D1823 ‒ Une harmonieuse configuration [*** à la main]
Soit un triangle acutangle ABC ayant H pour orthocentre et D le pied de la hauteur issue de A sur le côté BC. Un cercle passant par les points B et C et le cercle de diamètre AH se coupent en deux points distincts X et Y. Le point D se projette en K sur la droite XY. Démontrer que la droite BK est la bissectrice de l'angle
BKC.
Solution proposée par Bernard Vignes
Soient E et F les points d'intersections respectifs des droites AC et BH d'une part et des droites B et CH d'autre part.
Les droites XY,EF et BC sont les axes radicaux pris deux à deux du cercle AEF de diamètre AH, du cercle BCEF de diamètre BC et du cercle BCXY. Ces trois droites sont concourantes au centre radical P.
Si l'on considère le quadrilatère complet BCEF, les quatre points (B,C,D,P) forment une division harmonique.
Comme DK est perpendiculaire à PK, il en résulte que les droites KD et KP sont les bissectrices intérieure et extérieure de l'angle BKC.
