D1800 – Quartés gagnants (1

D1800 – Quartés gagnants (1^ère course) [**** à la main]

Le cercle inscrit de centre I d’un triangle ABC touche les côtés BC,CA et AB aux points A₁,B₁et C₁.

La droite A₁I coupe la médiane AA’ du triangle ABC au point P.

La perpendiculaire menée de I à la droite AA’ rencontre au point Q la parallèle menée de A au côté BC.

La bissectrice de l’angle en C du triangle ABC coupe au point R la parallèle menée de A’ au côté AC.

La bissectrice de l’angle en B coupe le cercle de diamètre BC en un deuxième point S

Peut-on raisonnablement parier que les quatre points P,Q,R et S pris dans cet ordre ou dans le désordre forment un quarté gagnant c’est à dire sont sur une même ligne droite ?

Solution proposée par Bernard Vignes

On va démontrer que les quatre points P,Q,R et S sont sur la droite B₁C₁.

Lemme n°1

Dans un triangle ABC dans lequel le cercle inscrit de centre I touche les côtés BC,CA et AB aux points A₁,B₁et C₁, les droites B₁C₁ et A₁I sont concourantes en un point P avec la médiane AA’ du triangle ABC.

Démonstration

Les droites A₁I et B₁C₁ sont concourantes en un point P.Il faut démontrer que les points A,P et A’ sont sur une même droite.On trace la droite passant par P parallèle à BC qui rencontre les côtés AB et AC aux points U et V. Il suffit de démontrer que P est le milieu de UV. On considère le triangle AUV. Les projections de I sur les trois côtés de ce triangle sont sur une même droite.D’après le théorème de Simson, le point I appartient au cercle circonscrit au triangle AUV. Or AI est la bissectrice de l’angle UAV. Donc IU = IV qui entraine PU= PV.

Lemme n°2

La perpendiculaire menée de I à la médiane AA’ coupe la droite B₁C₁ en un point Q’ tel que AQ’ est parallèle à BC et le point Q’ est confondu avec le point Q.

Démonstration

Les droites B₁C₁ et AA’ sont respectivement perpendiculaires à AI et IQ’.Le point P situé à l’intersection des droites B₁C₁ et AA’ est donc l’orthocentre du triangle AQ’I.Il en résulte que la droite IP est

perpendiculaire à la droite AQ’.

D’après le lemme n°1 les droites B₁C₁,A₁I et la médiane AA’ sont concourantes au même point P tel que les points A₁,I et P sont alignés . AQ’ et BC sont alors perpendiculaires à la même droite A₁P et sont donc deux droites parallèles.Q’ est donc confondu avec le point Q.

Lemme n°3

Avec les notations du lemme n°2, la droite B₁C₁, la bissectrice de l’angle en C et la droite joignant les milieux A’ et C’ des côtés BA et BC sont concourantes en un point R.

Démonstration

Soit R le point d’intersection de la bissectrice intérieure de l’angle en C avec la droite B₁C₁. Les cinq points B,C₁,R,I et A₁ sont cocycliques.

En effet les angles BA₁I et BC₁I sont droits ==> les quatre points B,A₁,I et C₁ sont sur un même cercle de diamètre BI.

Par ailleurs BIC = BC₁B₁ = 90° +BAC/2 ==> les quatre points B,C₁,R et I sont cocycliques.

Il en résulte queBRI = BRC = 90°. Le triangle BRC est rectangle et admet BC pour hypoténuse. On a A’B = A’C = A’R. D’où A’CR = A’RC = RCA = ACB/2.et la droite A’R est parallèle à AC.

A’ étant milieu de BC, la droite A’R est confondue avec la droite A’C’ qui joint les milieux des côtés BC et BA.

Lemme n°4

La bissectrice de l’angle en B coupe le cercle de diamètre BC en un deuxième point S qui est situé sur la droite joignant les points B₁ et C₁.

Démonstration

On se reporte à la démonstration du lemme n°3. Le point S est au point B ce qu’est le point R au point C.

Ces deux points appartiennent au demi-cercle de diamètre BC et sont situés l’un et l’autre sur la droite B₁C₁.

D’après les quatre lemmes,l’alignement des points P,Q,R et S découle de l’appartenance de ces quatre points à la droite B₁C₁.Cqfd