Calculs d'intégrales et de primitives

Calculs d'intégrales et de primitives

1 Dénition provisoire

Ce paragraphe donne des recettes pour calculer des intégrales. Les résultats seront démontrés un peu plus tard.

1.1 Primitives

Dénition. Soitf une fonction continue sur un intervalle I. On appelle primitive def toute fonctionF dérivable surI telle queF⁰=f.

Des résultats sur les dérivées se déduit le résultat élémentaire suivant.

Proposition 1. SiF etGsont deux primitives def sur un intervalle I, alors il existe une constantek telle queG=F+ksur I.

Le théorème fondamental qui suit sera démontré bien plus tard durant l'année.

Théorème 1. Toute fonction continue sur un intervalle possède une primitive sur cet intervalle.

Remarque. Ce théorème est un exemple-type de théorème non eectif : il arme l'existence d'un objet (ici une fonction primitive d'une autre), mais ne donne aucun moyen de le calculer explicitement.

En fait, la situation est encore pire que cela. On peut montrer comme le t Liouville (1809-1882) qu'il existe des fonctions très simples, dénies à l'aide des fonctions usuelles, qui ne possèdent aucune primitive exprimable à l'aide de ses mêmes fonctions.

L'exemple le plus représentatif est la fonctiont7→e^−t2, fonction très utile en théorie des probabilités et surtout ses intégrales, mais qui ne possède aucune primitive explicitement calculable. On peut même être encore plus pessimiste : si on prend une fonction au hasard exprimée à l'aide des fonctions usuelles, aucune de ses primitives n'est calculable explicitement. Par exemple,t7→ sint

t ,t7→cos(t²),t7→sin(t) ln(t), etc.

Conclusion : le domaine du calcul intégral est un domaine où il faut faire preuve de modestie.

1.2 Dénition provisoire de l'intégrale d'une fonction

Dénition. Soitf une fonction continue sur un intervalleI,F une primitive quelconque def surI. Alors pour tout(a, b)∈I², on appelle intégrale def entreaetble nombre

Z b a

f = Z b

a

f(x)dx=F(b)−F(a) =

F ^b

a

=

F(x) ^x=b

x=a

Cette dénition semble au premier abord ambiguë : pourquoi ? Et pourquoi ne l'est-elle pas nalement ? Proposition 2. Soit a,b deux réels tels que a < b, f une fonction continue et positive sur un segment [a, b]. On noteD la surface comprise entre les droites d'équation x=a et x=b, ainsi qu'entre la courbe def et l'axe des abscisses.

Alors l'aire deD est égale àZ b a

f(x)dx.

Ce résultat permet de calculer des aires de domaines plus compliqués, à condition qu'on puisse les partager en domaines simples du type précédent.

Si on est donc capable de calculer une primitive explicite d'une fonction, alors on est capable de calculer ses intégrales. Pour cela, il faut au moins connaître les primitives classiques.

Dans le tableau suivant,f désigne une fonction etF une primitive.

f(x) F(x)

xⁿ (n∈R− {−1}) xⁿ⁺¹ n+ 1 1

x ln|x|

expx expx

chx shx

shx chx

ln|x| xln|x| −x

sinx −cosx

cosx sinx

1 + tan²x= 1

cos²x tanx 1

sin²x −cotanx tanx −ln|cosx|

1

1 +x² arctanx

√ 1

1−x² arcsinx

Attention ! Ces primitives sont valables sur tout intervalle où les fonctions sont continues (donc dénies).

On déduit de cette dénition la proposition suivante, dans laquelle les variations d'une fonction sont vues comme intégrale de sa dérivée.

Dénition. Une fonction est dite de classeC¹ sur un intervalleI quand f est dérivable sur I et f⁰ est continue surI.

Proposition 3. Soitf une fonction de classeC¹ sur un intervalle I,aetb deux points deI. Alorsf(b)−f(a) =

Z b a

f⁰(t)dt.

Remarque. Dans notre cadre d'étude, f doit être de classe C¹ sur I pour que f⁰ existe et soit continue, condition nécessaire pour pouvoir l'intégrer. Si f est seulement dérivable sans qu'on ait d'hypothèse sur la continuité def⁰, alors on ne peut même pas dénirZ b

a

f⁰.

2 Propriétés générales de l'intégrale

2.1 Linéarité

Proposition 4 (Linéarité de l'intégrale). Soitf etg deux fonctions continues sur[a, b],αetβ deux réels.

Alors : Z b a

(α f+β g) =α Z b

a

f+β Z b

a

g.

2.2 Relation de Chasles

Proposition 5. Soitf une fonction continue sur un intervalleI,a, b, c trois éléments deI

b c b

2.3 Intégrales et inégalités

Proposition 6 (Positivité de l'intégrale). Soita,b deux réels tels que a6b,f une fonction continue sur le segment[a, b].

Sif >0 sur[a, b] ( i.e. pour toutx∈[a, b],f(x)>0), alorsZ b a

f(x)dx>0.

Proposition 7 (Croissance de l'intégrale). Soit a, b deux réels tels que a 6 b, f et g deux fonctions continues sur le segment[a, b].

Sif 6g sur [a, b], alors Z b a

f(x)dx6 Z b

a

g(x)dx.

Remarque. Dans ces deux derniers théorèmes, attention à l'ordre des bornes !

3 Calcul pratique d'intégrales

Bien sûr, le calcul d'intégrales commence d'abord par la connaissance des primitives usuelles. En particulier, si on reconnaît dans la fonction à intégrer une formeu⁰×(f◦u)et qu'on connaît une primitiveF def, alorsF◦u en est une primitive.

Exercices : 1) calculezZ 1

0

e^x 2√

1 +e^xdx 2) calculezZ π/2

0

sinx 1 + cosxdx 3) calculezZ π/2

0

sinx 2−sin²xdx

En dehors de ces cas, on peut citer quelques techniques qui ne sont que des recettes, puisqu'il n'y a aucun résultat général.

3.1 Linéarisation

Une idée pour calculer une intégrale est de transformer la fonction en une combinaison linéaire de fonctions plus simples à intégrer.

a) Fonctions circulaires

On montre en utilisant les formules de Moivre( ?) et la formule du binôme que pour tout n ∈ N^∗, il existe (a0, a1, . . . , an)∈Rⁿ⁺¹ tel quecosⁿx=

n

X

k=0

akcos(kx).

Pour les puissances de sin, on a le même genre de résultat : suivant la parité de n, sinⁿx s'écrira comme combinaison linéaire desin(kx)sinest impair, ou decos(kx)sinest pair.

Exercices : 1) calculezZ π

0

cos²x dx

2) écrivezcos³xcomme combinaison linéaire decosxetcos(3x), déduisez-enZ π/2 0

cos³x dx

3) calculezZ π/3 0

sin³x dx

Dans le cas de produit de puissances de sinus et de cosinus, on peut se ramener aux cas précédents par utilisation des mêmes méthodes ou en se servant aussi des formules de trigonométrie qui transforment les produits en sommes.

Exercices :

1) linéarisezcos²xsin³xpuis calculezZ π 0

cos²xsin³x dx

2) linéarisezcos⁴xsin²xpuis calculezZ π/4 0

cos⁴xsin²x dx

Plus généralement, toutes les fonctions du typex7→cos^p(mx) sin^q(nx)peuvent être linéarisées en utilisant les formules de Moivre, Euler et autres formules de trigonométrie.

Remarque. Avant de faire tout calcul un peu long ou pénible, il est préférable d'observer si on ne peut pas trouver tout de suite ou presque un primitive évidente :

x7→cos⁵xsinxest de la forme−u⁰.u⁵, donc une primitive évidente est icix7→ −cos⁶x

cos²xsin³x = cos²x(1−cos²x) sinx = cos²xsinx−cos⁴xsinx donc une primitive évidente de6 x7→cos²xsin³xestx7→ −cos³x

3 +cos⁵x 5

b) Fonctions rationnelles

On appelle fraction rationnelle tout quotient de deux polynômes.

Soit f = A

B une fraction rationnelle (A, B deux polynômes), on appelle degré de f l'entier relatif degf = degA−degB.

On suppose dans toute la suite quedegf <0.

Hormis les cas trés simples où on reconnaît immédiatement une primitive (typiquement quand la fraction ration- nelle est du type u⁰

uⁿ), on peut espérer intégrer une fraction rationnelle si on sait factoriser son dénominateur.

Sur des exemples simples, on peut espérer pratiquer une linéarisation qu'on appelle décomposition en éléments simples .

D'abord quelques exemples avec des éléments simple de première espèce.

Exemples.

X−5

(X−1)(X−6) = 4/5

X−1+ 1/5 X−6

X²+ 1

(X−1)(X−2)(X−3) = 1

X−1− 5

X−2+ 5 X−3

1

X(X−1)² = 1

X + 1

(X−1)²− 1 X−1 4X²+X+ 4

(X−1)(X+ 2)² = 1

X−1− 6

(X+ 2)² + 3 X+ 2

X²

(X−1)²(X+ 1)³ = 1/4

(X+ 1)³ − 1/4

(X+ 1)² − 1/16

X+ 1 + 1/8

(X−1)² + 1/16 X−1 Les primitives des fonctions de la formex7→ 1

(x−a)ⁿ ne posent pas de problème en les écrivantx7→(x−a)⁻ⁿ. Exercices :

1) calculezZ 1 0

1 x²−x−2dx 2) calculezZ 1/2

0

u²−u+ 2 u³−u²−u+ 1du 3) calculezZ 3

0

x+ 4 x²−3x+ 2dx

Puis quelques exemples de décomposition en éléments simples avec des éléments de deuxième espèce.

Exemples.

3

X³+ 1 = 3

(X+ 1)(X²−X+ 1) = 1

X+ 1+ −X+ 2 X²−X+ 1

2X+ 3

X³−2X²−2X−3 = 2X+ 3

(X−3)(X²+X+ 1) = 1 13

9

X−3 − 9X+ 10 X²+X+ 1

X+ 2 1

−2 2X+ 9

Il reste à voir comment calculer les primitives des fonctions de la formex7→ 1 x²+ax+b. D'abord, un cas particulier : une primitive dex7→ 1

x²+a² est

Puis on se ramène à ces cas-là grâce à la forme canonique d'un trinôme du second degré.

Une primitive dex7→ 1

x²+ax+b est

3.2 Intégration par parties

Proposition 8. Soitu,v deux fonction de classe C¹ sur [a, b]. AlorsZ b

a

u v⁰=h u vib

a

− Z b

a

u⁰v.

Grâce à ce résultat, on peut transformer une intégrale en une autre intégrale, qu'on espère plus simple à calculer.

C'est particulièrement utile pour le calcul d'intégrales du typeZ b a

x^kf(x)dx, quand kest un entier naturel et f est une fonction à primitive simple, l'objectif étant de diminuer l'exposant, ou alors quand f est à dérivée simple, l'objectif étant de se débarrasser def.

Exercices : 1) calcul deZ π

0

xsinxdx 2) calcul de

Z e

1

xlnxdx 3) calcul deZ π

0

sinx e^xdx

3.3 Changement de variable dans une intégrale

Proposition 9. Soit f une fonction continue sur un intervalleI, ϕune fonction de classe C¹ sur [a, b]

telle queϕ([a, b])⊂I. AlorsZ ϕ(b)

ϕ(a)

f(x)dx= Z b

a

f(ϕ(t))ϕ⁰(t)dt.

Là encore, la modestie est de mise. . . Un principe général : par changement de variable, on tente de faire disparaître les morceaux gênants. Dans les exemples suivants, on pratique le changement de variables dans les deux sens.

Exercices : 1) calcul deZ 4

1

1 x+√

xdx 2) calcul deZ 1

0

p1−x²dx

3) calcul deZ 1/2 0

√ x

1−x²dx 4) calcul deZ π

0

sin³xdxen posantt= cosx 5) calcul deZ π/2

0

sin(3x)−sin(2x)

1 + cos(x) dxen posantu= cos(x) 6) calcul deZ π/2

0

cos(3t)−cos(t)

1 + cos²(t) dten posanty= sin(t) 7) calcul deZ π/4

0

1

1 + tanxdxen posantu= tanx

3.4 Passer dans les complexes

Dénition. Soit f une fonction de R dansC. On écritf =u+i v oùuet v sont deux fonctions de R dansR.

Sif est continue sur un intervalleI et a, bsont deux éléments de I, alors on pose Z b

a

f(x)dx= Z b

a

u(x)dx+i Z b

a

v(x)dx

On vérie alors que cette intégrale de fonctions à valeurs complexes a les mêmes propriétés que l'intégrale des fonctions réelles : linéarité (avec des coecients complexes), relation de Chasles. En revanche, les propriétés qui font intervenir la relation d'ordre6ne sont évidemment plus valables.

Les idées développées ci-dessus dans le cadre du calcul pratique sont encore valables : linéarisation, intégration par parties, changement de variables. Si on connaît une primitive de la fonction à intégrer, alors le calcul se fait directement : le seul piège à éviter est de ne pas faire intervenir de logarithme de nombre complexe ! Exemples.

calcul deZ 1 0

1 (x−i)²dx. calcul deZ 1

0

1 x−idx. calcul deZ π

0

sinx e^xdx

4 Calculs de primitives

La pratique des calculs d'intégrales peut à l'inverse permettre des calculs de primitive grâce au résultat suivant.

En utilisant les idées précédentes, on peut parfois calculer des primitives.

Proposition 10. Soitf une fonction continue sur un intervalleI,aun point de I. On poseΦ : I→R, x7→

Z x a

f(t)dt.

AlorsΦest l'unique primitive def surI qui s'annule en a.

Remarque.

On a donc montré que sif est une fonction continue surI, alors la fonctionΦ :x7→

Z x a

f est de classeC¹ sur I, car pour toutx∈I,Φ⁰(x) =f(x), doncΦ⁰ est continue.

Et non pas Φ⁰(x) =f(x)−f(a)! ! ! ! Exercices :

1) calculez une primitive de la fonctiont7→p 1−t² 2) calculez une primitive de la fonctiont7→ tant

1 + tant