Math´ ematiques 218
Devoir surveill´ e du 22 mars 2008 Dur´ ee 2 heures
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Exercice 1. (5 pts)
1) Montrer que tan(a + b) =
1−tantana+tanatanbb. 2) Calculer
R02πx sin x dx.
3) Quelle est la limite quand n → ∞ de (1 +
n1)
n?
4) Trouver la limite quand x → +∞, puis quand x → 0 de (ln(1 + x))
3+ (x − 1)
2− e
−2xx
3− sin x . Exercice 2. (5 pts)
1) D´ efinitions
(i) Que signifie “la s´erie de terme g´en´eral u
nconverge” ?
(ii) Que signifie “la s´erie de terme g´en´eral u
nconverge absolument” ? 2) Vrai ou Faux (justifier ou donner un contre-exemple)
(i) Si lim
n→∞|u
n| 6= 0, alors la s´erie de terme g´en´eral u
nn’est pas con- vergente.
(ii) Si la s´erie de terme g´en´eral u
nne converge pas absolument, alors lim
n→∞|u
n| 6= 0.
(iii) Si la s´erie de terme g´en´eral positif a
nconverge, alors la s´erie de terme g´en´eral a
nsin n converge absolument.
Exercice 3. (5 pts) Nature des s´eries de terme g´en´eral : 1 − cos( 1
√ n ); 2 + n(−1)
nn
2+ 1 ; (n
2+ 1)e
−n.
Exercice 4. (2 pts) Montrer que la s´erie dont les termes sont d´efinis par :
u
n= 2 pour n = 0, ..., 5 et u
n= 2(0, 5)
n−3si n ≥ 6, est convergente et
calculer sa somme.
Exercice 5. (3 pts) D´eterminer le rayon de convergence des s´eries enti`eres
P
