Calculs de primitives et d’intégrales

CALCUL DE PRIMITIVES ET D’INTÉGRALES TD

Calcul de primitives et d’intégrales – TD

Calculs de primitives et d’intégrales

Exercice 1

Déterminer une primitive sur un intervalle approprié des fonctions suivantes : 1. f :x7→ 1

p3

x+x⁵+p 2+x.

2. f :x7→p

x×(x³−1).

3. f :x7→¡

sin(x)¢4

. 4. f :x7→e^3x+2. 5. f :x7→e^2x×sin(5x).

6. f :x7→x×sin(x²).

7. f :x7→

¡ln(x)¢2

x .

8. f :x7→ e^Arccos(x) p1−x². 9. f :x7→tan(x).

10. f :x7→(1+tan(x))². 11. f :x7→

¡Arctan(x)¢2

1+x² . 12. f :x7→ch(x)×sh(x).

13. f :x7→ cos(x)

¡sin(x)¢3. 14. f :x7→ x

1+x⁴. 15. f :x7→ 1

p1−9x². 16. f :x7→ 1

1−x². 17. f :x7→ 1

1+x². 18. f :x7→ch(5x).

19. f :x7→ x x²+1. 20. f :x7→ x

7x²+1. 21. f :x7→ 3x

(1+2x²)⁵. 22. f :x7→ x

p1−x².

23. f:x7→ 2x⁴ 1+x⁵. 24. f:x7→ln(x)

x 25. f:x7→ 1

t×p ln(x) 26. f:x7→

¡ln(x)¢2

x .

27. f:x7→cos¡

π×ln(x)¢

x .

28. f:x7→ 1

p1−x²×Arcsin(x). 29. f:x7→ e^x

1+e^2x. 30. f:x7→ cos(x)

1−sin(x). 31. f:x7→sin(x)×e^cos(x). 32. f:x7→¡

tan(x)¢3

.

Exercice 2

Déterminer toutes les primitives sur un intervalle approprié des fonctions suivantes : 1. f₁:x7→ 1

x²+6x+8. 2. f₂:x7→ 1

x²+6x+9.

3. f₃:x7→ 1 x²+6x+10. 4. f₄:x7→2x−1

x²+1.

5. f₅:x7→ 3x−1 (x−2)×(x²+1) 6. f₆:x7→ 2x−1

x²−x−6. Indication pour 5. :déterminer (a,b,c)∈R^{3tel que 3x−1}

(x−2)×(x²+1)= a

x−2+b×x+c x²+1 Exercice 3

Calculer les intégrales suivantes : 1. I₁=

Z ^π

4

0

1

¡cos(t)¢4dt.

2. I₂= Z ^π

4

0

1+sin(x)

¡cos(x)¢2 dx.

3. I₃= Z ^π₃

0

cos(2x)ס

sin(x)¢3

dx.

4. I₄= Z ^π₂

0

¡cos(x)¢6

dx.

5. I₅= Z 1

0

2^t×3^t+1×4^2t+3dt.

6. I₆= Z 1

0

1 1+e^tdt.

7. I₇= Z ^π₂

π 6

tan³x 2

´

×ln¡

1+cos(x)¢ dx.

8. I₈= Z ^π₄

−^π₄

x×sin(x²+1) dx.

9. I₉= Z 3

−2|x+1|dx.

10. I₁₀= Z 3

−2

max(1,e^x) dx.

G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC

TD CALCUL DE PRIMITIVES ET D’INTÉGRALES

Exercice 4 CalculerI=

Z ^π₄

0

sin(u)

sin(u)+cos(u)duetJ= Z ^π₄

0

cos(u)

sin(u)+cos(u)du.

Indication :on pourra commencer par calculerI+J etI−J.

Intégration par parties

Exercice 5

Pour les fonctions suivantes, déterminer une primitive sur un intervalle approprié : 1. f₁:x7→Arctan(x).

2. f₂:x7→x×Arctan(x).

3. f₃:x7→ln(x²).

4. f₄:x7→Arcsin(x).

5. f₅:x7→xס

sin(x)¢3

.

Exercice 6

Pour les fonctions suivantes, déterminer une primitive sur un intervalle approprié : 1. f₁:x7→x×e^3x.

2. f₂:x7→x² e^x.

3. f₃:x7→(x²+3x+2)×e^x. 4. f₄:x7→(x−2)×cos(3x)×e^−2x.

5. f₅:x7→¡

sin(x)¢2

×e^−2x.

Exercice 7

Pour toutn∈N^{, on poseI}n= Z 1

0

xⁿ×p

1−xdx.

1. Montrer que, pour toutn∈N^{∗, I}n= 2n

2n+3×I_n−1. 2. CalculerI₀.

3. En déduire que, pour toutn∈N^,In=2²ⁿ⁺²×(n!)²×(n+1) (2n+3)! . Exercice 8

Calculer les intégrales suivantes : 1. I₁=

Z ^π

4

0

t

cos(t)²dt. 2. I₂=

Z e 1

tⁿ×ln(t) dt. 3. I₃=

Z e^π 1

sin(ln(t)) dt.

Exercice 9 – Intégrale de Wallis Pour toutn∈N^{, on pose}

I_n= Z ^π₂

0

(sin(t))ⁿdt 1. Soitn∈N. Établir une relation de récurrence entreI_n+2 etI_n. 2. En déduire, pour toutn∈N, l’expression deI_n.

PCSI 2021 – 2022 2 G. BOUTARD

CALCUL DE PRIMITIVES ET D’INTÉGRALES TD

Changement de variables

Exercice 10

Calculer les intégrales suivantes : 1. I₁=

Z e 1

1 t+tס

ln(t)¢2dt. (x=ln(t)) 2. I₂=

Z 1 0

t²×p

1−t²dt. (t=sin(u)) 3. I₃=

Z 2 1

ln(t)

pt dt. (u=p t) 4. I₄=

Z 5 1

p 1

x×(x+3)dx. (u=p x)

5. I₅= Z 3

0

p 1

1+x×(x+5)dx. (u=p 1+x) 6. I₆=

Z 1 0

p 1

e^x+1dx. (t=p e^x+1) 7. I₇=

Z 2 1

ln(1+t)−ln(t)

t² dt. (u=1 t)

Exercice 11

Déterminer une primitive des fonctions suivantes : 1. f₁:x7→ln(x)². (u=lnx)

2. f₂:x7→ 1

ch(x). (u=e^x)

3. f₃:x7→ch(x)−1

ch(x)+1×e^x. (u=e^x) 4. f₄:x7→ 1

ch(x)×(1+sh(x)). (u=sh(x)) Exercice 12

Calculer les intégrales suivantes : 1. I₁=

Z ^π₂

0

cos(x)⁷×sin(x)⁴dx. 2. I₂= Z _π

0

cos(x)⁴×sin(x)⁵dx. 3. I₃= Z _π

0

cos(x)⁴×sin(x)⁴dx.

Exercice 13

Déterminer toutes les primitives sur un intervalle approprié des fonctions suivantes : 1. f₁:x7→sin(x)³

cos(x)⁸. (u=cosx) 2. f₂:x7→ cos(x)³

(2+sin(x))². (u=sinx) 3. f₃:x7→ 1

1+cos(2x)+sin(2x). (u=tanx) Exercice 14

Soitx∈R^{tel quex}.π[2_π]. On poset=tan³x 2

´. 1. Montrer que cos(x)=1−t²

1+t² et sin(x)= 2t 1+t². 2. On suppose de plus quex.^π

2[_π]. Montrer que tan(x)= 2t 1−t². 3. À l’aide du changement de variablet=tan³x

2

´calculer les intégrales suivantes : (a) I₁=

Z ^π₂

π 3

1

sin(x)dx. (b) I₂=

Z ^π₂

0

1

3+cos(x)dx. (c) I₃= Z ^p3

0

Arcsin µ 2t

1+t²

¶ dt.

Exercice 15

Soita∈C^\R. Déterminer toutes les primitives de la fonctionx7→ 1 x−a.

G. BOUTARD 3 Lycée GAY-LUSSAC