D1903 Echange de politesse.
Dans un triangle ABC dont O est le centre du cercle circonscrit, on trace la hauteur AH issue du sommet A.Le cercle de diamètre AH coupe respectivement AB et AC en deux points D et E autres que A.Démontrer que le point O est situé sur la hauteur issue de A dans le triangle ADE.
D et E sont les projections orthogonales de H sur AB et AC.
Dans le triangle rectangle AHB, AH2 = AD.AB , et dans AHC , AH2 = AE.AC.
D’où AD/AC = AE/AB = k. Le triangle AED est le transformé du triangle ABC par la similitude inverse de centre A, de rapport k, et d’axe la bissectrice de l’angle BAC.
( C’est la composée d’une homothétie et d’une symétrie axiale )
Il suffit de vérifier l’égalité des angles CAH et BAO pour prouver que la droite AO est l’image de la droite AH dans cette similitude.
CAH = Π/2 – BCA = Π/2 – BOA/2 = ( Π - BOA) /2 = BAO
( d’après : somme des angles d’un triangle = Π , angle inscrit = ½ angle au centre et triangle BOA isocèle)
La similitude inverse transforme donc le triangle ABC avec droite AH ⊥ BC en le triangle AED avec droite AO ⊥ ED.
