Universit´e Lille 1 L3 Maths
2013 - 2014 S5 - M52 / Deuxi`eme Session
Epreuve du 10 juin 2014´
Dur´ee : 4h. Sans document ni calculatrice. Le bar`eme mentionn´e est indicatif.
Exercice I. (5 pts) Soit (E,k · k) un R-espace vectoriel norm´e de dimension finie, et soit Ω un ouvert non vide, connexe et born´e, de E. On note ∂Ω la fronti`ere de Ω et on rappelle que la distanced(x, ∂Ω) d’un pointx de E `a∂Ω est d´efinie pard(x, ∂Ω) = infz∈∂Ωkx−zk.
1. Montrer que Ω et∂Ω sont des compacts deE.
2. Prouver que la fonction x 7→ d(x, ∂Ω) est continue sur E, et qu’il existe x0 ∈ Ω tel que pour tout y∈Ω, on ait d(x0, ∂Ω)≥d(y, ∂Ω).
3. Montrer que l’on ax0∈Ω.
4. Soit f une fonction continue sur Ω et v´erifiant f(Ω) = Ω. On d´efinit ϕ: Ω → R par ϕ(x) = d(x, ∂Ω)−d(f(x), ∂Ω).
a. Quel est le signe deϕ(x0) ?
b. Montrer qu’il existex1∈Ω tel que ϕ(x1)≤0.
c. En d´eduire qu’il existex∈Ω tel qued(x, ∂Ω) =d(f(x), ∂Ω).
5. Soit S la sph`ere unit´e de E, et soit x∈E tel que kxk<1. Montrer qued(x, S) = 1− kxk (on distinguera le cas x= 0).
6. En d´eduire que si f est une fonction continue sur la boule unit´e ouverteB =B(0,1), v´erifiant f(B) =B, alors il existex∈B tel quekf(x)k=kxk.
Exercice II. (5 pts) Dans la suite, E d´esigne l’espace vectoriel C([0,1],R) des fonctions r´eelles continues sur [0,1]. On note k · k∞ la norme de la convergence uniforme sur [0,1], d´efinie par kfk∞ = supx∈[0,1]|f(x)|.
Pour tout r´eel λ >0 et tout ´el´ementf de E, on pose Nλ(f) = sup
x∈[0,1]
f(x)e−λx .
1. Montrer queNλd´efinit une norme surE et que cette norme est ´equivalente `ak · k∞. En d´eduire que l’espace vectoriel norm´e (E, Nλ) est complet.
A tout` f ∈E, on associe la fonction u(f) : [0,1]→Rd´efinie par u(f)(x) = Z x
0
f t2 dt.
2. V´erifier que l’application u:f 7→u(f) est lin´eaire deE dans E et que l’on a (∗) ∀f ∈E ∀x∈[0,1] |u(f)(x)| ≤Nλ(f)
Z x
0
eλtdt.
3. En d´eduire que u: (E, Nλ)→(E, Nλ) est continue, avec kukop≤ λ1.
On se donne maintenant un ´el´ement f0 de E et on d´efinit l’application ϕ : E → E par ϕ(f) = f0+u(f).
4. Montrer que l’application ϕ: (E,k · k∞)→(E,k · k∞) n’est pas strictement contractante.
5. En utilisant 3, montrer qu’il est possible de choisir λ > 0 tel que ϕ : (E, Nλ) → (E, Nλ) soit strictement contractante.
TSVP
6. En d´eduire qu’il existe une unique fonctionf ∈E telle que
∀x∈[0,1] f(x) =f0(x) + Z x
0
f(t2)dt.
Exercice III.(5 pts) On consid`ere l’applicationf :R×R2→R2 d´efinie par f(t, x, y) = (x2+y2−2t, xyt−1).
On poseM ={(t, x, y)∈R×R2:f(t, x, y) = (0,0)}.
1. Montrer que M ne rencontre aucun des trois plans d’´equations respectivesx= 0, y= 0,t= 0.
2. Montrer que pour tout t0>1, il existe (x0, y0) ∈R2 tel que le point (t0, x0, y0) appartienne `a M.
Dans la suite, on consid`ere un point (t0, x0, y0) de M avec t0>1.
3. Montrer qu’il existe un voisinage ouvertI det0 dansR, un voisinage ouvertU de (x0, y0) dans R2 et une fonction γ:I →R2 de classe C1 tels que
(t, x, y)∈I×U etf(t, x, y) = (0,0)
⇐⇒ t∈I et (x, y) =γ(t) .
4. Montrer qu’au voisinage de (t0, x0, y0), l’ensemble M est une sous-vari´et´e de R3. Quelle est sa dimension ?
Exercice IV. (5 pts) Soit f : Rn → R une fonction diff´erentiable en tout point et soit k un nombre r´eel strictement positif.
1. Pour x fix´e dans Rn, on d´efinit la fonctionϕ: ]0,+∞[→ Rpar ϕ(t) =t−kf(tx). Justifier que ϕest d´erivable en tout point de ]0,+∞[ et que l’on a
ϕ0(t) =t−k−1 t df(tx)·x−kf(tx) .
Dans la suite, on dit que f est homog`ene de degr´e k si pour tout r´eel t >0 et tout x ∈Rn, on a f(tx) =tkf(x).
2. En utilisant1, montrer que si f est homog`ene de degr´e k, alors elle v´erifie l’identit´e d’Euler
∀x∈Rn
n
X
j=1
xj
∂f
∂xj
(x) =kf(x).
R´eciproquement, montrer que si f v´erifie l’identit´e d’Euler, alors elle est homog`ene de degr´e k.
3. Montrer que si f est homog`ene de degr´e k et si a est un point critique de f, alors on a n´ecessairement f(a) = 0.
Dans la suite, on prend n = 3 et on consid`ere la fonction f : R3 → R d´efinie par f(x, y, z) = x3+xy2+xz2+ 2xyz.
4. La fonctionf poss`ede-t-elle un extremum global surR3 ?
5. En utilisant3, montrer quef n’a pas non plus d’extremum local dansR3.
♦♦♦♦♦
