Intégrale stochastique

stochastique

Introduction Intégrale d’Itô Références

Annexes

Intégrale stochastique

80-646-08 Calcul stochastique I

Geneviève Gauthier

HEC Montréal

stochastique

Introduction Intégrale de Riemann

Intégrale d’Itô Références Annexes

Introduction

L’intégrale d’Itô

Les théories de l’intégrale stochastique et des équations di¤érentielles stochastiques ont été initialement

développées par Kiyosi Itô vers 1940 (un des premiers

articles importants a été publié en 1942).

stochastique

Introduction Intégrale de Riemann

Intégrale d’Itô Références Annexes

Intégrale de Riemann I

Soit f : R ! ^R , une fonction à valeurs réelles. En général, lorsque nous parlons de l’intégrale de la fonction f , nous nous référons à l’intégrale au sens de Riemann, R b

a f ( t ) dt, qui calcule l’aire sous la courbe t ! ^f ( t )

comprise entre les bornes a et b.

stochastique

Introduction Intégrale de Riemann

Intégrale d’Itô Références Annexes

Intégrale de Riemann II

Premièrement, il nous faut réaliser que ce ne sont pas toutes les fonctions qui sont intégrables au sens de Riemann.

Expliquons un peu : a…n de construire l’intégrale de

Riemann de la fonction f sur l’intervalle [ a, b ] , nous

divisons cet intervalle en n sous-intervalles de même

longueur ^{b a} _n et, pour chacun d’eux, nous déterminons

la plus grande et la plus petite valeur prise par la fonction

f .

stochastique

Introduction Intégrale de Riemann

Intégrale d’Itô Références Annexes

Intégrale de Riemann III

Ainsi, pour tout k 2 f ^{1, ..., n} g ^, la plus petite valeur prise par la fonction f sur l’intervalle

a + ( k 1 ) ^{b a} _n , a + k ^{b a} _n est f ⁽ _k ^{n )} inf f ( t ) a + ( k 1 ) ^{b a}

n t a + k b a n et la plus grande est

_

f ⁽ _k ^{n )} sup f ( t ) a + ( k 1 ) ^{b a}

n t a + k b a

n .

stochastique

Introduction Intégrale de Riemann

Intégrale d’Itô Références Annexes

Intégrale de Riemann IV

L’aire sous la courbe t ! ^f ( t ) comprise entre les bornes a + ( k 1 ) ^{b a} _n et a + k ^{b a} _n est donc supérieure à l’aire

b a

n f _k ^{( n )} du rectangle de base ^{b a} _n et de hauteur f ⁽ _k ^{n )} et inférieure à l’aire ^{b a} _n

_

f _k ^{( n )} du rectangle de même base mais de hauteur

_

f ⁽ _k ^{n )} .

Par conséquent, si nous dé…nissons I _n ( f )

∑ n k = 1

b a n f ⁽ _k ^{n )} et

_

I n ( f )

∑ n k = 1

b a n

_

f ⁽ _k ^{n )}

alors

I _n ( f )

Z b

a

f ( t ) dt

_

I _n ( f ) .

stochastique

Introduction Intégrale de Riemann

Intégrale d’Itô Références Annexes

Intégrale de Riemann V

Illustrations de I _n ( f ) et

_

I _n ( f )

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Introduction Intégrale de Riemann

Intégrale d’Itô Références Annexes

Intégrale de Riemann VI

Les fonctions intégrables au sens de Riemann sont celles pour lesquelles les limites lim _{n !}

I _n ( f ) et lim _{n !}

_

I _n ( f ) existent et sont égales.

Nous dé…nissons alors l’intégrale au sens de Riemann de la fonction f par

Z b

a

f ( t ) dt lim

n !

I _n ( f ) = lim

n !

_

I n ( f ) . Il est possible de montrer que l’intégrale R b

a f ( t ) dt existe

pour toute fonction f continue sur l’intervalle [ a, b ] . Bien

d’autres fonctions sont intégrables au sens de Riemann.

stochastique

Introduction Intégrale de Riemann

Intégrale d’Itô Références Annexes

Intégrale de Riemann VII

Il existe cependant des fonctions qui ne le sont pas.

Par exemple, considérons la fonction indicatrice

I

: [ 0, 1 ] ! f ^{0, 1} g qui vaut 1 si l’argument est rationnel et 0 sinon.

Alors, pour tout nombre naturel n, I _n = 0 et

_

I _n = 1, ce

qui implique que l’intégrale de Riemann n’est pas dé…nie

pour cette fonction.

stochastique

Introduction Intégrale de Riemann

Intégrale d’Itô Références Annexes

Intégrale de Riemann VIII

Nous allons regarder un cas très simple : l’intégrale de Riemann pour les fonctions de base, c’est-à-dire les fonctions f : [ 0; ∞ ) ! R qui admettent la représentation f ( t ) = c I ( a,b ] ( t ) , a < b, c 2 ^{R où I (} a,b ] représente la fonction indicatrice

I ( a,b ] ( t ) = ^{1 si t} 2 ( a, b ]

0 si t 2 / ( a, b ] ^.

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Intégrale d’Itô Références Annexes

Intégrale de Riemann IX

Si f ( t ) = c I ( a,b ] ( t ) alors l’intégrale au sens de Riemann de f est

Z _t

0

f ( s ) ds =

Z _t

0

c I ( a,b ] ( s ) ds

= 8 <

:

0 si t a

c ( t a ) si a < t b

c ( b a ) si t > b.

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Processus de base

Les moments Processus simple Processus prévisible En résumé Généralisation

Références Annexes

Intégrale d’Itô I

Soit f ^{W t : t 0} g un mouvement brownien standard construit sur un espace probabilisé …ltré ( Ω , F ^{, F , P} ) , F = fF ^{t : t 0} g ^.

Condition technique . Comme nous allons travailler avec des égalités presque-sûre ¹ , nous exigeons que l’ensemble des événements qui ont une probabilité nulle de se réaliser soit compris dans la tribu F ⁰ , c’est-à-dire que l’ensemble

N = f ^A 2 F ^{: P} ( A ) = 0 g F ^{0 .}

De cette façon si X est F ^t mesurable et que Y = X

P presque-sûrement alors nous savons que Y est

F ^{t mesurable.}

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Processus de base

Les moments Processus simple Processus prévisible En résumé Généralisation

Références Annexes

Intégrale d’Itô II

Soit f ^{X t : t 0} g un processus stochastique prévisible. Il est tentant de dé…nir l’intégrale stochastique de X par rapport à W , trajectoire par trajectoire, en utilisant une généralisation de l’intégrale de Stieltjes :

8 ^ω 2 Ω , Z

X ( ω ) dW ( ω ) .

Cela serait possible si les trajectoires du mouvement brownien W étaient à variation bornée, c’est-à-dire qu’elles pourraient s’exprimer comme une di¤érence de deux fonctions non décroissantes.

Or, comme les trajectoires du mouvement brownien ne

sont pas à variation bornée, il n’est pas possible d’utiliser

cette approche.

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Processus de base

Les moments Processus simple Processus prévisible En résumé Généralisation

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Intégrale d’Itô III

Nous devons dé…nir l’intégrale stochastique par rapport au mouvement brownien globalement, c’est-à-dire comme un processus stochastique en lui-même, et non pas trajectoire par trajectoire.

1

X = Y P presque-sûrement si l’ensemble des ω pour lesquels X est di¤érente de Y a une probabilité nulle, c’est-à-dire que

P f ^ω 2 ^{Ω : X} ( ω ) 6 = Y ( ω ) g = 0.

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Processus de base

Les moments Processus simple Processus prévisible En résumé Généralisation

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Processus de base I

Intégrale d’Itô

De…nition

Nous appelons X un processus stochastique de base si X admet la représentation

X t ( ω ) = C ( ω ) I ( a,b ] ( t )

où a < b 2 R et C est une variable aléatoire F ^a mesurable de carré-intégrable, c’est-à-dire que E

C ² < _∞ .

Remarquons que ce processus est adapté à la …ltration F . En e¤et,

X

=

:

0 si 0 t a C si a < t b 0 si b < t

qui est F

mesurable donc F

^mesurable

qui est F

mesurable donc F

^mesurable

qui est F

mesurable donc F

^mesurable.

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Processus de base

Les moments Processus simple Processus prévisible En résumé Généralisation

Références Annexes

Processus de base II

Intégrale d’Itô

En fait, X est plus que F adapté, il est F prévisible, mais la notion de processus prévisible est plus délicate à dé…nir lorsque nous travaillons avec des processus à temps continu.

Notons tout de même que les processus adaptés à trajectoires continues sont prévisibles.

Intuitivement, si X t représente le nombre de parts d’un

titre détenues au temps t, alors X _t ( ω ) = C ( ω ) I ( a,b ] ( t )

signi…e qu’immédiatement après l’annonce des prix au

temps a et sur la base de l’information disponible au

temps a (C étant F ^a mesurable) nous achetons C ( ω )

parts du titre que nous conservons jusqu’au temps b. À

cet instant, nous les revendons toutes.

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Processus de base

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Processus de base III

Intégrale d’Itô

Theorem

Les processus F adaptés dont les trajectoires sont continues à gauche sont des processus F prévisibles. En particulier, les processus F adaptés à trajectoires continues sont

F prévisibles. (cf. Revuz et Yor)

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Processus de base

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Processus de base IV

Intégrale d’Itô

De…nition

L’ intégrale stochastique de X par rapport au mouvement brownien est dé…nie par

Z _t

0

X _s dW _s ( ω )

= C ( ω ) ( W t ^ ^b ( ω ) W t ^ ^a ( ω ))

= 8 <

:

0 si 0 t a

C ( ω ) ( W t ( ω ) W a ( ω )) si a < t b C ( ω ) ( W _b ( ω ) W _a ( ω )) si b < t.

Remarquons que pour tout t , l’intégrale R t

0 X s dW s est une variable aléatoire.

De plus, n R t

0 X _s dW _s : t 0 o

est un processus

stochastique.

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Processus de base

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Processus de base V

Intégrale d’Itô

Trajectoires d’un processus stochastique de base ainsi que de son intégrale stochastique par rapport au mouvement brownien

0 12 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

t

-5 -4 -3 -2 -10123456

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

t

Integrale_stochastique.xls

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Processus de base

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Processus de base VI

Intégrale d’Itô

Notons que Z _t

0

X _s dW _s =

Z

0

X _s I ( 0,t ] ( s ) dW _s .

Exercice. Véri…ez le!

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Processus de base

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Processus de base VII

Intégrale d’Itô

Interprétation. Si, par exemple, le mouvement brownien W représente la variation du prix actualisé du titre par rapport à sa valeur initiale (W t = S t S 0 , où S t est le prix actualisé du titre au temps t), alors R t

0 X _s dW _s est la valeur actualisée du gain réalisé par l’investisseur.

L’exemple est quelque peu boiteux, car le mouvement brownien n’étant pas borné inférieurement, cela implique qu’il est possible que le prix du titre prenne des valeurs négatives. Oups!

Remarquons sur les graphes que, pendant la période de temps où l’investisseur détient un nombre constant de parts du titre, la valeur actualisée de ses gains ‡uctue.

Cela est uniquement causé par la ‡uctuation du prix du

titre.

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Processus de base

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Processus de base VIII

Intégrale d’Itô

Theorem

Lemme 1. Si X est un processus stochastique de base, alors Z _t

0

X _s dW _s : t 0 est une ( _Ω , F ^, F , P ) martingale.

Preuve du lemme 1. Rappelons que si M est une martingale et τ un temps d’arrêt, alors le processus stochastique arrêté M

= f ^{M t} ^

: t 0 g est aussi une martingale.

Comme le mouvement brownien est une martingale et que τ a

et τ b où 8 ^ω 2 ^{Ω , τ a} ( ω ) = a et τ b ( ω ) = b sont des temps d’arrêt, alors les processus stochastiques

W

= f ^{W t} ^ ^a : t 0 g ^{et W}

= f ^{W t} ^ ^b : t 0 g ^{sont tous}

deux des martingales.

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Processus de base

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Processus de base IX

Intégrale d’Itô

Maintenant, véri…ons la condition ( M 1 ) . Si t a, alors

E

Z t

0

X _u dW _u = E

[ j ^C ( W _{t ^ b} W _{t ^ a} ) j ]

= E

[ j ^C ( W t W t ) j ]

= 0.

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Processus de base

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Processus de base X

Intégrale d’Itô

Par contre, si t > a, alors E

Z _t

0

X _u dW _u

= E

[ j ^C ( W _{t ^ b} W _a ) j ] = E

[ j ^C j j ^{W t} ^ ^b W _a j ] r

E

h

C ² ( W _{t ^ b} W _a ) ^{2 i} (voir page suivante)

= r

E

h C ² E

h

( W _{t ^ b} W _a ) ² jF ^{a ii C étant} F ^{a mble.}

= r

E

h C ² E

h

( W _{t ^ b} W _a ) ^{2 ii}

W t ^ ^b W a étant indépendante de F ^{a .}

= q

( t ^ ^{b a} ) E

[ C ² ] < ∞

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Processus de base

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Processus de base XI

Intégrale d’Itô

Justi…cation de l’inégalité: pour toute variable aléatoire Y telle que E Y ² < ∞ , nous avons

0 Var [ Y ] = E Y ² ( E [ Y ]) ² ce qui implique que

E [ Y ] q

E [ Y ² ] .

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Processus de base

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Processus de base XII

Intégrale d’Itô

En ce qui concerne la condition ( M2 ) ,

Zt

0

X

dW

=

:

0 si 0 t a

C ( W

W

) si a < t b C ( W

W

) si b < t.

F

mesurable donc F

^mesurable, F

^mesurable,

F

mesurable donc F

^mesurable.

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Processus de base

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Processus de base XIII

Intégrale d’Itô

La condition ( M3 ) est, elle aussi, véri…ée car 8 ^{s, t} 2 ^{R ,} 0 s < t ,

E

Z t

0

X u dW u jF ^s = E

[ C ( W t ^ ^b W t ^ ^a ) jF ^s ] .

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Processus de base XIV

Intégrale d’Itô

Or, si s a, alors F ^s F ^{a . Comme C est} F ^{a mesurable,} alors

E

Z _t

0

X _u dW _u jF ^s = E

h

E

[ C ( W _{t ^ b} W _{t ^ a} ) jF ^a ] jF ^{s i}

= E

h

C E

[( W _{t ^ b} W t ^ ^a ) jF ^a ] jF ^{s i}

= E

2

6 4 C ( W _{a ^ b} W a ^ ^a )

| {z }

= W

W

= 0

jF ^s 3 7 5

car W

et W

sont des martingales,

= 0

=

Z _s

0

X u dW u .

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Processus de base

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Processus de base XV

Intégrale d’Itô

Si s > a, alors C est F ^s mesurable et, par conséquent, E

Z _t

0

X

dW _u jF ^s = E

[ C ( W _{t ^ b} W _{t ^ a} ) jF ^s ]

= C E

[( W _{t ^ b} W _{t ^ a} ) jF ^s ]

= C ( W _{s ^ b} W s ^ ^a )

=

Z _s

0

X _u dW _u .

Le processus R

X

dW _s est bien une martingale.

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Processus de base

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Les moments I

Processus de base

Nous aurons besoin ultérieurement de quelques résultats que nous allons tout de suite commencer à élaborer.

Comme l’intégrale d’Itô pour les processus de base est une martingale, alors

E

Z t

0

X s dW s = E

Z 0

0

X s dW s = 0.

Le prochain résultat nous permettra de calculer des

variances et des covariances.

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Processus de base

Les moments Processus simple Processus prévisible En résumé Généralisation

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Les moments II

Processus de base

Theorem

Lemme 2. Si X et Y sont des processus de base, alors pour tout t 0,

E

Z t

0

X _s Y _s ds = E

Z t

0

X _s dW _s Z t

0

Y _s dW _s .

stochastique

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Les moments III

Processus de base

Preuve du lemme 2. Il sera su¢ sant de montrer que E

Z

0

X _s Y _s ds = E

Z

0

X _s dW _s

Z

0

Y _s dW _s (1) car

X = C I ( a,b ] et Y = C ^e I (

a,e b ] étant des processus de base,

X I ( 0,t ] = C I ( a ^ ^t

^ ^t ] , Y I ( 0,t ] = C ^e I (

a ^ ^t

^b ^ ^t ]

et XY I ( 0,t ] = C C e I ( ^{( a} _

a ) ^ ^t, ( ^b ^

^b ) ^ ^t ]

le sont aussi.

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Processus de base

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Les moments IV

Processus de base

Ainsi, si l’équation (1) est véri…ée, nous pouvons l’utiliser pour établir la troisième égalité dans le calcul qui suit :

E

Z t

0

X s Y s ds

= E

Z

0

X _s Y _s I ( 0,t ] ( s ) ds

= E

Z

0

X _s I ( 0,t ] ( s ) Y _s I ( 0,t ] ( s ) ds

= E

Z

0

X _s I ( 0,t ] ( s ) dW _s

Z

0

Y _s I ( 0,t ] ( s ) dW _s

= E

Z t

0

X s dW s

Z t

0

Y s dW s .

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Processus de base

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Les moments V

Processus de base

Établissons donc l’équation (1) E

Z

0

X _s Y _s ds = E

Z

0

X _s dW _s

Z

0

Y _s dW _s .

Trois cas doivent être traités séparément : ( i ) ( a, b ] \ e a, e b i

= ? ^, ( ii ) ( a, b ] = _e a, e b i

, ( iii ) ( a, b ] 6 = _e a, e b i

et ( a, b ] \ e a, e b i

6

= ? ^.

stochastique

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Processus de base

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Les moments VI

Processus de base

Preuve de ( i ) . Puisque ( a, b ] \ e a, e b i

= ? , nous pouvons supposer, sans perte de généralité, que a < b e a < ^e b. Puisque

X s Y s = C C e I ( a,b ] ( s ) _I (

a,e b ] ( ^s ) = 0, alors E

R

0 X _s Y _s ds = 0.

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Les moments VII

Processus de base

Maintenant, comme C , C e et ( W _b W _a ) sont F

a mesurables, E

Z

0

X _s dW _s

Z

0

Y _s dW _s

= E

h

C ( W b W a ) C W e _b

W

_a i

= E

h E

h

C ( W _b W _a ) C W ^e

_b W

_a jF

a

ii

= E

2

6 4 C C e ( W _b W _a ) E

W

_b W

_a jF

a

| {z }

= W

W

= 0

3 7 5

= 0 = E

Z

0

X _s Y _s ds

établissant ainsi l’équation (1) dans ce cas particulier.

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Processus de base

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Les moments VIII

Processus de base

Preuve de ( ii ) . Supposons maintenant que ( a, b ] = _e a, e b

i . Alors

E

Z

0

X _s Y _s ds = E

Z

0

C C e I ( a,b ] dt

= E

C C e Z

0 I ( a,b ] dt

= E

h

C C e ( b a ) ⁱ

= ( b a ) E

h C C e i

.

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Les moments IX

Processus de base

D’autre part,

E

Z

0

X

dW

Z

0

Y

dW

= E

h

C ( W

W

) C e ( W

W

) ⁱ

= E

h C CE e

h

( W

W

)

jF

^{ii car C et C e sont} F

^mbles

= E

h C CE e

h

( W

W

)

ⁱⁱ

car W

W

est indépendante de F

= E

h

C C e ( b a ) ⁱ car W

W

est de loi N ( 0, b a )

= ( b a ) E

h C C e i

= E

Z

0

X

Y

ds

établissant l’équation (1) pour cet autre cas particulier.

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Processus de base

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Références Annexes

Les moments X

Processus de base

Preuve de ( iii ) . Nous avons que ( a, b ] 6 = _e a, e b i

et ( a, b ] \ e a, e b i

6

= ? ^.

a = a _ e a et b = b ^ ^e b. D’une part, E

Z

0

X _s Y _s ds = E

Z

0

C I ( a,b ] C e I (

a,e b ] ^dt

= E

Z

0

C C e I ( a

] dt

= E

C C e Z

0 I ( a

] dt

= E

h

C C e ( b a ) ⁱ

= ( b a ) E

h C C e i

.

stochastique

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Processus de base

Les moments Processus simple Processus prévisible En résumé Généralisation

Références Annexes

Les moments XI

Processus de base

Dans ce qui suit, s’il advenait des intervalles de la forme ( α, β ] où α β, alors nous dé…nissons ( α, β ] = ? ^. D’autre part, comme

Z

0

X

dW

= C ( W

W

)

= C ( W

W

+ W

W

+ W

W

)

= C ( W

W

) + C ( W

W

) + C ( W

W

)

= Z

0

CI

dW

+ Z

0

C I

dW

+ Z

0

C I

dW

, (2)

stochastique

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Processus de base

Les moments Processus simple Processus prévisible En résumé Généralisation

Références Annexes

Les moments XII

Processus de base

Z

0

Y

dW

= C W e

W

= C W e

W

+ W

W

+ W

W

= C W e

W

+ C e ( W

W

) + C e ( W

W

)

= Z

0

CI e (

] ^dW

+ Z

0

CI e

dW

+ Z

0

C e I

dW

(3)

stochastique

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Processus de base

Les moments Processus simple Processus prévisible En résumé Généralisation

Références Annexes

Les moments XIII

Processus de base

et

( a, a ] \ ( _e a, a ] = ? ^, ( a, a ] \ ( a , b ] = ? ^, ( a, a ] \ ^{b , e b i} = ? ^, ( a , b ] \ ( _e a, a ] = ? ^, ( a , b ] \ ^{b , e b i} = ? ^,

( b , b ] \ ( _e a, a ] = ? , ( b , b ] \ ( a , b ] = ? , ( b , b ] \ ^{b , e b i} = ? ,

nous pouvons utiliser les résultats obtenus aux points ( i ) et ( ii )

a…n de compléter la démonstration : utilisant les expressions

stochastique

Introduction Intégrale d’Itô

Processus de base

Les moments Processus simple Processus prévisible En résumé Généralisation

Références Annexes

Les moments XIV

Processus de base

des lignes (2) et (3), E

Z

0

X _s dW _s

Z

0

Y _s dW _s

= E

Z

0

C I ( a

] dW s

Z

0

C e I ( a

] dW s

= ( b a ) E

h C C e i

= E

Z

0

X _s Y _s ds .

La démonstration du lemme 2 est maintenant complète.

stochastique

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Processus de base

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Processus simple I

Intégrale d’Itô

De…nition

Nous appelons X un processus stochastique simple si X est une somme …nie de processus de base :

X _t ( ω ) =

∑ n i = 1

C _i ( ω ) _{I ( a}

_] ( t ) .

Comme ce processus est une somme de processus

F prévisibles, alors il est lui-même prévisible par rapport à

la …ltration F .

stochastique

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Processus simple II

Intégrale d’Itô

De…nition

L’ intégrale stochastique de X par rapport au mouvement brownien est dé…nie comme la somme des intégrales stochastiques des processus de base constituant X :

Z _t

0

X _s dW _s =

∑ n i = 1

Z _t

0

C _i I ( a

] ( s ) dW _s .

stochastique

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Processus simple III

Intégrale d’Itô

Trajectoires d’un processus stochastique simple et de son intégrale stochastique par rapport au mouvement brownien

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

t

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

t

Le processus simple est de la forme C ₁ I (

] + ^{C 2 I} (

]

stochastique

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Processus de base

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Processus simple IV

Intégrale d’Itô

Integrale_stochastique.xls

stochastique

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Processus simple V

Intégrale d’Itô

Premièrement, il faut s’assurer que cette dé…nition ne présente pas d’incohérence, c’est-à-dire que si le processus stochastique simple X admet au moins deux

représentations en termes de processus stochastiques de base, disons ∑ ⁿ i = 1 C i I ( a

] et ∑ ^m j = 1 C e j I (

a

b

] ^{, alors} l’intégrale est dé…nie de façon unique :

∑ n i = 1

Z t

0

C i I ( a

] ( s ) dW s =

∑ m j = 1

Z t

0

C e j I (

a

b

] ( ^s ) dW s .

Exercice. Démontrer que la dé…nition de l’intégrale

stochastique pour les processus simples ne dépend pas de

la représentation choisie.

stochastique

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Processus simple VI

Intégrale d’Itô

Theorem

Lemme 3. Si X est un processus stochastique simple, alors n R t

0 X _s dW _s : t 0 o

est une ( _Ω , F ^, F , P ) martingale.

Preuve du lemme 3. L’intégrale stochastique Z t

0

X s dW s =

∑ n i = 1

Z t

0

C i I ( a

] ( s ) dW s

du processus simple X = _∑ ⁿ _{i = 1} C _i I ( a

] est la somme des intégrales stochastiques des processus de base le composant.

Puisqu’une somme …nie de martingales est aussi une

martingale, le résultat découle du fait que les intégrales

stochastiques des processus de base sont des martingales

(lemme 1).

stochastique

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Processus simple VII

Intégrale d’Itô

Le prochain résultat est assez technique et sera démontré en annexe. Il nous sera utile ultérieurement.

Theorem

Lemme 4. Si X est un processus simple, alors pour tout t 0, E

Z _t

0

X _s ² ds = E

" _Z

t 0

X s dW s 2 #

.

stochastique

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Processus de base

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Processus simple VIII

Intégrale d’Itô

Ce lemme est cependant fort utile pour calculer la variance d’une intégrale stochastique. En e¤et,

Var

Z t

0

X _s dW _s

= E

" _Z

t 0

X _s dW _s

2 # 0

B B

@ E

Z t

0

X _s dW _s

| {z }

= 0

1 C C A

2

= E

Z _t

0

X _s ² ds =

Z _t

0 E

X _s ² ds.

Il est possible d’étendre ce calcul à d’autres processus X et

d’établir d’une façon similaire une méthode pour le calcul de la

covariance entre deux intégrales stochastiques (voir l’annexe).

stochastique

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Processus prévisibles I

Intégrale d’Itô

Nous aimerions agrandir la classe des processus pour lesquels l’intégrale stochastique par rapport au mouvement brownien peut être dé…nie. Nous allons choisir la classe des processus F prévisibles pour lesquels il existe une suite de processus simples les approchant.

Theorem

Les processus F adaptés dont les trajectoires sont continues à gauche sont des processus F prévisibles. En particulier, les processus F adaptés à trajectoires continues sont

F prévisibles.

Soit X un processus F prévisible pour lequel il existe une suite n

X ^{( n )} : n 2 ^{N o} de processus simples convergeant

vers X lorsque n croît vers l’in…ni.

stochastique

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Processus prévisibles II

Intégrale d’Itô

Qui parle de convergence doit aussi parler de distance. En e¤et, comment mesure-t-on qu’une suite de processus stochastiques ”approche” un autre processus? Quelle est la distance entre deux processus stochastiques? Pour répondre à cette question, nous devons dé…nir l’espace des processus stochastiques sur lequel nous travaillons et la norme que nous plaçons sur cet espace.

Rappelons que k k

^: A ! [ 0, ∞ ) est une norme sur l’espace A ^si

( i ) k ^X k

= 0 , ^X = 0;

( ii ) 8 ^X 2 A ^et 8 ^a 2 ^R, k ^aX k

= j ^a j k ^X k

^; ( iii ) 8 ^{X , Y} 2 A ^, k ^X + Y k

k ^X k

+ k ^Y k

(l’inégalité du triangle).

stochastique

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Processus prévisibles III

Intégrale d’Itô

Soit

A = X X est un processus F prévisible tel que E

R

0 X _t ² dt < ∞ . Exercice facultatif et assez di¢ cile! La fonction k k _A ^: A ! [ 0, ∞ ) dé…nie par

k ^X k _A = s

E

Z

0

X _t ² dt

est une norme sur l’espace A ^.

stochastique

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Processus prévisibles IV

Intégrale d’Itô

Il est dit que la suite n

X ^{( n )} : n 2 ^{N o} A converge vers X 2 A ^{lorsque n} croît vers l’in…ni si et seulement si

n lim !

X ^{( n )} X

A = lim

n !

s E

Z

0

X _t ^{( n )} X _t ² dt

= 0.

stochastique

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Processus prévisibles V

Intégrale d’Itô

Il est tentant de dé…nir l’intégrale stochastique de X par rapport au mouvement brownien comme la limite des intégrales stochastiques des processus simples, c’est-à-dire

Z t

0

X s dW s = lim

n !

Z t

0

X s ^{( n )} dW s .

stochastique

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Processus prévisibles VI

Intégrale d’Itô

Deux problèmes sont soulevés par la dernière équation, l’un d’eux étant l’existence de cette limite.

Par exemple, supposons que nous travaillons sur l’espace des nombres strictement positifs A f ^x 2 R j ^x > 0 g ^et que nous étudions la suite ¹ _n : n 2 N . Cette suite ne converge pas dans l’espace A puisque lim _{n !}

_n ¹ = 0 2 / ^A.

Bien entendu, cette suite converge dans l’espace R . La question est: est-ce que lim _n

R t

0 X _s

dW _s existe dans l’espace dans lequel nous travaillons?

Le second problème est que cette équation sous-tend que plus n est grand plus R t

0 X _s

dW s s’approche de R t

0 X s dW s . Or, quelle est la distance entre deux intégrales

stochastiques?

stochastique

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Processus prévisibles VII

Intégrale d’Itô

Rappelons qu’au lemme 3, nous avons établi que pour tout n, l’intégrale R

X s ^{( n )} dW s d’un processus simple est une martingale.

De plus, il est possible d’établir que E

" _Z

X s ^{( n )} dW s 2 #

< _∞ .

stochastique

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Processus prévisibles VIII

Intégrale d’Itô

Par conséquent, la suite servant à approcher R

X _s dW _s est incluse dans l’espace

M = (

M M est une martingale telle que

q

sup _{t 0} E

[ M _t ² ] < ∞ )

.

Exercice facultatif et laborieux! La fonction k k _M ^: M ! [ 0, ∞ ) dé…nie par

k ^M k _M = ^r sup

t 0

E

[ M _t ² ]

est une norme sur M ^.

stochastique

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Processus prévisibles IX

Intégrale d’Itô

Ainsi, nous disons que la suite n

M ^{( n )} : n 2 N o de martingales appartenant à l’espace normé ( M ^, k k _M ) converge vers M si et seulement si M 2 M ^et

n lim !

M ^{( n )} M

M = lim

n !

s sup

t 0

E

M _t ^{( n )} M _t ²

= 0.

stochastique

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Processus prévisibles X

Intégrale d’Itô

L’idée derrière la construction de R t

0 X _s dW _s est que, d’un côté, nous avons l’espace ( A ^, k k _A ) des processus pour lesquels nous construisons l’intégrale stochastique, et d’autre part, nous avons l’espace ( M ^, k k _M ) contenant les intégrales stochastiques des processus du premier espace.

Or, nous avons choisi les normes de sorte que si le processus X est un processus simple, alors

k ^X k _A = R

X _s dW _s

M (réf.: lemme 5 en annexe).

stochastique

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Processus prévisibles XI

Intégrale d’Itô

Cela entraîne que si la suite de processus simples n

X ^{( n )} : n 2 ^{N o} est une suite de Cauchy dans le premier espace, c’est-à-dire que

X ^{( n )} X ^{( m )}

A m

!

! ^0, alors la suite n R t

0 X _s ^{( n )} dW _s : n 2 ^{N o} d’intégrales stochastiques est une suite de Cauchy dans le second:

Z _t

0

X _s ^{( n )} dW _s Z

X _s ^{( m )} dW _s

M m

!

! ^0.

stochastique

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Processus prévisibles XII

Intégrale d’Itô

La suite n

M

: n 2 ^{N o} est une suite de Cauchy sur l’espace normé ( M ^, k k

) si

n,m lim

M

M

M

= 0.

Si n

M

: n 2 N o

est une suite de Cauchy, nous ne

pouvons pas, en général, a¢ rmer que cette suite converge,

car nous ne sommes pas certains que le point limite

appartient à l’ensemble M ^.

stochastique

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Processus de base

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Processus prévisibles XIII

Intégrale d’Itô

Il ne reste qu’à véri…er que le point limite de la suite d’intégrales stochastiques n R t

0 X _s ^{( n )} dW _s : n 2 ^{N o est bien} un élément de M (réf. : lemme 6 en annexe).

Nous pourrons alors dé…nir l’intégrale stochastique du processus prévisible X = lim _{n !}

X ^{( n )} par

lim n !

R t

0 X s ^{( n )} dW s .

stochastique

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Processus de base

Les moments Processus simple Processus prévisible En résumé Généralisation

Références Annexes

En résumé

Processus prévisible

Nous avons dé…ni l’intégrale stochastique par rapport au ( _Ω , F ^, F , P ) mouvement brownien pour tous les processus X F prévisibles satisfaisant la condition

E

Z

0

X _t ² dt < _∞ .

Pour chacun de ces processus, nous avons établi que la famille d’intégrales stochastiques n R t

0 X _s dW _s : t 0 o

est

une ( Ω , F ^, F , P ) martingale.

stochastique

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Processus de base

Les moments Processus simple Processus prévisible En résumé Généralisation

Références Annexes

Généralisation I

Processus prévisible

Il est possible d’étendre la classe de processus pour lesquels l’intégrale stochastique peut être dé…nie.

Cela fait intervenir les martingales locales ainsi que les semi-martingales.

Nous renvoyons au livre écrit par Richard Durrett ceux qui aimeraient en connaître davantage.

Mentionnons toutefois qu’il est possible que pour ce type de processus, la famille d’intégrales stochastiques

n R t

0 X _s dW _s : t 0 o

ne soit plus une martingale.

stochastique

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Processus de base

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Références Annexes

Généralisation II

Processus prévisible

Voici un résultat nous permettant de véri…er si l’intégrale stochastique avec laquelle nous travaillons est une martingale : Theorem

Lemme. Si X est un processus F prévisible tel que E

h R t

0 X _s ² ds i

< _∞ alors R s

0 X _s dW _s : 0 s t est une

( Ω , F ^{, F , P} ) martingale (réf. Revuz et Yor, corollaire 1.25,

page 124).

stochastique

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Processus de base

Les moments Processus simple Processus prévisible En résumé Généralisation

Références Annexes

Généralisation III

Processus prévisible

Il est possible de dé…nir l’intégrale stochastique par

rapport à d’autres processus stochastiques que

lemouvement brownien en imitant la construction que

nous venons de donner.