V4 – Théorème des valeurs intermédiaires
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THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES 1
Résoudre l’équation =
Soit une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle fermé [; ].
Si la condition × ≤ est vérifiée,
alors l’équation = admet au moins une solution sur l’intervalle [; ].
Résoudre l’équation =
Soit une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle fermé [; ].
Si appartient à l’intervalle [; ],
alors l’équation = admet une unique solution sur l’intervalle [; ].
Exercice 1 :
Soit une fonction de tableau de variations :
−∞ −2 +∞
−5 5
−8
Justifier que l’équation = 0 a une solution unique et préciser dans quel intervalle se trouve la solution.
Solution :
Sur l’intervalle [−2 ; +∞[, la fonction est continue et strictement croissante.
On a :
−2 = −8 et lim
→ ! = 5
"# 0 ∈ [−8; 5], donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation = 0 admet une unique solution que l’in nommera &, & ∈ [−2 ; +∞[, telle que & = 0
EXERCICES D’APLLICATION
Exercice 2
Soit une fonction de tableau de variations :
−∞ −2 4 +∞
2 −1
−1 −3
1. Indiquer, en le justifiant, le nombre de solutions de l’équation = 0 2. Préciser dans quel intervalle se trouve chaque solution.
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2
Exercice 3
Soit , une fonction de tableau de variations :
−∞ −3 5 +∞
,
1 +∞
−∞ −3
1. Indiquer, en le justifiant, le nombre de solutions de l’équation , = 1 2. Préciser dans quel intervalle se trouve la solution positive.
Exercice 4
Soit = -− .+ + 2
On admettra que est strictement croissante sur ℝ.
Montrer que l’équation = 0 a une solution unique et donner un encadrement de largeur 100..
