NOM : ENONCE ET FEUILLE-REPONSE Respecter les consignes ! Exercice 1 Dans chaque cas, écrire (sans présenter les calculs) la primitive répondant aux contraintes imposées, puis écrire les propriétés essentielles utilisées pour trouver ce résultat.
Primitive propriétés
Primitive de x → tan2 x s’annulant en 4 π Aide : penser aux dérivées des fonctions de référence.
Primitive de x → x1
e +1s’annulant en 0.
Aide : on peut remarquer que
x x x
1 1
e 1 e (1 e )= −
+ + .
Primitive de x → sin 3x cos2 3x s’annulant en 0.
Exercice 2 Il s’agit de calculer la valeur moyenne d’une fonction f sur [-2 ; 8] avec f(x) =
5x2 29x 76 (x 9)(3x 7)
− + +
− + .
Pour cela on calcule une primitive de f sur [-2 ; 8]. Une méthode dite « par identification des coefficients » permet de trouver des réels a, b et c tels que, pour tout x où la fraction est définie,
5x2 29x 76 b c
(x 9)(3x 7) a x 9 3x 7
− + +
= + +
− + − + : cette méthode amène à
résoudre un système de trois équations d’inconnues a, b et c.
1) Ecrire ce système. 2) Ecrire la solution de ce
système.
3) Sans présenter les calculs, écrire une primitive de f déduite de cette résolution.
4) Sans présenter les calculs, écrire la moyenne de f sur [-2 ; 8].
Exercice 3 A l’aide d’une double intégration par parties calculer, en justifiant, la primitive de x → e2xcos 3x s’annulant en 0.
Eléments pour un corrigé
Exercice 1 Dans chaque cas, écrire (sans présenter les calculs) la primitive répondant aux contraintes imposées, puis écrire les propriétés essentielles utilisées pour trouver ce résultat.
Primitive propriétés
Primitive de x → tan2 x s’annulant en 4 π Aide : penser aux dérivées des fonctions de référence.
x → tan x – x – 1 + 4
π P1 : (tan x)’ = 1 + tan2x P2 : linéarité de l’intégrale.
Primitive de x → x1
e +1s’annulant en 0.
Aide : on peut remarquer que
x x x
1 1
e 1 e (1 e )= −
+ + ou que 1 =e x –e x+ 1
x → -ln(1 + e-x) + ln 2 (ou x – ln(1 + ex) + ln 2 ou encore ln 2 x
1 e+ − ou encore
x x
ln 2e
1 e+ …).
P2 : linéarité de l’intégrale.
P3 : si u > 0, alors (ln u)’ = u’/u (u fonction) P4 : (eu)’ = u’eu
Primitive de x → sin 3x cos2 3x
s’annulant en 0. x → 1cos 3x3 1
9 9
− + P2 : linéarité de l’intégrale.
P5 : (un)’ = nu’un-1
P6 : (cos ax)’ = -a sin ax (a constante)
Exercice 2 Il s’agit de calculer la valeur moyenne d’une fonction f sur [-2 ; 8] avec f(x) =
5x2 29x 76 (x 9)(3x 7)
− + +
− + .
Pour cela on calcule une primitive de f sur [-2 ; 8]. Une méthode dite « par identification des coefficients » permet de trouver des réels a, b et c tels que, pour tout x où la fraction est définie,
5x2 29x 76 b c
(x 9)(3x 7) a x 9 3x 7
− + + = + +
− + − + : cette méthode amène à
résoudre un système de trois équations d’inconnues a, b et c.
1) Ecrire ce système. 3a 5
20a 3b c 29 63a 7b 9c 76
= −
− + + =
− + − =
2) Ecrire la solution de ce
système. −53; 2 ;− 53
3) Sans présenter les calculs, écrire une primitive
de f déduite de cette résolution. x → 5x 2 ln(9 x) 5ln(3x 7)
3 9
− − − + +
4) Sans présenter les calculs, écrire la moyenne
de f sur [-2 ; 8]. 1 50 5ln 31 2 ln11
10 3 9
− + +
Exercice 3 A l’aide d’une double intégration par parties calculer, en justifiant, la primitive de x → e2xcos 3x s’annulant en 0.
Soit F la primitive cherchée. On a (th.1) F(x) = x 2t
0e cos3tdt
∫
En utilisant le th. de l’intégration par parties (th.2, th.3 et th.4), F(x) =
2t x x 2t
0 0
e e
cos3t ( 3sin 3t) dt
2 2
− −
∫
Donc F(x) =
2t x
x 2t 0 0
e cos3t 3 e sin 3t dt
2 2
+
∫
Or, par analogie,
2t x
x 2t x 2t
0 0
0
e 3
e sin 3t dt sin 3t e cos3t dt
2 2
= −
∫ ∫
et
2t x x 2t
0 0
e 3
e sin 3t dt sin 3t F(x)
2 2
= −
∫
.D’où F(x) =
x x
2t 2t
0 0
e 3 e 3
cos 3t sin 3t F(x)
2 2 2 2
+ −
Soit F(x) =
2t x 2x
2t 2x
0
4 e cos 3t 3e sin 3t 4 e cos3x 3e sin 3x 1
13 2 4 13 2 4 2
+ = + −
.
Th.1 : si f est dérivable sur un intervalle I et si a appartient à I, alors pour tout x de I, x
0f (t)dt
∫
estla primitive de f s’annulant en 0.
Th.2 (intégration par parties) :
[ ]
b b b
au '(t)v(t) dt= u(t)v(t) a− au(t)v '(t) dt
∫ ∫
Th.3 : (eu)’ = u’eu
Th.4 : (cos ax)’ = -a sin ax (a constante)
