Calculs de primitives

Stanislas

Compléments

Calculs de primitives

2017-2018

Dans chacun des exercices, vous déterminerez une primitive des fonctions proposées en précisant leur ensemble de dénition. Les primitives classiques doivent pouvoir être retrouvées rapidement.

Exercice 1. (Fonctions usuelles)Soit aun réel strictement positif.

1. f₁(x) = ^x3+5x_x2²⁻⁴. 2. f2(x) = cotan(x). 3. f₃(x) = coth(x).

4.f₄(x) = _a2+x^{1 2}. 5.f5(x) = _a2−x^{1 2}. 6.f6(x) = ^{√ 1}

a²−x².

7. f₇(x) = _9+x¹ 2. 8. f8(x) = ^√_25−16x¹ ₂.

Partie I : Techniques élémentaires Exercice 2. (u⁰·f⁰(u))

1. f1(x) = _(x3^8x+2)^{2 3}. 2. f2(x) =x√

1−2x². 3. f₃(x) = (e^x+ 1)³e^x.

4.f4(x) = _3+sin^sin(x)2(x). 5.f5(x) = ^√_1−x^x2 ₆. 6.f6(x) = _x4^x+3.

7. f7(x) = _x2+10x+30¹ .

Exercice 3. (Changements de variable)

1. f₁(x) = _ex¹+1. 2.f₂(x) =√

e^x−1. 3. f₃(x) = ¹

x³²+1. Exercice 4. (Intégrations par parties)

1. f1(x) = arcsin(x). 2. f2(x) =x²ln(x).

3. f3(x) =x√ 1 +x.

4.f4(x) =xtan²(x). 5.f5(x) = ln(x²+ 2).

6.f6(x) =√

1 +xln(x).

7. f7(x) =xarctan²(x). 8. f₈(x) =e^arccos(x).

Partie I : Fractions rationnelles

Pour calculer la primitive d'une fraction rationnelle, on calcule sa décomposition en éléments simples (cette notion n'est pas au programme et il sut de suivre les indications).

Primitives de la forme

Z dx (x−a)ⁿ.

∗ Sin= 1, alorsZ dx

x−a = ln|x−a|.

∗ Sin>2, alorsZ dx

(x−a)ⁿ = 1

(1−n)(x−a)ⁿ⁻¹. Primitives de la forme

Z ax+b

x²+px+qdx= a 2

Z 2x+p

x²+px+qdx+

b−ap 2

Z

dx x+^p₂2

+ ^4q−p₄ ².

∗ Si4q−p² >0, on utilise la fonction arctangente.

∗ Si4q−p² <0, on utilise la fonction logarithme.

Exercice 5. (Fractions rationnelles) 1. f1(x) = ^x+2_x+1.

2. f2(x) = _(x+1)^x2+2x2. 3. f₃(x) = _x2¹−9. 4. f₄(x) = _x3¹+1.

a

x+1+_x2^bx+c−x+1. 5.f5(x) = _x^x3²+x^−3x−12−2x.

a

x+_x+2^b +_x−1^c . 6.f₆(x) = _(x2^2x+1)^{3 2}.

ax+b

x²+1+_(x^cx+d2+1)². 7. f₇(x) = ^2x−7_x2+9. 8. f₈(x) = _x2−4x+8^x+1 .

Stanislas A. Camanes

Compléments. Calculs de primitives PSI

Partie I : Polynômes, Exponentielles et Trigonométrie Pour calculer une primitive de la forme

Z

P(x)e^αxcos(ωx)dx, on utilise l'écriture complexe de la fonction cosinus puis on cherche une solution sous la forme polynôme / exponentielle. Ceci revient à chercher des primitives de la formeZ

P(x)e^axdx avec a∈C.

∗ Sia= 0, on intègre un polynôme.

∗ Sia6= 0, on cherche une primitive sous la formeQ(x)e^ax, oùQest un polynôme de même degré queP. Ainsi, par dérivation on obtient la relation aQ(x) +Q⁰(x) =P(x).

Exercice 6.Soitn∈N.

1. f1(x) =xcosx.

2. f2(x) =x²e^−3x.

3.f3(x) = sinhxcosx. 4. f4(x) =xⁿe^x.

Partie I : Fonctions rationnelles en cosinus et sinus

Fonctions polynomiales des fonctions trigonométriques.On utilise les formules de linéarisation.

Exercice 7. (Fonctions trigonométriques)Soienta, btels queab6= 0eta² 6=b².

1. f₁(x) = sin(x) sin(3x). 2.f₂(x) = sin³(x). 3. f₃(x) = cos(ax) cos(bx). Règles de Bioche :

Z

F(cosx,sinx)dx.

On se ramène au calcul d'une primitive de fraction rationnelle.

(i). On pose ω(x) =F(cosx,sinx)dx.

∗ Siω(−x) =ω(x), alors on eectue le changement de variable t= cosx.

∗ Siω(π−x) =ω(x), alors on eectue le changement de variablet= sinx.

∗ Siω(π+x) =ω(x), alors on eectue le changement de variablet= tanx.

(ii). En dernier recours, on eectue le changement de variablet= tan^x₂. Exercice 8. (Règles de Bioche)

1. f1(x) = _cos¹_x+2. 2. f₂(x) = _2+cos^sin3x_x.

3. f3(x) = _1+sin^tanx2x.

4. f4(x) = _(1+cos^{4 sin}x)(3+cos 2x)^x .

Partie I : Fractions rationnelles et Exponentielle

Eectuer le changement de variable t = e^x. En présence de fonctions cosh ou sinh qui inter- viennent, on peut les remplacer par leur forme exponentielle.

Exercice 9.

1. f1(x) = _{1+sinhx+2 cosh}¹ _x. 2. f2(x) = _sinh¹ _x.

Stanislas A. Camanes

Compléments. Calculs de primitives PSI

Partie I : Fractions rationnelles et Radicaux Primitives de la forme

Z

F x, ⁿ

rax+b cx+d

! dx.

Eectuer le changement de variable t= ⁿ qax+b

cx+d. Exercice 10.

1. f₁(x) = q1+x

1−x. 2. f₂(x) =

√1+x−√⁴

√ x+1 1+x+√⁴

x+1. Partie I : Primitives de la forme

Z F

x,p

ax²+bx+c dx On écrit le trinôme sous forme canoniquea x+_2a^b 2

+c− ^b_4a².

∗ Sia = α² et c− _4a^b2 =β², alors on eectue le changement de variable x = ^β_αsinht− _a^b, pour pouvoir utiliser la relation1 + sinh²= cosh².

∗ Sia=α² etc−_4a^b2 =−β², alors on eectue le changement de variablex= ^β_αcosht−_a^b, pour pouvoir utiliser la relationsinh²= cosh²−1.

∗ Sia =−α² et c− ^b_4a² = β², alors on eectue le changement de variable x = ^β_αsint−_a^b, pour pouvoir utiliser la relationsin²= 1−cos².

Les deux premières méthodes nécessitent la connaissance des fonctionsArgsh etArgch. Exercice 11.

1. f₁(x) =√ x²−1. 2. f2(x) =x²√

1−x².

3. f₃(x) =√

2x²−3x+ 5. 4. f₄(x) = ^{√ x}

2x−x².

Stanislas A. Camanes