1 5.13 CALCUL EFFECTIF DE LA MATRICE JACOBIENNE 5.13 CALCUL EFFECTIF DE LA MATRICE JACOBIENNE

DEPLACEMENT INFINITESIMAL DANS L’ESPACE DE LA TACHE

avec :

• La matrice des rotations infinitésimales

• Le vecteur δvtel que:

Le vecteur déplacement infinitésimal de l’organe terminal est défini par:

±T =

· ±R ±r 0^T 0

¸

±T¢T^¡1=

· ±®~ ±v 0^T 0

¸

±®~=±R¢R^T = 2

4 0 ¡±®z ±®y

±®z 0 ¡±®x

¡±®y ±®x 0 3 5

±r=±®~r+±v

±x=

· ±®

±r

¸

5.13 CALCUL EFFECTIF DE LA MATRICE JACOBIENNE

DEPLACEMENT INFINITESIMAL DANS L’ESPACE DES COORDONNES ARTICULAIRES

• T(q)est une fonction des coordonnées articulaires telles que

• La différentielle de T(q)

• De manière analogue à l’opérateur différentiel des vitesses ou des accélérations, on peut exprimer les dérivées partielles de matrices de transformations sous la forme

• Pour un joint rotoïde, on peut montrer que l’on a

• Pour un joint prismatique, on a:

où kest l’axe du joint (axe z = [0 0 1]^T)

T =A1(q1)¢A2(q2):::Am(qm)

±T= Xm i=1

A1(q1)¢A2(q2):::@Ai

@qi

:::Am(qm)±qi

@Ai

@qi

=¢iAi

¢i=

· k~ 0 0^T 0

¸

¢i=

· 0 k 0^T 0

¸

de T

La définition chaque contribution C_isous la forme C_i= δ_iT T^-1permet encore une fois de procéder par analogie avec l’opérateur différentiel des vitesses!

• Détaillons la valeur de C_i:

• Tous calculs faits, on obtient:

• Ses composantes (de rotation et de déplacements) peuvents être rassemblées dans le vecteur

A₁(q₁)¢A₂(q₂):::@Ai

@qi

:::A_m(q_m)=C_i¢T

Ci =(A1¢A2:::Ai¡1)@Ai

@qi

(A1¢A2:::Ai)^¡1

=(A1¢A2:::Ai¡1)¢i(A1¢A2:::Ai¡1)^¡1 Ci=

· c~i vi

0^T 0

¸

di=

· ci

vi+c~ir

¸

5.13 CALCUL EFFECTIF DE LA MATRICE JACOBIENNE

• Mettons en connexion les expressions de la variation infinitésimale de la position de l’effecteur et la variation de la matrice de transformation homogéne en fonction des variation des variables articulaires

• On obtient l’expression de la matrice Jacobienne

±x= Xm

i=1

di±qi

J=

· c1 c2 ::: cm

v1+c~1r v2+c~2r ::: vm+c~mr

¸

• Pour un joint rotoïde

• Soit R_i-1 la matrice de rotation du système du corps i-1 par rapport au système absolu.

On trouve la composante de rotation et la composante de translation

• Soit la contribution du joint i à la matrice jacobienne

• Remarques:

– c_iest la direction de l’articulation dans les axes absolus

– dans DH, l’axe du joint i est repéré par l’axe z du système du corps i-1 Ci=⁰Ai¡1¢¢i¢⁰A^¡_i¡¹₁

~

ci=Ri¡1¢k~¢R^T_i¡1 vi=¡c~iri¡1

di=

· ci

~

ci(r¡ri¡1)

¸

5.13 CALCUL EFFECTIF DE LA MATRICE JACOBIENNE

• Pour un joint prismatique Soit R_i-1 la matrice de

rotation du système du corps i-1 par rapport au système absolu.

On trouve la composante de translation

• Soit la contribution du joint à la matrice jacobienne

• Remarques:

– c_iest la direction de l’articulation dans les axes absolus

– dans DH, l’axe du joint i est repéré par l’axe z du système du corps i-1 vi=Ri¡1k=ci

di=

· 0 ci

¸

• La matrice Jacobienne J relie les vitesses de l’effecteur aux vitesses articulaires

• Où on a les contributions suivantes

• Avec

– z_i-1la position de joint i

– p_i-1,6la position de la main dans le repère i-1 positionné sur le joint i

·! v

¸

= J(q) = [J1(q);J2(q);:::J6(q)]q_(t)

Ji (q) = 8>

>>

>>

><

>>

>>

>>

:

"

zi¡1

zi¡1£ p_{(i¡1 );6}

#

ifjointiisrotational;

"

0 zi¡1

#

ifjointiistranslational:

5.13 MATRICE JACOBIENNE DU PUMA

• Pour le PUMA qui est un robot 6R, il vient:

J(µ) =

· z₀ z₁ z₂ z₃ z₄ z₅

z0£ p0;6 z1£ p1;6 z2 £ p2;6 z3£ p3;6 z4£ p4;6 z5£ p5;6

¸

JOINT 1

• Orientation du joint

• Partie translation

z0 = k = 2 40

0 1 3 5

z0£ p0;6

0p6 = 2

4C1[C23C4S5d6+S23(d4+C5d6) +a2C2]¡S1(S4S5d6+d2) S1[C23C4S5d6+S23(d4+C5d6) +a2C2] +C1(S4S5d6+d2)

(¡S23C4S5+C23C5)d6+C23d4¡a2S2

3 5 =

2 4(⁰p6)x

(⁰p6)y

(⁰p6)z

3 5

k£ ⁰p₆=k~⁰p₆= 2 4

0 ¡1 0

1 0 0

0 0 0

3 5 2 4

(⁰p₆)_x (⁰p₆)_y (⁰p₆)_z 3 5 =

2 4¡(⁰p₆)_y

(⁰p₆)_x 0

3 5

5.13 MATRICE JACOBIENNE DU PUMA

• Contribution du joint 1

J1(µ) = 2 66 66 66 4

0 0 1

¡S1[C23C4S5d6+S23(d4+C5d6) +a2C2]¡C1(S4S5d6+d2) C1[C₂₃C4S5d6+S23(d₄+C5d6) +a2C2]¡S1(S₄S5d6+d2)

0

3 77 77 77 5

JOINT 2

• Partie rotation

• Partie translation z₁=⁰R₁

2 4 0 0 1 3 5 =

2

4C1 0 ¡S1

S₁ 0 C₁ 0 ¡1 0

3 5 2 4 0 0 1 3 5 =

2 4¡S1

C₁ 0

3 5

z1£p1;6 = ⁰R1(k£ ¹p6)

1

p

= 2

4 C

C

S

d

+ S

( d

+ C

d

) + a

C

S

C

S

d

¡ C

( d

+ C

d

) + a

S

S

S

d

+ d

3 1 A 6 5

5.13 MATRICE JACOBIENNE DU PUMA

• Partie translation

• Contribution joint 2 z₁ £p_{1 ; 6} =

2

4C₁ 0 ¡S₁ S₁ 0 C₁

0 ¡1 0 3 5 2

4¡(S₂₃C₄S₅d₆¡C₂₃(d₄+C₅d₆) +a₂S₂ ) C₂₃C₄S₅d₆+S₂₃(d₄+C₅d₆) +a₂C₂

0

3 5

= 2

4¡C₁ [S₂₃C₄S₅d₆¡C₂₃(d₄+C₅d₆) +a₂S₂]

¡S₁ [S₂₃C₄S₅d₆¡C₂₃(d₄+C₅d₆) +a₂S₂]

¡[C_{2 3}C₄S₅d₆+S₂₃(d₄+C₅d₆) +a₂C₂] 3 5

J2(µ) = 2 66 66 66 4

¡S1

C1

0

¡C1[S2 3C4S5d6¡C23(d4+C5d6)+a2S2]

¡S₁[S_{2 3}C₄S₅d₆¡C₂₃(d₄+C₅d₆)+a₂S₂]

¡[C_{2 3}C₄S₅d₆+S_{2 3}(d₄+C₅d₆)+a₂C₂] 3 77 77 77 5

JOINT 3

• Partie orientation

• Partie translation

0 R2 = ⁰ R1 1 R2

= 2

4C1 0 ¡S1 S1 0 C1

0 ¡1 0 3 5 2

4C2 ¡S2 0 S2 C2 0

0 0 1

3 5 =

2

4C1C2 ¡C1S2 ¡S1 S1C2 ¡S1S2 C1

¡S2 ¡C2 0 3 5

z2 =⁰R2k = 2 4¡S1

C1

0 3 5

z2£ p2;6 = ⁰R2(k~²p6)

5.13 MATRICE JACOBIENNE DU PUMA

• Partie translation

2p6 = 2

4C3C4S5d6+S3(d4+C5d6) S3C4S5d6¡C3(d4+C5d6)

S4S5d6

3 5

k£ ²p6 = 2

4¡[S3C4S5d6¡C3(d4+C5d6)] C3C4S5d6+S3(d4+C5d6)

0

3 5

z₂ £ p_{2 ; 6} = 2

4C₁ C₂ ¡C₁S₂ ¡S₁ S₁ C₂ ¡S₁S₂ C₁

¡S₂ ¡C₂ 0 3 5 2

4¡[S₃C₄S₅d₆¡C₃(d₄+C₅d₆ )] C₃C₄S₅d₆+S₃(d₄+C₅d₆)

0

3 5

= 2

4¡C₁ [S₂₃C₄S₅d₆¡C₂₃(d₄+C₅d₆)]

¡S₁ [S₂₃C₄S₅d₆¡C₂₃(d₄+C₅d₆)]

C_{2 3}C₄S₅d₆¡S₂₃(d₄+C₅d₆)]

3 5

• Contribution du joint 3

J3(µ) = 2 66 66 66 4

¡S1

C1

0

¡C1[S23C4S5d6¡C23(d4+C5d6)]

¡S1[S23C4S5d6¡C23(d4+C5d6)] C23C4S5d6¡S23(d4+C5d6)]

3 77 77 77 5

5.13 MATRICE JACOBIENNE DU PUMA

JOINT 4

• Contribution en orientation

0R₃ = ⁰R₂²R₃

= 2

4C1C2 ¡C1S2 ¡S1

S1C2 ¡S1S2 C1

¡S2 ¡C2 0 3 5 2

4C3 0 S3

S3 0 ¡C3

0 1 0

3 5 =

2

4C1C2 3 ¡S1 C1S23

S1C2 3 C1 S1S23

¡S2 3 0 C23

3 5

z3=⁰R3k = 2 4C1S23

S1S23

C23

3 5 J4 =

· z3

z3£ p3;6

¸

• Contribution en translation

z₃£ p_3;6 = ⁰R₃(k£ ³p₆) = ⁰R₃ 2

4¡C₄S₅d₆ S₄S₅d₆

0 3 5

= 2

4C1C23 ¡S1 C1S2 3

S1C23 C1 S1S2 3

¡S2 3 0 C23

3 5 2

4¡S4S5d6

C4S5d6

0 3 5

= 2

4¡C1C23S4S5d6¡S1C4S5d6

¡S1C23S4S5d6+C1C4S5d6

s23S4S5d6

3 5

5.13 MATRICE JACOBIENNE DU PUMA

• Contribution joint 4

J4(µ) = 2 66 66 66 4

C1S23

S1S23

C₂₃

¡C₁C₂₃S₄S₅d₆¡S₁C₄S₅d₆

¡S1C23S4S5d6+C1C4S5d6

s23S4S5d6

3 77 77 77 5

JOINT 5

• Contribution en orientation

0 R4 = ⁰ R3 3 R4

= 2 4

C₁ C23 ¡S1 C1S23

S1 C23 C1 S1S23

¡S2 3 0 C23

3 5 2 4

C4 0 ¡S4

S4 0 C4

0 ¡1 0 3 5

= 2

4C1 C23C4¡S1S4 ¡C1S23 ¡C1C23S4¡S1C4

S1 C2 3C4+C1S4 ¡S1S23 S1C2 3S4+C1C4

¡S23C4 C2 3 S23S4

3 5

z4=⁰R3k = 2

4¡C1C23S4¡S1C4

S1C23S4+C1C4

S23S4

3 5 J5 = z4

z4£ p4;6

5.13 MATRICE JACOBIENNE DU PUMA

• Contribution en translation

z₄ £ p_4;6 = ⁰ R₄ (k£ ⁴p₆) = ⁰R₄ 2 4¡C₅d₆

S₅d₆ 0

3 5

= 2

4C₁ C_{2 3} C₄¡S₁S₄ ¡C₁S₂₃ ¡C₁C₂₃S₄¡S₁C₄ S₁ C_{2 3} C₄+C₁S₄ ¡S₁S₂₃ S₁C₂₃S₄+C₁C₄

¡S₂₃C₄ C₂₃ S₂₃S₄ 3 5 2 4¡C₅ d₆

S₅ d₆ 0

3 5

= 2

4(¡C₁ C₂₃C₅¡S₁S₅)d₆ (¡S₁ C₂₃C₅+C₁S₅)d₆

s₂₃C₅d₆

3 5

• Contribution du joint 5

J5(µ) = 2 66 66 66 4

¡C1C23S4 ¡S1C4

S1C23S4+C1C4

S23S4

(¡C1C23C5 ¡S1S5)d6

(¡S1C23C5+C1S5)d6

s23C5d6

3 77 77 77 5

5.13 MATRICE JACOBIENNE DU PUMA

• JOINT 6

• Contribution en orientation J6 =

· z5

z5£ p5;6

¸

0R5 = ⁰R44R5

= 2

4C1C23C4¡S1S4 ¡C1S23 ¡C1C23S4¡S1C4

S₁C₂₃C₄+C₁S₄ ¡S₁S₂₃ S₁C₂₃S₄+C₁C₄

¡S23C4 C23 S23S4

3 5 2

4C5 0 S5

S₅ 0 ¡C₅

0 1 0

3 5

=

"[C1C 23C 4¡S 1S 4 ] C 5¡C¹S^{2 3}S⁵ ¡C¹C²³S⁴¡S¹C⁴ [C1C²³C⁴¡S¹S⁴]S⁵+ C 1S 23C 5

[S1C 23 C 4 + C 1S 4] C 5 +S1S^{2 3}S⁵ S¹C²³S⁴+C1C⁴ [S1C²³C⁴+C1S⁴]S5+ S 1 S 23 C 5

¡S 23 C 4 C 5¡C 23S⁵ S²³S⁴ ¡S²³C⁴S⁵+C23C 5

#

z₅ =⁰R₅ k = 2 4

C₁C₂₃C₄S₅ ¡S₁S₄S₅ +C₁S₂₃C₅ S1C23C4S5+C1S4S5+S1S23C5

¡S₂₃C₄S₅+C₂₃C₅

3 5

• Contribution en translation

• Contribution du joint 6

z₅ £ p_5;6 = ⁰R₅(k£ ⁵p₆) = 0

J6(µ) = 2 66 66 66 4

C1C23C4S5¡S1S4S5+C1S23C5

S1C23C4S5+C1S4S5+S1S23C5

¡S23C4S5+C23C5

0 0 0

3 77 77 77 5

5.14 SOLUTION NUMERIQUE EFFICACE DU PROBLEME DE CINEMATIQUE INVERSE

• Problème: trouver les (q₁, q₂, … q_m) à partir d’une solution initiale (q₁*, q₂*, … q_m*) donnée de telle sorte que

• Soit T*

• Soit le résidu sur la matrice de transformation

• En développant en série le résidu de la matrice de transformation

• On obtient l’équation permettant de calculer la correction des variables articulaires T =A1(q1)¢A2(q2):::Am(qm)

T^¤=A1(q₁^¤)¢A2(q₂^¤):::Am(q_m^¤)

±T=T¡T^¤

±T = Xm

i=1

(Ci±qi)¢T+O(±q²)

±T¢T^¡1= Xm

i=1

(Ci±qi)

DE CINEMATIQUE INVERSE

• Six quantités scalaires indépendantes peuvent être extraites

• Soit le vecteur collectant les corrections des paramètres

• L’équation itérative permettant de déterminer les corrections des paramètres est:

• L’équation est invertible si n=6 et si la matrice Jest de rang complet

• Rappelons que les quantités δαsont des quasi-coordonnées, car il ne s’agit pas de quantité intégrables

8<

:

±®x =(±T¢T^¡1)32'¡(±T¢T^¡1)23

±®y =(±T¢T^¡1)13'¡(±T¢T^¡1)31

±®z =(±T¢T^¡1)21'¡(±T¢T^¡1)12

8<

:

±rx =(±T¢T^¡1)14¡±®zry+±®yrz

±ry =(±T¢T^¡1)24+±®zrx¡±®xrz

±rz =(±T¢T^¡1)34¡±®yrx+±®xry

±x^T =[±®x±®y ±®z ±rx ±ry ±rz]

Jq=±x

5.15 CALCUL RECURSIF DES VITESSES EN COORDONNES DU REPERE ABSOLU

• Objectif:

– calculer

– Pour l ’efficacité, on veut tirer parti de la structure en chaîne ouverte

• A l’étape i:

– Tranformation du repère i par rapport au repère absolu 0

– Matrice différentielle des vitesses

¢_=T_¢T^¡1

Ti=⁰Ai=⁰A1¢¹A2:::^i¡1Ai

0¢_i=T_i¢T_i^¡1

• A l’étape i+1

– Transformation du repère i au repère i+1

– Matrice différentielle des vitesses

soit

Ti+1=Ti¢ⁱAi+1

0¢_i+1=T_i+1¢T_i^¡₊¹₁

=(Ti¢ⁱA_i+1+T_i¢ⁱAi+1)¢T_i^¡₊¹₁

0

¢ _

=

¢ _

+ T

¢ _

T

5.15 CALCUL RECURSIF DES VITESSES EN COORDONNES DU REPERE ABSOLU

• Pour un joint rotoïde

– La matrice différentielle des vitesses en coordonées locales

– Le vecteur vitesse angulaire – Le vecteur vitesse linéaire

– Interprétation:

• La vitesse angulaire du repère i+1 est la vitesse angulaire du repère i augmentée de la vitesse angulaire relative produire par le joint i

• La vitesse linéaire du repère i+1 est la vitesse linéaire du repère i à laquelle vient s’ajouter la contribution due à la vitesse angulaire du repère i+1 multiplié par la distance entre le repère i et le repère i+1

¢_i+1=q_i+1

· ~k 0 0^T 0

¸

!i+1 =!i+q_i+1ci+1

vi+1=vi¡q_i+1c~i+1ri

_

ri+1=r_i+!~i+1(ri+1¡ri)

_ ri+1

!i+1

(ri+1¡ri

!i

_ ri

_ qi+1ci+1

COORDONNES DU REPERE ABSOLU

• Pour un joint prismatique

– La matrice différentielle des vitesses en coordonées locales

– Les vecteurs vitesse angulaire et vitesse linéaire

– Interprétation:

• La vitesse angulaire du repère i+1 est la vitesse angulaire du repère i

• La vitesse linéaire du repère i+1 est la vitesse linéaire du repère i à laquelle vient s’ajouter deux contributions. La première est due à la vitesse angulaire du repère i multiplié par la distance entre le repère i et le repère i+1. La seconde est due à l’accroissement de vitesse donnée par le joint prismatique.

¢_i+1=q_i+1

· 0 k 0^T 0

¸

!i+1 =!i

_

ri+1 =r_i+!~i+1(ri+1¡ri)+q_i+1ci+1

5.16 CALCUL RECURSIF DES ACCELERATIONS EN COORDONNES DU REPERE ABSOLU

• Objectif:

– Calculer en tirant parti de la structure en chaîne ouverte

• A l’étape i:

– Matrice différentielle des accélérations

• A l’étape i+1:

– Soit

¢Ä=TÄ¢T^¡1

0¢Äi=TÄi¢T_i^¡1

0¢Äi+1= ÄTi+1¢T_i^¡₊¹₁

= (Ti¢ⁱAÄi+1+2T_i¢ⁱA_i+ 1+ ÄTi¢ⁱAi+1)T_i+1^¡1

= ÄTi¢T_i^¡1+Ti¢ⁱAÄi+1¢ⁱA^¡_{i+ 1}¹ ¢T_i^¡1+ 2 _Ti¢T_i^¡1¢T_i^¡1¢ⁱA_i+ 1¢ⁱA^¡_{i+ 1}¹ ¢T_i^¡1

0 ¢Äi + 1 = ⁰ ¢Äi +2⁰¢_ ¢T ¢ⁱ¢_ ¢T^¡1+T ¢ⁱ¢Ä ¢T^¡1

• Pour un joint rotoïde:

– Les matrices différentielles en axes locaux

– Les accélérations angulaire et linéaire

– Après quelques (!) transformations algébriques, il vient i¢_i+1 = q_i+1

· k~ 0 0^T 0

¸

i¢Äi+1 = qÄi+1

· k~ 0 0^T 0

¸

¡q__i²₊₁

· ~kk~^T 0 0^T 0

¸

¯i+1=¯i+2q_i+ 1!~ic~i+ 1+qÄi+ 1~ci+ 1¡q_²_{i+ 1}c~i+ 1c~^T_{i+ 1} a_i+1 =a_i¡(2q__i+1!~_i+qÄ_i+1¡q__i²₊₁c~_i+1)c~_i+1r_i

_

!i+1=!_i+q_i+1!~ici+1+qÄi+1ci+1

Ä

r_i+1 =rÄ_i+(!~__i+1¡!~_i+1!~_i^T₊₁)(r_i+1¡r_i)

5.16 CALCUL RECURSIF DES ACCELERATIONS EN COORDONNES DU REPERE ABSOLU

• Pour un joint prismatique:

– Les matrices différentielles en axes locaux

– Les accélérations angulaire et linéaire

– Après quelques (!) transformations algébriques, il vient i¢_i+1=q_i+1

· 0 k 0^T 0

¸

i¢Äi+1=qÄi+1

· 0 k 0^T 0

¸

¯i+1=¯i

v

= v

+ c

q Ä

+ 2 ! ~

c

q _

_

!i+1=!_i

Ä

ri+ 1 =rÄi +(!~_i ¡!~i!~_i^T)(ri+1¡ri)+ci+ 1qÄi+ 1+2!~ici+ 1q_i+1

ACCELERATIONS EN COORDONNES ABSOLUES

• Les matrices différentielles

• Pour un joint rotoïde

• Pour un joint prismatique

0¢_i+1=⁰¢_i+Ti¢ⁱ¢_i+ 1¢T_i^¡1

0¢Äi+1=⁰¢Äi+2⁰¢_i¢Ti¢ⁱ¢_i+ 1¢T_i^¡1+Ti¢ⁱ¢Äi+ 1¢T_i^¡1

!i+1=!i+q_i+1ci+1

_

r_i+1=r__i+!~_i+1(r_i+1¡r_i) _

!i+1=!_i+qÄi+1ci+1+q_i+1!~ici+1

Ä

ri+1=rÄi+(!~_i+1¡!~i+1!~^T_i+1)(ri+1¡ri)

!i+1 =!i

_

ri+1 =r_i+!~i+1(ri+1¡ri)+q_i+1ci+1

_

!i+1 =!_i

rÄi+1 =rÄi+(!~_i+1¡!~i+ 1!~_i+1^T )(ri+1¡ri)+ci+1qÄi+1+2!~i+ 1ci+1q_i+1

5.17 CALCUL RECURSIF DES VITESSES EN COORDONNES RELATIVES

• Objectif:Calculer l’opérateur différentiel des vitesses dans les axes liés aux corps

• Signification de la matrice des vitesses en coordonnées relatives

avec les vecteurs vitesse angulaire et linéaire rapportés dans les axes du corps

¡_=T^¡1¢T_

¡_=

· !~⁰ v⁰ 0^T 0

¸

~

!⁰=R^TR_ v⁰=R^Tr_

• Matrice des vitesses du repère i dans les axes du corps i

• Transformation du repère i au repère i+1

• Il vient

• La formule de récursion

¡_i=T_i^¡1¢T_i

Ti+1=Ti¢ⁱAi+1

¡_i+1 = ⁱA^¡_i+¹₁¢T_i¢ⁱAi+1+ⁱA^¡_i+¹₁¢ⁱA_i+1

¡_i+1 =T_i^¡₊¹₁(Ti¢ⁱA_i+1+T_i¢ⁱAi+1)

¡__i+1 = ⁱA^¡_i+¹₁[¡__i+ⁱ¢__i+1]ⁱA_i+1

5.17 CALCUL RECURSIF DES VITESSES EN COORDONNES RELATIVES

• Définissons:

– La matrice de rotation pour passer du repère i au repère i+1: R_i+1

– La vitesse angulaire du repère i+1 exprimée dans les axes du repère i: ωi+1* – La vitesse angulaire du repère i exprimée dans son propre repère i: ω_i’ – La position de l’origine du repère i+1 dans le repère i : d_i+1* – Le type de joint σ=0 si rotoïde et σ=1 si prismatique

• Lla vitesse angulaire du repère i+1 exprimée dans le repère i

Les formulation de propagation des vitesses ramenées dans le repère i+1

!^?_i+1=!_i⁰+(1¡¾)q_i+1k

!_i⁰₊₁ =R^T_i+1!^?_i+1

v_i⁰₊₁ =R^T_i+1[v_i⁰+!~_i^?₊₁d^?_i+1+¾kq_i+1]

COORDONNES RELATIVES

• Objectif:Calculer l’opérateur différentiel des accélérations dans les axes liés au corps

• Signification de la matrice des accélérations en coordonnées relatives

avec les vecteurs accélérations angulaire et linéaires rapportés dans les axes du corps

¡Ä=T^¡1¢TÄ

¡Ä=

· ¯⁰ a⁰ 0^T 0

¸

a⁰=R^TrÄ ¯⁰=R^TRÄ=!~_⁰¡(!~⁰)^T!~⁰

5.18 CALCUL RECURSIF DES ACCELERATIONS EN COORDONNES RELATIVES

• Matrice des accélérations du repère i dans les axes du corps i

• Il vient

• La formule de récursion

• L’accélération angulaire du repère i+1 dans le repère i

• La formule de propagation de l’accélération

¡Äi=T_i^¡1¢TÄi

¡Äi+1=T_i^¡₊¹₁(TÄi¢ⁱAi+1+2T_i¢ⁱA_i+1+Ti¢ⁱAÄi+1)

¡Ä_i+1 =ⁱA^¡_i+¹₁[¡Ä_i+2¡__i¢ⁱ¢__i+1+ⁱ¢Ä_i+1]ⁱA_i+1

_

!^?_i+1 =!__i⁰+(1¡¾)[q__i+1!~⁰_i+qÄ_i+1]k

_

!_i⁰₊₁=R^T_i+1!__i^?₊₁

0 T 0 _^{? ? T ? ?} 0