Comparaison entre cohomologie cristalline et cohomologie étale $p$-adique sur certaines variétés de Shimura

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cohomologie étale p-adique sur certaines variétés de Shimura

Sandra Rozensztajn

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Sandra Rozensztajn. Comparaison entre cohomologie cristalline et cohomologie étale p-adique sur certaines variétés de Shimura. 2006. �hal-00140946�

hal-00140946, version 1 - 10 Apr 2007

COHOMOLOGIE ´ETALE p-ADIQUE SUR CERTAINES VARI ´ET ´ES DE SHIMURA

par

Sandra Rozensztajn

R´esum´e. —SoitX un mod`ele entier en un premierpd’une vari´et´e de Shimura de type PEL, ayant bonne r´eduction associ´ee `a un groupe r´eductifG. On peut associer auxZp-repr´esentations du groupeGdeux types de faisceaux : des cristaux sur la fibre sp´eciale deX, et des syst`emes locaux pour la topologie ´etale sur la fibre g´en´erique.

Nous ´etablissons un th´eor`eme de comparaison entre la cohomologie de ces deux types de faisceaux.

Abstract (Comparison between crystalline cohomology and p-adic ´etale cohomology on certain Shimura varieties)

LetXbe an integral model at a primepof a Shimura variety of PEL type having good reduction, associated to a reductive groupG. To Zpreprsententations of the groupGcan be associated two kinds of sheaves : crystals on the special fiber ofX, and locally constant ´etale sheaves on the generic fiber. We establish a comparison between the cohomology of these two kinds of sheaves.

1. Introduction

Consid´erons X un mod`ele entier d’une vari´et´e de Shimura de type PEL, d´efini sur une extension de Z<sub>p</sub>. Cette vari´et´e de Shimura correspond `a un groupe r´eductif G, d´efini surZ_(p). On peut associer aux Z_(p)-repr´esentations du groupeGdiff´erents faisceaux : des syst`emes locaux en Z_p-modules sur la fibre g´en´erique de X, et des cristaux sur sa fibre sp´eciale. Nous ´etablissons une comparaison entre la cohomologie

´etale du syst`eme local d’une part, et la cohomologie log-cristalline d’une extension du cristal `a une compactification appropri´ee deX, pour une mˆeme repr´esentationV du groupe G. Nous traitons ici le cas des vari´et´es de Shimura unitaires et de celles de type Siegel. Dans le cas unitaire, nous obtenons un r´esultat qui tient compte de la torsion (th´eor`eme 6.3), dans le cas Siegel les r´esutats sont moins pr´ecis et ne sont valables qu’apr`es tensorisation parQ_p (th´eor`eme 6.4). L’int´erˆet de cette comparaison est que nous pouvons obtenir des renseignements sur le cˆot´e cristallin : des techniques de type complexe BGG, d´ecrites par exemple dans [3], chapitre VI, permettent d’avoir

des renseignements sur la filtration de Hodge. On d´eduit alors des informations sur le cˆot´e ´etale, vu comme repr´esentation galoisienne.

La th´eorie de Hodgep-adique nous donne de tels th´eor`emes de comparaison entre cohomologie ´etalep-adique et log-cristalline dans le cas des coefficients constants, pour des sch´emas propres et poss´edant certaines propri´et´es de lissit´e. Ces r´esultats sont dˆus entre autres `a Tsuji ([15]) pour le cas o`u l’on consid`ere les groupes de cohomologie apr`es tensorisation parQ<sub>p</sub>, et `a Tsuji et Breuil pour le cas o`u l’on tient compte de la torsion ([16] et [2], il y a alors des restrictions sur le degr´e des groupes de cohomologie que l’on peut ´etudier). Ces th´eor`emes sont rappel´es dans le paragraphe 6.1.

Le principe de notre m´ethode est de consid´erer la cohomologie `a coefficients con- stants de la vari´et´e ab´elienne universelle sur X et de ses puissances, et d’en d´eduire la comparaison qui nous int´eresse en d´ecoupant les groupes de cohomologie des fais- ceaux consid´er´es dans les groupes de cohomologie `a coefficients constants `a l’aide de certaines correspondances alg´ebriques.

Le premier probl`eme est que de tels th´eor`emes de comparaison n’´etant valables que sur des sch´emas propres, nous devons supposer l’existence (prouv´ee dans certains cas seulement) de compactifications non seulement deX, mais aussi des vari´et´es de Kuga-Sato, et plus pr´ecis´ement un syst`eme projectif de telles compactifications. La partie 2 explique pr´ecis´ement dans quelle situation nous nous pla cons, ainsi que les propri´et´es des compactifications que nous utilisons.

Le deuxi`eme probl`eme est que toutes les repr´esentations de G ne donnent pas des faisceaux dont la cohomologie puisse ˆetre d´ecoup´ee par des correspondances alg´ebriques dans la cohomologie de la vari´et´e ab´elienne universelle. On d´etermine dans la partie 3 quelles sont les repr´esentations de Gqui donnent des faisceaux que l’on peut atteindre de cette fa con, qui sont les seuls pour lesquels nous obtenons un r´esultat. Cette partie utilise fortement la structure des repr´esentations du groupe r´eductifG, ce qui explique que l’on soit oblig´e de faire une description cas particulier par cas particulier.

Nous expliquons la construction des faisceaux ainsi que l’action de ces correspon- dances alg´ebriques dans la partie 4.

Enfin l’´enonc´e et la preuve du th´eor`eme principal occupent la partie 6. C’est ici qu’apparaˆıt une diff´erence entre les cas unitaire et Siegel : en effet le point-cl´e de la preuve est la compatibilit´e de l’action des correspondances alg´ebriques que nous consid´erons avec les th´eor`emes de comparaison `a coefficients constants. Le cas Siegel utilise la compatibilit´e de cet isomorphisme de comparaison avec les structures produit sur les groupes de cohomologie, ce qui n’est d´emontr´e que dans le cas rationnel et non dans le cas de torsion.

2. Les objets consid´er´es 2.1. Vari´et´es de Shimura de type PEL. —

2.1.1. Les donn´ees. — On se donneB uneQ-alg`ebre simple finie, munie d’une invo- lution positive not´ee∗ (c’est-`a-dire que trB/Q(xx^∗)>0 pour tout xnon nul deB), V un module de type fini surB, muni d’une forme bilin´eaire (,) telle que pour tous v etwdansV, et toutbdansB on ait (bv, w) = (v, b^∗w). On notera 2g la dimension deVsurQ.

On fixe dans toute la suite un nombre premierp, et on fera l’hypoth`ese quep >2g.

Le rˆole de cette hypoth`ese est expliqu´e au paragraphe 4.3.1.

On suppose que B est non ramifi´e en p, c’est-`a-dire que BQ<sub>p</sub> est un produit d’alg`ebres de matrices sur des extensions non ramifi´ees deQ_p.

On se donne unZ_(p)-ordreOBdansB qui devient un ordre maximal deBQ_p apr`es tensorisation parZ_p, et stable par l’involution deB.

On se donne aussi V un OB-r´eseau de V autodual. Le fait que V soit autodual implique en particulier que la forme bilin´eaire induite surV est non d´eg´en´er´ee.

SoitCl’anneau des endomorphismesB-lin´eaires deV.

On d´efinit le groupe G par G(R) = {g ∈ (C ⊗R)^∗,∃µ ∈ R^∗,∀v, w ∈ V⊗ R,(gv, gw) =µ(v, w)}, pour touteZ_(p)-alg`ebreR.

On se donne un R-homomorphisme d’alg`ebres h : C → C∞ = C ⊗QR tel que h(z)^∗=h(¯z), et la forme (v, h(i)w) soit d´efinie positive surV_∞=V⊗QR. On associe

`ahle morphismeµh:C<sup>∗</sup>→GC, qui d´efinit la filtration de Hodge surV<sub>C</sub>, c’est-`a-dire la d´ecompositionV=V_z⊕V₁, o`uµh(z) agit parz surV_zet par 1 surV₁.

Le corps dual associ´e `a ces donn´ees est le corpsE(G, h) qui est le corps de d´efinition de la classe d’isomorphisme deV_z commeB-repr´esentation. C’est le sous-corps deC engendr´e par les tr(b), b∈B agissant surV_z.

2.1.2. Deux cas particuliers. — Dans la suite nous nous int´eresserons uniquement

`a deux cas particuliers : le cas Siegel et le cas unitaire. Le cas Siegel correspond `a la situation o`u B est r´eduit `a Q. La vari´et´e de Shimura associ´ee est alors la vari´et´e modulaire de Siegel. Le cas unitaire correspond au cas o`uBest une extension quadra- tique imaginaire deQ. La forme altern´ee (,) est alors la partie imaginaire d’une forme hermitienne surV, qu’on peut voir comme unB-espace vectoriel de dimension moiti´e.

2.1.3. Le probl`eme de modules. — On peut associer aux donn´ees de Shimura prc´edentes un probl`eme de modules, tel que d´ecrit dans [10], dont on rappelle ici l’essentiel.

FixonsK^pun sous-groupe compact ouvert deG(A^p_f). On consid`ere le foncteur des OE(G,h)⊗Z<sub>(p)</sub>-sch´emas dans les ensembles, qui `a S associe l’ensemble `a ´equivalence pr`es des quadruplets (A, λ, i, η), o`u A est un sch´ema ab´elien A sur S, muni d’une polarisation λ premi`ere `a p, et d’une fl`eche i : OB → End(A)⊗Z_(p) qui est un morphisme d’alg`ebres `a involution, l’involutin sur End(A)⊗Z_(p) ´etant l’involution de Rosati donn´ee par λ, et η est une structure de niveau. Enfin on suppose que OB

agit sur Lie(A) comme surV_z, c’est-`a-dire que det(b,Lie(A)) = det(b,V<sub>z</sub>) pour tout b ∈ OB. La structure de niveau consiste en ce qui suit : on consid`ere le A^p_f-module de Tate deA, c’est unA^p_f-faisceau lisse surS. Soitsun point g´eom´etrique de S, une structure de niveau consiste en uneK^p-orbite η d’isomorphismesV_Ap

f →H1(As,A^p_f) deB-modules munis d’une forme altern´ee, et qui soit fix´ee parπ1(S, s).

Deux quadruplets (A, λ, i, η) et (A^′, λ^′, i^′, η^′) sont dit ´equivalents s’il existe une isog´enie premi`ere `a pdeA versA^′, commutant `a l’action de OB, transformantη en η^′, etλen un multiple scalaire (dans Z^∗_(p)) deλ^′.

Ce foncteur est repr´esentable, par un sch´ema quasi-projectif et lisseM surOE⊗ Z_(p)pourvu que l’on choisisseK^p suffisamment petit.

NotonsAle sch´ema ab´elien universel surM.

Pour les cas Siegel et unitaire, on a le r´esultat suivant (lemme 7.2 de [10]) : Lemme 2.1. — OM⊗ V et H¹(A/M)^∨ sont localement isomorphes comme OB- modules munis d’une forme altern´ee.

2.1.4. La situation g´eom´etrique consid´er´ee. — On obtient alors la situation suivante : NotonsKle compl´et´e en une placev|pdeE(G, h), etOson anneau des entiers. Notons On=O/̟ⁿ⁺¹, o`u̟est une uniformisante deO. C’est l’anneau des vecteurs de Witt de longueur n sur le corps r´esiduel de O puisque p est non ramifi´e dans E(G, h).

PosonsS= SpecO, etSn= SpecOn. D’une fa con g´en´erale, on notera avec un indice nla r´eduction d’unO-sch´ema modulo̟ⁿ⁺¹

On noteraX =MO, c’est donc un sch´ema lisse surS, muni d’un sch´ema ab´elien A, provenant du sch´ema ab´elien universel sur la vari´et´e de Shimura. De plus, on a un morphisme OB → End(A)⊗ZZ_(p). On note f : A → X, et fs : A^s → X les morphismes structuraux.

2.2. Existence de compactifications. — Nous aurons besoin d’utiliser aussi des compatifications deX, ainsi que du sch´ema ab´elien universelAet de ses puissances.

Ces compactifications ont ´et´e d´ecrites en d´etail dans le cas Siegel ([3]), pour le cas unitaire la construction d´etaill´ee n’est ´ecrite que pour GU(2,1), c’est-`a-dire les sur- faces modulaires de Picard (voir [11] pour la compactification de la base et [14] pour celle du sch´ema ab´elien universel), mˆeme si leur existence dans le cas unitaire g´en´eral ne pose pas de probl`emes. Nous r´esumons dans ce paragraphe les seules propri´et´es de ces compactifications que nous utilisons.

2.2.1. Compactifications de la base. — Nous avons besoin tout d’abord de compactifi- cation du mod`ele entier de la vari´et´e de Shimura. En consid´erant des compactifications toro¨ıdales (d´ecrites dans [3], chapitre IV pour le cas Siegel, et dans [11] pour le cas deGU(2,1)), on obtient l’existence d’un sch´emaX v´erifiant la propri´et´e suivante : Propri´et´e 1. — il existe un sch´ema X propre et lisse sur S, contenant X comme ouvert dense, tel que le compl´ementaire de X dans X est un diviseur `a croisements normaux relatifs.

On fixera dans la suite une fois pour toute une telle compactificationX. On peut remarquer que les r´esultats ne d´ependent en fait pas du choix de X parmi l’ensem- ble des compactifications toro¨ıdales : deux compactifications toro¨ıdales sont toujours comparables, au sens o`u il existe une troisi`eme qui les domine toutes les deux, ce qui permet de voir que les groupes de cohomologie d´ecrits en 5.2.5 ne d´ependent pas de ce choix de compactification.

2.2.2. Compactifications du sch´ema ab´elien universel. — On se donneXpropre lisse sur S, muni d’un diviseur `a croisements normaux relatifs D, et on note X l’ouvert compl´ementaire. Pour chaque s, on appelle bonne compactification deA<sup>s</sup> une com- pactificationA<sup>s</sup>deA<sup>s</sup>, telle quef<sub>s</sub><sup>−1</sup>(X\X) est un diviseur `a croisements normaux relatifs.

Consid´erons la des compactifications toro¨ıdales« lisses» desA^s (voir [3] dans le cas Siegel, [14] dans le cas deGU(2,1)), on obtient pour touts≥1, une famille de bonnes compactificationsA^s deA^s, v´erifiant les deux propri´et´es suivantes :

Propri´et´e 2. — 1. Pour toute isog´enieudeA^s, il existe deux bonnes compacti- ficationsA^s1 et A^s2, et un morphismeA^s1→ A^s2 prolongeantu.

2. ´Etant donn´e deux bonnes compactificationsA^s1etA^s2, il en existe une troisi`eme A^s3et desX-morphismesA^s3→ A^s1etA^s3→ A^s2induisant l’identit´e surA^s. Dans le cas Siegel, nous utiliserons encore une propri´et´e suppl´ementaire de la famille des compactifications toro¨ıdales :

Propri´et´e 3. — SiLest un faisceau sym´etrique surA^s, il existe des entiersaetb, et une compactification de la familleA^stels que le faisceau (O(2)^⊗a⊗ L)^⊗b se prolonge en un faisceau surA^s. De plus, on peut choisiraet bpremiers `ap.

Cette construction fait l’objet du chapitre VI du livre [3]. Elle n’est d´etaill´ee que pour le cas o`u le faisceau sym´etrique ample consid´er´e est O(2), mais cela s’adapte au cas d’un faisceau sym´etrique ample quelconque, pour lequel on prendra donc O(2)^⊗a⊗ L, avecaassez grand pour que le faisceau soit ample.

3. Repr´esentations de G

3.1. Z_(p)-repr´esentations. — On note Rep(G) la cat´egorie des repr´esentations de Gsur un Z_(p)-module libre de type fini, et Rep_Q(G) celles des repr´esentations de G sur unQ-espace vectoriel de dimension finie.

Notons V0 ∈Rep(G) la duale de la repr´esentation standard de G, c’est-`a-dire la duale du r´eseauV d´efini au paragraphe 2.1.1.

3.2. L’alg`ebre des endomorphismes. — Les repr´esentations de Gde la forme

∧^•V₀^s, pour s ≥ 1, jouent un rˆole particulier : les faisceaux que nous allons leur associer dans la section 4 ont une interpr´etation g´eom´etrique. Nous d´efinissons une sous-alg`ebre de l’alg`ebre End(∧^•V₀^s) des endomorphismesG-lin´eaires de∧^•V₀^s, form´e de morphismes ayant aussi une interpr´etation g´eom´etrique qui sera d´ecrite dans le paragraphe 4.2.1. L’objectif est de pouvoir d´ecouper dans les∧^•V₀^sdes repr´esentations irr´eductibles de G `a l’aide de cette alg`ebre d’endomorphismes, en s’inspirant des constructions de Weyl.

Dans le cas unitaire, on d´efinit pour tout s ≥1 une sous-Z(p)-alg`ebre E(A)s de End(∧<sup>•</sup>V<sub>0</sub><sup>s</sup>). C’est l’alg`ebre engendr´ee par l’action deMs(Z) surV₀^s, muni de la mul- tiplication oppos´ee, et par l’action deOB surV0.

Dans le cas Siegel, on note E(C)s la sous-Z_(p)-alg`ebre de End(∧<sup>•</sup>V<sub>0</sub><sup>s</sup>) engendr´ee par l’action de Ms(Z) sur V<sub>0</sub><sup>s</sup>, et par les op´erations suivantes. On note Z<sub>(p)</sub>(1) la repr´esentation du groupe symplectique correspondant `a l’action du groupe sur Z_(p) par le multiplicateur. Observons queV0=V(−1).

On noteu∈ ∧²V₀²(1) l’´el´ement provenant de la forme bilin´eaire surV, et pour tous 1≤i < j ≤s, on noteui,j l’image deupar l’application∧²V₀²(1)→ ∧²V₀^s(1) induite par l’applicationV₀²→ V₀^sconsistant `a placer les deux facteursV0 aux placesietj.

Le cup-produit parui,j d´efinit une applicationϕi,j:∧^•V₀^s(−1)→ ∧^•V₀^squi envoie chaque∧^kV₀^s(−1) dans ∧^k+2V₀^s.

L’application duale deϕi,jpermet de d´efinir une applicationψi,j:∧^•V₀^s→ ∧^•V₀^s(−1).

Enfin on noteθi,j=ϕi,j◦ψi,j, qui est donc un endomorphisme de∧^•V₀^s.

On d´efinit alorsE(C)scomme l’alg`ebre engendr´ee par l’action deMs(Z) et lesθi,j, 1≤i < j ≤s.

On noteraEspour d´esigner indiff´eremmentE(A)s etE(C)s. On dira queu∈Es

est un projecteur homog`ene (de degr´et) si son image est contenue dans∧^tV₀^s⊂ ∧^•V₀^s. On donne des d´efinitions similaires pour les ´el´ements de Es ⊗Q agissant sur

∧^•(V0⊗Q)^s.

3.3. Repr´esentations atteignables. — On note Rep^a(G) la sous-cat´egorie de Rep(G) form´ee des repr´esentations isomorphes `a une somme directe de repr´esentations deGde la forme imq, o`uqest un projecteur homog`ene de Esagissant sur un∧<sup>•</sup>V<sub>0</sub><sup>s</sup>. Si V ∈ Rep<sup>a</sup>(G), on note t(V) le plus grand degr´e des projecteurs homog`enes qui apparaissent dans la d´efinition deV.

On d´efinit de fa con similaire Rep^a_Q(G).

Comme nous n’obtenons des r´esultats que pour les repr´esentations de Gqui sont dans Rep^a(G), il va s’agir de voir que cette sous-cat´egorie n’est pas trop petite, et qu’il n’est donc pas trop restrictif de s’y limiter. C’est l’objet des paragraphes suivants.

3.4. Poids p-petits. — Supposons notre groupe r´eductifGd´eploy´e sur un certain corpsE. Les repr´esentations irr´eductibles deGsurEsont param´etr´ees par l’ensemble des poids dominants, une fois fix´e un tore maximal et un syst`eme de racines positives.

Si aest un poids dominant, on noteVE(a) la repr´esentation irr´eductible deGsurE de plus haut poidsa.

On d´efinit comme dans [9], II.3.15 ce qu’est un poids dominantp-petit. La propri´et´e qui nous int´eresse ici est la propri´et´e suivante (voir [13], 1.9) : si le poidsaestp-petit, alors il existe `a homoth´etie pr`es un unique r´eseau dans VE(a) qui est stable sous l’action de Dist(G), l’alg`ebre des distributions deGsurOE,(v), pourvune place deE divisantp. Cela a donc un sens de d´efinirV(a) comme la repr´esentation irr´eductible deGsurOE,(v)de plus haut poidsa.

3.5. Description deRep^a(G)dans le cas unitaire. — On se place ici dans le cas unitaire. Le groupeGest alors un groupe unitaire relatif `a un corps E quadratique imaginaire, qui correspond `a l’alg`ebreBdu paragraphe 2.1.1, doncGest de la forme GU(g), et il est d´eploy´e surE. On a doncGE ∼

−→GL(g)E⊗Gm,E.

L’ensemble des repr´esentations surEirr´eductibles deGest param´etr´e par lesg+1- uplets (a1, . . . , ag;c) d’entiers, aveca1≥ · · · ≥agetP

ai=c (mod 2), une fois choisi un isomorphisme entreGE etGL(g)E×G_m,E. Notonsietj les deux morphismes de E dansE, le choix de l’isomorphisme revient `a en privil´egier un des deux.

La repr´esentationV0⊗Ecorrespond `a la somme de deux repr´esentations irr´eductibles V1etV2,V1de plus haut poids (1,0, . . . ,0; 1) etV2de plus haut poids (0, . . . ,0,−1; 1).

V1 est l’espace propre associ´e `a la valeur proprei(x) de l’endomorphismeu(x), pour tout xdansE, etV2 est l’espace propre associ´e `a la valeur proprej(x).

3.5.1. Description deRep^a_Q(G). — Notons Rep^a_E(G) l’ensemble desV ⊗QE, o`uV ∈ Rep^aQ(G), etV0=V0⊗E.

Proposition 3.1. — Rep^a_E(G)contient toutes les repr´esentations qui sont de la forme V(a)⊕V(a^∗), o`uV(a)est la repr´esentation irr´eductible de plus haut poids(a1, . . . , ag;c) avec ag≥0 etc=P

ai=s, eta^∗ est le poids (−ag, . . . ,−a1;c).

Lemme 3.2. — Soit a= (a1, . . . , ag;c)un poids dominant de G, tel que ag ≥0 et c =P

ai, et V(a)la repr´esentation irr´eductible associ´ee. Alors il existe un ´el´ement Ca de QS_s (o`us=P

ai) tel que V(a) =CaV₁^⊗setV(a^∗) =CaV₂^⊗s.

D´emonstration. — Regardons d’abord V(a) comme une repr´esentation de GLg, en oubliant l’action du multiplicateur. Comme expliqu´e dans [6], 15.5, il existe unCa ∈ QS_sidempotent tel queV(a) =CaV₁^⊗s,V(a) etV1´etant vues toutes deux comme des repr´esentations deGLg. Il faut voir ensuite que l’´egalit´e tient aussi comme repr´esentations de GL(g)E×G_m,E, donc que le multiplicateur agit de la mˆeme fa con sur les deux.

Or il agit parx7→x^c surV(a), et parx7→x^ssurV₁^⊗s, et on as=c.

Lemme 3.3. — Soit s≥0. Il existe un projecteurq dansE(A)s⊗Qcommutant `a l’action du groupe des permutations S_s tel que l’image de q agissant sur ∧^•V₀^s est V₀^⊗s.

D´emonstration. — ∧^•V₀^s=⊕0≤i1≤2g,...,0≤is≤2g∧ⁱ¹V0⊗ · · · ⊗ ∧^isV0.

Consid´erons un entiermnon nul,vj la matrice diagonale [(1, . . . ,1, m,1, . . .)] avec unm en j-`eme position. L’espace propre correspondant `a la valeur propre m est la somme des termes pour lesquels ij = 1. Soit pj le projecteur sur cet espace propre.

Lespjcommutent, leur produit est donc un projecteurqsur l’intersection des images, c’est-`a-dire les termes pour lesquels chaqueij est ´egal `a 1, c’est-`a-direV<sub>0</sub><sup>⊗s</sup>. De plus, qcommute bien `a l’action deS_s.

Enfin on utilise queV0=V1⊕V2,V₀^⊗sest donc ´egal `a une somme de termes de la formeV₁^⊗x⊗V₂^⊗y avecx+y=s.

Lemme 3.4. — Il existe un ´el´ementq^′dans le centre deE(A)s⊗Qdont la restriction de l’action `aV₀^⊗s est un projecteur surV₁^⊗s⊕V₂^⊗s.

D´emonstration. — Fixons z∈ OE.z agit pari(z) surV1 et parj(z) surV2. Notons i(z) =a etj(z) = b. Choisissonsz de sorte que les a^xb^y soient tous distincts. Alors V₁^⊗x⊗V₂^⊗y est (dansV₀^⊗s) l’espace propre associ´e `a la valeur proprea^xb^y.

Soit P le polynˆome Πr+t=s(X −a^rb^t). Il est `a coefficients entiers, et c’est le polynˆome minimal de l’action deu(z) surV₀^⊗s. SoitQ= Πr+t=s,r6=0,t6=0(X−a^rb^t).

AlorsP=QT o`uT = (X−a<sup>s</sup>)(X−b<sup>s</sup>), et Qet T sont premiers entre eux. Il existe donc des polynˆomesU etV (`a coefficients rationnels), tels queU Q+V T = 1. Alors l’action deu(1−U Q)(z) surV₀^⊗sest un projecteur surV₁^⊗s⊕V₂^⊗s, qu’on noteq^′.

On peut maintenant prouver la proposition : soit acomme dans l’´enonc´e, et s= c =P

ai. PosonsP =Caq^′q, alorsP ∧^•V₀^s est la repr´esentation V(a)⊕V(a^∗). En effet, notons queCa,q^′ et qcommutent par construction, doncP est un projecteur.

On a q∧^• V₀^s=V₀^⊗s, q^′q∧^•V₀^s=V₁^⊗s⊕V₂^⊗s, Caq^′q∧^•V₀^s=CaV₁^⊗s⊕CaV₂^⊗s. Or CaV₁^⊗s=V(a), et CaV₂^⊗s=V(a^∗).

Une fois d´ecrites les repr´esentations qui sont dans Rep^a_E(G), il faut maintenant retrouver quelle est laQ-forme de ces repr´esentations qui est dans Rep^aQ(G).V1etV2

sont naturellement isomorphes, et Gal(E/Q) agit surV0=V1⊕V2par (x, y)7→(¯y,x).¯ Son action surV(a)⊕V(a^∗) peut ˆetre d´ecrite par la mˆeme formule, ce qui nous permet d’obtenir les repr´esentations qui sont dans Rep^aQ(G).

3.5.2. Description de Rep^a(G). —

Proposition 3.5. — Rep^a(G)contient toutes les repr´esentations qui sont de la forme (V(a)⊕V(a^∗))^Gal(E/Q), o`u V(a)est la repr´esentation irr´eductible de plus haut poids (a1, . . . , ag;c)avec ag ≥0 et c=P

ai=s, et a^∗ est le poids (−ag, . . . ,−a1;c),a et a^∗ sont p-petits, et 2g < p, et Gal(E/Q) agit sur (V(a)⊕V(a^∗)) comme d´ecrit au paragraphe pr´ec´edent.

Il suffit de voir que si les conditions donn´ees sont v´erifi´ees, on peut prendre des d´enominateurs premiers `a pdans les lemmes du paragraphe 3.5.1.

Lemme 3.6. — On se place comme dans le lemme 3.2. Alors si P

ai < p, Ca est dansZ_(p)S_s.

D´emonstration. — Ca est de la forme (1/n)C_a^′, o`uC_a^′ est dansZS_s, etnest l’entier tel queC_a^′2=nC_a^′. Orndivises! (voir [6], 4.2), donc 1/n∈Z_(p)si s < p.

Lemme 3.7. — Dans le cadre du lemme 3.3, on peut choisir qdans E(A)s d`es que p >2g.

D´emonstration. — Lorsque on ´ecritpj comme un polynˆome envj, les d´enominateurs qui apparaissent sont les diff´erences entre les valeurs propres de vj, qui sont les mⁱ pour 0≤ i≤ 2g. Si 2g < p, on peut prendre un m dont l’image dansZ/pZ est un g´en´erateur deZ/pZ^∗, de sorte que lesmⁱ−m^i′ sont tous premiers `ap.

Lemme 3.8. — Dans le lemme 3.4, on peut prendreq^′ dansE(A)s d`es quep > s.

D´emonstration. — ´Ecrivons doncU Q+V T=c, avecU etV `a coefficients entiers et c entiers, et ´etudions les facteurs premiers dec. On obtientc=Q(a<sup>s</sup>)Q(b<sup>s</sup>). Il s’agit donc de trouverz∈ OE tel quec soit premier `ap(et que aucun desa^rb^t, r >0, t >

0, r+t=sne soit ´egal `aa<sup>s</sup> ou `a b^s).

On aQ(a^s) = a^s(s−1)/2Π1≤t≤s−1(a^t−b^t), etQ(b^s) = b^s(s−1)/2Π1≤t≤s−1(b^t−a^t).

Supposons d’abord que p est inerte dans E. Alors OE/p est isomorphe `a F_p2. La conjugaison dans OE se traduit par x 7→ x^p dans OE/p. Choisissons donc x un g´en´erateur deF^∗_p2, alors unz relevantxconvient.

Supposons maintenantpd´ecompos´e dansE. AlorsOE/pest ´egal `aF_p×F_p, et la conjugaison dansOE´echange les deux facteurs dansOE/p. Choisissons unxdansF^∗_p tel quexⁱ 6= 1 pour toutientre 1 ets, et prenons uet v dansF^∗_p tels queu/v =x.

Alors sizest un rel`evement de (u, v), il convient.

3.6. Description deRep^a(G)dans le cas Siegel. — Dans le cas Siegel, la descrip- tion de Rep^a(G) est faite dans l’article [12], 5.1. On obtient toutes les repr´esentations de plus haut poidsp-petit, `a l’action du centre pr`es.

4. Les faisceaux 4.1. Constructions fonctorielles. —

4.1.1. Cas ´etale. — Soit xun point g´eom´etrique de XK. `A chaque repr´esentation du groupe fondamental de la vari´et´eπ1(XK, x) correspond un syst`eme local surXK. Consid´erons le faisceau constantZ_p sur A, etF =R¹fK∗Z_p(1), o`u fK :AK →XK

est le morphisme structural. F correspond `a la repr´esentation standard de G sur Zp, autrement dit `a un morphisme π1(XK, x)→ G(Zp). On peut donc associer par composition un syst`eme local `a toute repr´esentation sur Z_p de G, et ceci de fa con fonctorielle. On noteF(V) le syst`eme local associ´e `a la repr´esentationV. On d´efinit de mˆeme le foncteur F_n(V), qui `a V associe un fibr´e en Z/pⁿZ-modules, v´erifiant F(V)⊗ZpZ/pⁿZ=F_n(V).

On observe que F(V0) =R¹f∗Z_p, et plus g´en´eralementF(∧^tV₀^s) =R^tfs,K∗Z_p, o`u fs,K est le morphisme structuralA^s_K→XK.

4.1.2. Cas des fibr´es `a connexion. —

Proposition 4.1. — Il existe un foncteur F de Rep(G) dans l’ensemble des OX- modules `a connexion int´egrable surX, et pour toutnun foncteurFn de Rep(G)dans l’ensemble desOXn-modules `a connexion int´egrable sur Xn, ces deux foncteurs ´etant compatibles.

Ici compatible, signifie queFn(V /̟ⁿ⁺¹) =F(V)/̟ⁿ⁺¹. On ne va faire la construc- tion que surOX, la construction surOXn s’obtenant par des m´ethodes similaires.

NotonsH1(A) = (R¹f∗Ω^•_A/X)^∨. IntroduisonsT =Isom(OX⊗ V,H1(A)), les iso- morphismes devant respecter la structure de B-module et la forme altern´ee `a une constante pr`es. C’est un torseur surX sous l’action (`a droite) deG, en effet les deux faisceaux en question sont localement isomorphes, comme expliqu´e dans le lemme 2.1.

SoitV ∈Rep(G), on noteF(V) le faisceau des sections du fibr´eT ×^GV. C’est un faisceau deOX-modules quasi-coh´erent. De mˆeme un morphisme entre repr´esentations se transforme en morphisme entre faisceaux.

Ce fibr´e est muni d’une connexion qui provient de la connexion de Gauss-Manin surH1(A).