Calculs de primitives

Calculs de primitives

Rédaction incomplète. Version 1.1

le 10/03/18

Plan

I. Autour des polynômes . . . . 1

1. Polynômes trigonométriques (circulaires) . . . . 1

2. Polynômes trigonométriques (hyperboliques) . . . . 1

3. Pseudo polynômes . . . . 2

II. Fonctions rationnelles . . . . 2

1. Primitives des éléments simples complexes . . . . 2

2. Primitives des éléments simples réels . . . . 2

III. Fonctions rationnelles trigonométriques . . . . 3

1. Trigonométrie circulaire . . . . 3

2. Trigonométrie hyperbolique . . . . 3

IV. Intégrales abéliennes . . . . 3

1. Cas du degré 1 . . . . 3

2. Cas du degré 2 . . . . 4

3. Cas homographique . . . . 4

4. Autres cas. . . . 4

V. Liste de primitives . . . . 4

VI. Exemples . . . . 4

Index

intégrale abélienne, 3

intégration par parties en crabe , 3, 6, 7 polynome-exponentiel, 2

primitives usuelles, 5 pseudo-polynome, 2

Les calculs présentés dans cette section ne doivent pas faire perdre de vue que : Toute fonction continue admet une primitive

En général une primitive ne s'exprime pas à l'aide de fonctions usuelles .

Aucun théorème permettant de décider si une primitive est ou n'est pas exprimable à l'aide des fonctions usuelles ne sera donné. On formera seulement une liste de cas dans lesquels l'expression d'une primitive avec des fonctions usuelles est possible et, pour chacun, des méthodes permettant cette expression. Ces méthodes sont générales, il existe souvent des méthodes plus rapides valables pour des cas particuliers.

Le recours à une intégrale n'est pas obligatoire. Dans certains cas, on peut mettre la fonction à intégrer sous une forme qui permet de donner directement une primitive.

Éviter la notation Z

f (x)dx pour désigner une primitive. On peut à la rigueur utiliser

Z x

f (t)dt

en se permettant de ne pas écrire la borne du bas qui ne fait que préciser une constante d'intégration. Lorsque la fonction est continue dans un intervalle et non dans R, il est prudent de choisir une borne explicite dans l'intervalle. On terminera par une liste (sans justication) de primitives usuelles et de fonctions dont les primitives ne s'expriment pas avec les fonctions usuelles de la classe (à faire !).

I. Autour des polynômes

Dans les deux premiers cas, l'idée générale est de passer en exponentielle et de développer, on obtient alors une combinaison linéaire d'exponentielles t → e ^λt dont une primitive est _λ ¹ e ^t que λ soit réel ou complexe.

Le troisième cas relève plutôt de l'algèbre linéaire.

1. Polynômes trigonométriques (circulaires)

Un produit de la forme sin ^m x cos ⁿ x se traite facilement lorsque au moins un de exposants est impair.

Si m est impair, utiliser sin ^2p x = (1 − cos ² x) ^p et développer. On obtient une primitive qui est un polynôme en cos x .

Si n est impair, procéder de manière analogue avec le cos . Lorsque les deux sont impairs, choisir la plus simple des deux transformations possibles.

Dans les autres cas, linéariser.

2 sin x cos y = sin(x + y) + sin(x − y) 2 sin y cos x = sin(x + y) − sin(x − y) 2 cos x cos y = cos(x + y) + cos(x − y) 2 sin x sin y = cos(x − y) − cos(x + y)

2. Polynômes trigonométriques (hyperboliques)

Lorsque un des exposants est impair, on procède comme dans le cas circulaire avec ch ² = 1+sh ² et sh ² = ch ² −1 . Lorsque les deux exposants sont pairs, on peut tout exprimer avec des exponentielles et développer. On trouve facilement une primitive comme une combinaison d'exponentielles.

3. Pseudo polynômes

Un pseudo-polynôme (ou polynôme-exponentiel) est une fonction de la forme t → P (t)e ^λt . avec λ complexe non nul et P polynôme.

On peut en chercher une primitive sous la forme t → Q(t)e ^λt avec Q de même degré. Pour cela, on forme un système d'équations linéaires dont les inconnues sont les coecients de Q . Cette méthode est très proche de celle utilisée pour résoudre les équations diérentielles linéaires à coecients constants. On exploite la linéarité en utilsant des combinaisons linéaires ainsi que les parties réelles et imaginaires.

Exemple f (t) = (t ² + 1) cos t .

Il s'agit de la partie réelle du pseudo-polynôme (t ² + 1)e ^it . On en cherche une primitive F (t) = (at ² + bt + c)e ^it en identiant les coecients de la dérivée . Puis on prend la partie réelle de cette primitive.

ia = 1 2a + ib = 0 b + ic = 1



 

 

⇒



 

  a = −i

b = 2 c = i

, Re −it ² + 2t + i)e ^it

= (t ² − 1) sin t + 2t cos t.

Justication de la méthode Pourquoi existe-t-il toujours une primitive de cette forme ? Pour n ∈ N et λ ∈ C xés désignons par E l'ensemble des pseudo polynômes de la forme t 7→ P(t)e ^λt avec deg(P ) ≤ n .

C'est un sous-espace vectoriel de dimension nie n + 1 de l'espace des fonctions à valeurs complexes. Notons D la restriction de l'opérateur de dérivation à E . C'est un endomorphisme de E . Son noyau ne contient que la fonction nulle car pour P 6= 0 :

D(P (t)e ^λt ) = (λP + P ⁰ )(t)e ^λt avec deg(λP + P ⁰ ) = deg(P).

Comme E est de dimension nie, c'est un automorphisme donc chaque élement de E admet un unique antécédent c'est à dire une unique primitive dans E .

II. Fonctions rationnelles

Il s'agit essentiellement de décomposer en éléments simples et d'utiliser la linéarité.

1. Primitives des éléments simples complexes

Pour z ∈ C − R avec Re z = a et Im z = b : 1

t − z : ln |t − z| + i arctan t − a b

1 avec k 6= 1 : 1

2. Primitives des éléments simples réels

Les éléments simples réels ne gurent plus réellement au programme. Les pôles complexes conjugués se com- binent et toute fraction rationnelle à coecients réels se décompose en un polynome à coecients réels, des éléments simples de la forme

λ

(X − a) ^m avec a ∈ R et m ∈ N ^∗ et des termes (dits éléments simples de deuxième espèce) de la forme

λX + µ

(X ² − 2 Re zX + |z| ² ) ^m avec z ∈ C \ R et m ∈ N ^∗ Lorsque la multiplicité est 1 . Pour calculer une primitive de t → _t

2

−2 Re ^λt+µ zt+|z|

²

, il faut

Faire apparaitre la dérivée du dénominateur λt + µ

t ² − 2 Re zt + |z| ² = λ 2

2t − 2 Re z

t ² − 2 Re zt + |z| ² + K

t ² − 2 Re zt + |z| ² qui conduit à un terme en ln(t ² − 2 Re zt + |z| ² ) dans la primitive.

Se ramener à un arctan pour le reste 1

t ² − 2 Re zt + |z| ² = 1

(t − a) ² + (b) ² = 1 b ²

1 1 + ^t−a _b 2

dont une primitive est

1

b arctan t − a b

Lorsque la multiplicité est supérieure à 1 , on peut toujours faire apparaitre la dérivée du dénominateur mais le calcul d'une primitive du reste

1

(t ² − 2 Re zt + |z| ² ) ^m est désagréable. On peut faire une intégration par partie dans

Z x 0

1

t ² − 2 Re zt + |z| ² dt pour faire apparaitre et calculer

Z x 0

1

(t ² − 2 Re zt + |z| ² ) ² dt

Si m n'est pas trop grand, on peut remonter de 1 vers m par une succession d'intégrations par parties en crabe . .

III. Fonctions rationnelles trigonométriques

Il s'agit essentiellement de se ramener au calcul d'une primitive d'une fraction rationnelle par un changement de variable approprié.

1. Trigonométrie circulaire

Essayer (dans cet ordre) un des changements de variable suivants :

u = tan x, u = sin x, u = cos x, u = tan x

2

2. Trigonométrie hyperbolique

Essayer (dans cet ordre) un des changements de variable suivants :

u = th x, u = sh x, u = ch x, u = e ^x

IV. Intégrales abéliennes

Il s'agit de calculer une primitive d'une fraction rationnelle faisant intervenir la racine d'une expression po- lynomiale √

P . Cette primitive s'exprime avec des fonctions usuelles lorsque le degré du polynôme P est 1 ou 2 . Par un changement de variable approprié, on se ramène au calcul soit d'une primitive d'une fraction rationnelle trigonométrique soit directement d'une primitive d'une fraction rationnelle.

On se limite ici à un degré inférieur à 2. Le degrés plus élevés conduisent aux véritables intégrales abéliennes qui ne se s'expriment pas en général avec des fonctions usuelles.

1. Cas du degré 1

Utiliser le changement de variable u = p P (t) .

2. Cas du degré 2

On peut décider quel changement de variable utiliser en examinant la forme sous laquelle on peut mettre le polynôme du seond degré P(t) à l'aide d'une factorisation canonique. Il existe un réel K > 0 tel que

P (t) =



 

 

 



 

 

 



K 1 − truc ² (t) poser truc(t) = sin u K 1 + truc ² (t) poser truc(t) = sh u

K truc ² (t) − 1

poser truc(t) =



 

 

ch u si truc(t) > 1

− ch u si truc(t) < −1

3. Cas homographique

La fraction rationnelle contient un terme en p

h(t) avec h(t) = q

t−a

t−b ou h(t) = q

a−t

t−b . On peut alors poser u = p

h(t) et les calculs sont désagréables. On peut aussi remarquer que r t − a

t − b =

p (t − a)(t − b)

|t − b|

et se ramener au cas 2.

4. Autres cas

Dans les autres cas les primitives ne s'expriment pas en général à l'aide de fonctions usuelles.

V. Liste de primitives

Une liste de primitives usuelles est donnée en gure 1.

VI. Exemples

Exemple 1. (connaitre le résultat par c÷ur) Z x

dt cos t =

Z sin x

du

1 − u ² (chgt. de v. u = sin t ) =

Z sin x 1 2

1 − u +

1 2

1 + u

du (dec. elts. simples)

= − 1

2 ln(1 − sin x) + 1

2 ln(1 + sin x) Exemple 2. (connaitre le résultat par c÷ur)

Z x dt sin t = −

Z cos x du

1 − u ² (chgt. de v. u = cos t ) = −

Z cos x 1 2

1 − u +

1 2

1 + u

du (dec. elts. simples)

1 − − 1

Lorsque z ∈ C : a = Re z , b = Im z . 1

cos ² : tan

1

sin ² : − cot

1

sin : 1

2 ln (1 − cos) − 1

2 ln (1 + cos) 1

cos : 1

2 ln (1 + sin) − 1

2 ln (1 − sin)

tan : − ln (|cos|)

cot : ln (|sin|)

1

ch ² : th

1

sh ² : − coth

1

sh : 1

2 ln (ch −1) − 1

2 ln (ch +1) = ln |e ^x − 1| − ln(e ^x + 1) 1

ch : arctan(sh) = 2 arctan(exp) − π

2

th : ln(ch)

coth : ln(|sh|)

a 6= 0 1

a ² + x ² : 1

a arctan x a 1

1 − x ² : 1

2 ln |1 + x| − 1

2 ln |1 − x|

a 6= 0 1

√ a ² − x ² : arcsin x

a

√ 1

1 + x ² : ln

x + p 1 + x ²

√ 1

x ² − 1 : ln

x + p

x ² − 1

z ∈ C \ R : 1

|x − z| ² = 1

(t − a) ² + b ² : 1

b arctan t − a

b

z ∈ C \ R : t − Re z

|x − z| ² = t − a

(t − a) ² + b ² : ln (|x − z|)

z ∈ C , n ∈ Z \ {−1} : (t − z) ⁿ : 1

n + 1 (t − z) ⁿ⁺¹ z ∈ R : 1

t − z : ln (|x − z|)

z ∈ C \ R : 1

t − z : ln (|x − z|) + i arctan

t − a b

ln t : t ln t − t

Fig. 1: Liste de primitives

Exemple 3 Z

^π₂

0

cos ³ x sin ³ x 1 + sin ² x dx =

Z 1 0

(1 − u ² )u ³

1 + u ² du (chgt. de v. u = sin x )

= Z 1

0

(−u ³ + 2u − 2u

1 + u ² )du (div. euclidienne) =

− 1

4 u ⁴ + u ² − ln(u ² + 1) ¹

0

= 3 4 − ln 2 Exemple 4

Z

^π₄

0

sin ⁶ x cos ⁴ x dx =

Z 1 0

u ⁶

(1 + u ² ) ² du (chgt. de v. u = tan x ) = Z 1

0

(u ² − 2 + 3u ² + 2

(1 + u ² ) ² )du (div. euclid.)

= Z 1

0

(u ² − 2 + 3

1 + u ² − 1

(1 + u ² ) ² )du ( u ² = u ² + 1 − 1 dans dern. frac.) = 1

3 − 2 + 3 π 4 −

Z 1 0

1 (1 + u ² ) ² du Calcul de R 1

0 1

(1+u

²

)

²

du par intégration par parties ( en crabe ) π

4 = Z 1

0

du 1 + u ² =

u 1 + u ²

1 0

− Z 1

0

u (−2u)

(1 + u ² ) ² du = 1 2 + 2

Z 1 0

u ²

(1 + u ² ) ² du = 1 2 + 2

π 4 −

Z 1 0

1 (1 + u ² ) ² du

⇒ Z 1

0

1

(1 + u ² ) ² du = 1 4 + π

8 Exemple 5 Pour x ≥ 1 .

Z x 1

√ t − 1 t + 1 dt =

Z

√ x−1

0

2u ²

2 + u ² du (chgt. de v. u = √

t − 1 ) = Z

√ x−1

0

2 − 4 2 + u ²

du

= 2 √

x − 1 − 2 Z

√ x−1

0

du 1 + ( ^{√ u}

2 ) ² = 2 √

x − 1 − 2 √

2 arctan

r x − 1 2 Exemple 6

Z x dt

5 ch t + 3 sh t + 4 =

Z e

^x

du

4u ² + 4u + 1 (chgt. de v. u = e ^t ) =

Z e

^x

du (2u + 1) ² =

−1 2(2u + 1)

^e

^x

= −1

2(2e ^x + 1) Exemple 7

Z 1

1 2

x + 1

√ −4x ² + 4x + 1 dx = Z

^π₄

0

√ 2 sin u + 3

4 du (chgt. de v. 2x − 1 = √

2 sin u ) =

√ 2 4 − 1

4 . + 3π 16 Le changement de variable est justié par :

−4x ² + 4x + 1 = −(2x − 1) ² + 2 Exemple 8

Z −4

−7

x − 1 (x + 1) √

x ² − 4x − 5 dx = 1 3

Z argch 3 argch 2

1 − 3 ch t

1 − ch t dt (chgt. de v. x − 2 = −3 ch t )

= 1 3

Z 3+2 √ 2

2+ √ 3

3u ² − 2u + 3

(u − 1) ² u du (chgt. de v. u = e ^t )

=

ln u − 4 3(u − 1)

3+2 √ 2

2+ √ 3

= ln(3 + 2 √

2) − ln(2 + √

3) − 2 √ 2 3 + 2 √

3 3 en décomposant la fraction rationnelle en éléments simples avec des coecients indéterminés

3u ² − 2u + 3

= a

+ b

+ c

Exemple 9

Z 0

−

¹₂

2x (x + 1) √

4x ² + 4x + 5 dx =

Z argsh

¹₂

0

2 sh u

+1−2

z}|{ −1

2 sh u + 1 dt (chgt. de v. x + 1

2 = sh u )

= ln 1 + √ 5 2 − 2

Z ln

¹⁺

√ 5 2

0

du

2 sh u + 1 argsh 1

2 = ln 1 + √ 5 2

= ln 1 + √ 5 2 − 2

Z

¹⁺

√5 2

1

dv

v ² − 1 + v (chgt. de v. v = e ^u )

= ln 1 + √ 5

2 − 2

√ 5

"

ln(v + 1 + √ 5

2 ) − ln(v + 1 − √ 5 2 )

#

¹⁺

√5 2

1

en décomposant en éléments simples.

Exemple 10 Z 1

0

2x + 1 x + 1

r 1 − x 1 + x dx = 2

Z 1 0

3u ² − u ⁴

(1 + u ² ) ² du ( chgt. de v. u =

r 1 − x 1 + x )

= 2 Z 1

0

−1 + 5

1 + u ² − 4 (1 + u ² ) ²

du (décomp. elts. simples) = −2 + 5 π 2 − 8

π 8 + 1

4

= 3π 2 − 4 Le calcul de

Z 1 0

du

(1 + u ² ) ² = π 8 + 1

4 se fait par une intégration par parties en crabe à partir de

π 4 =

Z 1 0

1 1

1 + u ² du = u

1 + u ^{2 1}

0

− 2 Z 1

0

du

(1 + u ² ) ² .