Quand on utilise le signe +, on fait une addition. On obtient une somme.

(1)

M 1 L'addition

Exemple : 8 + 2 = 10

M 2 La multiplication

Quand on utilise le signe x (fois ou multiplié par...), on fait une multiplication.

On obtient un produit.

Exemple : 5 x 3 = 15

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

M 3 La soustraction

Quand on utilise le signe - (moins), on fait une soustraction.

On obtient un reste ou une différence.

Exemple : 10 - 2 = 8

(2)

M 4 Les lignes Les lignes droites

obliques verticale horizontale

Ligne droite brisée

Lignes courbes

ouvertes fermées

(3)

M 5 Les complément à … quelques doubles Les nombres justes après.

10 + 0 = 10 10 + 1 = 11 0 + 0 = 0

9 + 1 = 10 10 + 2 = 12 1 + 1 = 2

8 + 2 = 10 10 + 3 =13 2 + 2 = 4

7 + 3 = 10 10 + 4 = 14 3+ 3 = 6

6 + 4 = 10 10 + 5 = 15 4 + 4 = 8

5 + 5 = 10 10 + 6 = 16 5 + 5 = 10

10 + 7 = 17 6 + 6 = 12

10 + 8 = 18 7 + 7 = 14

10 + 9 = 19 8 + 8 = 16

10 + 10 = 20 9 + 9 = 18

10 + 10 = 20

9 10 19 20 29 30 39 40

49 50 59 60 69 70 79 80

89 90 99 100 109 110 119 120

199 200 299 300 399 400 499 500

599 600 699 700 799 800 899 900

(4)

M6 Règles sur la multiplication

Quand on multiplie un nombre par « 0 », le résultat est toujours égal à

« 0 ».

4 x 0 = 0 12 x 0 = 0 134 x 0 = 0

Quand on multiplie un nombre par « 1 », on obtient le même nombre.

4 x 1 = 4 12 x 1 = 12 134 x 1 = 134

Pour multiplier un nombre par 10, il suffit de lui rajouter un « 0 »,

attention au cm1 et cm2, on précise que multiplier par 10 correspond à déplacer la virgule d'un rang vers la droite.

4 x 10 = 40 12 x 10 = 120 1340 x 10 = 1340

(5)

M7 Les polygones

Un polygone est une figure dont tous les côtés sont des lignes brisées fermées.

Ces figures ne sont pas des polygones.

Noms de divers polygones.

3 côtés 4 côtés 5 côtés 6 côtés ...

triangles quadrilatères pentagones Hexagones ...

(6)

M8 Les droites parallèles

Deux droites parallèles ne se coupent jamais et elles ont le même écartement.

(a) est parallèle à (b) (a) // (b) (c) est parallèle à (b) (c) // (b) (a) est parallèle à (c) (a) // (c)

M9 Les droites perpendiculaires

Deux droites perpendiculaires se coupent en formant un angle droit.

Pour vérifier si un angle est droit, on utilise une équerre mais si tu n’as pas d’équerre, tu peux utiliser le « système » suivant :

(a)

(b) (c)

(b) (a)

(7)

M10 Les quadrilatères

Les quadrilatères sont des polygones à 4 côtés.

LES QUADRILATERES PARTICULIERS Le parallélogramme

Un parallélogramme possède :

· Deux côtés opposés parallèles : AB // DC et AD // BC

· Des côtés opposés égaux : AB = DC et AD = BC

Ses diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu.

Le rectangle

Un rectangle possède :

· Des côtés opposés égaux : AB = DC et AD = BC Les petits côtés sont appelés : largeur (largeurs AD et BC) Les grands côtés sont appelés : longueur (longueurs AB et DC)

Le rectangle est un parallélogramme particulier, il possède 4 angles droits.

Ses diagonales [AC] et [BD] sont de même longueur et ont le même milieu.

Le losange

Un losange possède :

· Les 4 côtés sont égaux : AB = BC = CD = DA

Les diagonales [AC] et [BD] sont perpendiculaires et ont le même milieu.

A B

C

B

C D

A

B

C

D A

D

(8)

Le carré

Un carré possède :

· Les 4 côtés sont égaux : AB = BC = CD = DA

· Les diagonales [AC] et [BD] sont perpendiculaires.

Le carré est un losange particulier, il possède 4 angles droits.

Ses diagonales [AC] et [BD] sont de même longueur, ont le même milieu et sont perpendiculaires.

Le trapèze

Un trapèze possède :

Deux côtés parallèles : AB // DC

A B

D C

A B

D C

(9)

M11 Le cercle

Un cercle possède un centre et un rayon.

O est le centre du cercle.

[OA] est le rayon du cercle.

Le rayon d'un cercle correspond à l'écartement du compas.

Le diamètre d'un cercle est un segment de droite qui passe par le centre du cercle et dont les extrémités appartiennent au cercle.

[BC] est un diamètre du cercle.

Ne pas confondre cercle et disque.

Un cercle est une ligne courbe fermée dont tous les points sont à égale distance de son centre "O"

Un disque est une surface limitée par un cercle.

2 cercles 2 disques

O

A

B C

(10)

M12 La symétrie axiale

Une figure possède un axe de symétrie quand on peut la partager en deux parties et que ces deux parties se superposent exactement.

2 axes de symétrie 1 axe de symétrie

4 axes de symétrie aucun axe de symétrie une infinité d'axes

Le tracé d’une figure symétrique sur un quadrillage : On peut placer les points de la figure par comptage des carreaux, perpendiculairement à l’axe de symétrie.

Axe de symétrie

(11)

(12)

M 14 Mesures de longueur

Unités plus grandes Unités plus petites

Km Hm Dam M Dm Cm Mm

Kilomètre Hectomètre Décamètre Mètre Décimètre Centimètre Millimètre

1 0 0

1 0 0 0

Unité de référence : le mètre (m)

1 m = 100 cm 1 km = 1000 m 1000 cm = 10 m

M 15 Mesures de masse

T Q Kg Hg Dag G Dg Cg Mg

Tonne Quintal Kilogramme Hectogramme Décagramme Gramme Décigramme Centigramme Milligramme

1 0 0 0

Unité de référence : le gramme (g) 1 g = 100 cg 1 kg = 1000 g

1 000 cg = 10 g

A

A B

A

A B

(13)

M 16 Mesures de capacité

M³ Hl Dal L Dl Cl Ml

Mètre cube Hectolitre Décalitre Litre Décilitre Centilitre Millilitre

1 0 0

1 0 0 0

Unité de référence : le litre (l)

1 l = 100 cl 1 m³ = 1000 l 1000 cl = 10 l

Les mesures

Pour calculer ou comparer des mesures, il faut que celles-ci aient la même unité. On a alors besoin de faire des conversions (passer d'une unité à une autre).

A) Pour passer d'une unité à une plus petite, on va vers la droite jusqu'à l'unité souhaitée en déplaçant la virgule (on ajoute souvent des 0).

B) Pour passer d'une unité à une plus grande, on va vers la gauche en déplaçant la virgule (on supprime souvent des 0).

A

A B

(14)

(15)

M18 Les triangles

Un triangle est un polygone qui possède 3 côtés, 3 angles et 3 sommets.

Un triangle quelconque n'a ni angle droit, ni côté égaux.

[AB] = 5 cm [BC] = 6 cm [AC] = 4 cm

Construction : Tu traces le côté [AB] avec la règle.

Tu traces un arc de cercle en partant du point A (écartement 6 cm).

Tu traces un arc de cercle en partant du point B (écartement 4 cm)

L'intersection des 2 arcs de cercle forme le point C.

Un triangle équilatéral a ses 3 côtés égaux.

[AB] = [BC] = [AC] = 3 cm

Construction : Même construction que

pour le triangle quelconque avec un écartement toujours identique (ici 3 cm).

A B

C

A

C B

(16)

Un triangle isocèle a 2 côtés égaux.

[AB] = 3 cm [AC] = 3 cm [BC] = 4 cm

Construction :

Tu traces le côté [BC] avec la règle.

Tu traces un arc de cercle en partant du point B (écartement 3 cm).

Tu traces un arc de cercle en partant du point C (même écartement 3 cm) L'intersection des 2 arcs de cercle forme le point C.

Un triangle rectangle a un angle droit.

Ce triangle est rectangle en C.

Construction :

On commence en traçant 2 droites perpendiculaires puis on mesure avec la règle ou à l'aide du compas

les deux longueurs [AC] et [CB], puis on relie les points A et B.

A

C B

A

C B

(17)

M19 La division

La division sert à partager.

dividende diviseur

8 5 9 6

- 6 1 4 3

2 5 quotient

- 2 4

0 1 9

- 1 8

reste 0 1

Dans 8 combien y a-t-il de fois 6 ? 1 fois , j'écris (1) au quotient et je dis 1 x 6 = 6. J'écris 6 sous le 8 et je dis 8 – 6 = 2.

Je descends le (5) des dizaines et je dis : dans 25 combien de fois 6 ? 4 fois, j'écris (4) au quotient et je dis 4 x 6 = 24.

J'écris (24) sous le 25 et je dis 25 – 24 = 1.

Je descends le (9) des unités et je dis : dans 19 combien de fois 6 ? 3 fois, j'écris (3) au quotient et je dis 3 x 6 = 18.

J'écris (18) sous le 19 et je dis 19 – 18 = 1.

Opération : 859 : 6 = 143 et il reste 1

(18)

M 20 Construction d'un carré

Avec la règle et l'équerre :

Trace un segment, je mesure sa longueur avec la règle.

Trace la perpendiculaire au segment à une extrémité, je mesure la même longueur.

Recommence pour les deux autres côtés du carré.

Avec la règle, l'équerre et le compas :

Trace un segment, je mesure sa longueur avec la règle.

Trace la perpendiculaire au segment à une extrémité.

Reporte la longueur du segment avec le compas.

Reporte à nouveau la longueur en partant de chaque extrémité déjà tracée.

Relie les extrémités reportées.

1

3 2

1 3

2 4

5

(19)

M 21 Construction d'un rectangle

Avec la règle et l'équerre :

Trace un segment, je mesure la longueur avec la règle.

Trace la perpendiculaire au segment à une extrémité, je mesure la largeur.

Recommence pour les deux autres côtés du rectangle.

Avec la règle, l'équerre et le compas :

Trace un segment, je mesure la longueur avec la règle.

Trace la perpendiculaire au segment à une extrémité.

Reporte la largeur du segment avec le compas.

Reporte la longueur en partant de chaque extrémité déjà tracée.

Relie les extrémités reportées.

1

3 2

1 2

4

3 5

(20)

M 22 Construction de 2 droites parallèles

(21)

M 23 Construction d’une droite perpendiculaire

(22)

M 24 Fraction décimale et nombres décimaux

Un nombre décimal peut s'écrire sous forme de fraction ou avec une virgule.

Fraction signification Écriture à virgule Lecture

1

10 1 : 10

l'unité est divisée en 10 0,1 ^{un dixième}

1

100 1 : 100

l'unité est divisée en 100 0,01 un centième

1

1000 1 : 1 000

l'unité est divisée en 1 000 0,001 un millième

1

10000 1 : 10 000

l'unité est divisée en 10 000 0,000 1 un dix-millième

L^IRE ^UN ^NOMBRE ^DÉCIMAL

➢ Lire 15,628

15,628

On peut lire :

➢ « quinze virgule six cent vingt-huit »

➢ « quinze et six cent vingt-huit millièmes »

➢ « quinze unités et six cent vingt-huit millièmes » P^LACER ^UN ^NOMBRE ^DÉCIMAL ^DANS ^UN ^TABLEAU

Pour pouvoir écrire les nombres décimaux, il faut rajouter des colonnes à droite du tableau des entiers.

10 000 1 000 100 10 1 ₁₀¹ ₁₀₀¹ ₁₀₀₀¹ ₁₀₀₀₀¹

dizaines de mille

unités de

mille centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes dix- millièmes

0 0 3 0 5 6 2 0 0

Ce nombre s'écrit 305,62.

On n'écrit pas les zéros à gauche de la partie entière, ni les zéros à droite de la partie décimale.

à gauche de la virgule, c'est la partie entière à droite de la virgule, c'est la partie décimale La virgule est toujours placée après le chiffre des unités.

(23)

M 25 Décomposer un nombre décimal

En fractions décimales :

305,62 = 30562

100 = 30500 100  62

100 = 305 62

100 = 305 6 10 2

100

En partie entière et partie décimale :

305,62 = 3050,62 = 3050,60,02

GRADUER UNE LIGNE DROITE

Les nombres décimaux peuvent être utilisés pour graduer une ligne droite de plus en plus précisément.

R^ANGER ^DES ^NOMBRES ^DÉCIMAUX Ils n'ont pas la même partie entière :

Le plus petit est celui qui a la plus petite partie entière.

➢ 3,656 < 9,1 parce que 3 < 9 Ils ont la même partie entière :

On compare les nombres après la virgule les uns après les autres, en commençant par les dixièmes.

➢ 14,25 < 14,3 parce que 2 dixièmes < 3 dixièmes

(24)

M 26 Calculer le périmètre d'une figure plane Le périmètre d'une figure, c'est la longueur de son contour. Pour un polygone, on ajoute la longueur de chaque côté.

Exemple :

P = AB + BC + CD + DE + EA P = 1 + 3 + 2 + 4 + 2 = 12 cm

Formules de calcul

Pour un polygone régulier, on peut déterminer des formules de calcul.

Périmètre d'un carré :

P = 2 + 2 + 2 + 2 = 2 x 4 = 8 cm.

P = C x 4 C est la longueur d'un côté.

Périmètre d'un rectangle :

P= 3 + 3 + 2 + 2 = (2 x 3) + (2 x 2)

= 2 x (3 + 2)

= 10 cm.

P = 2 x (L + l) L est la longueur, l est la largeur.

Périmètre d'un triangle équilatéral : P = 4 + 4 + 4 = 3 x 4 = 12 cm.

P = 3 x C C est la longueur d'un côté.

Périmètre d'un cercle :

P = 2,5 x  ≈ 2,5 x 3,14 ≈ 7,85 cm.

P = D x  D est la longueur du diamètre.

≈ 3,14

2 cm

2 cm 2 cm

L

3 cm 2 cm l

4 cm

4 cm 4 cm

2,5 cm

A

B C

D E

Attention ! ne pas oublier de fermer le polygone.

(25)

M 27 Angles ou Secteurs Angulaires

Les 2 demi-droites [Ox) et [Oy) délimitent 2 angles. Ces 2 demi-droites ont la même

origine (le point O), appelé aussi le sommet de l’angle xÔy.

Un secteur angulaire est plus ou moins OUVERT

ou FERMÉ.

On mesure les angles en DEGRÉS à l’aide d’un rapporteur.

Pour mesurer un angle, j’utilise un rapporteur, gradué en degrés.

Placer le centre du rapporteur sur le sommet de l’angle à mesurer Placer le «0» sur une demi-droite de l’angle à mesurer

Lire le résultat indiqué par l’autre demi-droite de l’angle, sur la graduation.

O x

y

L’angle OBTUS L’angle PLAT

mesure > 90° mesure 180°

L’angle AIGU L’angle DROIT mesure < 90° mesure 90°

(26)

M 28 Les chiffres romains Unités

I II III IV V VI VII VIII IX

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Dizaines

X XX XXX XL L LX LXX LXXX XC

10 20 30 40 50 60 70 80 90

Centaines

C CC CCC CD D DC DCC DCCC CM

100 200 300 400 500 600 700 800 900

Milliers

M MM MMM

1 000 2 000 3 000

Lire : On opère par addition quand une lettre est supérieure ou égale à la suivante. Par soustraction quand une lettre est inférieure à la suivante.

VIII = 5 + 3 = 8. XX = 10 + 10 = 20. IV = 5 - 1 LXVII = 50 + 10 + 5 + 2 = 67. = 4. XL = 50 - 10 = 40.

Ce système n'est pas employé pour les milliers (M).

Pour transcrire un nombre de chiffres arabes en chiffres romains, on décompose le nombre.

1988 = 1 000 + 900 + 80 + 8 = M + CM + LXXX + VIII soit MCMLXXXVIII.

(27)

M 29 Calculer une moyenne

La moyenne se calcule en additionnant tous les termes dont on souhaite effectuer une moyenne (à condition que la série de nombres soit

cohérente !), puis en les divisant par le nombre de termes.

EXEMPLE 1 :

La masse de chacun : 74 kg - 82 kg

- 78 kg - 82 kg - 75 kg - 82 kg - 71 kg - 89 kg - 85 kg - 79 kg - 82 kg

Si l’on voulait calculer la masse moyenne des joueurs de cette équipe, on devrait effectuer les opérations suivantes :

- Calculer la somme de toutes les masses :

74 + 82 + 78 + 82 + 75 + 82 + 72 + 89 + 85 + 79 + 82 = 880 - Diviser le résultat obtenu par le nombre de joueurs :

880 : 11 = 80

La masse moyenne des joueurs de cette équipe est donc de 80 kg.

__________________________

EXEMPLE 2 :

14 élèves d’une classe de CM2 ont participé à un « défi mathématiques ».

Voici les notes qu’ils ont obtenues :

11 - 17 - 11 – 14,5 - 12 - 9 - 12 - 8 - 14 - 15 - 13 - 17 - 17 – 15,5

Si l’on voulait calculer la moyenne obtenue par ces élèves à ce contrôle, on devrait effectuer les calculs suivants :

- Calculer la somme des notes obtenues :

11 + 17 + 11 + 14,5 + 12 + 9 + 12 + 8 + 14 + 15 + 13 + 17 + 17 + 15,5 = 186

- Diviser le total obtenu par le nombre de notes : 186 : 14 = 13,28...

La moyenne de la classe au défi mathématiques est donc de 13,2 si on décide d'arrêter la note au 1/10.

(28)

M 30 Les pourcentages Il s’agit d’une situation de proportionnalité.

Le pourcentage correspond à une fraction sur 100.

On utilise pour cela ce symbole % qui se lit « pour cent ».

Exemple : 40% se lit quarante pour cent.

On prend alors 40 parts sur 100. → 40/100

Les pourcentages n’ont pas de sens s’ils ne se rapportent à rien (il faut une unité). 40% de quoi ? ... un prix, un nombre d’élèves, un poids … Exemple : Dans la classe de CM1/CM2, 40% des élèves sont blonds.

Combien y a-t-il de blonds dans cette classe de 25 élèves?

Pour répondre, on peut utiliser un tableau de proportionnalité :

Nombre d'élèves dans la classe 25 100

Nombre d'élèves blonds ? 40

On multiplie alors 25 par 40. 25 x 40 = 1 000 Puis on divise le résultat par 100. 1 000 : 100 = 10 Réponse : Dans cette classe, 10 élèves sont blonds.

Cette technique s'appelle : le produit en croix.

Nombre d'élèves dans la classe 25 ÷ 100

Nombre d'élèves blonds ? 40

25 x 40 10 100