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Echange de politesse

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Academic year: 2022

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Echange de politesse

Problème D1903 de Diophante

Dans un triangle ABC dont O est le centre du cercle circonscrit, on trace la hauteur AH issue du sommet A.Le cercle de diamètre AH coupe respectivement AB et AC en deux points D et E autres que A.Démontrer que le point O est situé sur la hauteur issue de A dans le triangle ADE.

Solution

Il suffit de mettre en évidence les deux points I et J pour que la figure parle d’elle-même.

A

I D

E

H C

B

O

J

Les angles DAH et DEH sont égaux comme interceptant le même arc DH.

Les angles BAI et JAC sont égaux comme interceptant des arcs égaux BI et JC.

Les angles DEH et JAC sont donc égaux. Ils ont les deux côtés AC et EH perpendiculaires. Donc, JA et DE perpendiculaires.

Ainsi, le point O est situé sur la hauteur issue de A, dans le triangle ADE

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