1. Exemples de calculs de primitives

Exemples de calculs de primitives

1.

3x4

On pose u (x) = « truc » sous racine On pose u (x) = 3x + 4

u ' (x) = 3

Phase de réécriture

f (x) =2 3

3 3x 4





f = 2

'

3 u u



formule de primitive

F = ² 2

3  u

F (x) = ² 2 3 4

3 x

F (x) = ⁴ 3 4

3 x

2.



 



On pose u (x) = x²2x3

u ' (x) = 2x + 2 = 2(x + 1)

Réécriture

f (x) =¹

  



22 x1  x 2x3

f = 1 ²

'

2  u  u

c^te d’« équilibrage » formule de primitive

F =

3

3 1

2

 u

replacer devant la primitive intact

F =

3

6 u

On repasse « en chiffres ».

F (x) =





6 x  x

Autres exemples :

 

( ) e

e 1

x

x

f x 



u (x) = e^x1 u' (x) = e^x

n ' u u

 

( ) '( )

( ) f x u x

u x



3

' f u

u

'

n

u

u  1 ₁

(n 1)u^n

 

2

F 1

  2u

 

F( ) 1

2 e^x 1 x  



 

3 4 2

( ) 1 4

1 f x x

x x

 

 

u (x) = x⁴ x 1 u' (x) = 4x³1

n ' u u

 

3 4 2

4 1

( )

1 f x x

x x

  

 

2

' f u

  u

'

n

u

u  1 ₁

(n 1)u^n

 

2

' u

u  ¹

 u

4

F( ) 1 x 1

x x

  

 

( ) e ^x e ^x 1 f x  ^{ } 

u (x) = e^x 1

u' (x) =  e^x

 

 

'

u u 

 

( ) '( ) ( )

f x  u x u x

' 5

f   u u

' ⁿ u u 

1

1 un

n





6

F 6

 u





F( ) 6

x

x

 

 

( ) 3 cos sin8

f x  x x

 

( ) 3cos sin

f x  x x

u (x) = sin x

u' (x) = cos x

'

u u 

3 ' 8

f  uu

' ⁿ u u 

1

1 un

n





9 9

F 3

9 3

u u

  





F( ) 3 3

x x

x  

(cos x) ' = – sin x

(sin x) ' = cos x

 

tan ' 1 1 tan

x cos x

 x 

( ) 2 cos 3

f x  x 4

   

 

cos (ax + b)  ¹

a sin (ax + b) sin (ax + b)  ¹

a cos (ax + b) F( ) 2sin 3

3 4

x  x 

   

 

Autre façon :

u (x) = 3 x 4



u' (x) = 3

( ) 2 3 cos 3

3 4

f x  x 

     

 

2 ' cos f 3 u u

F 2sin

3 u



F( ) 2sin 3

3 4

x  x 

   

 

Autres exemples

  



( ) 2 1 3

f x  x x  x





( ) 4 5

g x  x x 

 

( ) 3 5

h x  x

 

( ) 3

2 1

j x

x





1°) ^{f x( )}



 



On pense à la formule du type u u'.

On pose u (x) = x² x 3 u' (x) = 2x + 1

On fait une réécriture de f par rapport à u et u'.

  



'( ) ( )

( ) 2 1 3

u x u x

f x  x x  x

 

Sans x, f = u u'.

Ont lit dans le tableau des primitives « la » primitive d’une fonction du type u u'.

2

F 2

u k

 

On revient avec les x pour écrire F (x).





F( ) 2

x x

x   k

 

2°) ^{g x( )4x x}





On pense à la formule du type u u' ³ (ou plutôt u u' ⁿ avec n = 3) On pose u (x) = x²5

u' (x) = 2x

On fait une réécriture de g par rapport à u' et u³.





( ) 4 5

g x  x x 







'( )

( )

( ) 2 2 5

u x

u x

g x   x x 



g = 2 u u' ³ (entourer le 2)





G( ) 2

4 x

x  k

   (on entoure le 2 et le 4 pour pouvoir les simplifier)





G( ) 2

x

x  k

 

3°) ^{h x( )}





On pense à la formule du type u u' ⁿ (avec n = 7) On pose u (x) = 3x + 5

u' (x) = 3

On fait la réécriture de h par rapport à u et u'.



 

( ) 3 3 5

h x  1  x

3 (entourer le 3 en rouge)

constante de rééquilibrage ou de réajustement

obligatoire pour trouver une primitive

1 ⁷ 3 '

h  u u

k

1 8

H 3 8

u k

  

8

H 24

u k

 





H( ) 24

x x k

 

4°)

 

( ) 3

2 1

j x

x





On pense à la formule du type ^u₂^' u . On pose u (x) = 2x + 1

u' (x) = 2

On fait la réécriture de j par rapport à u et u'.

 

2

' 2

2 1

u

u x





 

 

2

2 1

j x

x

 

 3

2 (entourer le ³

2)

constante de rééquilibrage écrit d’office (puisque ³× 2 = 3

2 )

Dernier exemple

f (x) =^{3 2}



 



On pose u (x) = x²2x7 u '(x) = 2x – 2

3 ' 4

f   u u

F =

5

3 5

u

F = 3 5

5 u

F (x) = ³





5 x  x