Universit´e Pierre et Marie Curie Ann´ee universitaire 2011/2012
Licence Sciences et Technologies Unit´e LM367
Examen du 31 mai 2012
Question de cours.
1) Donner un ´enonc´e du th´eor`eme de Rouch´e.
2) Donner un ´enonc´e du th´eor`eme de Casorati-Weierstrass.
Exercice 1. On note U = A(0,0,1) = D(0,1)r{0} le disque unit´e ´epoint´e, et Ω la couronne ouverte A(0,1,2) =D(0,2)rD(0,1).
Le but de cet exercice est de montrer qu’il n’existe pas de fonction holomorphe bijective entreU et Ω.
On raisonne par l’absurde : soit ϕ:U →Ω une telle fonction.
1) Montrer queϕ admet un prolongement holomorphe ϕe surD(0,1).
2) Montrer queϕ(0)e ∈Ω.
(Attention : Ω n’est pas ferm´e).
3) On note b=ϕ(0), ete a =ϕ−1(b). Montrer queϕne peut pas ˆetre injective, et conclure.
4) (Hors barˆeme) On pourra exhiber un hom´eomorphisme entre U et Ω.
Exercice 2. 1) Calculer
Z +∞
−∞
cosx dx (1 +x2)2. (Indication : il s’agit de la partie r´eelle de
Z +∞
−∞
eixdx (1 +x2)2).
2) Pour tout n ≥1, calculer
Z +∞
−∞
dx (1 +x2)n.
