Enonc´e noD1903 (Diophante) Echange de politesse
Dans un triangle ABC dont O est le centre du cercle circonscrit, on trace la hauteur AH issue du sommetA.Le cercle de diam`etre AH coupe respec- tivementAB etAC en deux pointsDetE autres queA. D´emontrer que le pointO est situ´e sur la hauteur issue deA dans le triangle ADE.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Comme les angles ADH etAEH sont droits,HD etHE sont les hauteurs des triangles rectanglesAHB etAHC. On a dans ces triangles la propri´et´e AD·AB=AH2 =AE·AC.
On pourrait observer, ´equivalemment, queDetE appartiennnent respecti- vement aux cercles de diam`etresBH et HC, qui ont pour axe radical leur tangente communeAH. La propri´et´e est alors l’´egalit´e des puissances.
On en tire AD/AC = AE/AB. Avec l’angle A en commun, les triangles ABC et ADE sont semblables `a retournement pr`es. La hauteur AK du triangleADE v´erifie, par cette similitude, (AK, AC) = (AB, AH).
Soit B0 le milieu de AC, projection de O sur AC. Le triangle rectangle AOB0 a pour angle en O la moiti´e de l’angle AOC, qui est le double de l’angle ABC. Ainsi le triangle AOB0 est semblable au triangleABH et (AO, AC) = (AB, AH) = (AK, AC), CQFD.
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