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(1)Exerie 1 Soitz unnombreomplexe.Onrappelleque: e z=eu(cosv+isinv) oùu=Re(z)et v=Im(z) a.Montrerque:∀λ∈C∗, R e λxdx= 1 λe λx+cte

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Academic year: 2022

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(1)

Exerie 1

Soitz unnombreomplexe.Onrappelleque:

e

z=eu(cosv+isinv)

oùu=Re(z)et v=Im(z)

a.Montrerque:∀λ∈C∗,

R

e

λxdx= 1 λe

λx+cte.

b.Endéduire, pourαetβ réels, (α, β)6= (0,0),lesprimitives:

I=

R

e

αxcos(βx)dxet J=R

e

αxsin(βx)dx

Exerie 2

SoitA=

3 1 0

−4 −1 0

4 8 −2

1.VérierqueAn'estpasdiagonalisable.

2.Déterminerker(A−I)2.

3.MontrerqueAest semblableàunematriedelaforme

a 0 0 0 b c 0 0 b

.

4.CalulerAn purnentiernatureldonné.

Exerie 3

a.Montrerque,pourtoutn∈N∗,ilexisteunpolynmePn ∈R[X]telque: X4n(1−X)4n = (1 +X2)Pn(X) + (−1)n4n.

b.Onnotean= (−1)n−1 4n−1

R1

0 Pn(X)dx.Montrer:

∀n∈N∗,|π−an|< 1 45n−1

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