1. Exprimer Cov(λX + Y, λX + Y ) en fonction de V (λX + Y ) 2. En d´eduire la formule suivante pour tout nombre r´eel λ :

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Lyc´ ee Dominique Villars Exercices ECE 1

Couples de variables al´ eatoires discr` etes - Sujets Concours

Exercice 1 - ESSEC 2001

On considère deux variables aléatoires X et Y définies sur un même espace probabilisé et admettant des espérances E(X) et E(Y ) et des variances V (X) et V (Y ) et on suppose V (X) > 0 (on rappelle que V (X) = 0 si et seulement si, avec une probabilité égale ` a 1, X est constante).

1. Exprimer Cov(λX + Y, λX + Y ) en fonction de V (λX + Y ) 2. En d´eduire la formule suivante pour tout nombre r´eel λ :

V (λX + Y ) = λ

²

V (X) + 2λCov(X, Y ) + V (Y ).

3. En d´eduire que (Cov(X, Y ))

²

6 V (X)V (Y ).

4. A quelle condition nécessaire et suffisante a-t-on l’égalité ((Cov(X, Y ))

²

= V (X)V (Y ) ?

Exercice 2 - EML 1997

On dispose d’un dé équilibré ` a 6 faces et d’une pièce truquée telle que la probabilité d’apparition de ”pile” soit

´egale ` a p , p ∈ ]0; 1[. On pourra noter q = 1 − p. Soit N un entier naturel non nul fix´e.

On effectue N lancers du d´e ; si n est le nombre de ” 6” obtenus, on lance alors n fois la pi`ece.

On définit trois variables aléatoires X, Y, Z de la manière suivante :

• Z indique le nombre de ”6” obtenus aux lancers du d´e,

• X indique le nombre de ”piles” obtenus aux lancers de la pi`ece,

• Y indique le nombre de ”faces” obtenues aux lancers de la pi`ece.

Ainsi, X + Y = Z et, si Z prend la valeur 0, alors X et Y prennent la valeur 0.

1. Pr´eciser la loi de Z, son esp´erance et sa variance.

2. Pour k ∈ N , n ∈ N , d´eterminer la probabilit´e conditionnelle P (X = k/Z = n). On distinguera les cas : k 6 n et k > n.

3. Montrer, pour tout couple d’entiers naturels (k, n) :

• si 0 6 k 6 n 6 N alors P (X = k et Z = n) =

ⁿ_k

N n

p

^k

(1 − p)

^n−k

5

6

^N⁻ⁿ

1 6

ⁿ

• si n > N ou k > n alors P (X = k et Z = n) = 0 4. Calculer la probabilit´e P (X = 0)

5. Montrer pour tout couple d’entiers naturels (k, n) tel que 0 6 k 6 n 6 N : n

k N

n

= N

k

N − k n − k

6. En d´eduire la probabilit´e P (X = k).

7. Montrer que la variable al´eatoire X suit une loi binomiale B N, p

6 . 8. Quelle est la loi de la variable al´eatoire Y ?

9. Est-ce que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes ? 10. Déterminer la loi du couple (X, Y ).

11. En comparant les variances de Z et de X + Y , d´eterminer la covariance du couple (X, Y ).

(2)

Exercice 3 - EDHEC 2006 - Variables continues

On consid`ere la fonction f d´efinie par

f (x) =



 

 

 

  1

2(1 − x)

²

si x ∈

0, 1 2

1 2x

²

si x ∈ 1

2 , 1

0 si x ∈ R \ [0, 1[

1. Montrer que f peut être considérée comme une densité de probabilité.

Dans toute la suite, on considère une variable aléatoire X définie sur un certain espace probabilisé (Ω; A; P ) et admettant la fonction f pour densité.

2. D´eterminer la fonction de r´epartition F de X.

3. Montrer que X a une esp´erance et que celle-ci vaut 1 2 . 4. (a) D´eterminer E((X − 1)

²

).

(b) En d´eduire que X a une variance et que V (X) = 3

4 − ln(2).

5. On appelle variable indicatrice d’un événement A, la variable de Bernoulli qui vaut 1 si A est réalisé et 0 sinon. On considère maintenant la variable aléatoire Y , indicatrice de l’événement (X 6 1/2) et la variable aléatoire Z, indicatrice de l’événement (X > 2).

(a) Préciser la relation liant Y et Z puis établir sans calcul que le coefficient de corrélation linéaire de Y et Z , noté ρ(Y ; Z), est égal ` a − 1.

(b) En d´eduire la valeur de la covariance de Y et Z.

Exerice 4 - EDHEC 2007 - Variables continues

On admet que si Z

₁

et Z

₂

sont deux variables aléatoires ` a densité, définies sur le même espace probabilisé, alors leur covariance, si elle existe, est définie par :

Cov (Z

₁

, Z

₂

) = E (Z

₁

Z

₂

) − E (Z

₁

) E (Z

₂

)

On admet ´egalement que si Z

1

et Z

2

sont ind´ependantes alors leur covariance est nulle.

On considère deux variables aléatoires réelles X et U définies sur le même espace probabilisé (Ω, A , P) , indépendantes, X suivant la loi normale N (0, 1) et U suivant la loi discrète uniforme sur {− 1, 1 } .

On pose Y = U X et on admet que Y est une variable aléatoire ` a densité , définie elle aussi sur l’espace probabilisé (Ω, A , P) .

1. (a) En utilisant la formule des probabilit´es totales, montrer que :

P (Y 6 x) = P ([U = 1] ∩ [X 6 x]) + P ([U = − 1] ∩ [X > − x]) (b) En d´eduire que Y suit la mˆeme loi que X.

2. (a) Calculer l’esp´erance de U puis montrer que E (XY ) = 0 (b) En d´eduire que Cov (X, Y ) = 0.

3. (a) Rappeler la valeur de E X

²

et en d´eduire que R

+∞

0

x

²

e

⁻^x2²

=

¹₂

√ 2π (b) Montrer, grace ` a une int´egrationpar parties que

∀ A ∈ R

₊

: Z

A

0

x

⁴

e

⁻

x2

2

dx = − A

³

e

⁻

A2

2

+ 3

Z

A 0

x

²

e

⁻

x2 2

dx

(c) En d´eduire que l’int´egrale R

₊∞

0

x

⁴

e

⁻^x2²

dx converge et vaut 3 2

√ 2π.

(d) Etablir finalement que X poss`ede un moment d’ordre 4 et que E X

⁴

= 3

(3)

4. (a) V´erifier que E X

²

Y

²

= 3 (b) D´eterminer Cov X

²

, Y

²

(c) En d´eduire que X

²

et Y

²

ne sont pas ind´ependantes. Montrer alors que X et Y ne le sont pas non plus.

(d) Cet exercice a permis de montrer qu’un résultat classique concernant les variables discrètes est encore valable pour les variabales ` a densité. Lequel ?

Exercice 5 - ESC 2009

Dans cet exercice, n désigne un entier naturel non nul. On dispose d’une pièce dont la probabilité de faire ”pile”

est p ∈ ]0; 1[ et de (n + 1) urnes num´erot´ees de 0 ` a n.

Pour k ∈ [[0; n]], l’urne n

^◦

k contient k boules vertes et (n − k) boules rouges.

On considère l’expérience E suivante : on lance n fois la pièce, puis on pioche une unique boule dans l’urne dont le numéro correspond au nombre de fois o` u “pile” a été obtenu.

Par exemple, si on a obtenu quatre “piles” au cours de ces n lancers, on pioche dans l’urne n

^◦

4. On note X la variable al´eatoire correspondant au nombre de “piles” obtenues lors des n lancers et Y la variable al´eatoire qui vaut 1 si l’on tire une boule verte et 0 sinon.

1. (a) Reconnaˆıtre la loi de probabilit´e de la variable al´eatoire X.

On pr´ecisera en particulier X(Ω) et P (X = k) pour tout k de X(Ω).

(b) Donner l’esp´erance E(X) et la variance V (X).

(c) En utilisant la formule de Koenig-Huygens, calculer la valeur de E(X

²

).

2. (a) Calculer P

₍_X₌₀₎

(Y = 0) et P

₍_X₌_n₎

(Y = 0). X et Y sont-elles ind´ependantes?

(b) Justifier que, pour tout k ∈ [[0; n]], P

₍_X₌_k₎

(Y = 1) = k n .

(c) En déduire, en utilisant le système complet d’événements (X = k)

₀6k6n

, que : P (Y = 1) = E(X)

n (d) Donner la loi de Y et son esp´erance.

3. (a) Montrer que

E(XY ) =

n

X

k=1

k P (X = k ∩ Y = 1) = E(X

²

) n

(b) En d´eduire la covariance du couple (X, Y ).

Exercice 6 - EML 2011

Soit n un entier naturel non nul. On consid`ere n joueurs qui visent une cible. Chaque joueur effectue deux tirs.

A chaque tir, chaque joueur a la probabilit´e ` p d’atteindre la cible. Les tirs sont ind´ependants les uns des autres.

On définit la variable aléatoire X égale au nombre de joueurs ayant atteint la cible au premier tir et la variable aléatoire Z égale au nombre de joueurs ayant atteint la cible au moins une fois ` a l’issue des deux tirs.

1. D´eterminer la loi de X. Rappeler son esp´erance et sa variance.

2. Montrer que Z suit une loi binomiale. Donner son esp´erance et sa variance.

On note Y = Z − X.

3. Que représente la variable aléatoire Y ? Déterminer la loi de Y . 4. (a) Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?

(b) Calculer la covariance du couple (X, Y ).

(4)

Exercice 7 - EML 2009

Une urne contient des boules blanches et des boules noires. La proportion de boules blanches est p et la proportion de boules noires est q.

Ainsi, on a : 0 < p < 1, 0 < q < 1et p + q = 1.

Partie I : Tirages avec arrˆ et d` es qu’une boule noire a ´ et´ e obtenue

Dans cette partie, on effectue des tirages successifs avec remise et on s’arrˆete d`es que l’on a obtenu une boule noire.

On note T la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués et U la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.

1. Reconnaˆıtre la loi de T . Pour tout entier k > 1, donner P (T = k) et rappeler l’esp´erance et la variance de T .

2. En déduire que U admet une espérance et une variance. Déterminer E (U ) et V (U ).

Partie II : Tirages avec arrˆ et d` es qu’une boule blanche et une boule noire ont ´ et´ e obtenues Dans cette partie, on effectue des tirages successifs avec remise et on s’arrˆete d`es que l’on a obtenu au moins une boule blanche et au moins une boule noire.

On note X la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.

On note Y la variable al´eatoire ´egale au nombre de boules blanches obtenues.

On note Z. la variable al´eatoire ´egale au nombre de boules noires obtenues.

Ainsi, on peut remarquer que la probabilité de l’événement (Y = 1) ∪ (Z = 1) est égale ` a 1.

Pour tout entier naturel non nul i, on note :

B

i

l’événement ”la i-ème boule tirée est blanche”, N

i

l’événement ”la i-ème boule tirée est noire”.

1. (a) Montrer, pour tout entier k > 2 : P (X = k) = q p

^k−¹

+ p q

^k−¹

. (b) V´erifier :

+∞

X

k=2

P (X = k) = 1

(c) Montrer que la variable al´eatoire X admet une esp´erance et que : E (X) = 1 p + 1

q − 1.

2. (a) Pour tout entier k > 2, d´eterminer P ((X = k) ∩ (Y = 1)) (On distinguera les cas k = 2 et k > 3.)

(b) En d´eduire : P (Y = 1) = q (1 + p).

(c) D´eterminer la loi de la variable al´eatoire Y .

On admet que l’esp´erance de Y existe et que : E (Y ) = 1

q 1 − p + p

²