S
E F
G H
O 4 cm
3 cm 6,5 cm
Calcul d’aires :
Figure : exemple
Parallélogramme
Rectangle.... Base × hauteur
Aire du parallélogramme ABCD = DC × AE pour repérer la hauteur et la base, j’ai repassé l’angle droit.
Triangles base×hauteur 2
aire ABC = BD × AC 2
pour repérer la hauteur et la base, j’ai repassé
l’angle droit.
Disque π×r² = π × r × r
aire du cercle de centre A passant par B : π × AB² = π × AB × AB
Calcul de volumes : Pour calculer un volume :
- Repérer la ( ou les bases)
- Calculer l’aire de la base à l’aide des formules ci-dessus - Repérer la hauteur du solide
- solide à une base : Volume du solide = aire de la base × hauteur ÷ 3 solide à deux bases : Volume de solide = aire de la base × hauteur
Exemple :
La base de la pyramide est le rectangle EFGH Aire EFGH = EF×EG = 12 cm²
La hauteur de la pyramide est [SO] SO = 6 cm
Le solide a une seule base donc son volume est égal à : 12 × 6 ÷ 3 = 24 cm3
Volume d’une boule = 4 3 π r3
SO = 6 cm
Calculer une longueur ???
Trigonométrie :
Ce qu’on doit avoir : Penser à : Un triangle rectangle
Un angle Une longueur
On se fixe l’angle qu’on connait On met o,a et h sur le dessin On choisit SOHCAHTOA ( on prend ce qu’on veut et ce qu’on a )
Penser au produit en croix
Exemple : Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : ACB = 42° et BC = 4 cm.
Calculer AC au mm près.
On se fixe l’angle ACB ( on le connait)
On connait A et on veut H ( AC) : on utilise CAH
Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : Cos ACB = BC AC cos 42° = 4
AC cos 42° × AC = 4 AC = 4
cos 42° AC
Théorème de Pythagore :
Ce qu’on doit avoir : Penser à : Un triangle rectangle
Deux longueurs
Penser à bien mettre
l’hypoténuse tout seul et ne pas oublier les carrés
Egalité de rayons dans un cercle :
A est le centre du cercle.
On a : AC = AB = AD = CD 2
Théorème de Thalès :
Ce qu’on doit avoir : Penser à :
Des droites parallèles Repérer les deux triangles
Exemple : Dans la figure ci-contre, On donne AB= 6 cm, BE= 1 cm , BC = 3 cm . Les droites ( EF) et ( BC) sont parallèles. Calculer la longueur de EF:
Les deux triangles sont : AEF et ABC.
Les points A,E,B et A,F,C sont alignés dans le même ordre
Les droites (EF) et (BC) sont parallèles, d’après le théorème de Thalès, on a : AE
AB = AF AC = EF
BC triangle AEF triangle ABC
Calculer la mesure d’un angle ???
Trigonométrie :
Ce qu’on doit avoir : Penser à : Un triangle rectangle
Deux longueurs
On se fixe l’angle qu’on veut On met o,a et h sur le dessin On choisit SOHCAHTOA ( on prend ce ce qu’on a ) On utilise acrcos ( ou cos-1)...
PAS de produit en croix
Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : AB = 7cm et BC = 5cm.
Calculer la mesure de l’angle CAB au degré près.
Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : Tan BAC = BC
AB tan BAC = 5
7 BAC ≈
Somme des angles d’un triangle :
On doit avoir : Un triangle quelconque et la mesure de deux angles
Exemple : Dans le triangle ABC, on a : BAC = 43° et ACB = 80°.
Calculer la mesure de ABC.
Dans le triangle ABC, la somme des angles est égale à 180° donc on a : ABC+ ACB + CAB = 180° ... ABC = 47°
Réciproque du Théorème de Thalès :
Bien repérer les deux triangles
Exemple : Dans la figure ci-contre, On donne AB= 6 cm, BE= 1 cm , BC = 3 cm . Les droites ( EF) et ( BC) sont parallèles. Calculer la longueur de EF:
Les deux triangles sont : AEF et ABC.
Les points A,E,B et A,F,C sont alignés dans le même ordre Les droites (EF) et (BC) sont parallèles, on a :
AEF = ABC et AFE = ACB ( le triangle AEF est une réduction du triangle ABC)
Lors d’une réduction ou d’un agrandissement, les angles conservent leur meure.
Triangle équilatérale : trois côtés de même longueur tous
les angles mesurent 60°
Triangle isocèle : deux côtés de même longueur les angles
à la base ont la même mesure.
Prouver que des droites sont parallèles ???
Droites perpendiculaires à une même droite :
Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires à la même droite ( AC) donc (AB) et (CD) sont
parallèles.
Droites parallèles à une même droite :
Les droites (AB) et (DC) sont parallèles à la même droite ( EF) donc (AB) et (DC) sont parallèles.
Réciproque du Théorème de Thalès :
Dans la configuration ci-contre, on a :
DM = 5 cm ; ME = 3cm ; DE = 6 cm ; MP = 9 cm et MN = 15cm.
Prouver que les droites (DE) et (PN) sont parallèles.
Les points D,M,N et E,M,P sont alignés dans le même ordre
DM
MN ME
MP ( DE PN )
ATTENTION : on ne sait pas si les droites sont parallèles donc on ne peut pas mettre =
Entre parenthèses, on doit avoir les deux droites qu’on veut prouver qu’elles sont parallèles
5 15 3
9 5×9 = 45 3×15 = 45 donc DM
MN = ME
MP, d’après la réciproque du théorème de Thalès les droites ( DE) et (PN) sont parallèles.
Prouver qu’un triangle est rectangle ???
Réciproque du Théorème de Pythagore :
Pour utiliser la réciproque du théorème de Pythagore, on doit connaître les trois longueurs du triangle.
Ne pas mettre = car on ne sait pas si le triangle est rectangle Bien mettre le plus grand côté tout seul
Ne pas oublier les carrés
A l’aide d’un cercle
On doit avoir :
Les trois points sur le cercle
Un côté du triangle est un diamètre du cercle
Si B est un point du cercle de diamètre [CD] alors le triangle BCD est rectangle en B.
Il suffit de voir si on trace le cercle de centre A on retrouve bien la propriété du cercle circonscrit Si
- A est le milieu de [AC]
- AC = AB = AD
- alors le point B est sur le cercle de diamètre [CD] donc le triangle BCD est rectangle en B
La somme des angles d’un triangle :
Si on connait deux angles du triangle, on calcule le troisième sachant que la somme des angles d’un triangle est égale à 180°.
Si on trouve 90°, cela signifie bien que le triangle est rectangle.
