es [3], les faisceaux de cohomologie H ^{q p} j _!∗ ^=tg HT (π _v , Π _t ) ⊗ V _ξ,

Z

sont sans torsion et donc donn´ es, cf. [1], par des syst` emes locaux HT _Γ

(π _v , Π _t

)(n ⁰ ) pour Π _t

elliptique relati- vement ` a π _v et n ⁰ ∈ Z qu’il est inutile de pr´ eciser ici. Ainsi les termes E ₂ ^p,q v´ erifient :

— la propri´ et´ e P(ξ) pour tout q > tg − d d’apr` es l’hypoth` ese de r´ ecurrence,

— sont nuls pour q < tg − d, par perversit´ e ;

— les strates ´ etant affines, ils sont nuls pour les couples (p, q) de la forme (p, tg − d) avec p < 0 et

— E ₂ ^0,tg−d est sans torsion.

Du lemme 3.3, on en d´ eduit que les E _∞ ⁿ v´ erifient la propri´ et´ e P(ξ) pour tout n ≤ 0. Comme par hypoth` ese ^p j _!∗ ^=tg HT _Γ (π _v , Π _t ) ' ^p+ j _!∗ ^=tg HT _Γ (π _v , Π _t ), par application de la dualit´ e de Grothendieck-Verdier on obtient que les E _∞ ⁿ pour n > 0 v´ erifient aussi la propri´ et´ e P(ξ).

3.6. Corol laire. — Soient π _v une repr´ esentation irr´ eductible cuspidale enti` ere de GL <sub>g</sub> (F <sub>v</sub> ) et Π <sub>t</sub> une repr´ esentation elliptique relativement ` a π _v . Alors les T Iv [GL _d (F _v )]- modules

H ⁱ

X _Iv

_{,¯ s}

, F

_p

j _!∗ ^=tg HT _Γ (π _v , Π _t ) ⊗ L _ξ,

F

)

v´ erifient la propri´ et´ e P(ξ), o` u F (−) := F l ⊗ ^L

Z

(−) est le foncteur de r´ eduction modulo l, Remarque : dans l’´ enonc´ e pr´ ec´ edent on ne suppose plus que la r´ eduction modulo l de π _v est supercuspidale. D’apr` es [11], il existe un diviseur g −1 de g = kg −1 ainsi qu’une ⁽²⁾ repr´ esentation irr´ eductible cuspidale π v,−1 dont la r´ eduction modulo l, not´ ee %, est super- cuspidale et telle que la r´ eduction modulo l de π v est l’unique sous-quotient non d´ eg´ en´ er´ e de la r´ eduction modulo l de St _k (π _v,−1 ).

D´ emonstration. — Rappelons que pour tout F ^q -sch´ ema X et tout Z ^l -faisceau pervers libre P , on a les suites exactes courtes

0 → H ⁿ (X, P ) ⊗ _Z

F ^l −→ H ⁿ (X, F P ) −→ H ⁿ⁺¹ (X, P )[l] → 0. (2) D’apr` es [9] l’´ egalit´ e ^p j _!∗ ^=tg HT _Γ (π _v , Π _t ) = ^p+ j _!∗ ^=tg HT _Γ (π _v , Π _t ) est ´ equivalente au fait que F commute avec l’extension interm´ ediaire, i.e.

F

p j _!∗ ^=tg HT _Γ (π _v , Π _t ) ' j _!∗ ^=tg HT

F

(%, r _l (Π _t ))

dans le groupe de Grothendieck des F l -faisceaux pervers sur X _Iv

_{,¯ s}

. Ainsi dans le cas o` u la r´ eduction modulo l de π _v est supercuspidale, le r´ esultat d´ ecoule de la proposition pr´ ec´ edente.

Il reste alors ` a traiter le cas o` u la r´ eduction modulo l de π _v n’est plus supercuspidale mais seulement cuspidale. D’apr` es la proposition 3.2.4 de [5], dans le groupe de Grothendieck des F l -faisceaux pervers, pour Π <sub>t</sub> elliptique relativement ` a π _v , on a une ´ egalit´ e de la forme

F

_p

j _!∗ ^=tg HT _Γ (π _v , Π _t ) = ^X

t

≥t

j _!∗ ^=t

^g HT

F

(%, Π _t

)(n ⁰ )

o` u les n ⁰ sont des entiers qu’il est inutile de pr´ eciser et de mˆ eme les Π _t

sont des F l - repr´ esentations dont tous les constituants irr´ eductibles sont des sous-quotients de la r´ eduction modulo l d’une repr´ esentation elliptique relativement ` a π v,−1 , qu’il est ` a nouveau inutile de pr´ eciser plus. Le r´ esultat d´ ecoule alors du fait que d’apr` es le lemme 3.3, la propri´ et´ e P(ξ) se lit dans le groupe de Grothendieck et du cas o` u π v,−1 en utilisant que la commutation de F avec ^p j _!∗ ^=t

^g .

2. Bien entendu π _v,−1 n’est pas uniquement d´ efini, tout rel` evement de sa r´ eduction modulo l convien-

drait.

On peut ` a pr´ esent d´ emontrer le th´ eor` eme de l’introduction. Dans [4], on d´ efinit des filtrations exhaustives de stratification d’un faisceau pervers libre et ce quels que soient les coefficients. Appliqu´ e au Z l -faisceau pervers libre Ψ _Iv

des cycles ´ evanescents, on montre dans [3] que les gradu´ es sont de la forme ^p j _!∗ ^=tg HT _Γ (π _v , St _t (π _v ))(n) pour π _v irr´ eductible cuspidale de GL _g (F _v ), l’entier t variant de 1 ` a b ^d _g c, avec Γ un Z l -r´ eseau stable et n d´ ecrivant un certain ensemble fini d’entier, qu’il est inutile ici de pr´ eciser.

Remarque : pour obtenir les p-versions des extensions interm´ ediaires, il faut prendre les constructions de [4] utilisant les morphismes d’adjonction j ! j ^∗ → Id. Si on utilisait dua- lement Id → j ∗ j ^∗ , on obtiendrait les p+ extensions interm´ ediaires de ces syst` emes locaux relativement ` a d’autres r´ eseaux.

Par application du foncteur F et en notant que les gradu´ es de notre filtration de strati- fication exhaustive sont libres, on obtient une filtration de Ψ _Iv

, F

⊗ L _ξ,

F

dont les gradu´ es sont les F

p j _!∗ ^=tg HT _Γ (π _v , St _t (π _v ))(n) ⊗ L _ξ,

F

. Cette filtration fournit une suite spectrale calculant les H ⁱ (X _Iv

_{,¯ s}

, Ψ _Iv

, F

⊗ L _ξ,

F

) ` a partir des H ⁱ

X Iv

,¯ s

, F

_p

j _!∗ ^=tg HT Γ (π _v , St _t (π _v ))(n) ⊗ L _ξ,F

l

.

D’apr` es le corollaire pr´ ec´ edent, les termes initiaux de cette suite spectrale v´ erifie P(ξ) de sorte que d’apr` es le lemme 3.3, il en est de mˆ eme de l’aboutissement, ce qui finit de prouver le th´ eor` eme de l’introduction.

R´ ef´ erences

[1] P. Boyer. Monodromie du faisceau pervers des cycles ´ evanescents de quelques vari´ et´ es de Shimura simples. Invent. Math., 177(2) :239–280, 2009.

[2] P. Boyer. Cohomologie des syst` emes locaux de Harris-Taylor et applications. Compositio, 146(2) :367–403, 2010.

[3] P. Boyer. La cohomologie des espaces de Lubin-Tate est libre. soumis, 2013.

[4] P. Boyer. Filtrations de stratification de quelques vari´ et´ es de Shimura simples. Bulletin de la SMF, 142, fascicule 4 :777–814, 2014.

[5] P. Boyer. Faisceaux pervers entiers d’Harris-Taylor. preprint, 2015.

[6] J.-F. Dat. Nonabelian Lubin-Tate theory and elliptic representations. (Th´ eorie de Lubin-Tate non-ab´ elienne et repr´ esentations elliptiques.). Invent. Math., 169(1) :75–152, 2007.

[7] M. Harris, R. Taylor. The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties, volume 151 of Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2001.

[8] Jens Carsten Jantzen. Representations of algebraic groups. Pure and Applied Mathematics 131, 1987.

[9] D. Juteau. Decomposition numbers for perverse sheaves. Annales de l’Institut Fourier, 59 (3), pages 1177–1229, 2009.

[10] P. Scholze. On torsion in the cohomology of locally symmetric varieties. Preprint Bonn, 2013.

[11] M.-F. Vign´ eras. Induced R-representations of p-adic reductive groups. Selecta Math. (N.S.),

4(4) :549–623, 1998.

Boyer Pascal • E-mail : boyer@math.univ-paris13.fr, Universit´ e Paris 13, Sorbonne Paris Cit´ e,

LAGA, CNRS, UMR 7539, F-93430, Villetaneuse (France), PerCoLaTor : ANR-14-CE25