Calculs de primitives Exercice 1.

(1)

1

Calculs de primitives

Exercice 1.

Calculer 1.

𝐹₁(𝑥) = ∫ cos³(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

2.

𝐹₂(𝑥) = ∫ sin³(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

3.

𝐹₃(𝑥) = ∫ cos⁴(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥 0

4.

𝐹₄(𝑥) = ∫ sin⁴(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

5.

𝐹₅(𝑡) = ∫ cos²(𝑡) sin²(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥 0

6.

𝐹₆(𝑥) = ∫ cos²(𝑡) sin³(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

7.

𝐹₇(𝑥) = ∫ cos(𝑡) sin⁴(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2.

Calculer

𝐼 = ∫ cos³(𝑡) sin²(𝑡) 𝑑𝑡

𝜋 2 0

1.

𝐹₁(𝑥) = ∫ ch³(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥 0

2.

𝐹₂(𝑥) = ∫ sh³(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

3.

𝐹₃(𝑥) = ∫ ch⁴(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥 0

4.

(2)

2

𝐹₄(𝑥) = ∫ sh⁴(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

5.

𝐹₅(𝑡) = ∫ ch²(𝑡) sh²(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥 0

6.

𝐹₆(𝑥) = ∫ ch²(𝑡) sh³(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥 0

7.

𝐹₇(𝑥) = ∫ ch(𝑡) sh⁴(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

Calculer les primitives suivantes : 1.

𝐹₁(𝑥) = ∫(cos(𝑥) cos(2𝑥) + sin(𝑥) sin(2𝑥))𝑑𝑥 2.

𝐹₂(𝑥) = ∫ cos(𝑥) sin⁴(𝑥) 𝑑𝑥 3.

𝐹₃(𝑥) = ∫ cos⁶(𝑥) 𝑑𝑥 4.

𝐹₄(𝑥) = ∫ sin⁴(𝑥) 𝑑𝑥 5.

𝐹₅(𝑥) = ∫ sin³(𝑥) cos²(𝑥) 𝑑𝑥 6.

𝐹₆(𝑥) = ∫ ch²(𝑥) sh²(𝑥) 𝑑𝑥 7.

𝐹₇(𝑥) = ∫ sh(𝑥) ch³(𝑥) 𝑑𝑥 8.

𝐹₈(𝑥) = ∫ ch(𝑥) sh³(𝑥) 𝑑𝑥 Allez à : Correction exercice 4

Exercice 5.

1.

𝐹₁(𝑥) = ∫ 𝑒^𝑡cos(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥 0

2.

𝐹₂(𝑥) = ∫ 𝑒^𝑡sin(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥 0

3.

(3)

3

𝐹₃(𝑥) = ∫ 𝑒^−𝑡cos(2𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

4.

𝐹₄(𝑥) = ∫ 𝑒^−𝑡sin(2𝑡) 𝑑𝑡

𝑥 0

5.

𝐹₅(𝑥) = ∫ 𝑒^2𝑡cos (𝑡 −𝜋 4) 𝑑𝑡

𝑥 0

6.

𝐹₆(𝑥) = ∫ 𝑒^−2𝑡cos (𝑡 +𝜋 4) 𝑑𝑡

𝑥

0

7.

𝐹₇(𝑥) = ∫ 𝑒^−𝑡cos (2𝑡 +𝜋 3) 𝑑𝑡

𝑥 0

8.

𝐹₈(𝑥) = ∫ 𝑒^𝑡cos (2𝑡 −𝜋 3) 𝑑𝑡

𝑥 0

1.

𝐹₁(𝑥) = ∫ 𝑡𝑒^𝑡𝑑𝑡

𝑥 0

2.

𝐹₂(𝑥) = ∫ 𝑡²𝑒^𝑡𝑑𝑡

𝑥

0

3.

𝐹₃(𝑥) = ∫ 𝑡³𝑒^𝑡𝑑𝑡

𝑥 0

4.

𝐹₄(𝑥) = ∫ 𝑡 ln(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

1

5.

𝐹₅(𝑥) = ∫ 𝑡²ln(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥 1

6.

𝐹₆(𝑥) = ∫ 𝑡³ln(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

1

7.

𝐹₇(𝑥) = ∫ 𝑡 sin(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥 0

8.

𝐹₈(𝑥) = ∫ 𝑡²sin(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

9.

(4)

4

𝐹₉(𝑥) = ∫ 𝑡³sin(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

10.

𝐹₁₀(𝑥) = ∫ 𝑡 cos(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥 0

11.

𝐹₁₁(𝑥) = ∫ 𝑡²cos(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥 0

12.

𝐹₁₂(𝑥) = ∫ 𝑡³cos(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

13.

𝐹₁₃(𝑥) = ∫ arcsin(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥 0

14.

𝐹₁₄(𝑥) = ∫ 𝑡 arcsin(𝑡)𝑑𝑡

𝑥 0

15.

𝐹₁₅(𝑥) = ∫ arctan(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

1.

𝐹₁(𝑥) = ∫ 𝑒^𝑥cos(𝑥) 𝑑𝑥 2.

𝐹₂(𝑥) = ∫ln(𝑥)

𝑥^𝑛 𝑑𝑥 , 𝑛 ≠ 1 3.

𝐹₃(𝑥) = ∫ 𝑥 arctan(𝑥) 𝑑𝑥 4.

𝐹₄(𝑥) = ∫(𝑥²+ 𝑥 + 1)𝑒^𝑥𝑑𝑥 Allez à : Correction exercice 7

Exercice 8.

Calculer 1.

𝐹₁(𝑥) = ∫ 𝑑𝑥 𝑥(𝑥 − 1) 2.

𝐹₂(𝑥) = ∫ 𝑑𝑥 1 − 𝑥² 3.

𝐹₃(𝑥) = ∫ 𝑑𝑥 𝑥(𝑥² − 1)

(5)

5 4.

𝐹₄(𝑥) = ∫ 𝑥³ 𝑥²+ 4𝑑𝑥 5.

𝐹₅(𝑥) = ∫ 𝑥 𝑥²+ 4𝑑𝑥 6.

𝐹₆(𝑥) = ∫ 𝑥² 𝑥²+ 3𝑑𝑥 7.

𝐹₇(𝑥) = ∫ 1

𝑥²(𝑥²− 1)𝑑𝑥 8.

𝐹₈(𝑥) = ∫ 1

𝑥(𝑥² − 1)²𝑑𝑥 9.

𝐹₉(𝑥) = ∫ 1

(𝑥²− 1)²𝑑𝑥 10.

𝐹₁₀(𝑥) = ∫ 1

𝑥²(𝑥² − 1)²𝑑𝑥 11.

𝐹₁₁(𝑥) = ∫ 𝑥 + 1 (𝑥²+ 1)²𝑑𝑥 12.

𝐹₁₂(𝑥) = ∫ 2𝑥 + 3

(𝑥 − 2)(𝑥 + 5)𝑑𝑥 13.

𝐹₁₃(𝑥) = ∫ 𝑥

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 + 3)𝑑𝑥 14.

𝐹₁₄(𝑥) = ∫ 𝑑𝑥 𝑥⁴− 𝑥²− 2 15.

𝐹₁₅(𝑥) = ∫ 𝑑𝑥

(𝑥 + 2)(𝑥²+ 2𝑥 + 5) 16.

𝐹₁₆(𝑥) = ∫ 16𝑑𝑥 𝑥²(𝑥²+ 2)³ 17.

𝐹₁₇(𝑥) = ∫ 𝑥⁴+ 1 𝑥(𝑥 − 1)³𝑑𝑥 18.

𝐹₁₈(𝑥) = ∫ 1

𝑥(𝑥²+ 1)²𝑑𝑥 19.

Trouver une primitive de

(6)

6

𝑡 → 𝑡

𝑡²+ 2𝑡 + 4 Allez à : Correction exercice 8

Exercice 9.

1. Calculer

𝐺(𝑡) = ∫ −𝑡 + 1 𝑡² + 2𝑡 + 5𝑑𝑡 2. Calculer

𝐹(𝑡) = ∫ln(𝑡²+ 2𝑡 + 5) (𝑡 − 1)² 𝑑𝑡 Allez à : Correction exercice 9

Exercice 10.

1. Décomposer en éléments simple

𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 𝑥²(𝑥 + 1) 2. Calculer

𝐹(𝑥) = ∫ 1

𝑥²ln(𝑥²+ 𝑥) 𝑑𝑥 A l’aide d’une intégration par partie

𝐹₁(𝑥) = ∫ 𝑑𝑥 𝑥²+ 5 2.

𝐹₂(𝑥) = ∫ 𝑑𝑥

√𝑥²− 5 3.

𝐹₃(𝑥) = ∫ 𝑒^𝑥sin(𝑒^𝑥) 𝑑𝑥 4.

𝐹₄(𝑥) = ∫ tan³(𝑥) 𝑑𝑥 5.

𝐹₅(𝑥) = ∫ 1

tan³(𝑥) 𝑑𝑥 6.

𝐹₆(𝑥) = ∫ 2𝑥 + 3

(𝑥²+ 3𝑥 + 7)^𝑚𝑑𝑥 , 𝑚 ≠ 1 7.

𝐹₇(𝑥) = ∫ln(𝑥) 𝑥 𝑑𝑥 8.

(7)

7

𝐹₈(𝑥) = ∫ ch(𝑥) sh⁵(𝑥)𝑑𝑥 Allez à : Correction exercice 11

Exercice 12.

Calculer 1.

𝐹₁(𝑥) = ∫ 𝑑𝑥

𝑥² + 𝑎² 𝑎 ≠ 0 2.

𝐹₂(𝑥) = ∫ 𝑑𝑥 (1 + 𝑥²)² 3.

𝐹₃(𝑥) = ∫ 𝑥³ 𝑥² − 4𝑑𝑥 4.

𝐹₄(𝑥) = ∫ 4𝑥𝑑𝑥 (𝑥 − 2)² 5.

𝐹₅(𝑥) = ∫ 𝑑𝑥 𝑥² + 𝑥 + 1 6.

𝐹₆(𝑡) = ∫ 𝑑𝑡 𝑡²+ 2𝑡 − 1 7.

𝐹₇(𝑡) = ∫ (3𝑡 + 1)𝑑𝑡 (𝑡²− 2𝑡 + 10)² 8.

𝐹₈(𝑡) = ∫ (3𝑡 + 1)𝑑𝑡 𝑡²− 2𝑡 + 10 9.

𝐹₉(𝑡) = ∫ 𝑑𝑡 𝑡³+ 1 10.

𝐹₁₀(𝑥) = ∫ 𝑥³+ 2 (𝑥 + 1)³𝑑𝑥 11.

𝐹₁₁(𝑥) = ∫ 𝑥 + 1 𝑥(𝑥 − 2)²𝑑𝑥 Allez à : Correction exercice 12

Exercice 13.

Calculer les intégrales de fractions rationnelles suivantes.

1.

𝐼₁ = ∫ 𝑑𝑥 𝑥²+ 2

1 0

2.

𝐼₂ = ∫ 𝑑𝑥 1 − 𝑥²

1 2

− 1 2

3.

(8)

8

𝐼₃ = ∫ (2𝑥 + 1)𝑑𝑥 𝑥²+ 𝑥 − 3

3 2

4.

𝐼₄ = ∫ 𝑥 𝑥⁴+ 16𝑑𝑥

2

0

5.

𝐼₅ = ∫ 5𝑥 + 6

(𝑥²− 4)(𝑥 + 2)𝑑𝑥

1

0

6.

𝐼₆ = ∫ 𝑥 − 1 𝑥²(𝑥²+ 1)𝑑𝑥

√3 1

𝐹₁(𝑥) = ∫cos³(𝑥) sin⁵(𝑥)𝑑𝑥 2.

𝐹₂(𝑥) = ∫ sin³(𝑥) 1 + cos(𝑥)𝑑𝑥 3.

𝐹₃(𝑥) = ∫ 𝑑𝑥

cos⁴(𝑥) + sin⁴(𝑥) 4.

𝐹₄(𝑥) = ∫cos(𝑥) − 2 sin(𝑥) 𝑑𝑥 Allez à : Correction exercice 14

Exercice 15.

𝐼 = ∫ 𝑑𝑥

cos(𝑥) sin(𝑥)

𝜋 3 𝜋 6

𝐼 = ∫ cos³(𝑡) sin⁴(𝑡)𝑑𝑡

𝜋 2 𝜋 6

1. Déterminer une primitive de la fonction 𝑓 définie par : 𝑓(𝑡) = 1

sin(2𝑡)

(9)

9 2. A l’aide du changement de variable 𝑥 = 2𝑡, calculer

𝐹(𝑥) = ∫ 𝑑𝑥 sin(𝑥) Allez à : Correction exercice 17

Exercice 18.

Calculer sur ]−^𝜋

2,^𝜋

2[

𝐹(𝑥) = ∫ 2𝑑𝑥 1 + tan(𝑥) Allez à : Correction exercice 18

Exercice 19.

Calculer

𝐹(𝑡) = ∫ 1

1 + ch(𝑡)𝑑𝑡 Allez à : Correction exercice 19

Exercice 20.

Déterminer une primitive sur ℝ de la fonction 𝑓 définie par : 𝑓(𝑥) =1 + sh(𝑥) 1 + ch(𝑥) Allez à : Correction exercice 20

Exercice 21.

∫ 𝑑𝑥

(ch(𝑥) + 1)² Allez à : Correction exercice 21

Exercice 22.

Calculer pour 𝑥 > 0

𝐹(𝑥) = ∫ch(𝑥) − sh(𝑥) ch(𝑥) − 1 𝑑𝑥 Allez à : Correction exercice 22

Exercice 23.

Calculer

∫2 − ch(𝑥) + sh(𝑥) 2 ch(𝑥) 𝑑𝑥 Allez à : Correction exercice 23

Exercice 24.

1. Décomposer en élément simple la fraction

𝑓(𝑥) = 1 𝑥(𝑥 − 1)² 2. Calculer

𝐹(𝑡) = 2 ∫ 𝑑𝑡 ch(𝑡) sh³(𝑡)

(10)

10 A l’aide du changement de variable 𝑥 = ch²(𝑡) Allez à : Correction exercice 24

Exercice 25.

Calculer

𝐹(𝑥) = ∫(3𝑡²− 2𝑡) ln(𝑡²+ 1) 𝑑𝑡 Allez à : Correction exercice 25

Exercice 26.

A l’aide d’une intégration par partie calculer les intégrales suivantes a.

𝐼₁ = ∫ 𝑡 ln(𝑡) 𝑑𝑡

𝑒

1

b.

𝐼₂ = ∫ 𝑡 sin(𝑡) 𝑑𝑡

𝜋 2 0

c.

𝐼₃ = ∫ 3𝑥²ln(𝑥²+ 1) 𝑑𝑥

√3 0

1. Calculer

∫ 2𝑥

(𝑥² − 1)²𝑑𝑥 2. Calculer sur ]1, +∞[

𝐺(𝑥) = ∫ 2𝑥

(𝑥²− 1)²ln(𝑥) 𝑑𝑥 Allez à : Correction exercice 27

Exercice 28.

Calculer

∫ 1

(𝑥 + 1)²arctan(𝑥) 𝑑𝑥 Allez à : Correction exercice 28

Exercice 29.

Calculer 1.

𝐹₁(𝑥) = ∫ 1

√2 + 𝑥 + √2 + 𝑥³ 𝑑𝑥 ; 𝑡 = √2 + 𝑥⁶ Avec 𝑥 ∈ ]−2, +∞[

2.

𝐹₂(𝑥) = ∫ 1

((𝑥 − 1)²− 4)²𝑑𝑥 ; 𝑥 − 1

2 = th(𝑢) Avec 𝑥 ∈] − 1,3[

3.

(11)

11

𝐹₃(𝑥) = ∫(arcsin(𝑥))²𝑑𝑥 4.

𝐹₄(𝑥) = ∫ 𝑥²√1 + 𝑥³𝑑𝑥 Allez à : Correction exercice 29

Exercice 30.

1. Calculer

𝐹(𝑡) = 2 ∫ 𝑡² 𝑡² − 1 𝑑𝑡 2. En déduire

𝐺(𝑥) = ∫ √𝑒^𝑥+ 1𝑑𝑥 A l’aide du changement de variable 𝑡 = √𝑒^𝑥+ 1

Calculer les primitives suivantes sur l’intervalle 𝐼 : 1. 𝐼 =]1, +∞[

𝐹₁(𝑥) = ∫ 𝑑𝑥 𝑥 + √𝑥 − 1 2. 𝐼 = ℝ^+∗

𝐹₂(𝑥) = ∫ 𝑑𝑥 𝑥√𝑥² + 𝑥 + 1 3. 𝐼 = ℝ

𝐹₃(𝑥) = ∫ 𝑥

√9 + 4𝑥²𝑑𝑥 4. 𝐼 = ]^1−√2

2 ,^1+√2

2 [

𝐹₄(𝑥) = ∫ 𝑥 + 1

√−4𝑥²+ 4𝑥 + 1𝑑𝑥 5. 𝐼 = ]−¹

2,⁵

2[

𝐹₅(𝑥) = ∫ 8𝑥 − 3

√12𝑥 − 4𝑥²− 5𝑑𝑥 6. 𝐼 = ]1, +∞[

𝐹₆(𝑥) = ∫ √𝑥²− 1𝑑𝑥 7. 𝐼 = ]1,4[

𝐹₇(𝑥) = ∫ 𝑥√𝑥

𝑥²− 5𝑥 + 4𝑑𝑥 8. 𝐼 =] − 1,1[

𝐹₈(𝑥) = ∫ 1

1 − 𝑡√1 − 𝑡 1 + 𝑡𝑑𝑡 Allez à : Correction exercice 31

Exercice 32.

(12)

12 Calculer

𝐹(𝑥) = ∫ 𝑑𝑥 1 + √1 − 𝑥 Allez à : Correction exercice 32

Exercice 33.

1. Calculer

𝐹(𝑥) = ∫ 𝑑𝑥 𝑥²(𝑥 − 1) 2. Calculer

𝐺(𝑡) = 1

2∫ 𝑑𝑡

𝑡(𝑡 + 1) (√ 𝑡 𝑡 + 1 −

𝑡 𝑡 + 1) A l’aide du changement de variable 𝑥 = √ ^𝑡

𝑡+1

1.

𝐹₁(𝑥) = ∫ (𝑡²+ 1) arctan(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

2.

𝐹₂(𝑥) = ∫ (𝑡 + 1) arcsin(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥 0

Allez à : Correction exercice 34

CORRECTION

Correction exercice 1.

1. On peut mettre cos³(𝑡) sous la forme 𝑓(sin(𝑡)) cos(𝑡) car la puissance de cos est impaire.

𝐹₁(𝑥) = ∫ cos³(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

= ∫ cos²(𝑡)

𝑥

0

cos(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ (1 − sin²(𝑡))

𝑥

0

cos(𝑡) 𝑑𝑡 On pose 𝑢 = sin(𝑡) ⇒ 𝑑𝑢 = cos(𝑡) 𝑑𝑡

𝑡 = 0 ⇒ 𝑢 = sin(0) = 0 𝑡 = 𝑥 ⇒ 𝑢 = sin(𝑥) 𝐹₁(𝑥) = ∫ (1 − 𝑢²)𝑑𝑢

sin(𝑥)

0

= [𝑢 −𝑢³ 3]

0 sin(𝑥)

= sin(𝑥) −sin³(𝑥) 3

2. On peut mettre sin³(𝑡) sous la forme 𝑓(cos(𝑡)) sin(𝑡) car la puissance de sin est impaire.

𝐹₂(𝑥) = ∫ sin³(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

= ∫ sin²(𝑡) sin(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

= − ∫ (1 − cos²(𝑡))(− sin(𝑡))𝑑𝑡

𝑥

0

On pose 𝑢 = cos(𝑡) ⇒ 𝑑𝑢 = − sin(𝑡) 𝑑𝑡

𝑡 = 0 ⇒ 𝑢 = cos(0) = 1

(13)

13

𝑡 = 𝑥 ⇒ 𝑢 = cos(𝑥) 𝐹₂(𝑥) = − ∫ (1 − 𝑢²)𝑑𝑢

cos(𝑥) 1

= − [𝑢 −𝑢³ 3]

1 cos(𝑥)

= − (cos(𝑥) −cos³(𝑥)

3 ) + (1 −1 3)

= − cos(𝑥) +cos³(𝑥) 3 +2

3

3. Ici les puissances de sin et cos sont paires (respectivement 0 et 4) on doit linéariser cos⁴(𝑡) (cos(𝑡))⁴ = (𝑒^𝑖𝑡+ 𝑒^−𝑖𝑡

2 )

4

=𝑒^4𝑖𝑡+ 4𝑒^2𝑖𝑡+ 6 + 4𝑒^−2𝑖𝑡+ 𝑒^4𝑖𝑡

16 =𝑒^4𝑖𝑡+ 𝑒^4𝑖𝑡+ 4(𝑒^2𝑖𝑡+ 𝑒^−2𝑖𝑡) + 6 16

= 2 cos(4𝑡) + 4 × 2 cos(2𝑡) + 6

16 =cos(4𝑡) + 4 cos(2𝑡) + 3 8

𝐹₃(𝑥) =1

8∫ (cos(4𝑡) + 4 cos(2𝑡) + 3)𝑑𝑡

𝑥

0

=1 8[1

4sin(4𝑡) +4

2sin(2𝑡) + 3𝑡]

0 𝑥

=1 8(1

4sin(4𝑥) +4

2sin(2𝑥) + 3𝑥) = 1

32sin(4𝑥) +1

4sin(2𝑥) +3 8𝑥 4. Ici les puissances de sin et cos sont paires (respectivement 4 et 0) on doit linéariser sin⁴(𝑡)

(sin(𝑡))⁴ = (𝑒^𝑖𝑡− 𝑒^−𝑖𝑡 2𝑖 )

4

=𝑒^4𝑖𝑡− 4𝑒^2𝑖𝑡+ 6 − 4𝑒^−2𝑖𝑡+ 𝑒^4𝑖𝑡

16 =𝑒^4𝑖𝑡+ 𝑒^4𝑖𝑡− 4(𝑒^2𝑖𝑡+ 𝑒^−2𝑖𝑡) + 6 16

= 2 cos(4𝑡) − 4 × 2 cos(2𝑡) + 6

16 =cos(4𝑡) − 4 cos(2𝑡) + 3 8

𝐹₄(𝑥) = 1

8∫ (cos(4𝑡) − 4 cos(2𝑡) + 3)𝑑𝑡

𝑥

0

= 1 8[1

4sin(4𝑡) −4

2sin(2𝑡) + 3𝑡]

0 𝑥

=1 8(1

4sin(4𝑥) −4

2sin(2𝑥) + 3𝑥) = 1

32sin(4𝑥) −1

4sin(2𝑥) +3 8𝑥 5. Ici les puissances de sin et cos sont paires (respectivement 2 et 2) on doit linéariser cos²(𝑡) sin²(𝑡)

cos²(𝑡) sin²(𝑡) = (𝑒^𝑖𝑡+ 𝑒^−𝑖𝑡

2 )

2

(𝑒^𝑖𝑡− 𝑒^−𝑖𝑡 2𝑖 )

2

= (𝑒^2𝑖𝑡+ 2 + 𝑒^−2𝑖𝑡

4 ) (𝑒^2𝑖𝑡− 2 + 𝑒^−2𝑖𝑡

−4 )

=𝑒^4𝑖𝑡− 2𝑒^2𝑖𝑡+ 1 + 2𝑒^2𝑖𝑡− 4 + 2𝑒^−2𝑖𝑡+ 1 − 2𝑒^−2𝑖𝑡+ 𝑒^−4𝑖𝑡

−16 = 𝑒^4𝑖𝑡+ 𝑒^−4𝑖𝑡− 2

−16

=2 cos(4𝑡) − 2

−16 = −1

8cos(4𝑡) +1 8 𝐹₅(𝑡) =1

8∫ (− cos(4𝑡) + 1)𝑑𝑡

𝑥 0

= −1 8[1

4sin(4𝑡) + 𝑡]

0 𝑥

= − 1

32sin(4𝑥) −𝑥 8

6. On peut mettre cos²(𝑡) sin³(𝑡) sous la forme 𝑓(cos(𝑡)) sin(𝑡) car la puissance de sin est impaire.

𝐹₆(𝑥) = ∫ cos²(𝑡) sin³(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥 0

= − ∫ cos²(𝑡) sin²(𝑡) (− sin(𝑡))𝑑𝑡

𝑥

0

= − ∫ cos²(𝑡) (1 − cos²(𝑡))(− sin(𝑡))𝑑𝑡

𝑥 0

On pose 𝑢 = cos(𝑡) ⇒ 𝑑𝑢 = − sin(𝑡) 𝑑𝑡

𝑡 = 0 ⇒ 𝑢 = cos(0) = 1 𝑡 = 𝑥 ⇒ 𝑢 = cos(𝑥)

(14)

14 𝐹₆(𝑥) = − ∫ 𝑢²(1 − 𝑢²)𝑑𝑡

cos(𝑥) 1

= ∫ (𝑢⁴ − 𝑢²)𝑑𝑡

cos(𝑥) 1

= [𝑢⁵ 5 −𝑢³

3]

1 cos(𝑥)

=cos⁵(𝑥)

5 −cos³(𝑥) 3 − (1

5−1

3) =cos⁵(𝑥)

5 −cos³(𝑥)

3 + 2

15 7. cos(𝑡) sin⁴(𝑡) est sous la forme 𝑓(sin(𝑡)) cos(𝑡) car la puissance de cos est impaire.

On pose 𝑢 = sin(𝑡) ⇒ 𝑑𝑢 = cos(𝑡) 𝑑𝑡

𝑡 = 0 ⇒ 𝑢 = sin(0) = 0 𝑡 = 𝑥 ⇒ 𝑢 = sin(𝑥) 𝐹₇(𝑥) = ∫ 𝑡⁴𝑑𝑡

sin(𝑥) 0

= [𝑡⁵ 5]

0 sin(𝑥)

=sin⁵(𝑥) 5 Allez à : Exercice 1

𝐼 = ∫ cos²(𝑡) sin²(𝑡) cos(𝑡) 𝑑𝑡

𝜋 2 0

On pose 𝑥 = sin(𝑡), 𝑑𝑥 = cos(𝑡) 𝑑𝑡

𝑡 = 0 ⇒ 𝑥 = sin(0) = 0 𝑡 =𝜋

2 ⇒ 𝑥 = sin (𝜋 2) = 1 𝐼 = ∫ (1 − 𝑥²)𝑥²𝑑𝑥

1 0

= ∫ (𝑥²− 𝑥⁴)𝑑𝑥

1 0

= [𝑥³ 3 −𝑥⁵

5]

0 1

= 1 3−1

5= 2 15 Allez à : Exercice 2

1. On peut toujours poser 𝑢 = 𝑒^𝑡 mais parfois, il y a plus simple.

𝐹₁(𝑥) = ∫ ch³(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥 0

= ∫ ch²(𝑡) ch(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥 0

On pose 𝑢 = sh(𝑡) ⇒ 𝑑𝑢 = ch(𝑡) 𝑑𝑡, ch²(𝑡) = 1 + sh²(𝑡) = 1 + 𝑢² 𝑡 = 0 ⇒ 𝑢 = sh(0) = 0

𝑡 = 𝑥 ⇒ 𝑢 = sh(𝑥) 𝐹₁(𝑥) = ∫ (1 + 𝑢²)𝑑𝑢

sh(𝑥)

0

= [𝑢 +u³ 3]

0 sh(𝑥)

= sh(𝑥) +sh³(𝑥) 3 Allez à : Exercice 3

2. On peut toujours poser 𝑢 = 𝑒^𝑡 mais parfois, il y a plus simple.

𝐹₂(𝑥) = ∫ sh³(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

= ∫ sh²(𝑡) sh(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

On pose 𝑢 = ch(𝑡) ⇒ 𝑑𝑢 = sh(𝑡) 𝑑𝑡, sh²(𝑡) = ch²(𝑡) − 1 = 𝑢²− 1 𝑡 = 0 ⇒ 𝑢 = ch(0) = 1

𝑡 = 𝑥 ⇒ 𝑢 = ch(𝑥) 𝐹₂(𝑥) = ∫ (𝑢²− 1)𝑑𝑢

ch(𝑥)

1

= [𝑢³ 3 − 𝑢]

1 ch(𝑥)

=ch³(𝑥)

3 − ch(𝑥) − (1

3− 1) =ch³(𝑥)

3 − ch(𝑥) +2 3

(15)

15 Allez à : Exercice 3

3. Ici les puissances de sh et ch sont paires (respectivement 0 et 4) on pose 𝑢 = 𝑒^𝑡⇔ 𝑡 = ln(𝑢) ⇒ 𝑑𝑡 =𝑑𝑢

𝑢 (𝑒^𝑡+ 𝑒^−𝑡

2 )

4

= 𝑒^4𝑡+ 4𝑒^2𝑡+ 6 + 4𝑒^−2𝑡+ 𝑒^−4𝑡

16 = 1

16𝑢⁴+1

4𝑢² +3 8+1

4𝑢⁻²+ 1 16𝑢⁻⁴ 𝑡 = 0 ⇒ 𝑢 = 𝑒⁰ = 1

𝑡 = 𝑥 ⇒ 𝑢 = 𝑒^𝑥 𝐹₃(𝑥) = ∫ (1

16𝑢⁴+1

4𝑢²+3 8+1

4𝑢⁻²+ 1

16𝑢⁻⁴)𝑑𝑢 𝑢

𝑒^𝑥

1

= 1

16∫ 𝑢³𝑑𝑢

𝑒^𝑥

1

+1

4∫ 𝑢𝑑𝑢

𝑒^𝑥

1

+3 8∫ 1

𝑢𝑑𝑢

𝑒^𝑥

1

+1

4∫ 𝑢⁻³𝑑𝑢

𝑒^𝑥

1

+ 1

16∫ 𝑢⁻⁵𝑑𝑢

𝑒^𝑥

1

= 1 16[𝑢⁴

4]

1 𝑒^𝑥

+1 4[𝑢²

2]

1 𝑒^𝑥

+3

8[ln(𝑢)]₁^𝑒^𝑥+1 4[𝑢⁻²

−2]

1 𝑒^𝑥

+ 1 16[𝑢⁻⁴

−4]

1 𝑒^𝑥

= 1

64(𝑒^4𝑥− 1) +1

8(𝑒^2𝑥− 1) +3

8(ln(𝑒^𝑥) − ln(1)) −1

8(𝑒^−2𝑥− 1) − 1

64(𝑒^−4𝑥− 1)

= 1

64(𝑒^4𝑥− 𝑒^−4𝑥) +1

8(𝑒^2𝑥− 𝑒^−2𝑥) +3

8𝑥 =sh(4𝑥)

32 +sh(2𝑥) 4 +3𝑥

8 Autre méthode

(𝑒^𝑡+ 𝑒^−𝑡

2 )

4

=𝑒^4𝑡+ 4𝑒^2𝑡+ 6 + 4𝑒^−2𝑡+ 𝑒^−4𝑡

16 =𝑒^4𝑡 + 𝑒^−4𝑡+ 4(𝑒^2𝑡+ 𝑒^−2𝑡) + 6 16

=2 ch(4𝑡) + 4 × ch(2𝑡) + 6

16 =1

8ch(4𝑡) +1

4ch(2𝑡) +3 8 𝐹₃(𝑥) =1

8∫ ch(4𝑡) 𝑑𝑡

𝑥 0

+1

𝑥 0

+3 8∫ 𝑑𝑡

𝑥 0

=1

8[sh(4𝑡) 4 ]

0 𝑥

+1

4[sh(2𝑡) 2 ]

0 𝑥

+3 8

= 1

32sh(4𝑥) +1

8sh(2𝑥) +3𝑥 8 Allez à : Exercice 3

2 )

4

= 𝑒^4𝑡− 4𝑒^2𝑡+ 6 − 4𝑒^−2𝑡+ 𝑒^−4𝑡

16 = 1

16𝑢⁴−1

4𝑢² +3 8−1

4𝑢⁻²+ 1 16𝑢⁻⁴ 𝑡 = 0 ⇒ 𝑢 = 𝑒⁰ = 1

𝑡 = 𝑥 ⇒ 𝑢 = 𝑒^𝑥 𝐹₄(𝑥) = ∫ (1

16𝑢⁴−1

4𝑢²+3 8−1

4𝑢⁻²+ 1

16𝑢⁻⁴)𝑑𝑢 𝑢

𝑒^𝑥

1

= 1

16∫ 𝑢³𝑑𝑢

𝑒^𝑥 1

−1

4∫ 𝑢𝑑𝑢

𝑒^𝑥 1

+3 8∫ 1

𝑢𝑑𝑢

𝑒^𝑥 1

−1

4∫ 𝑢⁻³𝑑𝑢

𝑒^𝑥 1

+ 1

16∫ 𝑢⁻⁵𝑑𝑢

𝑒^𝑥 1

= 1 16[𝑢⁴

4]

1 𝑒^𝑥

−1 4[𝑢²

2]

1 𝑒^𝑥

+3

8[ln(𝑢)]₁^𝑒^𝑥−1 4[𝑢⁻²

−2]

1 𝑒^𝑥

+ 1 16[𝑢⁻⁴

−4]

1 𝑒^𝑥

(16)

16

= 1

64(𝑒^4𝑥− 1) −1

8(𝑒^2𝑥− 1) +3

8(ln(𝑒^𝑥) − ln(1)) +1

8(𝑒^−2𝑥− 1) − 1

64(𝑒^−4𝑥− 1)

= 1

64(𝑒^4𝑥− 𝑒^−4𝑥) −1

8(𝑒^2𝑥− 𝑒^−2𝑥) +3

8𝑥 =sh(4𝑥)

32 −sh(2𝑥) 4 +3𝑥

8 Autre méthode

(𝑒^𝑡− 𝑒^−𝑡

2 )

4

=𝑒^4𝑡− 4𝑒^2𝑡+ 6 − 4𝑒^−2𝑡+ 𝑒^−4𝑡

16 =𝑒^4𝑡 + 𝑒^−4𝑡− 4(𝑒^2𝑡+ 𝑒^−2𝑡) + 6 16

=2 ch(4𝑡) − 4 × ch(2𝑡) + 6

16 =1

8ch(4𝑡) +1

4ch(2𝑡) +3 8 𝐹₄(𝑥) = 1

𝑥

0

−1

𝑥

0

+3 8∫ 𝑑𝑡

𝑥

0

= 1

8[sh(4𝑡) 4 ]

0 𝑥

−1

4[sh(2𝑡) 2 ]

0 𝑥

+3 8

= 1

32sh(4𝑥) −1

8sh(2𝑥) +3𝑥 8 Allez à : Exercice 3

2 )

2

2 )

2

= ((𝑒^𝑡+ 𝑒^−𝑡

2 ) (𝑒^𝑡− 𝑒^−𝑡 2 ))

2

= (𝑒^2𝑡− 𝑒^−2𝑡

4 )

2

= 𝑒^4𝑡− 2 + 𝑒^−4𝑡 16 𝑡 = 0 ⇒ 𝑢 = 𝑒⁰ = 1

𝑡 = 𝑥 ⇒ 𝑢 = 𝑒^𝑥 𝐹₅(𝑡) = 1

16∫ (𝑢⁴− 2 + 𝑢⁻⁴)𝑑𝑢 𝑢

𝑒^𝑥 1

= 1

16∫ (𝑢³−2

𝑢+ 𝑢⁻⁵) 𝑑𝑢

𝑒^𝑥 1

= 1 16[𝑢⁴

4 − 2 ln(𝑢) −𝑢⁻⁴ 4 ]

1 𝑒^𝑥

= 1 16(𝑒^4𝑥

4 − 2 ln(𝑒^𝑥) −𝑒^−4𝑥 4 ) − 1

16(1

4− 2 ln(1) −1

4) =𝑒^4𝑥− 𝑒^−4𝑥 64 −𝑥

8= sh(4𝑥) 32 −𝑥

8 Autre méthode

(𝑒^𝑡+ 𝑒^−𝑡

2 )

2

2 )

2

= 𝑒^4𝑡− 2 + 𝑒^−4𝑡

16 = 2 ch(4𝑡) − 2

16 = 1

8ch(4𝑡) −1 8 𝐹₅(𝑥) =1

8∫ (ch(4𝑡) − 1)𝑑𝑡

𝑥

0

=1

8[sh(4𝑡) 4 − 𝑡]

0 𝑥

= sh(4𝑥) 32 −𝑥

6. On peut mettre ch²(𝑡) sh³(𝑡) sous la forme 𝑓(ch(𝑡)) sh(𝑡) car la puissance de sh est impaire.

𝐹₆(𝑥) = ∫ ch²(𝑡) sh³(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

= ∫ ch²(𝑡) sh²(𝑡) sh(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

= ∫ ch²(𝑡) (ch²(𝑡) − 1) sh(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

On pose 𝑢 = ch(𝑡) ⇒ 𝑑𝑢 = sh(𝑡) 𝑑𝑡

𝑡 = 0 ⇒ 𝑢 = ch(0) = 1 𝑡 = 𝑥 ⇒ 𝑢 = ch(𝑥) 𝐹₆(𝑥) = ∫ 𝑡²(𝑡²− 1)𝑑𝑡

ch(𝑥)

1

= ∫ (𝑡⁴− 𝑡²)𝑑𝑡

ch(𝑥)

1

= [𝑡⁵ 5 −𝑡³

3]

1 ch(𝑥)

= ch⁵(𝑥)

5 −ch³(𝑥) 3 − (1

5−1 3)

= ch⁵(𝑥)

5 −ch³(𝑥) 3 + 2

(17)

17 7. ch(𝑡) sh⁴(𝑡) est de la forme 𝑓(sh(𝑡)) ch(𝑡)

On pose 𝑢 = sh(𝑡) ⇒ 𝑑𝑢 = ch(𝑡) 𝑑𝑡

𝑡 = 0 ⇒ 𝑢 = sh(0) = 0 𝑡 = 𝑥 ⇒ 𝑢 = sh(𝑥) 𝐹₇(𝑥) = ∫ 𝑢⁴𝑑𝑢

sh(𝑥) 0

=sh⁵(𝑥) 5 Allez à : Exercice 3

1. Avec la formule d’addition

cos(𝑎) cos(𝑏) − sin(𝑎) sin(𝑏) = cos(𝑎 + 𝑏)

cos(𝑥) cos(2𝑥) + sin(𝑥) sin(2𝑥) = cos(𝑥 − 2𝑥) = cos(−𝑥) = cos(𝑥) 𝐹₁(𝑥) = ∫ cos(𝑥) 𝑑𝑥 = sin(𝑥) + 𝐾

Allez à : Exercice 4

2. La puissance en cos(𝑥) est impaire et celle en sin(𝑥) est paire, on peut mettre cos(𝑥) en facteur.

On pose 𝑡 = sin(𝑥), 𝑑𝑡 = cos(𝑥) 𝑑𝑥

𝐹₂(𝑥) = ∫ 𝑡⁴𝑑𝑡 =1

5𝑡⁵+ 𝐾 =1

5sin⁵(𝑡) + 𝐾 Allez à : Exercice 4

3. La puissance en cos(𝑥) est paire et la puissance en sin(𝑥) est paire (en fait elle est nulle), il faut linéariser.

cos⁶(𝑥) = (𝑒^𝑖𝑥+ 𝑒^−𝑖𝑥

2 )

6

= 1

64((𝑒^𝑖𝑥)⁶ + 6(𝑒^𝑖𝑥)⁵(𝑒^−𝑖𝑥) + 15(𝑒^𝑖𝑥)⁴(𝑒^−𝑖𝑥)²+ 20(𝑒^𝑖𝑥)³(𝑒^𝑖𝑥)⁻³+ 15(𝑒^𝑖𝑥)²(𝑒^−𝑖𝑥)⁴ + 6(𝑒^𝑖𝑥)(𝑒^−𝑖𝑥)⁵+ (𝑒^−𝑖𝑥)⁶)

= 1

64(𝑒^6𝑖𝑥+ 6𝑒^4𝑖𝑥+ 15𝑒^2𝑖𝑥+ 20 + 15𝑒^−2𝑖𝑥+ 6𝑒^−4𝑖𝑥+ 𝑒^−6𝑖𝑥)

= 1

64(𝑒^6𝑖𝑥+ 𝑒^−6𝑖𝑥+ 6(𝑒^4𝑖𝑥+ 𝑒^−4𝑖𝑥) + 15(𝑒^2𝑖𝑥+ 𝑒^−2𝑖𝑥) + 20)

= 1

64(2 cos(6𝑥) + 6 × 2 cos(4𝑥) + 15 × cos(2𝑥) + 20)

= 1

32cos(6𝑥) + 3

16cos(4𝑥) +15

32cos(2𝑥) + 5 16 Par conséquent :

𝐹₃(𝑥) = 1

32 × 6sin(6𝑥) + 3

16 × 4sin(4𝑥) + 15

32 × 2sin(2𝑥) + 5

16𝑥 + 𝐾

= 1

192sin(6𝑥) + 3

64sin(4𝑥) +15

64sin(2𝑥) + 5

16𝑥 + 𝐾 Allez à : Exercice 4

4. La puissance en cos(𝑥) est paire et la puissance en sin(𝑥) est paire, il faut linéariser.

(18)

18 sin⁴(𝑥) = (𝑒^𝑖𝑥− 𝑒^−𝑖𝑥

2𝑖 )

4

= 1

16(𝑒^4𝑖𝑥+ 4𝑒^2𝑖𝑥+ 6 + 4𝑒^−2𝑖𝑥+ 𝑒^−4𝑖𝑥)

= 1

16(𝑒^4𝑖𝑥+ 𝑒^−4𝑖𝑥) + 4(𝑒^2𝑖𝑥+ 𝑒^−2𝑖𝑥+ 6) = 1

16(2 cos(4𝑥) + 4 × 3 cos(2𝑥) + 6)

= 1

8cos(4𝑥) +3

4cos(2𝑥) +3 8 Par conséquent :

𝐹₄(𝑥) = 1

8 × 4sin(4𝑥) + 3

4 × 2sin(2𝑥) +3𝑥

8 + 𝐾 = 1

32sin(4𝑥) +3

8sin(2𝑥) +3𝑥 8 + 𝐾 Allez à : Exercice 4

5. La puissance en cos(𝑥) est paire et celle en sin(𝑥) est impaire, on peut mettre sin(𝑥) en facteur.

𝐹₅(𝑥) = ∫ sin³(𝑥) cos²(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ sin²(𝑥) cos²(𝑥) sin(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫(1 − cos²(𝑥)) cos²(𝑥) sin(𝑥) 𝑑𝑥

= ∫(cos²(𝑥) − cos⁴(𝑥)) sin(𝑥) 𝑑𝑥 On pose 𝑡 = cos(𝑥) donc 𝑑𝑡 = − sin(𝑥) 𝑑𝑥

𝐹₅(𝑥) = ∫(𝑡²− t⁴)(−𝑑𝑡) = −∫ (𝑡²− 𝑡⁴)𝑑𝑡 = − (1

3𝑡³−1

5𝑡⁵) + 𝐾 = −1

3cos³(𝑥) +1

5cos⁵(𝑥) + 𝐾 En fait rien n’empêche de linéariser sin³(𝑥) cos²(𝑥) = (^𝑒^𝑖𝑥^−𝑒^−𝑖𝑥

2𝑖 )

3

× (^𝑒^𝑖𝑥^+𝑒^−𝑖𝑥

2 )

2

= ⋯ Mais la première méthode est bien plus simple.

6. La puissance de ch(𝑥) est paire et la puissance de sh(𝑥) est paire, il faut poser 𝑡 = 𝑒^𝑥 ch²(𝑥) sh²(𝑥) = (𝑒^𝑥+ 𝑒^−𝑥

2 )

2

(𝑒^𝑥− 𝑒^−𝑥

2 )

2

= ((𝑒^𝑥+ 𝑒^−𝑥

2 ) (𝑒^𝑥− 𝑒^−𝑥 2 ))

2

= 1

16(𝑒^2𝑥− 𝑒^−2𝑥)²

= 1

16(𝑒^4𝑥− 2 + 𝑒^−4𝑥) = 1

16𝑒^4𝑥−1 8+ 1

16𝑒^−4𝑥 Par conséquent :

𝐹₆(𝑥) = ∫ ch²(𝑥) sh²(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ (1

16𝑒^4𝑥−1 8+ 1

16𝑒^−4𝑥) 𝑑𝑥 = 1

64𝑒^4𝑥−𝑥 8− 1

64𝑒^−4𝑥 + 𝐾

= 1

32sh(4𝑥) −𝑥 8+ 𝐾 Allez à : Exercice 4

7. La puissance de sh(𝑥) est impaire, il peut poser 𝑡 = ch(𝑥) donc 𝑑𝑡 = sh(𝑥) 𝑑𝑥 𝐹₇(𝑥) = ∫ sh(𝑥) ch³(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑡³𝑑𝑡 =𝑡⁴

4 + 𝐾 =ch⁴(𝑥) 4 + 𝐾 On peut aussi poser 𝑡 = 𝑒^𝑥 mais la première méthode est bien plus simple.

Autre méthode (moins bonne), la puissance de ch(𝑥) est impaire on peut poser 𝑡 = sh(𝑥) donc 𝑑𝑡 = ch(𝑥) 𝑑𝑥

𝐹₇(𝑥) = ∫ sh(𝑥) ch³(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ sh(𝑥) ch²(𝑥) ch (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ sh(𝑥) (1 + sh²(𝑥))ch (𝑥)𝑑𝑥

= ∫ 𝑡(1 + 𝑡²)𝑑𝑡 = ∫(𝑡 + 𝑡³)𝑑𝑡 =𝑡² 2 +𝑡⁴

4 + 𝐾 =ch²(𝑥)

2 +ch⁴(𝑥) 4 + 𝐾 Allez à : Exercice 4

8. La puissance de ch(𝑥) est impaire, il peut poser 𝑡 = sh(𝑥) donc 𝑑𝑡 = ch(𝑡) 𝑑𝑡 𝐹₈(𝑥) = ∫ ch(𝑥) sh³(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑡³𝑑𝑡 =𝑡⁴

4 + 𝐾 =sh⁴(𝑥) 4 + 𝐾

(19)

19 Autre méthode (moins bonne)

La puissance de sh(𝑥) est impaire, on peut poser 𝑡 = ch(𝑥) donc 𝑑𝑡 = sh(𝑥) 𝑑𝑥

𝐹₈(𝑥) = ∫ ch(𝑥) sh³(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ ch(𝑥) sh²(𝑥) sh(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ ch(𝑥) (ch²(𝑥) − 1) sh(𝑥) 𝑑𝑥

= ∫ 𝑡(𝑡²− 1)𝑑𝑡 = ∫(𝑡³− 𝑡)𝑑𝑡 =𝑡⁴

4 − 𝑡 + 𝐾 =ch⁴(𝑥)

4 − ch(𝑥) + 𝐾^′ Allez à : Exercice 4

1.

𝐹₁(𝑥) = ∫ 𝑒₀^𝑥 ^𝑡cos(𝑡) 𝑑𝑡

𝑢^′(𝑡) = 𝑒^𝑡 𝑢(𝑡) = 𝑒^𝑡

𝑣(𝑡) = cos(𝑡) 𝑣^′(𝑡) = −sin (𝑡) 𝐹₁(𝑥) = ∫ 𝑒₀^𝑥 ^𝑡cos(𝑡) 𝑑𝑡= [𝑒^𝑡cos(𝑡)]₀^𝑥− ∫ 𝑒₀^𝑥 ^𝑡(− sin(𝑡))𝑑𝑡

𝑥

0

= [𝑒^𝑡cos(𝑡)]₀^𝑥+ ∫ 𝑒^𝑡sin(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

Il faut refaire une autre intégration par partie

∫ 𝑒₀^𝑥 ^𝑡sin(𝑡) 𝑑𝑡

𝑢^′(𝑡) = 𝑒^𝑡 𝑢(𝑡) = 𝑒^𝑡 𝑣(𝑡) = sin (𝑡) 𝑣^′(𝑡) = cos(𝑡)

∫ 𝑒₀^𝑥 ^𝑡sin(𝑡) 𝑑𝑡= [𝑒^𝑡sin(𝑡)]₀^𝑥− ∫ 𝑒₀^𝑥 ^𝑡cos(𝑡) 𝑑𝑡

∫ 𝑒^𝑡sin(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

= [𝑒^𝑡sin(𝑡)]₀^𝑥− ∫ 𝑒^𝑡cos(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

= [𝑒^𝑡sin(𝑡)]₀^𝑥− 𝐹₁(𝑥) Ce que l’on remplace dans

𝑥 0

= [𝑒^𝑡cos(𝑡)]₀^𝑥+ ∫ 𝑒^𝑡sin(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥 0

= [𝑒^𝑡cos(𝑡)]₀^𝑥+ [𝑒^𝑡sin(𝑡)]₀^𝑥− 𝐹₁(𝑥)

⇔ 2𝐹₁(𝑥) = [𝑒^𝑡cos(𝑡)]₀^𝑥+ [𝑒^𝑡sin(𝑡)]₀^𝑥 = 𝑒^𝑥cos(𝑥) − 1 + 𝑒^𝑥sin(𝑥)

⇔ 𝐹₁(𝑥) =1

2𝑒^𝑥cos(𝑥) −1 2+1

2𝑒^𝑥sin(𝑥) Remarque :

Lors de la seconde intégration par partie il faut continuer à intégrer 𝑒^𝑥 sinon on retombe sur la même intégrale.

On aurait aussi pu dériver 𝑒^𝑥 lors de la première intégration par partie et bien sûr dans la seconde aussi.

Allez à : Exercice 5 2.

Première méthode :

On fait exactement pareil.

Deuxième méthode :

On utilise le résultat ci-dessus

𝐹₂(𝑥) = ∫ 𝑒^𝑡sin(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥 0

= [𝑒^𝑡sin(𝑡)]₀^𝑥− 𝐹₁(𝑥) Puis

𝐹₁(𝑥) = 1

2𝑒^𝑥cos(𝑥) +1

2𝑒^𝑥sin(𝑥) + 𝐾

(20)

20 𝐹₂(𝑥) = 𝑒^𝑥sin(𝑥) − (1

2𝑒^𝑥sin(𝑥)) + 𝐾^′= −1

2𝑒^𝑥sin(𝑥) + 𝐾′

Troisième méthode :

𝐹₁(𝑥) + 𝑖𝐹₂(𝑥) = ∫ 𝑒^𝑡cos(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥 0

+ 𝑖 ∫ 𝑒^𝑡sin(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥 0

= ∫ 𝑒^𝑡(cos(𝑡) + 𝑖 sin(𝑡))𝑑𝑡

𝑥 0

= ∫ 𝑒^𝑡𝑒^𝑖𝑡𝑑𝑡

𝑥

0

= ∫ 𝑒^(1+𝑖)𝑡

𝑥 0

𝑑𝑡 = [ 1

1 + 𝑖𝑒^(1+𝑖)𝑡]

0 𝑥

= 1

1 + 𝑖𝑒^(1+𝑖)𝑥− 1

1 + 𝑖𝑒⁰ = 1 − 𝑖

2 𝑒^𝑥𝑒^𝑖𝑥−1 − 𝑖 2

=𝑒^𝑡

2 (1 − 𝑖)(cos(𝑥) + 𝑖 sin(𝑥)) −1 2+ 𝑖

2

=𝑒^𝑥

2 (cos(𝑥) + sin(𝑥) + 𝑖(− cos(𝑥) + sin(𝑥)) −1 2+ 𝑖

2 𝐹₁(𝑥) est la partie réelle et 𝐹₂(𝑥) est la partie imaginaire

𝐹₁(𝑥) = 𝑒^𝑥

2 (cos(𝑥) + sin(𝑥)) −1 2 𝐹₂(𝑥) = 𝑒^𝑥

2 (− cos(𝑥) + sin(𝑥)) +1 2 On a en même temps 𝐹₁(𝑥) et 𝐹₂(𝑥).

3. Le plus simple serait de calculer 𝐹₃(𝑥) + 𝑖𝐹₄(𝑥) comme dans l’exercice ci-dessus

Pour changer, on va faire une intégration par parties en dérivant l’exponentielle et en intégrant le

« cos (2𝑡) »

𝐹₃(𝑥) = ∫ 𝑒₀^𝑥 ^−𝑡cos(2𝑡) 𝑑𝑡

𝑢^′(𝑡) = cos (2𝑡) 𝑢(𝑡) =¹

2sin(2𝑡)

𝑣(𝑡) = 𝑒^−𝑡 𝑣^′(𝑡) = −𝑒^−𝑡

𝐹₃(𝑥) = ∫ 𝑒₀^𝑥 ^−𝑡cos(2𝑡) 𝑑𝑡= [¹

2𝑒^−𝑡sin(2𝑡)]

0 𝑥

− ∫ (−𝑒^−𝑡)¹

2sin(2𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

𝑥 0

= [1

0 𝑥

+1

2∫ 𝑒^−𝑡sin(2𝑡) 𝑑𝑡

𝑥 0

On refait une intégration par parties

∫ 𝑒₀^𝑥 ^−𝑡sin(2𝑡) 𝑑𝑡

𝑢^′(𝑡) = sin (2𝑡) 𝑢(𝑡) = −¹

2cos (2𝑡)

𝑣(𝑡) = 𝑒^−𝑡 𝑣^′(𝑡) = −𝑒^−𝑡

∫ 𝑒₀^𝑥 ^−𝑡sin(2𝑡) 𝑑𝑡 ) = [𝑒^−𝑡(−¹

2cos(2𝑡))]

0

𝑥− ∫ (−𝑒^−𝑡) (−¹

2cos(2𝑡)) 𝑑𝑡

𝑥

0

∫ 𝑒^−𝑡sin(2𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

) = [𝑒^−𝑡(−1

2cos(2𝑡))]

0 𝑥

−1

2∫ 𝑒^−𝑡cos(2𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

Ce que l’on remplace dans

𝑥

0

= [1

0 𝑥

+1

𝑥

0

= [1

0 𝑥

+1

2([𝑒^−𝑡(−1

2cos(2𝑡))]

0 𝑥

−1

2∫ 𝑒^−𝑡cos(2𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

)

= 1

2𝑒^−𝑥sin(2𝑥) −1

4𝑒^−𝑥cos(2𝑥) +1 4−1

4𝐹₃(𝑥) Donc

(21)

21 (1 +1

4) 𝐹₃(𝑥) =1

4𝑒^−𝑥cos(2𝑥) +1 4 Puis

𝐹₃(𝑥) = 4 5(1

4𝑒^−𝑥cos(2𝑥) +1 4) =2

5𝑒^−𝑥cos(2𝑥) +1 5 Allez à : Exercice 5

4. On reprend l’égalité ci-dessus 𝐹₃(𝑥) = ∫ 𝑒^−𝑡cos(2𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

= [1

0 𝑥

+1

𝑥

0

=1

2𝑒^−𝑥sin(2𝑥) +1 2𝐹₄(𝑥) Par conséquent

𝐹₄(𝑥) = 2𝐹₃(𝑥) − 𝑒^−𝑥sin(2𝑥) = 2 (2

5𝑒^−𝑥cos(2𝑥)) − 𝑒^−𝑥sin(2𝑥)

= −1

5𝑒^−𝑥cos(2𝑥) Et on rajoute comme d’habitude une constante

𝐹₄(𝑥) = −1

5𝑒^−𝑥cos(2𝑥) + 𝐾 Allez à : Exercice 5

5.

𝐹₅(𝑥) = ∫ 𝑒^2𝑡cos (𝑡 −^𝜋

4) 𝑑𝑡

𝑥

0

𝑢^′(𝑡) = cos (𝑡 −^𝜋

4) 𝑢(𝑡) = sin (𝑡 −^𝜋

4)

𝑣(𝑡) = 𝑒^2𝑡 𝑣^′(𝑡) = 2𝑒^2𝑡

𝐹₅(𝑥) = ∫ 𝑒^2𝑡cos (𝑡 −^𝜋

4) 𝑑𝑡

𝑥

0 = [𝑒^2𝑡sin (𝑡 −^𝜋

4)]

0 𝑥

− ∫ 2𝑒^2𝑡sin (𝑡 −^𝜋

4) 𝑑𝑡

𝑥

0

𝐹₅(𝑥) = ∫ 𝑒^2𝑡cos (𝑡 −𝜋 4) 𝑑𝑡

𝑥

0

= [𝑒^2𝑡sin (𝑡 −𝜋 4)]

0 𝑥

− 2 ∫ 𝑒^2𝑡sin (𝑡 −𝜋 4) 𝑑𝑡

𝑥

0

On fait une seconde intégration par partie

∫ 𝑒^2𝑡sin (𝑡 −^𝜋

4) 𝑑𝑡

𝑥

0

𝑢^′(𝑡) = sin (𝑡 −^𝜋

4) 𝑢(𝑡) = − cos (𝑡 −^𝜋

4)

𝑣(𝑡) = 𝑒^2𝑡 𝑣^′(𝑡) = 2𝑒^2𝑡

∫ 𝑒^2𝑡sin (𝑡 −^𝜋

4) 𝑑𝑡

𝑥

0 = [𝑒^2𝑡(− cos (𝑡 −^𝜋

4)]

0

𝑥− ∫ 2𝑒^𝑡(− cos (𝑡 −^𝜋

4)) 𝑑𝑡

𝑥

0

∫ 𝑒^2𝑡sin (𝑡 −𝜋 4) 𝑑𝑡

𝑥

0

= [𝑒^2𝑡(− cos (𝑡 −𝜋 4)]

0 𝑥

+ 2 ∫ 𝑒^𝑡cos (𝑡 −𝜋 4) 𝑑𝑡

𝑥

0

= −2𝑒^2𝑥cos (𝑥 −𝜋

4) + cos (𝜋

4) + 2𝐹₅(𝑥) Ce que l’on remplace dans

𝐹₅(𝑥) = ∫ 𝑒^2𝑡cos (𝑡 −𝜋 4) 𝑑𝑡

𝑥 0

= [𝑒^2𝑡sin (𝑡 −𝜋 4)]

0 𝑥

− 2 ∫ 𝑒^2𝑡sin (𝑡 −𝜋 4) 𝑑𝑡

𝑥 0

= 𝐹₅(𝑥)

= [𝑒^2𝑡sin (𝑡 −𝜋 4)]

0 𝑥

− 2 (−2𝑒^2𝑥cos (𝑥 −𝜋

4) + cos (𝜋

4) + 2𝐹₅(𝑥)) Donc

5𝐹₅(𝑥) = 𝑒^2𝑥sin (𝑥 −𝜋

4) − sin (−𝜋

4) − 2 cos (𝜋

4) + 4𝑒^2𝑥cos (𝑥 −𝜋 4)

(22)

22

= −√2

2 + 𝑒^2𝑥sin (𝑥 −𝜋

4) + 4𝑒^2𝑥cos (𝑥 −𝜋 4) Et enfin

𝐹₅(𝑥) =1

5𝑒^2𝑥sin (𝑥 −𝜋 4) +4

5𝑒^2𝑥cos (𝑥 −𝜋 4) Allez à : Exercice 5

6. On fait le changement de variable 𝑢 = −𝑡 ⇔ 𝑡 = −𝑢 ⇒ 𝑑𝑡 = −𝑑𝑢 𝑡 = 0 ⇒ 𝑢 = 0

𝑡 = 𝑥 ⇒ 𝑢 = −𝑥 𝐹₆(𝑥) = ∫ 𝑒^2𝑢cos (−𝑢 +𝜋

4) (−𝑑𝑢)

−𝑥

0

= − ∫ 𝑒^2𝑢cos (𝑢 −𝜋 4) 𝑑𝑢

−𝑥

0

= −𝐹₅(−𝑥)

= − (1

5𝑒^−2𝑥sin (−𝑥 −𝜋 4) +4

5𝑒^2𝑥cos (−𝑥 −𝜋

4)) + 𝐾^′

=1

5𝑒^−2𝑥sin (𝑥 +𝜋 4) −4

5𝑒^2𝑥cos (𝑥 +𝜋

4) + 𝐾′

7. On peut faire des intégrations par parties ou utiliser les résultats précédents en utilisant la formule cos(𝑎 + 𝑏) = cos(𝑎) cos(𝑏) − sin(𝑎) sin(𝑏)

𝐹₇(𝑥) = ∫ 𝑒^−𝑡(cos(2𝑡) cos (𝜋

3) − sin(2𝑡) sin (𝜋 3)) 𝑑𝑡

𝑥

0

= cos (𝜋

3) ∫ 𝑒^−𝑡cos(2𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

− sin (𝜋

3) ∫ 𝑒^−𝑡sin(2𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

= 1

2𝐹₃(𝑥) −√3 2 𝐹₄(𝑥)

= 1 2(2

5𝑒^−𝑥cos(2𝑥)) −√3 2 (−1

5𝑒^−𝑥cos(2𝑥))

= 2 − √3

10 𝑒^−𝑥sin(2𝑥) +(−1 + 2√3)

10 𝑒^−𝑥cos(2𝑥) Allez à : Exercice 5

8. On fait le changement de variable 𝑢 = −𝑡 ⇔ 𝑡 = −𝑢 ⇒ 𝑑𝑡 = −𝑑𝑢 𝑡 = 0 ⇒ 𝑢 = 0

𝑡 = 𝑥 ⇒ 𝑢 = −𝑥 𝐹₈(𝑥) = ∫ 𝑒^−𝑢cos (−2𝑢 −𝜋

3) (−𝑑𝑢)

−𝑥

−0

= − ∫ 𝑒^−𝑢cos (2𝑢 +𝜋 3)𝑑𝑢

−𝑥

0

= −𝐹₇(−𝑥)

= − (2 − √3

10 𝑒^𝑥sin(−2𝑥) +(−1 + 2√3)

10 𝑒^𝑥cos(−2𝑥))

=2 − √3

10 𝑒^𝑥sin(2𝑥) −(−1 + 2√3)

10 𝑒^𝑥cos(2𝑥) Allez à : Exercice 5

1.

𝐹₁(𝑥) = ∫ 𝑡𝑒₀^𝑥 ^𝑡𝑑𝑡

𝑢^′(𝑡) = 𝑒^𝑡 𝑢(𝑡) = 𝑒^𝑡

𝑣(𝑡) = 𝑡 𝑣^′(𝑡) = 1