Pour tout P ∈R[X], on pose ∆(P) =P(X+ 1)−P(X) etΩ(P

Problème : La formule d’Euler-Maclaurin et applications Partie N^o1 : Polynômes de Bernoulli

1. Pour tout P ∈R[X], on pose ∆(P) =P(X+ 1)−P(X) etΩ(P) =

∆(P),R1

0 Pe(t) dt

. On définit ainsi une application ∆ de R[X] dans R[X] et une application Ω de R[X] dans R[X]×R.

(a) Montrer que∆ etΩsont linéaires.

(b) Pour tout P ∈R[X], exprimer le degré de ∆(P)en fonction de celui de P.

(c) Montrer que, pour toutp∈N,Ω_|Rp+1[X]induit un isomorphisme deRp+1[X]surRp[X]×R. (d) En déduire que Ωest un isomorphisme deR[X]surR[X]×R.

(e) Montrer que, pour tout p∈N^?, il existe un et un seul polynôme Bp ∈Rp[X]tel que Bp(X+ 1)−Bp(X) =pX^p−1 et

Z 1 0

Bfp(t) dt= 0

Ce polynômeB_p est appelé le p-ème polynôme de Bernoulli et on pose en outre B₀ = 1.

(f) CalculerB₁ etB₂.

2. Pour tout p∈N, on appellep-ème nombre de Bernoulli le réelβ_p =Bf_p(0).

(a) Montrer que, pour tout p>2,Bf_p(1) =β_p.

(b) Montrer que, en calculant Ω(B_p+1⁰ ), pour tout p∈N^?,B_p+1⁰ = (p+ 1)B_p. (c) En déduire que, pour toutp∈N,B_p =

p

X

k=0

p k

βp−kX^k.

(d) En déduire, que pour tout p>2,

p−1

X

k=0

p k

βk= 0.

(e) Ecrire une fonction PythonBernoulli(p) retournant βp.

On pourra utiliserbinom(n,k)de la bibliothèque scipy.specialqui retourne ⁿ_k . Ce programme permet d’en déduire les valeurs qui suivent.

p 0 1 2 3 4 5 6 7 β_p 1 −¹₂ ¹₆ 0 −₃₀¹ 0 ₄₂¹ 0

(f) Montrer que, en calculantΩ(Bp(1−X)), pour toutp∈N^?,Bp(1−X) = (−1)^pBp(X).

Qu’en déduit-on sur les nombres de Bernoulli lorsquep est impair ? 3. Pour tout p∈N^?, on noteB_p la fonction x7→Bf_p(x− bxc) définie sur R.

Montrer que, pour tout p>2,Bp est1-périodique et continue sur R. Qu’en est-il deB₁?

Partie N^o2 : La formule sommatoire d’Euler-Maclaurin Soitf ∈ C^∞(R,R).

1. Montrer que, pour tout r∈N^?, f(1) =

Z 1

0

f(x)dx+

r

X

p=1

(−1)^pβ_p p!

f^(p−1)(1)−f^(p−1)(0)

+ (−1)^r+1 Z 1

0

Bf_r(x)

r! f^(r)(x)dx.

2. En déduire que pour tousr ∈N^? etk∈N, f(k+ 1) =

Z k+1

k

f(x)dx+

r

X

p=1

(−1)^pβp

p!

f^(p−1)(k+ 1)−f^(p−1)(k)

+ (−1)^r+1 Z k+1

k

Br(x)

r! f^(r)(x)dx.

1

3. En déduire que pour tousr ∈N^? etn∈N^?,

n

X

k=1

f(k) = Z n

0

f(x)dx+

r

X

p=1

(−1)^pβp

p!

f^(p−1)(n)−f^(p−1)(0)

+ (−1)^r+1 Z n

0

Br(x)

r! f^(r)(x)dx.

Partie N^o3 : Une introduction aux intégrales généralisées Soitϕ∈ C⁰([1,+∞[,R). On suppose que la fonction m7→Rm

1 |ϕ(x)|dxest majorée sur[1,+∞[.

1. En observant que06ϕ+|ϕ|62|ϕ|, montrer que, pour touta>1, lim

m→+∞

Z m a

ϕ(x)dxexiste et est finie.

On noteR+∞

a ϕ(x) dxcette limite.

2. Montrer que, pour tous a, b>1,Rb

a ϕ(x) dx=R+∞

a ϕ(x)dx−R+∞

b ϕ(x) dx.

Partie N^o4 : Application N^o1 : Complément à la formule de Stirling

1. (a) Calculer les dérivées successives de la fonctionx7→ln(1 +x) surR⁺et, pour tout n∈N^?, l’intégraleRn−1

0 ln(1 +x)dx.

(b) Montrer que pour tousr >2etn∈N^?, ln(n!) =nln(n)−n+ln(n)

2 +



1−

r

X

p=2

β_p p(p−1)



+

r

X

p=2

β_p

p(p−1)n^p−1+1 r

Z n 1

B_r(x) x^r dx.

2. (a) Montrer que, pour tout r>2, la fonctionm7→Rm 1

|B_r(x)|

x^r dxest majorée sur [1,+∞[.

(b) Montrer que, pour tout r>2,R+∞

n

Br(x)

x^r dx= O

n→+∞

1 n^r−1

.

3. (a) Déduire que, pour tous r>2 etn∈N^?, il existeA_r∈R, indépendant de n, tel que ln(n!) =nln(n)−n+ln(n)

2 +A_r+

r

X

p=2

β_p

p(p−1)n^p−1 + O

n→+∞

1 n^r−1

.

(b) A l’aide de la formule de Stirling, montrer que, pour tout r>2,A_r= ln√ 2π.

(c) Calculer un développement asymptotique deln(n!)à la précision ◦

n→+∞

1 n⁶

. (d) En déduire que

n! =√

2πnn e

n 1 + 1

12n + 1

288n² − 139

51840n³ + ◦

n→+∞

1 n³

.

Partie N^o5 : Application N^o2 : Développement asymptotique de la série harmonique 1. Pour tout n∈N^?, on pose

S_n=

n

X

k=1

1

k−ln(n)etS_n⁰ =S_n− 1 n.

Montrer que les suites(S_n) et(S_n⁰) convergent vers une limite commune.

On noteγ cette limite.

2. Calculer les dérivées successives de la fonctionx7→ _1+x¹ surR⁺ et, pour toutn∈N^?, l’intégrale Rn−1

0 1 1+x dx.

2

3. Montrer que pour tousr >1etn∈N^?,

n

X

k=1

1

k = ln(n) + 1 +

r

X

p=1

β_p p

1− 1

n^p

− Z n

1

B_r(x) x^r+1 dx.

4. Déduire que, pour tous r>1 etn∈N^?, il existeγr ∈R, indépendant de n, tel que

n

X

k=1

1

k = ln(n) +γ_r−

r

X

p=1

β_p

pn^p + O

n→+∞

1 n^r

.

5. Montrer que, pour tout r>1,γr=γ.

6. En déduire que

n

X

k=1

1

k = ln(n) +γ+ 1 2n− 1

12n² + 1

120n⁴ − 1

252n⁶ + ◦

n→+∞

1 n⁷

.

* * * FIN DU SUJET * * *

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