Premières notions de géométrie
I) Eléments de base : a) Le point :
Définition :
Le point est le plus petit élément en géométrie et désigne un emplacement.
Exemple :
b) Le segment : Définition :
Soient A et B deux points donnés. On appelle segment [AB] l’ensemble des points alignés avec A et B et situés entre A et B.
Exemple :
A et B sont appelés les extrémités du segment [AB].
Longueur d’un segment :
La longueur du segment [AB] se note AB et elle correspond à la distance entre les points A et B.
Exemple :
Ici, CD = 6 cm
c) La droite : Définition :
Soient A et B deux points donnés. On appelle droite (AB) l’ensemble des points alignés avec A et B.
Exemple :
Une droite étant infinie, elle n’est pas mesurable : on ne peut donc pas parler de longueur d’une droite.
Remarque n°1 :
Par deux points distincts ( différents ) il ne passe qu’une seule droite.
Par contre, par un seul point, il passe une infinité de droites :
Remarque n°2 :
On peut noter d’une autre manière une droite :
d) La demi-droite : Définition :
Une demi-droite est une partie de droite limitée d’un côté par un point appelé origine de la demi-droite.
Exemple :
Tout comme la droite, une demi-droite ne peut pas être mesurée.
II) Appartient, n’appartient pas : Exemple :
Ecriture en français Ecriture en mathématiques A appartient à la droite (d)
B n’appartient pas à la droite (d) C appartient à [CD]
D n’appartient pas à (AE) C appartient à [AD)
A ∈ (d) B ∉ (d) C ∈ [CD]
D ∉ (AE) C ∈ [AD)
III) Milieu d’un segment : Définition :
Le milieu d’un segment est le point du segment situé à égales distances de ses extrémités.
Exemple :
M est le milieu de [AB]
Codages des segments de la même longueur :
Pour dire que deux segments sont de la même longueur, on positionne en leur milieu un codage qui peut être / , ou // ou /// ou X ….
Propriété :
M est le milieu de [AB] si :
* M ∈ [AB]
* MA = MB
Vocabulaire :
Equidistant : situé à égales distances.
MA = MB signifie donc que M est équidistant des points A et B.
IV) Droites sécantes : Définition :
Deux droites sécantes sont deux droites qui ont un seul point en commun.
Exemple :
Les droites (d1) et (d2) sont sécantes en A
On dit aussi que A est le point d’intersection des droites (d1) et (d2).
Remarque :
Lorsque plusieurs droites passent par un même point, on dit qu’elles sont concourantes :
Les droites (d1), (d2) et (d3) sont concourantes en A.
V) Droites perpendiculaires : Définition :
Deux droites perpendiculaires sont deux droites qui se coupent en formant un angle droit.
Exemple :
Les droites (d1) et (d2) sont perpendiculaires.
Notation mathématiques :
On écrit : (d1) ⏊ (d2).
Remarque :
Deux droites sont perpendiculaires, lesquelles ?
(d3) et (d4) sont perpendiculaires car le codage de l’angle droit est présent.
VI) Droites parallèles : Définition :
Deux droites parallèles sont deux droites qui ne sont pas sécantes.
Premier cas :
Les droites n’ont aucun point en commun, on dit qu’elles sont strictement parallèles :
Les droites (d1) et (d2) sont strictement parallèles.
Deuxième cas :
Les droites ont une infinité de points en commun :
Les droites (d1) et (d2) sont parallèles, on dit ici qu’elles sont confondues.
Notation mathématiques : On écrit : (d1) // (d2).
VII) Construction d’une perpendiculaire à une droite passant par un point donné Exemple :
Construire la droite (d1) perpendiculaire à la droite (d) passant par A.
Première étape : on place la règle sur la droite (d) :
Deuxième étape : on place l’équerre sur la règle de façon à ce qu’un côté passe par le point A :
Troisième étape : on trace la droite (d1) perpendiculaire à la droite (d) passant par A :
Quatrième étape : on enlève les instruments et on place le codage de l’angle droit :
VIII) Construction d’une parallèle à une droite passant par un point donné : Exemple :
Construire la droite (d1) parallèle à la droite (d) passant par A.
Première étape : on place l’équerre sur la droite (d) :
Deuxième étape : on place la règle contre l’équerre :
Troisième étape : on fait coulisser l’équerre sur la règle jusqu’à atteindre le point A :
Quatrième étape : on trace la droite (d1) :
Cinquième étape : on enlève les instruments :
IX) Propriétés :
Soient (d1), (d2) et (d3) trois droites parallèles entre elles.
Propriété n°1 :
Lorsque deux droites sont parallèles, toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre.
: hypothèses : conclusion
Soient (d1), (d2) et (d3) trois droites telles que :
(d1) // (d2) (d3) ⏊ (d1) (d3) ⏊ (d1)
Propriété n°2 :
Lorsque deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
Propriété n°3 :
Lorsque deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, elles sont parallèles.
Propriété n°4 :
Lorsque deux droites sont perpendiculaires, toute droite perpendiculaire à l’une est parallèle à l’autre.
Propriété n°5 :
Lorsque deux droites sont perpendiculaires, toute droite parallèle à l’une est perpendiculaire à l’autre.
Exemple :
Soit trois droites (d1), (d2) et (d3) telles que (d1) est perpendiculaire à (d2) et (d2) est parallèle à (d3). Montrer que les droites (d1) et (d3) sont perpendiculaires.
On sait que :
(d1) est perpendiculaire à (d2) (d3) est parallèle à (d2)
Donc :
(d3) est perpendiculaire à (d1)
Car :
Lorsque deux droites sont perpendiculaires, toute droite parallèle à l’une est perpendiculaire à l’autre.
