I Champ de vitesse

TD Cin´ematique des fluides

I Champ de vitesse

a. Le champ~v ne d´epend pas du temps, il est donc stationnaire.

y

x b. On calcule

div~v Bv_x Bx

Bv_y By

Bv_z

Bz k k0 donc l’´ecoulement est incompressible.

On calcule

ÝÑrot~v

B Bx

B By

B Bz

^ vx

v_y 0

0 Bv_y 0

Bx Bv_x By

ÝÑ0

donc l’´ecoulement est irrotationnel (non tourbillonaire).

c. Comme l’´ecoulement est irrotationnel, alors l’´ecoulement est potentiel~v ÝÝÑgradφ. On a donc

v_x v_y 0

Bφ Bx Bφ By Bφ Bz

On doit donc int´egrer $ '' '' '&

'' '' '%

Bφ

Bx kx

Bφ By ky

Bφ Bz 0

ñ

$' '' '&

'' ''

%

φpx, yq ¹₂kx² fpyq φpx, yq ¹₂ky² gpxq

φpx, y, zq hpx, yq Par identification, on obtient

φpx, yq 1

2kx² 1

2ky² C 1

2kpy²x²q C o`u C est une constante que l’on peut prendre arbitrairement nulle.

d. L’´equation d’une ligne de courant d~l dx~i dy~j est donn´ee par d~l^~v ÝÑ0 puisque la ligne de courant est tangente en chaque point `a la vitesse. On a donc

dx dy

^

kx ky

ÝÑ0 ñ dxky pdykxq dxky dykx0 pcomposante sur Ozq

On a donc kdpxyq 0, donc xy C o`u C est une constante. Les lignes de courant sont donc des hyperboles d’´equationy ^C_x.

y

x

Les ´equipotentielles sont donn´ees par φ C, soit ¹₂kpy²x²q C. Les ´equipotentielles sont donc des courbes d’´equation

y c2C¹

k x² y

x

SidÝMÑest un ´el´ement de l’´equipotentielle, alorsdφ ÝÝÑgradφdÝMÑ0. Comme~v ÝÝÑgradφ, l’´equipotentielle est perpendiculaire `a la ligne de courant.

e. Par d´efinition

~a D~v Dt B~v

Bt p~v ÝÝÑgradq~v ÝÑ0 pv_x B

Bx v_y B

Byqpv_x~i v_y~jq Commev_x kx etv_y ky

~av_xBv_x

Bx~i v_yBv_y

By~j kxpkq~i kypkq~j k²py~j x~iq k²ÝÝÑOM

II D´ ebits

a. Par d´efinition

D_m

¼

S

~j_mdÝÑS

¼

S

µ~vdÝÑS µ

¼

S

V

1 r² R²

~e_zdS~e_z L’´el´ement de surface vautdSdr rdθ, donc

Dmµ

¼

S

V

1 r² R²

rdr dθµV

»_2π

0

dθ

»_R

0

r r³

R²

drµV2π R²

2 R⁴ 4R²

ce qui donne au final

Dm µV πR² 2

En supposant la vitesse uniforme dans la section droite D_m µSv_m o`uS πR², donc vm Dm

µπR² V 2

b. Par d´efinition, le d´ebit d’une grandeur extensiveG est donn´e par DG

¼

Σ

g~vdÝÑS

o`u g <sub>deltaτ</sub><sup>δG</sup> est la grandeur volumique associ´ee `aG. Ici, GEc ¹₂mv² doncδG ¹₂δmv² et donc ec Ec

δτ 1 2µv² On peut alors calculer

D_Ec

¼

S

1

2µv²~vdÝÑS 1 2µ

¼

S

v³dr rdθ 1 2µV³

»_2π

0

dθ

»_R

0

1 r²

R² 3

r drµπV³

»_R

0

1 r²

R² 3

r dr Pour calculer l’int´egrale, on pose

u1 r²

R² du 2rdr

R² ñ rdr R² 2 du

ce qui permet de r´e´ecrire l’int´egrale (ne pas oublier de changer les bornes de l’int´egrale)

»_R

0

1 r²

R² 3

r dr

»₀

1

u³pR²

2 duq R² 2

»₁

0

u³du R² 2

u⁴ 4

1 0

R² 8 ce qui donne pour le d´ebit d’´energie cin´etique

D_Ec µπV³R² 8

Si on suppose la vitesse uniforme et ´egale `a la vitesse moyenne, alors v ¹₂V et alors D_Ec 1

2µ

¼

S

v³dr rdθ 1 2µ1

8V³πR²µπV³R² 16

Le profil de vitesse propos´e permet donc un meilleur transport de l’´energie cin´etique. Il est aussi compatible avec les conditions de continuit´e de la vitesse `a la surface entre le fluide et la conduite (voir chapitre sur la viscosit´e).

III Ecoulement autour d’une sph` ´ ere

a. L’´ecoulement est uniforme puisqueu est une constante. Il est donc incompressible et irrotationnel.

Comme l’´ecoulement est irrotationnel, ~v ÝÝÑgradφ¹, donc en d´ecomposant sur les axes du syst`eme sph´erique

$' '' ''

&

'' '' '%

Bφ¹

Br ucosθ

1 rBφ¹

Bθ usinθ

1 rsinθBφ¹

Bϕ 0

z

y M

θ

~er

~e_θ

~ v

Il reste alors `a int´egrer, ce qui donne

$' '' '&

'' ''

%

φ¹pr, θ, ϕq urcosθ fpθ, ϕq φ¹pr, θ, ϕq urcosθ gpr, ϕq

φ¹pr, θ, ϕq hpr, θq et par identification entre ces trois expressions

φ¹pr, θ, ϕq urcosθ C o`u l’on peut prendre la constante C arbitrairement nulle, donc

φ¹pr, θ, ϕq urcosθ

b. Il y a une sym´etrie de r´evolution autour de l’axe Oz (AD). Il y a donc en particulier une sym´etrie par rapport au plan perpendiculaire `a la figure passant par Aet D.

Le fluide est incompressible, donc le d´ebit volumique est conserv´e. Si le d´ebit volumique est conserv´e et que les lignes de courant se rapprochent, il faut que la vitesse augmente, puisque le section du tube de courant est plus faible. On peut donc en d´eduire que la vitesse est plus grande que u au voisinage de B etC et plus faible au voisinage de A etD.

c. L’´ecoulement est irrotationnel et incompressible, donc div~v 0 et ÝÑrot~v ÝÑ0

Par ailleurs,~v ÝÝÑgradφ, donc divpÝÝÑgradφ0q, ce qu’on r´e´ecrit en introduisant le laplacien (formulaire !)

∆φ0 φv´erifie l’´equation de Poisson.

d. Le potentielφdoit satisfaire au conditions de sym´etrie de l’´ecoulement (axeOz), et donc ne doit pas d´ependre de ϕ. Il doit aussi ˆetre une fonction paire de θ pour respecter la sym´etrie par apport au plan passant parA etD. La forme propos´ee satisfait `a ces deux exigences.

Le potentiel doit aussi v´erifier l’´equation de Poisson (en coordonn´ees sph´eriques, voir formulaire)

∆φ 1 r

B²prφq Br²

1 r²sinθ

Bpsinθ^B_B^φ_θq Bθ

1 r²sinθ

B²φ Bϕ² 0 ce qui donne, en injectant la forme propos´ee

1

rcosθ B² Br²

αr² β r

1 r²sinθ

αr β r²

Bpsinθ^Bcos_Bθ^θq

Bθ 00 En d´erivant, on obtient

1 r cosθ

2α 2β

r³

1 r²sinθ

αr β r²

Bpsin²θq Bθ 0 donc

cosθ

2α r

2β r⁴

1

sinθ α

r β r⁴

2 sin²θcosθcosθ

2α r

2β r⁴

cosθ

2α r

2β r⁴

0 L’´equation de Poisson est donc bien v´erifi´ee par le potentielφpropos´e.

Pour finir, φ doit satisfaire aux conditions aux limites :

– loin de la sph`ere, on doit trouver φφ¹, soit quand rÑ 8, φαrcosθurcosθ ce qui permet d’identifierau,

– au contact de la sph`ere, la composante normale de la vitesse (sur~er) doit s’annuler. On exprime la composante normale de la vitesse en utilisant le gradient en coordonn´ees sph´eriques

v_r Bφ

Br cosθ B Br

ur β r²

cosθ

u2β r³

qui doit s’annuler pour toutθ enr a, soit

v_rpa, θq 0 ñ u2β

a³ 0 ñ β a³u 2 On peut donc finalement exprimer le potentiel

φpr, θq

r a³ 2r²

ucosθ

e. Il reste `a calculer la composante de la vitesse sur ~e_θ v_θ 1

r Bφ Bθ 1

r

ur β r²

Bcosθ Bθ

u a³u 2r³

sinθ ce qui permet d’´ecrire l’expression g´en´erale de la vitesse

~vpr, θq cosθ

u2β r³

~e_r

u a³u 2r³

sinθ~e_θ A la surface de la sph`ere, v_r0 par construction, donc

~vpa, θq

u a³u 2a³

sinθ~e_θ 3

2usinθ~e_θ

En θ0 (point D),vpa,0q 0 et en θπ (pointA),vpa, πq 0,A etDsont des points d’arrˆets.

En θπ{2 (pointC),

~

vpa, π{2q 3

2u~e_θ 3 2u~e_z et en θ π{2 (point B),

vpa,π{2q 3

2u~e_θ 3 2u~e_z En B etC, on a donc v3{2u¡ucomme pr´evu `a la question b.

IV Lavabo qui se vide

1.a L’´equation d’une ligne de courantd~ldr ~e_r rdθ ~e_θ dz ~e_z est donn´ee par d~l^~v ÝÑ0 puisque la ligne de courant est tangente en chaque point `a la vitesse. On a donc

dr

rdθ dz

^

D 2πr

0 0

ÝÑ0 ñ

$' '' '&

'' ''

%

00 dz_2πr^D 0 rdθ_2πr^D dθ_2π^D 0

ñ

$&

%

dz 0 dθ 0

ñ

$&

%

zCste θCste

Les lignes de courant sont donc des droites radiales

D¡0

1.b On calcule la divergence du champ de vitesse en coordonn´ees cylindriques div~v₁ 1

r Brv_r

Br 1 r

B Br

D 2π

0 donc l’´ecoulement est incompressible.

1.c L’´el´ement de surface lat´erale du cylindre vaut dÝÑS Rdθ dz ~er. On calcule le flux `a travers cette surface

D_v

¼

Σ

~

v₁pRq dÝÑS

¼

Σ

D

2πR~e_rRdθ dz ~e_r D 2π

»_z

0

dz

»_2π

0

dθDh

D Dv{h est le d´ebit volumique sortant par unit´e de longueur. Si D¡0, le d´ebit est effectivement sortant et on a une source de fluide. Si D 0, on a un puits.

1.d On calcule le rotationnel du champ de vitesse (formulaire) ÝÑrot~v₁ Bv_r

Bz~e_θ 1 r

Bv_r

Bθ~e_z ÝÑ0

ce qu’on aurait pu dire plus tˆot en constatant que~v1 vrprq~er. Il existe donc φtel que~v1 ÝÝÑgradφ. On trouve φen identifiant les coordonn´ees du gradient avec la vitesse, soit

Bφ Br D

2πr ñ φprq φpr₀q D 2π ln

r r0

Attention `a ne pas int´egrer `a partir de r 0 o`u~v₁ n’est pas d´efini.

1.e La distribution de charge poss`ede deux plans de sym´etrie passant parM, point auquel on souhaite calculer le champ :

– le plan passant par M et Oz,

– le plan perpendiculaire au fil, passant par M

Le champÝÑE est contenu dans ce deux plans, donc l’intersection est la droite ÝÝÑOM. On a donc un champ Ý

ÑEpMq EpMq~e_r radial.

La distribution de charge est invariante par rotation autour de Oz et par translation sur l’axe Oz, donc, finalementÝÑE Eprq~e_r.

On calcule le champ avec le th´eor`eme de Gauss, en choisissant comme surface de Gauss (ferm´ee !) un cylindre de hauteurh, de rayonr, ferm´e aux extr´emit´es (appel´ees S1 etS2)

¿

Σ

Ý

ÑE dÝÑS

¼

S1

Ý ÑE dÝÑS

¼

S2

Ý ÑE dÝÑS

¼

S_lat

Ý ÑE dÝÑS

Sur les surfacesS1 etS2,dÝÑS dS~ez, au signe pr`es. La contribution de ces surfaces au flux est donc nulle

et il reste ¿

Σ

Ý

ÑE dÝÑS

¼

Slat

Ý

ÑE dÝÑS

¼

Slat

Eprq~e_rrdθ dz ~e_r Eprq2πrh

Le th´eor`eme de Gauss permet de relier le flux du champ ´electrostatique `a la charge int´erieure `a Σ Eprq2πrh hλ

ε₀ ñ Eprq λ 2πrε₀ ce qui permet d’´ecrire le champ ´electrique

Ý

ÑE λ 2πrε0

~er

Le champ ÝÑE cr´ee par le fil a les mˆemes propri´et´es math´ematiques que le champ ~v₁, en particulier, on peut en d´eduire que divÝÑE 0 et ÝÑrotÝÑE ÝÑ0 . Il y a donc une analogie entre le champ ´electrostatique et un champ de vitesse incompressible et irrotationnel.

2.a L’´equation d’une ligne de courantd~ldr ~er rdθ ~e_θ dz ~ez est donn´ee par d~l^~v ÝÑ0 puisque la ligne de courant est tangente en chaque point `a la vitesse. On a donc

dr

rdθ dz

^ 0

C 2πr

0

ÝÑ0 ñ

$' '' '&

'' ''

%

dz_2πr^C 0 00 dr_2πr^C 0

ñ

$&

%

dr0 dz 0

ñ

$&

%

r Cste zCste Les lignes de courant sont donc des cercles concentriques.

•

C ¡0

2.b On calcule la divergence du champ de vitesse en coordonn´ees cylindriques div~v₂ 1

r Bv_θ

Bθ 1 r

B Br

C 2πr

0 donc l’´ecoulement est incompressible.

2.c L’´el´ement de longueur sur lequel on va int´egrer vautd~lRdθ~e_θ C

»

Γ

~v₂pRq d~l

»

Γ

C

2πR~e_θRdθ~e_θ C 2π

»_2π

0

dθ C

La constante C est donc pr´ecis´ement ´egale `a la circulation du champ de vitesse. Cette circulation ne d´epend pas du rayon R choisi pour le cercle parcouru.

2.d La distribution de courant poss`ede un plan de sym´etrie passant par M, point auquel on souhaite calculer le champ, le plan passant parM etOz. Le champÝÑB est perpendiculaire `a ce plan, doncÝÑBpMq BpMq~eθ est orthoradial.

La distribution de charge est invariante par rotation autour de Oz et par translation sur l’axe Oz, donc, finalementÝÑB Bprq~e_θ.

On calcule le champ avec le th´eor`eme d’Amp`ere, en choisissant comme contour d’Amp`ere (ferm´e !) un cercle de rayonr sur lequel l’´el´ement de longueur d~lrdθ~e_θ

¾

Γ

Ý ÑB d~l

»_2π

0

Bprq~e_θrdθ~e_θBprq2πr

Le th´eor`eme d’Amp`ere permet de relier la circulation du champ magn´etique au courant enlac´e par le contour Γ

Bprq2πrµ0i ñ Bprq µ0i 2πr

ce qui permet d’´ecrire le champ magn´etique Ý

ÑB µ0i 2πr~e_θ

Le champÝÑB cr´ee par le fil a les mˆemes propri´et´es math´ematiques que le champ~v₂, en particulier, on peut en d´eduire que divÝÑB 0. Il y a donc une analogie entre le champ magn´etique et un champ de vitesse incompressible et tourbillonnaire.

3.a L’op´erateur divergence est lin´eaire, donc

div~vdivp~v₁ ~v₂q div~v₁ div~v₂ 0 L’´ecoulement est donc incompressible.

3.b L’´equation d’une ligne de courant d~ldr ~e_r rdθ ~e_θ dz ~e_z est donn´ee pard~l^~v ÝÑ0 puisque la ligne de courant est tangente en chaque point `a la vitesse. On a donc

dr

rdθ dz

^

D 2πrC 2πr

0

ÝÑ0 ñ

$' '' '&

'' ''

%

dz_2πr^C 0 dz_2πr^D 0 dr_2πr^C dθ_2π^D 0

ñ

$&

%

dr

r ^D_Cdθ dz0

ñ

$'

&

'%

C Dln

r

r0 θθ0

zCste

Les lignes de courant sont donc des courbes d’´equation rr₀exp

D

Cpθθ₀q

en coordonn´ees polaires/cylindriques.

•

C¡0 D 0