Le mouvement brownien 80-646-08 Calcul stochastique GeneviŁve Gauthier

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brownien

Mouvement brownien Construction du mouvement brownien Une autre construction

Le mouvement brownien

80-646-08 Calcul stochastique

Geneviève Gauthier

HEC Montréal

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brownien

Mouvement brownien

Dé…nition Rappel: normale Propriétés Autres propriétés Construction du mouvement brownien Une autre construction

Introduction

Le mouvement brownien

En 1827, Robert Brown a observé que de petites particules immergées dans un liquide sont perpétuellement en

mouvement, lequel est des plus irréguliers.

Historiquement, le mouvement brownien se voulait une tentative pour modéliser ce phénomène. Aujourd’hui, le mouvement brownien est utilisé dans divers domaines tels l’économie, la théorie de la communication, la biologie, les sciences administratives et les mathématiques.

(Traduction libre du paragraphe d’introduction au

mouvement brownien, S. Karlin et H. M. Taylor (1975).)

Nous attribuons au mathématicien Norbert Wiener

l’analyse rigoureuse des mathématiques concernant le

mouvement brownien et c’est pourquoi ce processus est

aussi connu sous le nom de processus de Wiener.

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brownien

Mouvement brownien

Dé…nition I

Le mouvement brownien

Soit ( _Ω , F ^, F , P ) , un espace probabilisé …ltré.

Condition technique. Comme nous allons travailler avec des égalités presque-sûre ¹ , nous exigeons que l’ensemble des événements qui ont une probabilité nulle de se réaliser soit compris dans la tribu F ⁰ , c’est-à-dire que l’ensemble

N = f ^A 2 F ^: ^P ( A ) = 0 g F ⁰ ^.

De cette façon si X est F ^t mesurable et que Y = X

P presque-sûrement alors nous savons que Y est

F ^t ^mesurable.

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brownien

Mouvement brownien

Dé…nition II

Le mouvement brownien

De…nition

Un mouvement brownien standard f ^W ^t ^: ^t ⁰ g ^{est un} processus stochastique adapté construit sur un espace probabilisé …ltré ( Ω , F ^, F , P ) tel que :

(MB1) 8 ^ω 2 ^Ω ^, ^W ⁰ ( ω ) = 0,

(MB2) 8 ⁰ ^t ⁰ ^t ¹ ^... ^t ^k ^, les variables aléatoires W t

1

W t

0

, W t

2

W t

1

, ..., W t

_k

W t

_k ₁

sont indépendantes, (MB3) 8 ^s ^, ^t ^{0 tels que} ^s < t, la variable aléatoire W _t W _s est de distribution normale d’espérance 0 et de variance t s c’est-à-dite W t W s N ( 0, t s ) ,

(MB4) 8 ^ω 2 ^Ω ^, la trajectoire t ! ^W ^t ( ω ) est continue.

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brownien

Mouvement brownien

Dé…nition III

Le mouvement brownien

En général, la …ltration utilisée est F = fF ^t ^: ^t ⁰ g ^où F ^t = σ ff ^W ^s ^: ⁰ ^s ^t g [ N g

est la plus petite tribu pour laquelle les variables aléatoires W _s : 0 s t sont mesurables contenant les ensembles de mesure nulle.

1

X = Y P presque-sûrement si l’ensemble des ω pour lesquels X est di¤érente de Y a une probabilité nulle, c’est-à-dire que

P f ^ω 2 ^Ω ^: ^X ( ω ) 6 = Y ( ω ) g = 0.

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brownien

Mouvement brownien

Rappel concernant la loi normale I

Si X est une variable aléatoire de loi normale d’espérance µ et d’écart-type σ > 0, alors sa fonction de densité est

f _X ( x ) = ¹ σ p

2π exp

( ( x µ ) ² 2σ ²

) ,

ce qui nous permet de déterminer 8 ^a, ^b 2 R , a < b, P [ a < X b ] =

Z b

a

f _X ( x ) dx.

Malheureusement, il n’existe pas de primitive à l’intégrale ci-dessus. Nous devons donc l’évaluer numériquement. La fonction de répartition de X est

F _X ( x ) =

Z _x

∞

f _X ( y ) dy .

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brownien

Mouvement brownien

Rappel concernant la loi normale II

De façon générale, si deux variables aléatoires X et Y , construites sur le même espace probabilisé, sont indépendantes, alors leur covariance

Cov [ X , Y ] = E [ XY ] E [ X ] E [ Y ] est nulle.

Par contre, il est possible que deux variables aient une covariance nulle, mais qu’elles ne soient pas

indépendantes. Ceci est illustré par l’exemple suivant:

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brownien

Mouvement brownien

Rappel concernant la loi normale III

Exemple

ω X ( ω ) Y ( ω ) X ( ω ) Y ( ω ) P ( ω )

ω 1 0 1 0 ¹ ₄

ω 2 0 1 0 ¹ ₄

ω 3 1 0 0 ¹ ₄

ω 4 1 0 0 ¹ ₄

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brownien

Mouvement brownien

Rappel concernant la loi normale IV

La covariance entre ces deux variables est nulle car : E

^P

[ X ] = 0, E

^P

[ Y ] = 0, E

^P

[ XY ] = 0 ) ^Cov

^P

[ X , Y ] = E

^P

[ XY ] E

^P

[ X ] E

^P

[ Y ] = 0 mais elles sont dépendantes puisque

P [ X = 0 et Y = 0 ] = 0 6 = ¹

4 = _P [ X = 0 ] _P [ Y = 0 ] .

Par contre, lorsque la distribution des variables est normale

(pas nécessairement de même espérance et de même

écart-type), nous avons un résultat nous permettant de

véri…er l’indépendance des variables en utilisant la

covariance :

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brownien

Mouvement brownien

Rappel concernant la loi normale V

Theorem

Proposition. Si X et Y sont deux variables aléatoires de

distribution normale multivariée, toutes deux construites sur le

même espace probabilisé, alors X et Y sont indépendantes si et

seulement si leur covariance est nulle (T. W. Anderson, 1984,

théorème 2.4.4, page 28).

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brownien

Mouvement brownien

Propriétés I

Le mouvement brownien

Theorem

Lemme 1. Soit f ^W ^t ^: ^t ⁰ g , un mouvement brownien standard. Alors

(i) Pour tout s > 0, f ^W ^t ⁺ ^s ^W ^s ^: ^t ⁰ g (homogénéité au cours du temps)

(ii) f ^W ^t ^: ^t ⁰ g ^(symétrie) (iii) n

cW

^t

c2

: t 0 o

(rééchelonnement du temps) (iv) n

W _t = tW

1

t

1 _t _> ₀ : t 0 o

(inversion du temps) sont aussi des mouvements browniens standard.

Exercice. Véri…ez-le.

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brownien

Mouvement brownien

Propriétés II

Le mouvement brownien

Theorem

Lemme 2. Le mouvement brownien est une martingale.

De…nition

Dé…nition. Sur l’espace probabilisé …ltré ( _Ω , F ^, F , P ) , où F est la …ltration fF ^t ^: ^t ⁰ g , le processus stochastique M = f ^M ^t ^: ^t ⁰ g ^{est une} martingale en temps continu si

( M 1 ) 8 ^t ^0, ^E

^P

[ j ^M ^t j ] < _∞ ; ( M 2 ) 8 ^t ^0, ^M ^t ^est F ^t ^mesurable;

( M 3 ) 8 ^s ^, ^t ^{0 tel que} ^s < t, E

^P

[ M _t jF ^s ] = M _s .

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brownien

Mouvement brownien

Preuve du lemme 2 I

Propriétés du mouvement brownien

Par la dé…nition même de la …ltration, il est évident que W est un processus stochastique adapté.

Pour tout instant t, la variable aléatoire W _t est intégrable puisque

E

^P

[ j ^W ^t j ] =

Z

_∞

∞

j ^z j

p 2πt exp z ² 2t dz

= 2 Z

_∞

0 p z

2πt exp z ² 2t dz

=

r 2t

π exp z ² 2t

∞

0 = r 2t

π < _∞ .

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brownien

Mouvement brownien

Preuve du lemme 2 II

Propriétés du mouvement brownien

Il ne reste qu’à véri…er que 8 ^s, ^t ^{0 tels que} ^s < t, E

^P

[ W t jF ^s ] = W s .

E

^P

[ W _t jF ^s ] = E

^P

[ W _t W _s + W _s jF ^s ]

= E

^P

[ W t W s jF ^s ] + E

^P

[ W s jF ^s ]

= E

^P

[ W t W s ] + W s par ( MB 2 )

= W _s par ( MB 3 )

La démonstration est complète.

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brownien

Mouvement brownien

Propriétés I

Le mouvement brownien

Theorem

Lemme 3. Le mouvement brownien est un processus markovien.

Idée de la preuve du lemme 3 : Pour tout u 2 [ 0, s ] , les variables aléatoires W _t W _s et W _u sont indépendantes car

Cov [ W _t W _s , W _u ]

= Cov [ W t W u + W u W s , W u ]

= Cov [ W t W u , W u ] Cov [ W s W u , W u ]

= 0 + 0 par ( MB 2 ) .

Par conséquent W

t

= ( W

t

W

s

) + W

s

peut s’écrire comme la somme de

deux variables aléatoires: W

s

qui ne dépend de l’information disponible au

temps s, F

^s

, qu’à travers σ ( W

s

) et W

t

W

s

qui est indépendante de

F

^s

= σ f ^W

^u

^: ⁰ ^u ^s g ^.

(16)

brownien

Mouvement brownien

Propriétés II

Le mouvement brownien

Propriété 3. 8 ^ω 2 Ω , la trajectoire t ! ^W ^t ( ω ) est nulle part di¤érentiable.

La construction du mouvement brownien illustre bien cette

propriété.

(17)

brownien

Mouvement brownien

Le mouvement brownien multidimensionnel I

De…nition

Le mouvement brownien standard W de dimension n est une famille de vecteur aléatoires

W t = W _t ⁽ ¹ ⁾ , ..., W _t ⁽ ⁿ ⁾ ^> : t 0

où W ⁽ ¹ ⁾ , ..., W ⁽ ⁿ ⁾ représentent des mouvements browniens

indépendants construits sur l’espace probabilisé …ltré

( Ω , F ^, ^F ^, ^P ) .

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brownien

Mouvement brownien

Le mouvement brownien multidimensionnel II

Le mouvement brownien multidimensionnel est très utilisé dans les modèles de marché en temps continu.

Par exemple, lors de la modélisation simultanée des prix de plusieurs actifs risqués.

Cependant, les chocs que subissent ces actifs risqués ne devraient pas être indépendants.

C’est pourquoi nous aimerions construire un mouvement

brownien multidimensionnel dont les composantes sont

corrélées.

(19)

brownien

Mouvement brownien

Le mouvement brownien multidimensionnel III

À partir d’un mouvement brownien standard W de

dimension n, il est possible de créer un mouvement

brownien de dimension n dont les composantes sont

corrélées.

(20)

brownien

Mouvement brownien

Le mouvement brownien multidimensionnel IV

Theorem Γ = γ _{ij i}

_,j

2f ^1,2,...,n g est une matrice de constantes et W = W ⁽ ¹ ⁾ , ..., W ⁽ ⁿ ⁾ ^> est un vecteur composé de mouvements browniens indépendants.

Pour tout t, posons B t = _Γ W t .

Alors B _t est un vecteur aléatoire de dimension n dont la i ième composante est B _t ⁽ ⁱ ⁾ = _∑ ⁿ _k ₌ ₁ γ _ik W _t ⁽ ^k ⁾ . De plus

Cov h

B _t ⁽ ⁱ ⁾ , B _t ⁽ ^j ⁾ i

= t

∑ n k = 1

γ _ik γ _jk

et Cor h

B _t ⁽ ⁱ ⁾ , B _t ⁽ ^j ⁾ i

= ^∑

n

k = 1 γ _ik γ _jk q ∑ ⁿ k = 1 γ ² _ik

q ∑ ⁿ k = 1 γ ² _jk

.

(21)

brownien

Mouvement brownien

Démonstration I

Le mouvement brownien multidimensionnel

Cov h

B _t ⁽ ⁱ ⁾ , B _t ⁽ ^j ⁾ i

= Cov

" _n

k ∑ = 1

γ _ik W _t ⁽ ^k ⁾ ,

∑ n k = 1

γ _jk W _t ⁽ ^k ⁾

#

=

∑ n k = 1

γ _ik γ _jk Cov h

W _t ⁽ ^k ⁾ , W _t ⁽ ^k ⁾ i

=

∑ n k = 1

γ _ik γ _jk Cov h

W _t ⁽ ^k ⁾ , W _t ⁽ ^k ⁾ i

car Cov h

W _t ⁽ ^k ⁾ , W _t ⁽ ^k ⁾ i

= 0 si k 6 = k

= t

∑ n k = 1

γ _ik γ _jk

car Cov h

W _t ⁽ ^k ⁾ , W _t ⁽ ^k ⁾ i

= Var h W _t ⁽ ^k ⁾ i

= t

(22)

brownien

Mouvement brownien

Démonstration II

Le mouvement brownien multidimensionnel

Var h B _t ⁽ ⁱ ⁾ i

= Cov h

B _t ⁽ ⁱ ⁾ , B _t ⁽ ⁱ ⁾ i

= t

∑ n k = 1

γ ² _ik

Cor h

B _t ⁽ ⁱ ⁾ , B _t ⁽ ^j ⁾ i

=

Cov h

B _t ⁽ ⁱ ⁾ , B _t ⁽ ^j ⁾ i r

Var h

B _t ⁽ ⁱ ⁾ ir Var h

B _t ⁽ ^j ⁾ i

= ^t ^∑

n

k = 1 γ _ik γ _jk q

t ∑ ⁿ k = 1 γ ² _ik q

t ∑ ⁿ k = 1 γ ² _jk

(23)

brownien

Mouvement brownien

Démonstration III

Le mouvement brownien multidimensionnel

Nous venons de montrer qu’il est possible de construire un mouvement brownien B dont les composantes sont

corrélées à partir d’un mouvement brownien standard W (dont les constituants sont indépendants). Plus

précisemment, si B = Γ W, alors nous savons trouver la matrice de corrélations de B.

Pouvons-nous faire l’inverse, c’est-à-dire que si nous connaissons la matrice de corrélations de B, pouvons nous déterminer la matrice Γ permettant d’exprimer les

composantes de B comme une combinaison linéaire des

mouvements browniens indépendants ?

(24)

brownien

Mouvement brownien

Démonstration IV

Le mouvement brownien multidimensionnel

Theorem

Supposons maintenant que B ⁽ ¹ ⁾ , ..., B ⁽ ⁿ ⁾ représentent des mouvements browniens corrélés construits sur l’espace probabilisé …ltré ( Ω , F ^, F , P ) et que

8 ^i, ^j 2 f ^{1, ...,} ⁿ g ^et 8 ^t ^0, ^Cor ^h ^B t ⁽ ⁱ ⁾ , B _t ⁽ ^j ⁾ i

= ρ _ij .

Il existe une matrice A de format n n telle que

( i ) B = AW

( ii ) Cor h

B _t ⁽ ⁱ ⁾ , B _t ⁽ ^j ⁾ i

= ρ _ij

( iii ) W est formé de mouvements browniens indépendants.

(25)

brownien

Mouvement brownien

Démonstration V

Le mouvement brownien multidimensionnel

Démonstration. Soit V

_B

= t h ρ _ij

i

,j

= 1,...,n , la matrice de variance-covariance du vecteur aléatoire B _t ⁽ ¹ ⁾ , ..., B _t ⁽ ⁿ ⁾ . Puisque B = AW alors

V

_B

= AtIA ^> = tAA ^>

où I représente la matrice identité de dimension n.

Comme une matrice de variance-covariance est une matrice symétrique dé…nie positive, il existe une matrice triangulaire supérieure inversible U telle que V

_B

= U ^> U (décomposition de Cholevski). (Plusieurs logiciels dont matlab ont une fonction permettant de calculer cette matrice).

Par conséquent, il su¢ t de poser A = p ¹

t U ^> .

(26)

brownien

Mouvement brownien

Autres propriétés I

Le mouvement brownien

Soit a > 0. Dé…nissons

τ

a

( ω ) = 8 <

:

inf f ^s ⁰ ^: ^W

^s

( ω ) = a g ^si f ^s ⁰ ^: ^W

^s

( ω ) = a g 6 = ?

∞ si f ^s ⁰ ^: ^W

^s

( ω ) = a g = ? ,

le premier instant où le mouvement brownien W atteint le point a.

Les deux prochains résultats ont pour but de montrer que

le mouvement brownien atteindra éventuellement, avec

probabilité 1, n’importe quel nombre réel, aussi grand

soit-il.

(27)

brownien

Mouvement brownien

Autres propriétés II

Le mouvement brownien

Theorem

Lemme. La variable aléatoire τ a est un temps d’arrêt.

De…nition

Soit ( Ω , F ) , un espace probabilisable muni de la …ltration F = fF ^t ^: ^t ⁰ g ^{. Un} temps d’arrêt τ est une fonction de Ω dans [ 0, ∞ ] F mesurable telle que

f ^ω 2 Ω : τ ( ω ) t g 2 F ^t ^.

(28)

brownien

Mouvement brownien

Autres propriétés III

Le mouvement brownien

Démonstration du lemme. Nous devons montrer que pour tout t 0, l’événement f ^ω 2 Ω : τ a t g appartient à la tribu F ^t ^.

Si Q représente l’ensemble des nombres rationnels, alors f ^ω 2 ^Ω ^: ^τ ^a ^t g

= ω 2 ^Ω ^: ^sup

0 s t

W _s ( ω ) a

=

\

∞

n = 1

ω 2 Ω : sup

0 s t

W s ( ω ) > a 1 n

=

\

∞

n = 1

[

r 2

Q

\ [ 0,t ]

ω 2 ^Ω ^: ^W ^r ( ω ) > a 1

| {z n }

2F

^r

^donc 2F

^t

| {z }

2F

^t

2 F ^t

(29)

brownien

Mouvement brownien

Autres propriétés IV

Le mouvement brownien

où la dernière égalité est obtenue du fait que

sup ₀ _s _t W _s ( ω ) > a ¹ _n si et seulement s’il existe au moins

un nombre rationnel r inférieur ou égal à t pour lequel

W r ( ω ) > a ¹ _n .

(30)

brownien

Mouvement brownien

Autres propriétés V

Le mouvement brownien

Theorem

Lemme . Le temps d’arrêt τ a est …ni presque sûrement, c’est-à-dire que P [ τ a = _∞ ] = 0.

Démonstration du lemme. Nous voulons utiliser le théorème

d’arrêt des martingales...

(31)

brownien

Mouvement brownien

Autres propriétés VI

Le mouvement brownien

Theorem

Théorème d’arrêt (Optional Stopping Theorem) . Soit X = f ^X ^t ^: ^t ⁰ g un processus à trajectoires càdlàg (continues à droite avec limite à gauche) construit sur l’espace probabilisé

…ltré ( Ω , F ^, ^F ^, ^P ) , où F est la …ltration fF ^t ^: ^t ⁰ g ^. Supposons que le processus stochastique X est F adapté et qu’il est intégrable, c’est-à-dire que E

^P

[ j ^X ^t j ] < ∞ . Alors X est une martingale si et seulement si E

^P

[ X

_τ

] = E

^P

[ X ₀ ] pour tout temps d’arrêt τ borné, c’est-à-dire que pour chaque temps d’arrêt τ considéré, il existe une constante b telle que

8 ^ω 2 Ω , 0 τ ( ω ) b.

(réf. Revuz et Yor, proposition 3.5, page 67)

(32)

brownien

Mouvement brownien

Autres propriétés VII

Le mouvement brownien

Theorem

Théorème. Si la martingale M = f ^M ^t ^: ^t ⁰ g et le temps d’arrêt τ sont construits sur le même espace probabilisé …ltré ( _Ω , F ^, F , P ) alors le processus arrêté M

^τ

est lui aussi une martingale sur cet espace. (réf. Revuz et Yor, corollaire 3.6, page 67)

Démonstration du lemme. Nous voulons utiliser le théorème d’arrêt des martingales et, pour ce faire, il faut un temps d’arrêt borné. Or, le temps d’arrêt τ a n’est pas borné, mais pour tout n 2 N , le temps d’arrêt τ a ^ n, lui, est borné.

Utilisant le théorème d’arrêt sur la martingale M = ⁿ M _t = exp h

σW _t

^σ

₂

²

t i

: t 0 o

, nous obtenons

E [ M

_τ_a

_^ n ] = E [ M 0 ] = 1.

(33)

brownien

Mouvement brownien

Autres propriétés VIII

Le mouvement brownien

Puisque M

_τ_a

_^ _n ( ω ) =

8 <

: exp

h

σa

^σ

₂

²

τ a ( ω ) ⁱ si τ a ( ω ) n exp h

σW _n ( ω )

^σ

₂

²

n i

si τ a ( ω ) > n, alors

8 ⁿ 2 ^N ^, ^M

τa

^ ⁿ exp [ σa ] ,

donc la suite f ^M

^τ^a

^ ⁿ : n 2 N g est dominée par la

constante exp [ σa ] .

(34)

brownien

Mouvement brownien

Autres propriétés IX

Le mouvement brownien

De plus, pour tout ω 2 f ^ω 2 Ω : τ a ( ω ) < _∞ g ^,

n lim !

∞

M

_τ_a

_^ _n ( ω ) = M

_τ_a

( ω ) = exp σa σ ² 2 τ a ( ω ) tandis que pour tout ω 2 f ^ω 2 ^Ω ^: ^τ ^a ( ω ) = ∞ g ^{et pour} tout t 0,

M t ( ω ) = exp σW t ( ω ) ^σ

2 2 t exp σa σ ² 2 t ce qui entraîne que, pour tout ω 2

f ^ω 2 ^Ω ^: ^τ ^a ( ω ) = ∞ g ^,

n lim !

∞

M

_τ_a

_^ _n ( ω ) = 0.

(35)

brownien

Mouvement brownien

Autres propriétés X

Le mouvement brownien

Le théorème de la convergence dominée de Lebesgue entraîne que

E exp σa σ ²

2 τ a 1 _f

_τ_a

_<

_∞

_g

= E M

_τ_a

1 _f

_τ_a

_<

_∞

_g

= E 2 6 6 4 lim

n !

∞

M

_τ_a

_^ _n 1 _f

_τ_a

_<

_∞

_g + lim

n !

∞

M

_τ_a

_^ _n 1 _f

_τ_a

₌

_∞

_g

| {z }

= 0

3 7 7 5

= E h

n lim !

∞

M

_τ_a

_^ _n i

= lim

n !

∞

E [ M

_τ_a

_^ _n ]

= 1.

(36)

brownien

Mouvement brownien

Autres propriétés XI

Le mouvement brownien

Par conséquent, E exp σ ²

2 τ a 1 _f

_τ_a

_<

_∞

_g = exp [ σa ] . En laissant σ tendre vers 0, nous obtenons P [ τ a < ∞ ] = E 1 _f

_τ_a

_<

_∞

_g

= E lim

σ

! ⁰ exp σ ²

2 τ a 1 _f

_τ_a

_<

_∞

_g

= lim

σ

! ⁰ E exp σ ²

2 τ a 1 _f

_τ_a

_<

_∞

_g

par le théorème de la convergence dominée

= lim

σ

! ⁰ exp [ σa ]

= 1.

(37)

brownien

Mouvement brownien

Autres propriétés XII

Le mouvement brownien

Nous obtenons aussi au passage la fonction génératrice des moments E E

^λτ^a

de τ a . En e¤et, si λ =

^σ

₂

²

, alors

E exp [ λτ a ] 1 _f

_τ_a

_<

_∞

_g = exp h p 2λa i

.

Mais comme exp [ λτ a ] 1 _f

_τ_a

₌

_∞

_g = 0 presque sûrement, exp [ λτ a ] = E exp [ λτ a ] 1 _f

_τ_a

_<

_∞

_g presque sûrement et

E [ exp [ λτ a ]] = exp h p 2λa i

.

(38)

brownien

Mouvement brownien

Autres propriétés XIII

Le mouvement brownien

Nous poursuivons l’étude de l’étrange comportement du mouvement brownien.

Theorem

Lemme . Les trajectoires du mouvement brownien sur l’intervalle [ 0, T ] ne sont pas à variation bornée ^a .

a

Voir l’annexe B.

Intuitivement, ce dernier résultat signi…e que chacune des

trajectoires du mouvement brownien sur l’intervalle [ 0, T ]

est de longueur in…nie.

(39)

brownien

Mouvement brownien

Autres propriétés XIV

Le mouvement brownien

Theorem

Lemme. Le mouvement brownien est récurrent.

Cela signi…e que le mouvement brownien visite une in…nité de

fois chacun de ses états, c’est-à-dire tout nombre réel.

(40)

brownien

Mouvement brownien Construction du mouvement brownien

1ere approximation 2e approximation 3e approximation n ième approximation Passage à la limite Une autre construction

La construction du mouvement brownien I

Construire un mouvement brownien, c’est fabriquer un espace probabilisé ( Ω , F ^, P ) et un processus stochastique sur cet espace satisfaisant les conditions ( MB 1 ) , ( MB 2 ) , ( MB 3 ) et ( MB 4 ) .

Pour se simpli…er la tâche, nous allons construire le mouvement brownien sur l’intervalle de temps [ 0, 1 ] puisque s’il existe un mouvement brownien sur cet intervalle, nous pouvons en construire un sur n’importe quel intervalle de temps borné. En e¤et, si

f ^W ^t ^: ^t 2 [ 0, 1 ] g est un mouvement brownien sur l’intervalle [ 0, 1 ] alors 8 ^T > 0,

W = ⁿ W _t = T

¹²

W

^t

T

: t 2 [ 0, T ] ^o

en est un sur l’intervalle [ 0, T ] .

(41)

brownien

La construction du mouvement brownien II

Nous allons fabriquer le mouvement brownien par approximations successives. Soit

I ( n ) = f entiers impairs compris entre 0 et 2 ⁿ g ^. Par exemple,

I ( 0 ) = f ¹ g ^, Î ( 1 ) = f ¹ g ^, Î ( 2 ) = f ^1, ³ g ^, Î ( 3 ) = f ^1, ^3, ^5, ⁷ g ^{, etc.}

(42)

brownien

La construction du mouvement brownien III

Soit ( _Ω , F ^, P ) , un espace probabilisé sur lequel il existe une suite

n

ξ ⁽ _i ⁿ ⁾ : i 2 ^I ( n ) et n 2 N o

= ⁿ ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ , ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾ , ξ ⁽ ₁ ² ⁾ , ξ ₃ ⁽ ² ⁾ , ξ ⁽ ₁ ³ ⁾ , ξ ⁽ ₃ ³ ⁾ , ξ ⁽ ₅ ³ ⁾ , ξ ⁽ ₇ ³ ⁾ , ... o de variables aléatoires indépendantes, toutes de loi normale centrée et réduite ( N ( 0, 1 )) .

C’est à partir de ces variables que nous allons construire la suite de processus stochastiques se rapprochant du

mouvement brownien.

(43)

brownien

Première approximation I

Construction du mouvement brownien

La première approximation est des plus grossières : nous posons

B ₀ ⁽ ⁰ ⁾ ( ω ) = 0 et B ₁ ⁽ ⁰ ⁾ ( ω ) = ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ ( ω )

et tous les autres B _t ⁽ ⁰ ⁾ ( ω ) sont des interpolations linéaires de ces deux points

B _t ⁽ ⁰ ⁾ ( ω ) = 8 >

<

> :

0 si t = 0

ξ ₁ ⁽ ⁰ ⁾ ( ω ) t si 0 < t < 1 ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ ( ω ) si t = 1

.

(44)

brownien

Première approximation II

Construction du mouvement brownien

Remarquez que le graphe ci-dessous ne représente qu’une seule trajectoire du processus B ⁽ ⁰ ⁾ . Comme il est possible que la variable aléatoire ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ prenne des valeurs négatives, alors il est aussi possible que notre première approximation ait des trajectoires de pentes négatives.

Une trajectoire de la première approximation t ! ^B t ⁽ ⁰ ⁾ ( ω )

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0 0.2 0.4

t

B0

(45)

brownien

Deuxième approximation I

Construction du mouvement brownien

La deuxième approximation se construit à partir de la première.

Les deux extrémités restent …xées,

B ₀ ⁽ ¹ ⁾ ( ω ) = B ₀ ⁽ ⁰ ⁾ ( ω ) = 0 et B ₁ ⁽ ¹ ⁾ ( ω ) = B ₁ ⁽ ⁰ ⁾ ( ω ) = ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ ( ω ) , et le point milieu, lui, est déplacé:

B ⁽

1

¹ ⁾

2

( ω ) = ¹

2 B ₀ ⁽ ⁰ ⁾ ( ω ) + B ₁ ⁽ ⁰ ⁾ ( ω ) + ¹

2 ξ ¹ ₁ ( ω ) . Les autres points de la trajectoire sont obtenus par interpolations linéaires.

B _t ⁽ ¹ ⁾ ( ω ) = 8 >

> >

<

> >

> :

B ₀ ⁽ ⁰ ⁾ ( ω ) si t = 0

1 2 B ₀ ⁽ ⁰ ⁾ ( ω ) + B ₁ ⁽ ⁰ ⁾ ( ω ) + ¹ ₂ ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾ ( ω ) si t = ¹ ₂

B ₁ ⁽ ⁰ ⁾ ( ω ) si t = 1

(46)

brownien

Deuxième approximation II

Construction du mouvement brownien

B _t ⁽ ¹ ⁾ ( ω ) = 8 >

> >

<

> >

> :

B ₀ ⁽ ⁰ ⁾ ( ω ) si t = 0

1 2 B ₀ ⁽ ⁰ ⁾ ( ω ) + B ₁ ⁽ ⁰ ⁾ ( ω ) + ¹ ₂ ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾ ( ω ) si t = ¹ ₂ B ₁ ⁽ ⁰ ⁾ ( ω ) si t = 1 Une trajectoire de la deuxième approximation t ! ^B t ⁽ ¹ ⁾ ( ω )

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0 0.2 0.4 0.6

t

B1

(47)

brownien

Deuxième approximation III

Construction du mouvement brownien

Remarquons que

B ₀ ⁽ ¹ ⁾ = B ₀ ⁽ ⁰ ⁾ = 0 B ⁽

1

¹ ⁾

2

= ¹

2 B ₀ ⁽ ⁰ ⁾ + B ₁ ⁽ ⁰ ⁾ + ¹ 2 ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾

= ¹

2 0 + ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ + ¹ 2 ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾

= ¹

2 ξ ₁ ⁽ ⁰ ⁾ + ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾ N 0, 1

4 ( 1 + 1 ) = N 0, 1

2 B ₁ ⁽ ¹ ⁾ = B ₁ ⁽ ⁰ ⁾ = ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ N ( 0, 1 )

(48)

brownien

Deuxième approximation IV

Construction du mouvement brownien

implique que B ₁ ⁽ ¹ ⁾ B ⁽

1

¹ ⁾

2

= B ₁ ⁽ ⁰ ⁾ 1

2 B ₀ ⁽ ⁰ ⁾ + B ₁ ⁽ ⁰ ⁾ + ¹ 2 ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾

= ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ 1

2 0 + ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ + ¹ 2 ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾

= ¹

2 ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾ N 0, 1 2 B ⁽

1

¹ ⁾

2

B ₀ ⁽ ¹ ⁾ = ¹

2 0 + ξ ₁ ⁽ ⁰ ⁾ + ¹

2 ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾ B ₀ ⁽ ⁰ ⁾

= ¹

2 ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ + ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾ N 0, 1

2

(49)

brownien

Deuxième approximation V

Construction du mouvement brownien

et ces deux variables aléatoires sont indépendantes car elles sont gaussiennes et

Cov h

B ₁ ⁽ ¹ ⁾ B ⁽

1

¹ ⁾

2

, B ⁽

1

¹ ⁾

2

B ₀ ⁽ ¹ ⁾ i

= Cov 1

2 ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾ , 1

2 ξ ₁ ⁽ ⁰ ⁾ + ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾

= ¹ 4

0 @ Cov h

ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ , ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾

i + Cov h

ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ , ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾ i

Cov h

ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾ , ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ i

Cov h

ξ ₁ ⁽ ¹ ⁾ , ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾ i

1 A

= ¹

4 Var h ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾

i + 0 0 Var h ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾

i

= ¹

4 ( 1 + 0 0 1 ) = 0.

(50)

brownien

Troisième approximation I

Construction du mouvement brownien

La troisième approximation s’obtient de la deuxième :

B _t ⁽ ² ⁾ ( ω ) = 8 >

> >

> <

> >

:

B ₀ ⁽ ¹ ⁾ ( ω ) si t = 0

1 2 B ₀ ⁽ ¹ ⁾ ( ω ) + B ⁽

1

¹ ⁾

2

( ω ) + ¹

2

³²

ξ ⁽ ₁ ² ⁾ ( ω ) si t = ¹ ₄ B ⁽

1

¹ ⁾

2

( ω ) si t = ¹ ₂

1 2 B ⁽

1

¹ ⁾

2

( ω ) + B ₁ ⁽ ¹ ⁾ ( ω ) + ¹

2

³²

ξ ⁽ ₃ ² ⁾ ( ω ) si t = ³ ₄

B ₁ ⁽ ¹ ⁾ ( ω ) si t = 1

(51)

brownien

Troisième approximation II

Construction du mouvement brownien

Une trajectoire de la troisième approximation t ! ^B t ⁽ ² ⁾ ( ω )

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0 0.2 0.4 0.6

t

B2

(52)

brownien

Troisième approximation III

Construction du mouvement brownien

Remarquons que

B ₀ ⁽ ² ⁾ = B ₀ ⁽ ¹ ⁾ ( ω ) = 0 B ⁽

1

² ⁾

4

= ¹

2 B ₀ ⁽ ¹ ⁾ + B ⁽

1

¹ ⁾

2

+ ¹ 2

³²

ξ ₁ ⁽ ² ⁾

= ¹

2 0 + ¹

2 ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ + ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾ + ¹ 2

³²

ξ ₁ ⁽ ² ⁾

= ¹

4 ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ + ¹

4 ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾ + ¹ 2

³²

ξ ⁽ ₁ ² ⁾ N 0, 1

16 + ¹ 16 + ¹

8 = N 0, 1

4

(53)

brownien

Troisième approximation IV

Construction du mouvement brownien

B ⁽

1

² ⁾

2

= B ⁽

1

¹ ⁾

2

= ¹

2 ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ + ξ ₁ ⁽ ¹ ⁾ N 0, 1 2 B ⁽

3

² ⁾

4

= ¹ 2 B ⁽

1

¹ ⁾

2

+ B ₁ ⁽ ¹ ⁾ + ¹ 2

³²

ξ ⁽ ₃ ² ⁾

= ¹ 2

1 2 ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ + ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾ + ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ + ¹ 2

³²

ξ ⁽ ₃ ² ⁾

= ³

4 ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ + ¹

4 ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾ + ¹ 2

³²

ξ ⁽ ₃ ² ⁾ N 0, 9

16 + ¹ 16 + ¹

8 = N 0, 3

4 B ₁ ⁽ ² ⁾ = B ₁ ⁽ ¹ ⁾ = ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ N ( 0, 1 )

(54)

brownien

Troisième approximation V

Construction du mouvement brownien

implique B ₁ ⁽ ² ⁾ B ⁽

3

² ⁾

4

= ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ 3

4 ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ + ¹

4 ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾ + ¹ 2

³²

ξ ⁽ ₃ ² ⁾

= ¹

4 ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ 1

4 ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾ 1 2

³²

ξ ⁽ ₃ ² ⁾ N 0, 1

16 + ¹ 16 + ¹

8 = N 0, 1 4 B ⁽

₃

² ⁾

4

B ⁽

₁

² ⁾

2

= ³

4 ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ + ¹

4 ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾ + ¹

2

³²

ξ ₃ ⁽ ² ⁾ 1

2 ξ ₁ ⁽ ⁰ ⁾ + ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾

= ¹

4 ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ 1

4 ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾ + ¹ 2

³²

ξ ⁽ ₃ ² ⁾ N 0, 1

16 + ¹ 16 + ¹

8 = N 0, 1

4

(55)

brownien

Troisième approximation VI

Construction du mouvement brownien

B ⁽

₁

² ⁾

2

B ⁽

₁

² ⁾

4

= ¹

2 ξ ₁ ⁽ ⁰ ⁾ + ξ ₁ ⁽ ¹ ⁾ 1

4 ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ + ¹

4 ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾ + ¹ 2

³²

ξ ⁽ ₁ ² ⁾

= ¹

4 ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ + ¹

4 ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾ 1 2

³²

ξ ⁽ ₁ ² ⁾ N 0, 1

16 + ¹ 16 + ¹

8 = N 0, 1 4 B ⁽

1

² ⁾

4

B ₀ ⁽ ² ⁾ = B ⁽

1

² ⁾

4

N 0, 1

4

(56)

brownien

Troisième approximation VII

Construction du mouvement brownien

et ces quatre variables aléatoires sont mutuellement indépendantes car

Cov h

B ₁ ⁽ ² ⁾ B ⁽

3

² ⁾

4

, B ⁽

3

² ⁾

4

B ⁽

1

² ⁾

2

i

= Cov

"

ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ 4

ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾ 4

ξ ⁽ ₃ ² ⁾ 2

³²

, ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾

4 ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾ 4 + ^ξ

( 2 ) 3

2

³²

#

= ¹ 16 Var h

ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ i

+ ¹ 16 Var h

ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾

i 1

8 Var h ξ ⁽ ₃ ² ⁾

i

= 0

(57)

brownien

Troisième approximation VIII

Construction du mouvement brownien

Cov h

B ₁ ⁽ ² ⁾ B ⁽

3

² ⁾

4

, B ⁽

1

² ⁾

2

B ⁽

1

² ⁾

4

i

= Cov

"

ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ 4

ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾ 4

ξ ⁽ ₃ ² ⁾ 2

³²

, ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾

4 + ^ξ

( 1 ) 1

4 ξ ⁽ ₁ ² ⁾ 2

³²

#

= ¹ 16 Var

h ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾

i 1

16 Var h

ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾ i

= 0

Cov h

B ₁ ⁽ ² ⁾ B ⁽

3

² ⁾

4

, B ⁽

1

² ⁾

4

B ₀ ⁽ ² ⁾ i

= Cov

"

ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾ 4

ξ ⁽ ₁ ¹ ⁾ 4

ξ ⁽ ₃ ² ⁾ 2

³²

, ξ ⁽ ₁ ⁰ ⁾

4 + ^ξ

( 1 ) 1

4 + ^ξ

( 2 ) 1

2

³²

Le mouvement brownien 80-646-08 Calcul stochastique GeneviŁve Gauthier

Le mouvement brownien

80-646-08 Calcul stochastique

Geneviève Gauthier

HEC Montréal

Introduction

Le mouvement brownien

En 1827, Robert Brown a observé que de petites particules immergées dans un liquide sont perpétuellement en

mouvement, lequel est des plus irréguliers.

Historiquement, le mouvement brownien se voulait une tentative pour modéliser ce phénomène. Aujourd’hui, le mouvement brownien est utilisé dans divers domaines tels l’économie, la théorie de la communication, la biologie, les sciences administratives et les mathématiques.

(Traduction libre du paragraphe d’introduction au

mouvement brownien, S. Karlin et H. M. Taylor (1975).)

Nous attribuons au mathématicien Norbert Wiener

l’analyse rigoureuse des mathématiques concernant le

mouvement brownien et c’est pourquoi ce processus est

aussi connu sous le nom de processus de Wiener.

Dé…nition I

Le mouvement brownien

Soit ( Ω , F , F , P ) , un espace probabilisé …ltré.

Condition technique. Comme nous allons travailler avec des égalités presque-sûre 1 , nous exigeons que l’ensemble des événements qui ont une probabilité nulle de se réaliser soit compris dans la tribu F 0 , c’est-à-dire que l’ensemble

N = f A 2 F : P ( A ) = 0 g F 0 .

De cette façon si X est F t mesurable et que Y = X

P presque-sûrement alors nous savons que Y est

F t mesurable.

Dé…nition II

Le mouvement brownien

De…nition

Un mouvement brownien standard f W t : t 0 g est un processus stochastique adapté construit sur un espace probabilisé …ltré ( Ω , F , F , P ) tel que :

(MB1) 8 ω 2 Ω , W 0 ( ω ) = 0,

(MB2) 8 0 t 0 t 1 ... t k , les variables aléatoires W t

W t

, W t

W t

, ..., W t

W t

sont indépendantes, (MB3) 8 s , t 0 tels que s < t, la variable aléatoire W t W s est de distribution normale d’espérance 0 et de variance t s c’est-à-dite W t W s N ( 0, t s ) ,

(MB4) 8 ω 2 Ω , la trajectoire t ! W t ( ω ) est continue.

Dé…nition III

Le mouvement brownien

En général, la …ltration utilisée est F = fF t : t 0 g où F t = σ ff W s : 0 s t g [ N g

est la plus petite tribu pour laquelle les variables aléatoires W s : 0 s t sont mesurables contenant les ensembles de mesure nulle.

X = Y P presque-sûrement si l’ensemble des ω pour lesquels X est di¤érente de Y a une probabilité nulle, c’est-à-dire que

P f ω 2 Ω : X ( ω ) 6 = Y ( ω ) g = 0.

Rappel concernant la loi normale I

Si X est une variable aléatoire de loi normale d’espérance µ et d’écart-type σ > 0, alors sa fonction de densité est

f X ( x ) = 1 σ p

2π exp

( ( x µ ) 2 2σ 2

) ,

ce qui nous permet de déterminer 8 a, b 2 R , a < b, P [ a < X b ] =

Z b

a

f X ( x ) dx.

Malheureusement, il n’existe pas de primitive à l’intégrale ci-dessus. Nous devons donc l’évaluer numériquement. La fonction de répartition de X est

F X ( x ) =

Z x

f X ( y ) dy .

Rappel concernant la loi normale II

De façon générale, si deux variables aléatoires X et Y , construites sur le même espace probabilisé, sont indépendantes, alors leur covariance

Cov [ X , Y ] = E [ XY ] E [ X ] E [ Y ] est nulle.

Par contre, il est possible que deux variables aient une covariance nulle, mais qu’elles ne soient pas

indépendantes. Ceci est illustré par l’exemple suivant:

Rappel concernant la loi normale III

Exemple

ω X ( ω ) Y ( ω ) X ( ω ) Y ( ω ) P ( ω )

ω 1 0 1 0 1 4

ω 2 0 1 0 1 4

ω 3 1 0 0 1 4

ω 4 1 0 0 1 4

Rappel concernant la loi normale IV

La covariance entre ces deux variables est nulle car : E

[ X ] = 0, E

[ Y ] = 0, E

[ XY ] = 0 ) Cov

[ X , Y ] = E

[ XY ] E

[ X ] E

[ Y ] = 0 mais elles sont dépendantes puisque

P [ X = 0 et Y = 0 ] = 0 6 = 1

4 = P [ X = 0 ] P [ Y = 0 ] .

Soit ( _Ω , F ^, F , P ) , un espace probabilisé …ltré.

Condition technique. Comme nous allons travailler avec des égalités presque-sûre ¹ , nous exigeons que l’ensemble des événements qui ont une probabilité nulle de se réaliser soit compris dans la tribu F ⁰ , c’est-à-dire que l’ensemble

N = f ^A 2 F ^: ^P ( A ) = 0 g F ⁰ ^.

De cette façon si X est F ^t mesurable et que Y = X

F ^t ^mesurable.

Un mouvement brownien standard f ^W ^t ^: ^t ⁰ g ^{est un} processus stochastique adapté construit sur un espace probabilisé …ltré ( Ω , F ^, F , P ) tel que :

(MB1) 8 ^ω 2 ^Ω ^, ^W ⁰ ( ω ) = 0,

(MB2) 8 ⁰ ^t ⁰ ^t ¹ ^... ^t ^k ^, les variables aléatoires W t

sont indépendantes, (MB3) 8 ^s ^, ^t ^{0 tels que} ^s < t, la variable aléatoire W _t W _s est de distribution normale d’espérance 0 et de variance t s c’est-à-dite W t W s N ( 0, t s ) ,

(MB4) 8 ^ω 2 ^Ω ^, la trajectoire t ! ^W ^t ( ω ) est continue.

En général, la …ltration utilisée est F = fF ^t ^: ^t ⁰ g ^où F ^t = σ ff ^W ^s ^: ⁰ ^s ^t g [ N g

est la plus petite tribu pour laquelle les variables aléatoires W _s : 0 s t sont mesurables contenant les ensembles de mesure nulle.

P f ^ω 2 ^Ω ^: ^X ( ω ) 6 = Y ( ω ) g = 0.

f _X ( x ) = ¹ σ p

( ( x µ ) ² 2σ ²

ce qui nous permet de déterminer 8 ^a, ^b 2 R , a < b, P [ a < X b ] =

f _X ( x ) dx.

F _X ( x ) =

Z _x

f _X ( y ) dy .

ω 1 0 1 0 ¹ ₄

ω 2 0 1 0 ¹ ₄

ω 3 1 0 0 ¹ ₄

ω 4 1 0 0 ¹ ₄

[ XY ] = 0 ) ^Cov

P [ X = 0 et Y = 0 ] = 0 6 = ¹

4 = _P [ X = 0 ] _P [ Y = 0 ] .

Lemme 1. Soit f ^W ^t ^: ^t ⁰ g , un mouvement brownien standard. Alors

(i) Pour tout s > 0, f ^W ^t ⁺ ^s ^W ^s ^: ^t ⁰ g (homogénéité au cours du temps)

(ii) f ^W ^t ^: ^t ⁰ g ^(symétrie) (iii) n

W _t = tW

1 _t _> ₀ : t 0 o

Dé…nition. Sur l’espace probabilisé …ltré ( _Ω , F ^, F , P ) , où F est la …ltration fF ^t ^: ^t ⁰ g , le processus stochastique M = f ^M ^t ^: ^t ⁰ g ^{est une} martingale en temps continu si

( M 1 ) 8 ^t ^0, ^E

[ j ^M ^t j ] < _∞ ; ( M 2 ) 8 ^t ^0, ^M ^t ^est F ^t ^mesurable;

( M 3 ) 8 ^s ^, ^t ^{0 tel que} ^s < t, E

[ M _t jF ^s ] = M _s .

Pour tout instant t, la variable aléatoire W _t est intégrable puisque

[ j ^W ^t j ] =

j ^z j

p 2πt exp z ² 2t dz

2πt exp z ² 2t dz

π exp z ² 2t

π < _∞ .

Il ne reste qu’à véri…er que 8 ^s, ^t ^{0 tels que} ^s < t, E

[ W t jF ^s ] = W s .

[ W _t jF ^s ] = E

[ W _t W _s + W _s jF ^s ]

[ W t W s jF ^s ] + E

[ W s jF ^s ]

= W _s par ( MB 3 )