Introduction Sur une variété riemannienne compacte, le célèbre théorème de Hodge et de Rham identie les espaces de formes harmoniquesL2 aux groupes de cohomologie réels de la variété

GILLES CARRON

Résumé. Nous donnons une interprétation topologique des espaces de formes harmoniques L² de certaines des variétés QALE introduites par D. Joyce.

Nous introduisons pour cela un critère analytique qui nous permet d'utiliser des bouts de suites exactes de Mayer-Vietoris.

1. Introduction

Sur une variété riemannienne compacte, le célèbre théorème de Hodge et de Rham identie les espaces de formes harmoniquesL² aux groupes de cohomologie réels de la variété. Lorsque (X, g) est une variété complète et non compacte, ses espaces de formes harmoniquesL²

H^k(X) =

α∈L²(Λ^kT^∗X), dα=d^∗α= 0 peuvent être identiés aux espaces deL² cohomologie réduite :

H^k(X)'H^k(X) =

α∈L²(Λ^kT^∗X), dα= 0 /{dα, α∈L²(Λ^k−1T^∗X), dα∈L²} où l'adhérence est prise pour la topologie L². Cependant cette cohomologie L² réduite n'est pas en général pratique à calculer, car elle ne vérie pas les suites exactes de Mayer-Vietoris. La cohomologieL²non réduite dénie par

nrH^k(X) =

α∈L²(Λ^kT^∗X), dα= 0 /

dα, α∈L²(Λ^k−1T^∗X), dα∈L² peut se calculer à l'aide de suites exactes de Mayer Vietoris, cependant ces espaces ne coïncident que lorsque l'image dedest fermée et dans le cas contraire les espaces de cohomologieL² non réduite sont de dimension innie : ils ne permettent pas de récupérer la cohomologieL²réduite.

De nombreux travaux donnent une interprétation topologique de ces espaces de cohomologieL² réduite en fonction de la topologie et de la géométrie à l'inni. Par exemple, dans [1], M. Atiyah, V. Patodi et I. Singer calculent la cohomologie L² réduite des variétés à bouts cylindriques, les travaux de A. Borel, B. Casselman, E.

Looijenga, L. Saper, M. Stern et S. Zucker ont permis d'identier la cohomologieL² des variétés hermitiennes localement symétriques¹à la cohomologie d'intersection de leurs compactications de Borel-Serre-Satake ([3, 4, 24, 35, 40, 41]), les variétés à courbure négative ou asymptotiquement nulle ont aussi fait l'objet de nombreux travaux ([25, 27, 29, 39, 9]).

Récemment, A. Sen a utilisé une dualité issue de la M-théorie pour prédire l'existence de formes harmoniquesL²sur l'espace réduit des monopoles de charges

Date: 18 janvier 2005.

1991 Mathematics Subject Classication. Primary 58A14 ; Secondary 58J10.

Key words and phrases. L² cohomology, crepant resolution.

1dans ce cas l'image dedest fermée et cohomologieL²réduite et non réduite coïncident.

1

k sur R³ ([37]). Grâce à des arguments également issus de la physique théorique, il existe aujourd'hui de nombreuses prédictions concernant les espaces de formes harmoniquesL²sur certaines variétés riemanniennes complètes à holonomie excep- tionnelle. Dans un papier remarquable, N. Hitchin montre qu'une variété hyperkäh- lerienne complète de dimension réelle 4d obtenue par réduction hyperkählerienne deR⁴ⁿ ne peut porter de formes harmoniquesL² qu'en degré 2d[16] ; pour cela il utilise une amélioration due à J.Jost et K.Zuo ([21]) d'un résultat de M. Gromov ([14] cf. aussi [6, 26]). N. Hitchin détermine aussi les formes harmoniques L² de certaines de ces variétés dont l'espace réduit des monopoles de charge2et il vérie dans ce cas les prédictions de A. Sen. En fait les travaux de G. Segal et A. Selby montrent les prédictions de A. Sen équivalent à démontrer que pour ces variétés la cohomologieL² réduite est isomorphe à l'image de la cohomologie à support com- pact dans la cohomologie absolue ([36]). Un travail fondamental de T. Hausel, E.

Hunsicker, R. Mazzeo interprète les espaces de cohomologieL² réduite des variétés dont la géométrie à l'inni est de type "bred boundary" (à bord bré) ou " bred cusp (à pointe bré) en terme de cohomologie d'intersection de la compactication obtenue en écrasant les bres de la bration à l'inni ([15]). Ces géométries intro- duites par R. Mazzeo et R. Melrose modélisent les variétés localement symétrique de Q-rang 1 et certaines géométries (ALE, ALF, ALG) des variétés à holonomie exceptionnelle ([28]) et ce travail leurs permet de conrmer ou d'inrmer certaines des prédictions issues de physique théorique (cf. la septième partie de [15] pour plus de précisions).

L'objet de ce travail est la classe de variétés à holonomie SU(n) ou Sp(n/2) construite par D. Joyce (théorème 9.3.3 de [22]) :

Théorème A. SoitG⊂SU(n)un sous groupe ni etX −→^π Cⁿ/Gune résolution crépante deCⁿ/G, si X porte une métrique kählerienne QALE asymptote àCⁿ/G alors elle porte aussi une métrique Kähler-Einstein plate ; de plus si G⊂Sp(n/2) alors cette métrique est hyperkählerienne.

Nous ne donnons pas la dénition de résolution crépante (cf. [22] page 126 par exemple), nous signalons uniquement qu'une telle résolution n'existe pas tou- jours. Nous dirons plus loin deux mots sur la géométrie des variétés QALE (Quasi- Asymptotiquement Localement Euclidienne). Certaines de ces résolutions comme les schémas de Hilbert surC²sont aussi connues sous le nom d'espace des instantons non commutatifs ([33, 32]). Notre résultat principal est le suivant :

Théorème B. SoitG⊂SU(n)un sous groupe ni, on suppose que le lieu singulier deS²ⁿ⁻¹/G(le quotient de la sphère parG) soit de la formeS1.G∪S2.G∪...∪Sk.G où lesSi sont des sous-sphères deS²ⁿ⁻¹ deux à deux disjointes² .

SiX −→^π Cⁿ/Gune résolution crépante deCⁿ/Géquipée d'une métrique QALE asymptote à Cⁿ/Galors

H^k(X)'Im H_c^k(X)→H^k(X) .

Les travaux de Y. Ito et M. Reid, V. Batyrev, J. Denef et F. Loeser permettent de décrire la cohomologie usuelle de X à l'aide des classes de conjugaison de G (([20, 2, 13]). NotonsC(G)l'ensemble des classes de conjugaison deG, en corollaire de ce théorème nous obtenons :

2C'est le cas lorsqueG⊂SU(3)ouG⊂Sp(2).

Corollaire 1.1. SoitG⊂SU(3)ouG⊂Sp(2)un sous groupe ni etX −→^π Cⁿ/G une résolution crépante deCⁿ/Géquipée d'une métrique QALE asymptote àCⁿ/G, alors :

χ_L2(X) =

2n

X

k=0

(−1)^kdimH^k(X) =

n

X

l=0

dimH^2l(X)

= card

[g]∈ C(G),ker(g−Id) ={0} .

En particulier, nous démontrons que l'espace des formes harmoniques L² de Hilb³(C²)est de dimension1et qu'il est formé de formes de degré4. Notre théorème répond par l'armative à une question de E. Hunsicker. LorsqueGagit sans point xe sur S²ⁿ⁻¹ alors X est une variété ALE : au dehors de π⁻¹{0}, X est quasi isométrique au bout de cône{z∈Cⁿ,kzk ≥1}/Get dans ce cas ce théorème B est déjà connu ([31, 7]).

Décrivons rapidement la géométrie à l'inni des variétés QALE considérées ici : nous supposons donc queG⊂SU(n)soit un sous groupe ni vériant les hypothèses du théorème B. NotonsS⊂S²ⁿ⁻¹/Gce lieu singulier ; c'est le quotient parGd'une réunion de sphères. Si (X, g) est une variété QALE asymptote à Cⁿ/G alors au dehors d'un compactK⊂X,

X\K=∪^l_i=0Ei

où E0 est quasi-isométrique à un bout cône sur (S²ⁿ⁻¹/G) \S^ε où S^ε est un ε voisinage deS⊂S²ⁿ⁻¹/Get chaqueEi a un revêtement ni quasi isométrique à

{(y, v)∈Yi×Vi, 1≤ kvk,kπi(y)k ≤2ε}

où Vi ⊂Cⁿ est un sous espace vectoriel, Ai ={g ∈G, g|V_i = Id} 6= {Id} et πi : Yi→V_i^⊥/Ai est une résolution deV_i^⊥/Ai équipée d'une métrique ALE asymptote àV_i^⊥/Ai.

L'outil important introduit ici est une suite de Mayer-Vietoris entre cohomologie L² à poids réduite. Pour alléger les discours on introduit la dénition suivante :

Soit(X, g)une variété riemannienne (non nécessairement complète) etµ, w des fonctions strictement positives (lisses) surX, on suppose de plus quewest bornée.

On peut dénir la cohomologie à poids :

H^kµ(X) =

α∈L²_µ(Λ^kT^∗X), dα= 0 /

dα, α∈L²_µ(Λ^k−1T^∗X), dα∈L²_µ(Λ^kT^∗X) où l'adhérence est prise pour la topologie L²_µ associée à la mesure µdvolg. On note aussiD^k−1_µ (d) =D^k−1_µ (X, d) =

dα, α∈L²_µ(Λ^k−1T^∗X), dα∈L²_µ(Λ^kT^∗X) le domaine ded.

Dénition 1.2. On dira que l'image de d : D^k−1_µ (d) →L²_µ(Λ^kT^∗X) est presque fermée (en degréket par rapport àw) si lorsqu'on introduit l'espace

C_w,µ^k−1(X) ={α∈L²_wµ(Λ^k−1T^∗X), dα∈L²_µ(Λ^kT^∗X)}

alors l'image ded : C_w,µ^k−1(X)→L²_µ(Λ^kT^∗X)est fermée et son image est exactement dDµ^k−1(d) =

dα, α∈L²_µ(Λ^k−1T^∗X), dα∈L²_µ .

Cette notion de "presque fermeture" de l'image de dest très pratique car elle permet d'obtenir des suites de Mayer-Vietoris :

Théorème C. Si X =U∪V (U, V ⊂X ouverts de X), on suppose que l'image dedest presque fermée (en degréket par rapport àw) surX, U, V etU∩V et que la suite suivante est exacte :

{0} → C_w,µ^k−1(X)−→ Cr^∗ _w,µ^k−1(U)⊕ C_w,µ^k−1(V)−→ C^δ _w,µ^k−1(U∩V)→ {0}

alors la suite courte suivante est exacte :

H^k−1wµ (U)⊕H^k−1wµ (V)−→^δ H^k−1wµ (U∩V)−→b H^kµ(X)−→r^∗ H^kµ(U)⊕H^kµ(V)−→^δ H^kµ(U∩V).

Cette suite exacte permet en principe de déterminer H^kµ(X) lorsqu'on connaît les autres espaces et les diérentes èches de cette suite exacte.

Grâce à un résultat de L. Hörmander ([17]) et à nos précédents travaux sur la non parabolicité à l'inni, nous obtiendrons :

Théorème D. Soit (X, g) une variété riemannienne complète et w une fonction strictement positive lisse bornée sur X (vériant 3.2), nous notons d^∗_w =w⁻¹d^∗w l'adjoint formel de l'opérateurd : L²_w(Λ^k−1T^∗X)→L²_w(Λ^kT^∗X)alors il existe un compact K⊂X telle que

∀ϕ∈C₀^∞(Λ^k−1T^∗(X\K)),kϕkL²_w≤C[kd^∗_wϕkL²+kdϕkL²]

si et seulement si les images ded : C_w,w^k−2(X)→L²_w(Λ^k−1T^∗X)et ded : C_w,1^k−1(X)→ L²(Λ^kT^∗X)sont fermées et sidimH^k−1w (X)<∞.

Ceci est à rapprocher de la dénition que nous avions introduite dans [8] et utilisée dans [9] pour déterminer la cohomologie L² réduite des variétés plates au dehors d'un compact :

Dénition 1.3. Soit(X, g)une variété riemannienne complète, on dit que l'opérateur d+d^∗ est non parabolique à l'inni s'il existe un compactK⊂X tel que pour tout ouvert bornéU deX\K, il existe une constanteC >0telle que

∀ϕ∈C₀^∞(Λ^•T^∗(X\K)), Ckϕk_L2(U)≤ k(d+d^∗)ϕk.

Décrivons maintenant l'organisation de ce papier : dans une première partie, on rappelle les dénitions des espaces de cohomologieL² à poids, dans une deuxième partie nous décrivons notre critère de presque fermeture de l'image de det nous y donnons des conditions pour que l'image de d soit presque fermée sur U ∪V lorsqu'elle l'est surU, V etU∩V et pour qu'elle soit presque fermée surU lorsqu'elle l'est sur U ∪V et U ∩V. On compare aussi cette condition à la non parabolicité à l'inni et nous montrerons le théorème D. On calcule ensuite la cohomologieL² réduite des cônes et à titre d'illustration nous reprouvons un résultat de R. Melrose ([31]) à propos de la cohomologieL²des variétés à bouts coniques. On décrit ensuite la géométrie des variétés QALE. Enn dans la dernière partie nous prouvons notre résultat principal (le théorème B), en fait notre méthode permet aussi de déterminer la cohomologie L² des variétés QALE asymptote à Cⁿ/G et pas seulement des résolutions crépantes. La description de ces variétés faite plus haut implique qu'il y a un compactKsur lequel la variétéXse rétracte. Et le bord deKest une résolution de S²ⁿ⁻¹/G. Les singularités deS²ⁿ⁻¹/G sont de la forme(C^mi/Ai×S²ⁿⁱ⁻¹)/Bi

où Ai ⊂SU(mi)agit sans points xes sur C^mi\ {0}, Bi agit sans point xe sur C^mi/Ai\{0}et surS²ⁿⁱ⁻¹; ces singularités sont résolus par Yi×S²ⁿⁱ⁻¹

/Bi. Notons Y =∪iY_i/B_i, on dispose d'une applicationf : Y →∂K, on peut considérer le sous complexe deC^∞(Λ^kT^∗K)formé par les formes diérentielles dont le tiré en arrière

par f est nulle et on note H^∗(K,kerf^∗) la cohomologie de ce complexe : un cas particulier de notre résultat est le suivant

Théorème E. SoitG⊂SU(n)et(X, g)une variété QALE asymptote àCⁿ/G, on suppose que le lieu singulier deS²ⁿ⁻¹/Gvérie l'hypothèse formulée au théorème B et que la dimension réelle de ces singularités est plus grande ou égale à trois alors

H^k(X)'







H^k(K, ∂K)'H_c^k(X) si k≤2

H^k(K,kerf^∗) si k∈[3,2n−2]

H^k(K)'H^k(X) si k≥2n−2

Remerciements. Je tiens à remercier C. Sorger pour avoir répondu patiemment à mes questions naïves sur la cohomologie des résolutions crépantes. Je remercie Eugenie Hunsicker dont les commentaires sur une version précédente de ce papier m'ont permis d'y repérer une erreur ; je la remercie également avec T. Hausel et R. Mazzeo et l'A.I.M. pour avoir organisé et accueilli la conférence "L² Harmonic Forms in Geometry and Physics" au cours de laquelle cette question a été soulevée.

Enn, ce travail a débuté alors que je bénéciais d'une délégation partielle au C.N.R.S.

2. L² cohomologie (à poids).

Nous présentons ici les espaces de cohomologieL², on trouvera d'autres présen- tations dans les articles de J. Cheeger, S. Zucker, J. Lott ([11, 40, 25] et de façon plus abstraite dans le papier de J. Brüning et M. Lesch ([5]) .

Si(X, g, µ)est une variété riemannienne équipée d'une mesure lisseµ(x)dvolg(x) (ou même seulement dansL^∞_loc), on introduit l'espaceL²_µ(Λ^kT^∗X)des formes dif- férentielles qui sont de carré sommables pour cette mesure, la norme de cet espace de Hilbert est :

kαk²_µ = Z

X

|α|²µdvol. On noteh, i_µ le produit scalaire associé.

L'espace desk-formesL²_µfermées est l'espaceZ_µ^k(X)des formesα∈L²_µ(Λ^kT^∗X) qui sont fermées au sens des distributions, i.e. celle qui vérie :

∀β ∈C₀^∞(Λ^k+1T^∗X), hα, d^∗_µβi

µ= 0.

Oùd^∗_µ est l'adjoint diérentiel formel de l'opérateur d : C₀^∞(Λ^kT^∗X)→L²_µ(Λ^k+1T^∗X) ; si la variétéX est orientée et si∗est l'opérateur de Hodge on a

d^∗_µ=±µ⁻¹∗d∗µ

le signe étant fonction du degré. Lorsqueµ= 1, on ne mentionnera pas la référence à la fonctionµ: on noteraL²₁=L²,d^∗=d^∗₁...

Le domaine (maximal) dedest

D^k_µ(d) ={α∈L²_µ(Λ^kT^∗X), dα∈L²_µ(Λ^k+1T^∗X)}.

C'est à direα∈ D_µ^k(d)si et seulement siα∈L²_µ(Λ^kT^∗X)et s'il y a une constante C tel que

∀ϕ∈C₀^∞(Λ^k+1T^∗X), | hα, d^∗_µϕi_µ | ≤Ckϕkµ.

Maintenant on fait l'hypothèse suivante :

La variétéX est l'intérieur d'une variété à coinsX¯ et la métriqueg et le poidsµs'étendent àX¯ etX¯ est complet pour la distance géodésique.

(2.1)

Ceci implique que chaque pointx∈X¯ a un voisinage diéomorphe à un ouvert du type

{(x₁, ...x_n)∈Bⁿ, x₁≥0, ..., x_k≥0 },

et que la métrique et le poids s'y prolongent de façon lisse, et que pour un point o ∈ X la fonction x 7→ d(o, x) est 1-Lipschitzienne et propre. On note alors C₀^∞(Λ^kT^∗X)l'espace des formes diérentielles lisses et à support compacte dansX etC₀^∞(Λ^kT^∗X¯)l'espace des formes diérentielles lisses et à support compact dans X¯ c'est à dire celle dont le support est borné dans(X, g), c'est à dire qu'il existe un o∈X et un réel positifR tel que le support soit inclus que{x∈X, d(o, x)¯ ≤R}, ce support peut donc rencontrer∂X¯.

Avec cette hypothèse,C₀^∞(Λ^kT^∗X)¯ est dense dansD^k_µ(d)lorsque ce dernier es- pace est équipé de la norme

α7→ kαkµ+kdαkµ. LaL²_µ-cohomologie non réduite de(X, g, µ)est dénie par

nrH^kµ(X) =Z_µ^k(X)/dD_µ^k−1(d),

où Z_µ^k(X) = {α∈ L²_µ(Λ^kT^∗X), dα = 0}. La L² cohomologie non réduite est la cohomologie d'un complexe mais lorsque l'image dedn'est pas fermée ce n'est pas un espace de Hilbert, c'est pourquoi on introduit laL²_µ-cohomologie réduite :

H^kµ(X) =Z_µ^k(X)/dD^k−1µ (d) =Z_µ^k(X)/dC₀^∞(Λ^k−1T^∗X¯).

On notera B_µ^k(X) =dC₀^∞(Λ^kT^∗X¯)où l'adhérence est pris dans L²_µ. Évidemment lorsque l'image de d : D^k−1_µ (d) →L²_µ(Λ^kT^∗X) est fermée ces deux espaces coïn- cident. L'objet de cet article est la cohomologieL² réduite, pour alléger le discours on omettra de signaler l'adjectif réduite.

La cohomologie L²_µ se représente à l'aide de certains espaces de formes har- moniques. On introduit le domaine de d^∗_µ, ou plus exactement de l'adjoint de d : D^k−1_µ (d) → L²_µ(Λ^kT^∗X) : lorsque α ∈ L²_µ(Λ^kT^∗X) alors α ∈ D^k(d^∗_µ) si et seulement s'il y a une constanteC telle que

∀ϕ∈C₀^∞(Λ^k−1T^∗X),¯ | hα, dϕi_µ| ≤Ckϕkµ.

Lorsque α ∈ C₀^∞(Λ^k−1T^∗X¯) alors α ∈ D(d^∗_µ) si et seulement si le long de la partie lisse du bord deX¯,αn'a pas de composante tangentielle.

LorsqueD^k(d^∗_µ)est équipée de la norme du graphe α7→ kαkµ+kd^∗_µαkµ

alorsC₀^∞(Λ^kT^∗X)est dense dansD^k(d^∗_µ). On introduit donc : H_µ^k(X) =

α∈Z_µ^k(Λ^kT^∗X), α∈ D(d^∗_µ)et d^∗_µα= 0 .

La décomposition de Hodge-deRham nous apprend que : L²_µ(Λ^kT^∗X) =H^k_µ(X)⊕B_µ^k(Λ^kT^∗X)⊕d^∗_µD^k+1(d^∗_µ)

=H^k_µ(X)⊕dC₀^∞(Λ^k−1T^∗X)¯ ⊕d^∗_µC₀^∞(Λ^k+1T^∗X)

l'adhérence étant bien entendu prise pour la topologie deL²_µ(Λ^kT^∗X)et on sait de plus que

Z_µ^k(X) =H_µ^k(X)⊕B_µ^k(Λ^kT^∗X).

Donc on en déduit l'isomorphisme :

H^kµ(X)' H^k_µ(X).

On peut aussi dénir la L²_µ cohomologie relative (à ∂X¯ ou à Y ⊂ ∂X¯ une hypersurface de X¯) en considérant l'espace D^k_µ(d, Y) des formes α∈L²_µ(Λ^kT^∗X) pour lesquelles il existe une constanteC telle que

∀ϕ∈C₀^∞(Λ^k+1T^∗(X∪Y)), | hα, d^∗_µϕi_µ| ≤Ckϕkµ. On dénit alors

Z_µ^k(X, Y) =

α∈ D^k_µ(d, Y), dα= 0 et

B_µ^k(X, Y) =dDµ^k−1(d, Y).

H^kµ(X, Y) =Z_µ^k(X, Y)/B_µ^k(X, Y).

Ces espaces admettent aussi une interprétation en terme de formes harmoniques : on introduit pour cela l'espaceD^k_µ(d^∗_µ, Y)des formesα∈L²_µ(Λ^kT^∗X)pour lesquelles il existe une constanteC telle que,

∀ϕ∈C₀^∞(Λ^k+1T^∗( ¯X∪Y)), | hα, dϕi_µ| ≤Ckϕkµ . Si on dénit

H^k(X, Y) ={α∈Z_µ^k(X, Y)∩ D^k_µ(d^∗_µ, Y), d^∗_µα= 0}

alors nous avons l'isomorphisme

H^kµ(X, Y)' H^k_µ(X, Y).

LorsqueX est orientée³, l'opérateur∗ de Hodge induit un isomorphisme : H^k_µ(X)' H^n−k_µ−1(X, ∂X).

Remarque 2.1. On peut aussi introduire comme implicitement L. Hörmander [17, 18] et plus explicitement N. Teleman [38] laL²_loc-cohomologie. C'est la cohomologie du complexe des formes diérentielles qui sont dansL²_locainsi que leur diérentielle.

Selon la proposition 3.3 [38], la cohomologie de ce complexe calcule la cohomologie deX (la cohomologie de de Rham). La dualité de Poincaré dit que la cohomologie deX est isomorphe au dual de la cohomologie à support compact, en particulier il n'y a pas lieu de distingué laL²_loc cohomologie réduite ou non réduite car l'image de d est fermée sur L²_loc. En eet, une forme fermée L²_loc nulle en cohomologie L²_loc réduite est exacte en restriction à chaque domaine compact à bord lisse de X, elle dénit donc une forme linéaire nulle sur l'espace de cohomologie à support compact, elle est donc exacte en cohomologie L²_loc. Aussi une forme fermée de L²_µ

3LorsqueX n'est pas orientée, un résultat analogue est valide en considérant les formes à valeurs dans le bré d'orientation.

nulle en cohomologieL²_µréduite est nulle en cohomologieL²_loc en particulier elle est la diérentielle d'une forme dansL²_loc. De plus lorsqueX¯ est compacte alors laL²_µ cohomologie (qui est évidemment isomorphe à laL²_loc cohomologie) est isomorphe à la cohomologie deX.

3. la condition de presque-fermeture de l'image ded et la suite de Mayer-Vietoris

On introduit maintenant une condition qui permet d'obtenir un petit bout de suite exacte de Mayer-Vietoris.

3.1. Dénition. On considère donc(X, g, µ)une variété riemannienne équipée de la mesureµ(x)dvol_g etw : X→]0,∞[une fonction lisse bornée, on dira que

l'image de d : D^k−1_µ (d)→L²_µ(Λ^kT^∗X) est presque fermée (en degrék et par rapport àw) si lorsqu'on introduit l'espace

C_w,µ^k−1(X) ={α∈L²_wµ(Λ^k−1T^∗X), dα∈L²_µ(Λ^kT^∗X)}

alors B_µ^k(X) =dC_w,µ^k−1(X).

Il est évident que lorsque l'image dedest fermée elle est presque fermée. Remar- quons que lorsquew⁰≤w, alors

C_w,µ^k−1(X)⊂ C_w^k−10,µ(X) ;

ainsi si l'image ded : D_µ^k−1(d)→L²_µ(Λ^kT^∗X)est presque fermée par rapport àw alors on a

B_µ^k(X)⊂dC_w^k−10,µ(X),

mais on n'a pas forcément égalité. Dans (lemme 3.1 de [10]), nous avons obtenu un critère qui assure l'inclusion inverse (cf. aussi les articles de N. Hitchin, P. Li , J.

Mc Neal, J. Jost et K. Zuo [16, 23, 26, 21]) :

Proposition 3.1. Si (X, g, µ) vérie (2.1) et si w⁰(x) ≥ _ψ2(d(o,x))¹ (où o est un point xé deX) où la fonctionψ vérie

Z ∞ dt ψ(t) =∞ alors

dC^k−1_w0,µ(X)⊂B^k_µ(X).

Dénition 3.2. Lorsquew⁰vériera les hypothèses de cette proposition on dira que w⁰ est à décroissance parabolique.

Un corollaire de ce résultat est donc le suivant :

Corollaire 3.3. Si(X, g, µ)vérie les hypothèses (2.1) et si l'image ded : D_µ^k−1(d)→ L²_µ(Λ^kT^∗X)est presque fermée en degréket par rapport à walors pour tout poids w⁰ ≤ w à décroissance parabolique, l'image de d : D_µ^k−1(d) → L²_µ(Λ^kT^∗X) est presque fermée en degré ket par rapport àw encore presque fermée.

Par exemple, sur la doite réelle R, il est facile de voir (grâce à l'inégalité de Hardy) que pourw(t) = 1/(1 +|t|)², l'image ded : C_w,1⁰ (R)→L²(T^∗R)est fermée, et puisquew(t) =˜ w(t) = [1 +|t|( 1 + log(1 +|t|) )]⁻²est à décroissance parabolique et est inférieur àwalors l'image ded : C_w,1⁰_˜ (R)→L²(T^∗R)est aussi fermée.

De plus lorsque (X, g, µ) vérie l'hypothèse (2.1) et que w est à décroissance parabolique alors l'image de d : D^k−1_µ (d) → L²_µ(Λ^kT^∗X) est presque fermée en degréket par rapport àwsi et seulement si l'image ded : C_w,µ^k−1(X)→L²_µ(Λ^kT^∗X) est fermée. Dans ces conditions une forme L²_µ fermée α ∈ Z_µ^k(X) est nulle en cohomologieL²_µ si et seulement si il existeβ∈L²_wµ(Λ^k−1T^∗X)telle que α=dβ ⁴. 3.2. Suite de Mayer-Vietoris.

Théorème 3.4. Si X =U∪V (U, V ⊂X ouverts de X) etw : X →]0,∞[ une fonction lisse, on suppose que l'image de d est presque fermée (en degré k et par rapport àw) surX, U, V etU∩V et que la suite suivante est exacte :

{0} → C_w,µ^k−1(X)−→ Cr^∗ _w,µ^k−1(U)⊕ C_w,µ^k−1(V)−→ C^δ _w,µ^k−1(U∩V)→ {0}

alors la suite suivante est exacte :

H^k−1wµ (U)⊕H^k−1wµ (V)−→^δ H^k−1wµ (U∩V)−→b H^kµ(X)−→r^∗ H^kµ(U)⊕H^kµ(V)−→^δ H^kµ(U∩V).

Démonstration. SiA⊂B ⊂X on note ι_A,B l'inclusionι_A,B : A→B et on note W =U∩V.

Montrons l'exactitude de la dernière èche i.ekerδ= Imr^∗ : soit donc(α, β)∈ Z_µ^k(U)⊕Z_µ^k(V)telle que

ι^∗_W,Uα−ι^∗_W,Vβ ∈B_µ^k(W).

Il y a alorsψ∈ C_w,µ^k−1(W)tel queι^∗_W,Uα−ι^∗_W,Vβ=dψet par hypothèse il y a aussi (ψ_U, ψ_V) ∈ C_w,µ^k−1(U)⊕ C_w,µ^k−1(V) tel que ι^∗_W,Uψ_U −ι^∗_W,Vψ_V =ψ. Alors si γ est la k-formeL²_µ surX telle que

ι^∗_U,Xγ=α−dψ_U etι^∗_V,Xγ=β−dψ_V

alorsγest fermée surX et on a bienι^∗_U,Xγ−α∈B_µ^k(U)etι^∗_V,Xγ−β∈B_µ^k(V). On montre maintenant l'exactitude de la èche du milieu i.e. kerr^∗ = Imb.

Rappelons comment b est déni, soit

η∈Z_wµ^k−1(U∩V)⊂ C_w,µ^k−1(U ∩V),

alors par hypothèse, on trouve(ψU, ψV)∈ C_w,µ^k−1(U)⊕ C_w,µ^k−1(V)tel que η=ι^∗_W,UψU −ι^∗_W,VψV

alors la formeϕ dénie surX par : ι^∗_Uϕ=dψ_U et ι^∗_Vϕ=dψ_U est un élément de Z_µ^k(X), sa classe de cohomologieL²_µne dépend que de la classe deL²_wµcohomologie deη, et alors

b[η] = [ϕ].

Soit doncγ∈Z_µ^k(X)telle que

ι^∗_U,Xγ∈B_µ^k(U) etι^∗_V,Xγ∈B_µ^k(V),

on trouve donc(ψU, ψV)∈ C_w,µ^k−1(U)⊕ C_w,µ^k−1(V)tel que : ι^∗_U,Xγ =dψU et ι^∗_V,Xγ= dψ_V. Alorsι^∗_W,Uψ_U−ι^∗_W,Vψ_V ∈Z_wµ^k−1(W), et évidemment on a

b[ι^∗_W,Uψ_U−ι^∗_W,Vψ_V] = [γ].

4au sens des distribution.

On montre nalement l'exactitude de la première èche : c'est à direImδ= kerb.

Soit doncη∈Z_wµ^k−1(W), tel que si on choisit(ψU, ψV)∈ C_w,µ^k−1(U)⊕C_w,µ^k−1(V)vériant η=ι^∗_W,UψU −ι^∗_W,VψV alors lak-formeL²ferméeγ dénie par

ι^∗_U,Xγ=dψU etι^∗_V,Xγ=dψV

est nulle en cohomologieL²_µ. Par hypothèse il existeφ∈ C_w,µ^k−1(X)telle queγ=dφ. Mais alors on a α=ψU −ι^∗_U,Xφ∈ Z_wµ^k−1(U) et β =ψV −ι^∗_V,Xφ∈Z_wµ^k−1(V) d'où η=ι^∗_W,Uα−ι^∗_W,Vβ.

Remarques 3.5. i) On peut évidemment énoncer un théorème analogue pour la cohomologieL²_µ relative à une hypersurfaceY ⊂∂Xà condition d'intro- duire l'espaceC_w,µ^k−1(X, Y)des formesα∈L²_wµ(Λ^k−1T^∗X)telles qu'il existe une constanteC avec

∀ϕ∈C₀^∞(Λ^kT^∗(X∪Y))| hα, d^∗_µϕi

µ| ≤Ckϕk_µ.

ii) La preuve indique aussi que pour avoir l'exactitude au niveau des deux dernières èches, on a uniquement besoin que l'image de d soit presque fermée sur U∩V, pour l'exactitude au niveau des deux èches du milieu, il sut que l'image de dsoit presque fermée sur U et V et au niveau des deux premières èche il sut que l'image dedsoit presque fermée surX. 3.3. Condition pour assurer la presque fermeture de l'image de d. Si on découpe la variété en petits bouts sur lesquels l'image de d est presque fermée, il n'est pas clair que l'image de d soit presque fermée sur la variété ; voici une proposition qui assure ceci (c'est en quelque sorte un voyage de la cohomologie vers l'analyse fonctionnelle).

Proposition 3.6. Soit(X, g)une variété riemannienne vériant (2.1) etµ, w, w⁰ des fonctions strictement positives lisses surX¯. On suppose queX=U∪V (U, V ⊂ X ouverts deX) et que les conditions suivantes sont vériées :

l'image dedest presque fermée sur U etV par rapport au poids w. Le poidsw est à décroissance parabolique.

dC_w^k−20,wµ(U∩V) =B^k−1_wµ (U∩V).

l'opérateur C_w^k−20,wµ(U)⊕ C_w^k−20,wµ(V)−→ C^δ _w^k−20,wµ(U∩V)est surjectif,

la suite suivante H^k−1wµ (U)⊕H^k−1wµ (V)→ H^k−1wµ (U ∩V)−→b H^kµ(X)est aussi exacte,

alors l'image de dest presque fermée surX par rapport au poids w. Démonstration. Soit doncγ∈B_µ^k(X), évidemment on a aussi

ι^∗_U,Xγ∈B_µ^k(U) etι^∗_V,Xγ∈B_µ^k(V) Il y a donc(ψ_U, ψ_V)∈ C_w,µ^k−1(U)⊕ C_w,µ^k−1(V)tels que

ι^∗_U,Xγ=dψU etι^∗_V,Xγ=dψV.

On dénit alors η = ι^∗_W,UψU −ι^∗_W,VψV ∈ Z_wµ^k−1(W) et cette forme vérie par constructionb[η] = 0. Il y a doncφ∈ C_w^k−20,wµ(W)et(α_U, α_V)∈Z_wµ^k−1(U)⊕Z_wµ^k−1(V) tels que

η=dφ+ι^∗_W,Uα_U−ι^∗_W,Vα_V.

Et on trouve aussi(φU, φV)∈ C^k−2_w0,wµ(U)⊕ C^k−2_w0,wµ(V)tels que ι^∗_W,UφU−ι^∗_W,VφV =φ.

Siψ∈ C_w,µ^k−1(X)est déni par

ι^∗_U,Xψ=ψ_U−dφ_U −α_U et ι^∗_V,Xψ=ψ_V −dφ_V −α_V, alors on a bienγ=dψ. Ainsi, nous avons obtenu l'inclusion :

B_µ^k(X)⊂dC_w,µ^k−1(X).

L'inclusion réciproque est une conséquence du fait quew est à décroissance para-

bolique.

Nous avons bien évidemment un énoncé analogue pour la cohomologieL²_µrelative àY ⊂∂X.

On a aussi un critère qui assure que l'image de d est presque fermée sur U lorsqu'elle l'est surX et U∩V.

Proposition 3.7. Soit(X, g)une variété riemannienne telle que (2.1) soit vériée à coins et µ, w des fonctions strictement positives lisses sur X¯. On suppose que X =U ∪V oùU vérie aussi (2.1). Les conditions suivantes

L'image ded est presque fermée surX etU∩V par rapport au poidsw. Le poidsw est à décroissance parabolique.

la suite{0} → C^k−1_w,µ(X)−→ Cr^∗ _w,µ^k−1(U)⊕ C_w,µ^k−1(V)−→ C^δ _w,µ^k−1(U ∩V)→ {0} est exacte,

ι^∗_U,X : H^kµ(X)→H^kµ(U)est injective

impliquent que l'image dedest presque fermée sur U par rapport au poidsw. Démonstration. Soitα∈B^k_µ(U)on a doncι^∗_W,Uα∈B_µ^k(W)et on trouve de même (ψU, ψV)∈ C_w,µ^k−1(U)⊕ C_wµ^k−1(V)tels quedι^∗_W,UψU−dι^∗_W,VψV =ι^∗_W,Uα. Maintenant siγ∈Z_µ^k(X)est déni par

ι^∗_U,Xγ=α−dψU etι^∗_V,Xγ=−dψV.

Alorsγest fermé et ι^∗_U,Xγ∈B_µ^k(U)donc par hypothèse :γ∈B^k_µ(X)et on trouve φ∈ C_w,µ^k−1(X)tel queγ=dφ, ainsiα=dψU +dι^∗_U,Xφ. D'où l'inclusion

B^k_µ(U)⊂dC_w,µ^k−1(U).

L'inclusion réciproque est une conséquence du fait quew est à décroissance para-

bolique.

Remarque 3.8. On remarque que l'on peut remplacer l'hypothèse que l'image ded est presque fermée surX par l'hypothèse que siα∈B_µ^k(X)alors il y a une forme β∈L²_loc tel queα=dβ etι^∗_U,Xβ∈L²_wµ.

La preuve de la proposition précédente montre même le résultat suivant : Corollaire 3.9. Si en plus des hypothèses précédentes, on a H^kµ(U ∩V) = {0}, alors

H^kµ(U)'H^kµ(X).

3.4. Comparaison avec la non parabolicité. Dans [9], nous avons utilisé une condition similaire à la presque fermeture de l'image ded:

Dénition 3.10. Soit (M, g) une variété riemannienne complète, on dit que l'opé- rateurd+d^∗_µ est non parabolique à l'inni s'il existe un compactK ⊂M tel que pour tout ouvert bornéU deM\K, il existe une constanteC >0 telle que

∀ϕ∈C₀^∞(Λ^•T^∗(M\K)), Ckϕk_L2(U)≤ k(d+d^∗_µ)ϕkµ.

Soit K˜ un compact contenant K dans son intérieur, on note W(Λ^•T^∗M) le complété deC₀^∞(Λ^•T^∗M)pour la norme :

α7→ kαk_L2( ˜K)+k(d+d^∗_µ)ϕkµ.

Cet espace ne dépend pas du compactK˜ choisi, il s'injecte donc naturellement dans W_l^1,2_oc. De plus l'opérateur(d+d^∗_µ) : W(Λ^•T^∗M)−→L²_µ(Λ^•T^∗M)est Fredholm et on a

B_µ^k(M) =dW(Λ^k−1T^∗M).

Si l'on fait l'hypothèse de coercivité suivante :

∀ϕ∈C₀^∞(Λ^•T^∗(M\K)), Ckϕkwµ≤ k(d+d^∗_µ)ϕkµ,

alors l'opérateur d+d^∗_µ est clairement non parabolique à l'inni et l'image de d est presque fermée sur M pour le poids w. Dans ce cas une norme sur l'espace W(Λ^•T^∗M)est

α7→ kϕkwµ+k(d+d^∗_µ)ϕkµ.

Alors le noyau dansW de l'opérateurd+d^∗_µest le noyauL²_wµde l'opérateurd+d^∗_µ; et il y a donc une constanteC >0telle que siϕ∈C₀^∞(Λ^•T^∗M)vérie

hϕ, hi_wµ= 0, ∀h∈ker_L2

wµ(d+d^∗_µ) alors

Ckϕkwµ≤ k(d+d^∗_µ)ϕkµ

L'avantage de cette dénition est qu'elle ne dépend que de la géométrie à l'inni deM et qu'avec un peu d'analyse on peut obtenir une suite exacte longue en coho- mologieL²_µ·Mais ceci ne permet pas de découper la géométrie à l'inni en morceaux sur lesquels on ferait une analyse similaire. La condition de presque fermeture pour l'image de dest assez souple mais nous ne savons pas si elle ne dépend que de la géométrie à l'inni : par exemple si(X, g)est une variété riemannienne qui vérie nos hypothèses (2.1) etµune fonction lisse strictement positive surX¯. SoitK⊂X¯ un compact, est-il vrai que la presque fermeture de l'image dedsurX implique la presque fermeture de l'image dedsur X\K(et vice versa) ? Notons par exemple que l'hypothèse de presque fermeture de l'image dedne requiert pas la nitude de la dimension des espaces deL²_µ cohomologie.

Lemme 3.11. Supposons que (X, g, µ) vérie la condition (2.1) et que w soit à décroissance parabolique, alorsC₀^∞(Λ^k−1T^∗X¯) est dense dansC_w,µ^k−1(X) lorsque ce dernier espace est équipé de la norme du grapheα7→ kαk²_wµ+kdαkµ.

Démonstration. C'est en fait une re-formulation du lemme (3.1) de [10]. Grâce aux hypothèses (2.1), il sut de démontrer que siβ ∈ C_w,µ^k−1(X), alors on peut trouver une suite(β_l)_ld'élémentsC_w,µ^k−1(X)à support compact qui converge versβ.

Rappelons quewest à décroissance parabolique : w(x)≥ 1

ψ²(d(o, x)) oùoest un point xé deX et ψvérie

Z ∞ dt ψ(t) =∞.

On introduit alors les fonctions de troncature de [10] : si r, R deux nombres réels tels que0< r < R, on leurs associe la fonctionφr,Rdénie par

(3.1) φ_r,R(s) =







1 si s≤r

RR s

dt ψ(t)×

RR r

dt ψ(t)

−1

si s∈[r, R]

0 si s≥R

Il existe alors par hypothèse des suitesrl< Rl telles quelim_l→∞rl=∞et Z R_l

rl

dt ψ(t)

!−1

≤ 1 l ;

On considère alorsβl=φr_l,R_l(r(x))βoùr(x) =d(o, x). Il est clair queliml→∞kβl− βkwµ= 0.De plus puisquedβl=φr_l,R_ldβ+φ⁰_r

l,R_ldr∧β et que par construction : kφ⁰_rl,Rldr∧βkµ ≤2

lkβkwµ ,

on déduit immédiatement quelim_l→∞kdβl−dβkµ= 0.

Introduisons maintenant l'opérateur

T := d : C^k−2_w,wµ(X)→L²_wµ(Λ^k−1T^∗X)

et T^∗ son adjoint, le domaine de T^∗ est aussi l'espace D(T^∗) des (k−1)-formes α∈L²_wµ telles que

∀φ∈C₀^∞( ¯X), φα∈ D^k−1(d^∗_wµ)

et telles qued^∗_wµα∈L²_µ. En utilisant qued^∗_wµβl=φr_l,R_ld^∗_wµβ−φ⁰_rl,Rlint∇rβ, une preuve identique montre que l'on a aussi :

Lemme 3.12. Supposons que(X, g, µ)vérie la condition (2.1) et quewsoit à dé- croissance parabolique, alorsC₀^∞(Λ^k−1T^∗X¯)∩D^k−1(d^∗_wµ)est dense dansC_w,µ^k−1(X)∩

D(T^∗) lorsque ce dernier espace est équipé de la norme du graphe α7→ kαk²_wµ+ kdαk_µ+kd^∗_wµαk_µ.

Grâce à ce dernier lemme, un théorème de L. Hörmander (théorème 1.1.2 de [17]) implique néanmoins le résultat suivant qui établit un premier lien entre les notions de non-parabolicité à l'inni et de presque-fermeture de l'image ded.

Théorème 3.13. Soit (X, g)est une variété riemannienne orientée de dimension d qui vérie nos hypothèses (2.1) etµ, w des fonctions lisses strictement positives sur X¯ oùwest à décroissance parabolique. Les images des applications

d : C_w,µ^k−1(X)→L²_µ(Λ^kT^∗X) et d : C_w,wµ^k−2 (X)→L²_wµ(Λ^k−1T^∗X)

sont fermées si et seulement si il y a une constante C > 0 telle que si ϕ ∈ C₀^∞(Λ^k−1T^∗X)¯ ∩ D^k−1(d^∗_wµ)vérie

hϕ, hi_wµ= 0, ∀h∈ H^k−1_wµ (X) alors

Ckϕk²_wµ≤ kdϕk²_µ+kd^∗_wµϕk²_µ

On peut aussi re-visiter une partie de nos travaux sur la non-parabolicité à l'inni à partir de cette inégalité. Nous remarquons que si en plus des hypothèses de ce théorème nous supposons queH_wµ^k−1(X)est de dimension nie alors on trouve K⊂X¯ un compact etC une constante strictement positive telle que

∀φ∈C₀^∞(Λ^k−1T^∗( ¯X\K))∩ D^k−1(d^∗_wµ), Ckφk²_wµ≤ kdφk²_µ+kd^∗_wµφk²_µ.

En eet si {h1, ..., hl} est une base orthonormée deH^k−1_wµ (X), nous avons pour φ∈C₀^∞(Λ^k−1T^∗( ¯X\K))∩ D^k−1(d^∗_wµ)

Ckφk²_wµ≤ kdφk²_µ+kd^∗_wµφk²_µ+CX

i

| hφ, h_ii_wµ|²

Il sut de choisir alorsKan que X

i

khik²_L2

wµ(M\K)≤ 1 10 . Ce résultat s'accompagne en fait d'une réciproque :

Théorème 3.14. Supposons en plus que w soit à décroissance parabolique et que pour un compact K⊂X¯, il existe une constanteC >0 telle que

(3.2) ∀φ∈C₀^∞(Λ^k−1T^∗( ¯X\K))∩ D^k−1(d^∗_wµ) Ckφk²_wµ≤ kdφk²_µ+kd^∗_wµφk²_µ.

alors l'image de dest presque fermée en degré k pour le poidsw, H^k−1_wµ (X) est de dimension nie et l'image ded : C_w,wµ^k−2 (X)→L²_wµ(Λ^k−1T^∗X) est aussi fermée.

Démonstration. On s'inspire largement de [8] : soitK˜ un compact contenantKdans son intérieur, on lui associe la norme NK˜ dénie surC₀^∞(Λ^k−1T^∗X)¯ ∩ D^k−1(d^∗_wµ) par

NK˜(φ) = Z

K˜

|φ|²+kdφk²_µ+kd^∗_wµφk²_µ 1/2

.

Cette norme est en fait équivalente à la norme :

Nw(φ) = kφk²_wµ+kdφk²_µ+kd^∗_wµφk²_µ^1/2 .

En eet la normeN_west à un facteur près plus grande que la normeNK˜, il sut donc de montrer l'estimation réciproque. Soit doncρune fonction qui vaut1dans un voisinage deX\K˜ et à support dansX\K. Siφ∈C₀^∞(Λ^k−1T^∗X)¯ ∩D^k−1(d^∗_wµ),