1 Rappels sur la d´ erivation

Cours de math´ematiques

Int´egration

1 Rappels sur la d´ erivation

Th´eor`eme 1. D´eriv´ees des fonctions usuelles

f(x) ensemble de d´efinition intervalle(s) de d´erivabilit´e f^′(x)

Cte ]− ∞; +∞[ ]− ∞; +∞[ 0

ax+b ]− ∞; +∞[ ]− ∞; +∞[ a

xⁿ , n∈N^∗ ]− ∞; +∞[ ]− ∞; +∞[ nxⁿ⁻¹ 1

x ]− ∞; 0[∪]0; +∞[ ]− ∞; 0[ et ]0; +∞[ − 1 x² 1

xⁿ =x⁻ⁿ , n∈N^∗ ]− ∞; 0[∪]0; +∞[ ]− ∞; 0[ et ]0; +∞[ − n

xⁿ⁺¹ =−nx⁻ⁿ⁻¹

√x=x¹² [0; +∞[ ]0; +∞[ 1

2√ x = 1

2x⁻¹²

ln(x) ]0; +∞[ ]0; +∞[ 1

x

e^x ]− ∞; +∞[ ]− ∞; +∞[ e^x

Th´eor`eme 2. D´eriv´ees et op´erations

– Si u etv sont deux fonctions d´erivables sur un intervalle I alors la fonction u+v:x 7→

u(x) +v(x) est d´erivable surI et (u+v)^′ =u^′+v^′ .

– Si u est une fonction d´erivable sur un intervalle I et k un nombre r´eel alors la fonction ku:x7→k×u(x) est d´erivable surI et (ku)^′=k×u^′ .

– Si u et v sont deux fonctions d´erivables sur un intervalle I alors la fonction uv : x 7→

u(x)×v(x) est d´erivable surI et (uv)^′ =u^′v+uv^′ .

– Siuest une fonction d´erivable sur un intervalleI ne s’annulant pas surI alors la fonction 1

u :x7→ 1

u(x) est d´erivable sur I et 1

u _′

=−u^′ u² .

– Si u et v sont deux fonctions d´erivables sur un intervalle I avec v ne s’annulant pas sur I alors la fonction u

v :x7→ u(x)

v(x) est d´erivable surI et u v

_′

= u^′v−uv^′ v² .

www.emmanuelmorand.net 1/3 Tes0910Chap04Cours

Cours de math´ematiques Int´egration

Th´eor`eme 3. D´eriv´ee d’une fonction compos´ee

– Si uest une fonction d´erivable sur un intervalleI `a valeurs dans un intervalleJ etφune fonction d´erivable sur l’intervalle J alors la fonction compos´ee φ(u) : x 7→ φ(u(x)) est d´erivable sur l’intervalleI et (φ(u))^′ =u^′×φ^′(u) .

– Si u est une fonction d´erivable sur un intervalle I, alors la fonction uⁿ , n∈ N^∗ :x 7→

(u(x))ⁿ est d´erivable sur l’intervalle I et (uⁿ)^′ =nu^′uⁿ⁻¹ .

– Si u est une fonction d´erivable sur un intervalle I `a valeurs strictement positives sur I, alors la fonction √

u:x7→p

(u(x) est d´erivable sur l’intervalle I et (√

u)^′ = u^′ 2√u . – Si u est une fonction d´erivable sur un intervalle I `a valeurs strictement positives sur I,

alors la fonction lnu:x7→ln(u(x))est d´erivable sur l’intervalle I et (lnu)^′ = u^′ u . – Si u est une fonction d´erivable sur un intervalle I, alors la fonction e^u : x 7→ e^u(x) est

d´erivable sur l’intervalleI et (e^u)^′ =u^′e^u .

2 Notion de primitive

D´efinition 1. On consid`ere une fonction f d´efinie sur un intervalleI. On dit que la fonction F est une primitivede la fonction f sur l’intervalle I si la fonction F est d´erivable sur I avec F^′ =f.

Exemple 1. La fonction F(x) = 3x²−x+ 1 est une primitive de la fonction f(x) = 6x−1 sur R.

Exercice 1. D´eterminer une primitive de la fonction f d´efinie sur Rpar f(x) = 3x⁴−x³+ 5.

Th´eor`eme 4. Soit f une fonction admettant une primitive F sur un intervalle I, alors toute primitive de f sur I est de la formeF +k avec k∈R.

Exercice 2. D´eterminer toutes les primitives surR de la fonction f(x) = 3x²+ 2x−1.

Th´eor`eme 5. Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle I avec x₀ ∈ I et y₀ ∈ R, alors il existe une unique primitive F de f sur I v´erifiant la condition initiale F(x₀) =y₀.

Exercice 3. D´eterminer la primitiveF de la fonction f(x) =x+ 1 surRv´erifiant la condition initiale F(2) = 1.

www.emmanuelmorand.net 2/3 Tes0910Chap04Cours

Cours de math´ematiques Int´egration

3 Int´ egration

D´efinition 2. On consid`ere une fonction f admettant une primitiveF sur un intervalleI eta et b deux r´eels de l’intervalle I. On appelle int´egrale de la fonction f entrea et b :

Z b a

f(x)dx= [F(x)]^x=b_x=a=F(b)−F(a) Remarque 1. L’int´egrale ne d´epend pas de la primitive choisie.

Th´eor`eme 6. Sif est une fonction positive admettant une pri- mitive sur un intervalle I avec aetb deux r´eels de l’intervalleI v´erifiant a < b, alors l’int´egrale de la fonction f est ´egale `a l’aire (exprim´ee en unit´es d’aire) du domaine d´elimit´e par la courbe repr´esentativeCf de la fonctionf, l’axe des abs- cisses et les droites d’´equations x=aet x=b, le plan ´etant muni d’un rep`ere orthogonal.

Cf

a b

Remarque 2.

Z b a

0 dx= 0 ; Z a

a

f(x)dx= 0 et Z a

b

f(x)dx=− Z b

a

f(x)dx Exemple 2. Calcul de

Z 3 2

(2x+ 1)dx.

Propri´et´e 1. Relation de Chasles

Soit f une fonction admettant une primitive sur un intervalle I et a, b et c trois r´eels de l’intervalle I, alors :

Z b a

f(x)dx+ Z c

b

f(x)dx= Z c

a

f(x)dx

Propri´et´e 2. Lin´earit´e de l’int´egrale

Soientf etg deux fonctions admettant une primitive sur un intervalleI et aetb deux r´eels de l’intervalle I avect k un nombre r´eel, alors :

Z b a

kf(x)dx=k Z b

a

f(x)dx

Z b a

(f(x) +g(x)) dx= Z b

a

f(x)dx+ Z b

a

g(x)dx

Propri´et´e 3. Soientf etg deux fonctions admettant une primitive sur un intervalleI etaetb deux r´eels de l’intervalle I v´erifianta6b. Sif(x)6g(x) pour toutx appartenant `a l’intervalle [a;b], alors :

Z b a

f(x)dx6 Z b

a

g(x)dx

D´efinition 3. Soit f une fonction admettant une primitive sur l’intervalle I et a et b deux r´eels de l’intervalle I v´erifianta < b. On appelle valeur moyenne de la fonctionf sur l’intervalle [a;b] :

1 b−a

Z b a

f(x)dx

Exemple 3. Calcul de la valeur moyenne de la fonction f(x) =x² sur l’intervalle [0; 1].

www.emmanuelmorand.net 3/3 Tes0910Chap04Cours