Math´ematiques BTS2 CIRA
R´esum´e du cours sur les s´eries de Fourier
D´efinition
La s´erie de Fourier associ´ee `a une fonctionf continue par morceaux etT−p´eriodique est : X
n=0
ancos(nωt) +bnsin(nωt) (ω=2π T )
o`u a0= 1 T
Z T
0
f(t)dtet pourn∈N∗, on a :an= 2 T
Z T
0
f(t) cos(nωt)dtet bn = 2 T
Z T
0
f(t) sin(nωt)dt Convergence
Si f est continue et d´erivable sur [0;T] sauf en un nombre fini de points en lesquels les limites `a droites et `a gauche ( si elles ont un sens ) de f et de sa d´eriv´eef0 sont des r´eels
alors la s´erie de Fourier def converge.
La sommeS de la s´erie est d´efinie par : S(t) =f(t) sif est continue ent et S(t) = f(t−)+f(t2 +) si f est discontinue ent.
Propri´et´es
P1 : les coefficients sont ind´ependants de l’intervalle d’amplitudeT sur lequel on calcule les int´egrales.
P2 : sif est paire alors touts lesbn sont nuls,a0= 2×1 T
Z T /2
0
f(t)dtetan = 2×2 T
Z T /2
0
f(t) cos(nωt)dt
P3 : sif est impaire alors tous lesan sont nuls etbn= 2× 2 T
Z T /2
0
f(t) sin(nωt)dt
P4 : Parseval 1 T
Z T
0
f2(t)dt=a20+1 2
∞
X
n=1
(a2n+b2n)
Complexes
Les coefficients complexes de Fourier sont lescn = 1 T
Z T
0
f(t)e−inωtdto`un∈Z cn =an−ibn
2 valable pourn∈Z∗ etcn=a0
La s´erie de Fourier s’´ecrit alors :X
n∈Z
f(t)einωt
Spectre
On appelle spectre le diagramme en bˆaton repr´esentant|cn|en fonction de n. Comme il est sym´etrique par rapport `a l’axe des ordonn´ees, on dessine souvent le demi-spectre.
Astuces
cos(nt) = (−1)n pour n∈N sin(nt) = 0 pourn∈N
[St´ephane LE METEIL 17-1-2005] Lyc´ee Robert Schuman page 1
