V1 - Etude de fonction – Théorème des valeurs intermédiaires
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ETUDE DE FONCTION 1
THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES
Exercice
Soit la fonction définie par : = − 1 200 − 100 1) Déterminer l’ensemble de définition de cette fonction
2) Etudier les limites de aux bornes de son ensemble de définition 3) Etudier les variations de et dresser son tableau de variation
4) Démontrer que l’équation = 0 admet une solution unique α dans l’intervalle [20 ; 40]. A l’aide de la calculatrice donner un encadrement de α à l’unité près 5) En déduire le signe de sur cet intervalle
6) Tracer
Correction
1) Déterminer l’ensemble de définition de cette fonction = ℝ = −∞; +∞
2) Etudier les limites de aux bornes de son ensemble de définition Pour les limites en -∞ et en + ∞
A l’infini, la limite d'un polynôme est celle de son terme de plus haut degré, donc on peut écrire :
→ lim = lim
→ lim
→ = − ∞
→ lim = lim
→ lim
→ = + ∞
3) Etudier les variations de et dresser son tableau de variation Calcul de la dérivée ′
" = 3$ − 1 200
Etude du signe de la dérivée ′ " = 0
⇔ 3$− 1 200 = 0 ⇔ 3$ = 1 200
⇔ $ = 1 200
3 = 400 ⇔ = 20 ' = −20
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Tableau de variations de
2
-∞ -20 20 +∞
′() + − +
(−20) = (−20)− 1 200 × −20 − 100 = 15 900 (20) = (20)− 1 200 × 20 − 100 = −16 100
4) Démontrer que l’équation (,) = - admet une solution unique α dans l’intervalle [20 ; 40]. A l’aide de la calculatrice donner une valeur approchée à 10-1 près par défaut
La fonction est continue et strictement croissante sur [20;40]
(20) = (20)− 1 200 × 20 − 100 = −16 100 (40) = (40)− 1 200 × 40 − 100 = 15 900
0 ∈ [-16 100 ; 15 900], donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation () = 0 admet une solution unique dans l’intervalle [20;40].
Avec la calculatrice : 34 < α < 35
5) En déduire le signe de (,) sur cet intervalle 20 α 40
() − +
6) Tracer /
-16 100
-∞
15 900 +∞
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