Universit´e Paris Diderot MI2 – Ann´ee 2010/11
D´epartement de Sciences Exactes L2 Info
Feuille d’exercices n
◦4 :
Int´ egrales : propri´ et´ es et calculs de primitives
Exercice 1 Calculer la limite de la suite suivante (poura, b >0 :
un:= 1
na+ 1
na+b+ 1
na+ 2b+· · ·+ 1
na+ (n−1)b =
n−1
X
k=0
1 na+kb
Exercice 2 On rappelle que log ou ln d´esigne (en math´ematiques) le logarithme neperien, c’est-`a-dire la fonction d´efinie, pourx >0 par la formule :
logx:=
Z x
1
dt t .
En utilisant les propri´et´es de l’int´egrale montrer les propri´et´es suivantes du logarithme.
1. La fonction logarithme est croissante.
2. Six>1 (resp. si 0< x61) alors logx>0 (resp. logx60).
3. Utiliser (en les d´emontrant) les in´egalit´es suivantes pour d´emontrer que n2 6log(2n)6n: 1
2 = Z 2k+1
2k
dt 2k+1 6
Z 2k+1
2k
dt t 6
Z 2k+1
2k
dt 2k = 1 4. En se souvenant que log(x−1) =−logx, en d´eduire
x→lim+∞logx= +∞; lim
x→0+logx=−∞; lim
x→0+xlogx= 0.
Exercice 3 R´esoudre cet exercice en utilisant le minimum de calcul.
1. Calculer la valeur des int´egrales I1:=
Z π
−π
sinx(3 + sin2x)
cos2x+ cosx+ 1dx; I2:=
Z +1
−1
xex2dx
2. Justifier les majorations suivantes
Z 1
0
sint 1 +t2dt
6 π
4; 06 Z 2
1
e−x2dx6e2−e.
3. Calculer l’int´egraleR1
0 xexdxet en d´eduire la majoration (o`um est un r´eel) :
Z 1
0
xsin(mx)ex
√1 +x4 dx
61.
4. Montrer que
Z 1
−1
x2cos2xe−x2dx6 Z 2
−2
x2cos2xe−x2dx62 Z 2
0
x2dx=16 3 .
Exercice 4 Calculer les primitives des fonctions suivantes 1. x4−6x3+ 2
2. Arctg(x)
3. tg(x) 4. sin(x)1 5. √5
2x+ 1
Exercice 5 Calculer les primitives des fonctions suivantes `a l’aide d’int´egrations par parties 1. x2e−x
2. (x3−2x+ 3)e−2x 3. log(1 +x2) 4. ch(x) cos(x)
Exercice 6 Calculer les primitives des fonctions suivantes (pour certaines un changement de variables est sugg´er´e entre parenth`ese)
1. x(2x+ 1)7 2. ex1+1 3. √x
x+1
4. xlog1mx
Exercice 7 Calculer les int´egrales suivantes 1. R1
0 logx:= limǫ→0+
R1
ǫ logxdx.
2. R∞
0 e−xcos(x)dx= limX→+∞
RX
0 e−xcos(x)dx
Exercice 8 Soitg:R→Rune fonction d´erivable etf une fonction continue, 1. Montrer que la fonctionG(x) :=Rg(x)
0 f(t)dtest d´erivable et admet pour d´eriv´eeG′(x) =g′(x)f(g(x)).
2. On d´efinit la fonction
F(x) =
Z sin2(x)
0
Arcsin(√ t)dt+
Z cos2(x)
0
Arcos(√ t)dt D´eterminer son domaine de d´efinition, une p´eriode et sa parit´e.
3. Montrer queF est d´erivable et calculer sa d´eriv´ee.
4. Calculer F(0) (on pourra effectuer le changement de variable u= Arcos(√
t)). En d´eduire la valeur de F(x) pour toutx∈R.
Exercice 9Calculer la valeur de l’int´egrale I1:=
Z π/2
0
sin(t) 2−sin2(t)2dt (indication : on pourra utiliser le changement de variablex= cos(t)).
On d´efinit maintenant les int´egrales : In:=
Z π/2
0
sinn(t) 2−sin2(t)2dt.
Montrer que pour toutn>1 on a :
In+16In.
Exercice 10 On se propose de calculer une primitive de
f(x) = (cos(x) + 1)3
sin(x)(2 + sin(x))(cos(x) + sin(x) + 1)2
1. Effectuer un changement de variables ramenant le calcul d’une primitive de f au calcul d’une primitive de fonction rationnelle.
2. D´ecomposer la fraction rationnelle obtenue en ´el´ements simples.
3. Calculer une primitive de (t2+t+ 1)−1. 4. En d´eduire une primitive def.
Exercice 11
1. Effectuer la d´ecomposition en ´el´ements simples de la fraction rationnelle suivante :
f(t) = 5
(t−2)(t−1)2(t2+ 1) 2. En d´eduire une primitive def.
Exercice 12 On d´efinit l’int´egrale suivante J(X) :=
Z X
0
r t t+ 1
dt (2t2+ 2t+ 1). 1. Factoriser surRle polynˆomeX4+ 1.
2. D´ecomposer en ´el´ements simples la fraction rationnelle suivante : f(X) = X2
X4+ 1 3. En d´eduire une primitive def.
4. A l’aide du changement de variableu=q
t
t+1 calculerJ(X) et limX→∞J(X).
