Math´ematiques 3 TD 0 CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020
TD 0 – R´ evisions d’analyse
Exercice 1. Trigonom´etrie.
Soient a, b, p, q des r´eels.
1. D´evelopper cos(a+b)−cos(a−b).
2. En utilisant un changement de variable, d´eduire une factorisation de cos(p)−cos(q).
3. En utilisant une m´ethode similaire, donner une factorisation de sin(p) + sin(q).
4. Montrer que
tan
p−q 2
=−cosp−cosq sinp+ sinq. 5. En d´eduire la valeur de tan 24π
. Exercice 2. Somme d’exponentielles.
1. Calculer
n
X
k=0
1 nexp
k n
.
2. En d´eduire la valeur de lim
n→+∞
n
X
k=0
1 nexp
k n
. Quel th´eor`eme aurait-on pu utiliser pour calculer directement cette limite ?
Exercice 3. Prolongement par continuit´e.
On consid`ere la fonction f0:R∗ →Rdonn´ee parf(x) =x3sin(1/x).
1. Montrer que f0 se prolonge par continuit´e en une fonctionf d´efinie sur R.
2. Montrer que f est de classe C1.
3. Montrer que f n’est pas deux fois d´erivable en 0.
On verra quef admet un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 en 0. Les d´eveloppements limit´es d’ordrek>2 ne donnent donc aucun renseignement de d´erivabilit´e d’ordre k!
Exercice 4. Approcher√
2 avec une bonne vitesse de convergence.
Soit la suite (un)n∈Nd´efinie par :
u0 = 0
un+1 = un+2−u4 2n. On d´efinit ´egalement la suite (n) par n=
un−√ 2
. 1. Montrer que pour tout n∈N, on a 06un<√
2.
2. Montrer que pour tout n>1, on an+1 6 34n.
3. Conclure quand `a la limite de la suite (un), et trouver naussi petit que possible tel queunsoit
`
a distance au plus 10−10 de sa limite.
Exercice 5. Approximation rationnelle.
Soit x ∈R\Q. Soit (pn)n∈N une suite d’entiers, et (qn)n∈N une suite d’entiers naturels non nuls, on suppose lim
n→∞
pn
qn =x. Montrer que lim
n→∞qn= +∞, puis que lim
n→∞|pn|= +∞.
Universit´e Paris Diderot 1 UFR de math´ematiques
