Problème : La formule d’Euler-Maclaurin et applications Partie No1 : Polynômes de Bernoulli
1. Pour tout P ∈R[X], on pose ∆(P) =P(X+ 1)−P(X) etΩ(P) =
∆(P),R1
0 Pe(t) dt
. On définit ainsi une application ∆ de R[X] dans R[X] et une application Ω de R[X] dans R[X]×R.
(a) Montrer que∆ etΩsont linéaires.
(b) Pour tout P ∈R[X], exprimer le degré de ∆(P)en fonction de celui de P.
(c) Montrer que, pour toutp∈N,Ω|Rp+1[X]induit un isomorphisme deRp+1[X]surRp[X]×R. (d) En déduire que Ωest un isomorphisme deR[X]surR[X]×R.
(e) Montrer que, pour tout p∈N?, il existe un et un seul polynôme Bp ∈Rp[X]tel que Bp(X+ 1)−Bp(X) =pXp−1 et
Z 1 0
Bfp(t) dt= 0
Ce polynômeBp est appelé le p-ème polynôme de Bernoulli et on pose en outre B0 = 1.
(f) CalculerB1 etB2.
2. Pour tout p∈N, on appellep-ème nombre de Bernoulli le réelβp =Bfp(0).
(a) Montrer que, pour tout p>2,Bfp(1) =βp.
(b) Montrer que, en calculant Ω(Bp+10 ), pour tout p∈N?,Bp+10 = (p+ 1)Bp. (c) En déduire que, pour toutp∈N,Bp =
p
X
k=0
p k
βp−kXk.
(d) En déduire, que pour tout p>2,
p−1
X
k=0
p k
βk= 0.
(e) Ecrire une fonction PythonBernoulli(p) retournant βp.
On pourra utiliserbinom(n,k)de la bibliothèque scipy.specialqui retourne nk . Ce programme permet d’en déduire les valeurs qui suivent.
p 0 1 2 3 4 5 6 7 βp 1 −12 16 0 −301 0 421 0
(f) Montrer que, en calculantΩ(Bp(1−X)), pour toutp∈N?,Bp(1−X) = (−1)pBp(X).
Qu’en déduit-on sur les nombres de Bernoulli lorsquep est impair ? 3. Pour tout p∈N?, on noteBp la fonction x7→Bfp(x− bxc) définie sur R.
Montrer que, pour tout p>2,Bp est1-périodique et continue sur R. Qu’en est-il deB1?
Partie No2 : La formule sommatoire d’Euler-Maclaurin Soitf ∈ C∞(R,R).
1. Montrer que, pour tout r∈N?, f(1) =
Z 1
0
f(x)dx+
r
X
p=1
(−1)pβp p!
f(p−1)(1)−f(p−1)(0)
+ (−1)r+1 Z 1
0
Bfr(x)
r! f(r)(x)dx.
2. En déduire que pour tousr ∈N? etk∈N, f(k+ 1) =
Z k+1
k
f(x)dx+
r
X
p=1
(−1)pβp
p!
f(p−1)(k+ 1)−f(p−1)(k)
+ (−1)r+1 Z k+1
k
Br(x)
r! f(r)(x)dx.
1
3. En déduire que pour tousr ∈N? etn∈N?,
n
X
k=1
f(k) = Z n
0
f(x)dx+
r
X
p=1
(−1)pβp
p!
f(p−1)(n)−f(p−1)(0)
+ (−1)r+1 Z n
0
Br(x)
r! f(r)(x)dx.
Partie No3 : Une introduction aux intégrales généralisées Soitϕ∈ C0([1,+∞[,R). On suppose que la fonction m7→Rm
1 |ϕ(x)|dxest majorée sur[1,+∞[.
1. En observant que06ϕ+|ϕ|62|ϕ|, montrer que, pour touta>1, lim
m→+∞
Z m a
ϕ(x)dxexiste et est finie.
On noteR+∞
a ϕ(x) dxcette limite.
2. Montrer que, pour tous a, b>1,Rb
a ϕ(x) dx=R+∞
a ϕ(x)dx−R+∞
b ϕ(x) dx.
Partie No4 : Application No1 : Complément à la formule de Stirling
1. (a) Calculer les dérivées successives de la fonctionx7→ln(1 +x) surR+et, pour tout n∈N?, l’intégraleRn−1
0 ln(1 +x)dx.
(b) Montrer que pour tousr >2etn∈N?, ln(n!) =nln(n)−n+ln(n)
2 +
1−
r
X
p=2
βp p(p−1)
+
r
X
p=2
βp
p(p−1)np−1+1 r
Z n 1
Br(x) xr dx.
2. (a) Montrer que, pour tout r>2, la fonctionm7→Rm 1
|Br(x)|
xr dxest majorée sur [1,+∞[.
(b) Montrer que, pour tout r>2,R+∞
n
Br(x)
xr dx= O
n→+∞
1 nr−1
.
3. (a) Déduire que, pour tous r>2 etn∈N?, il existeAr∈R, indépendant de n, tel que ln(n!) =nln(n)−n+ln(n)
2 +Ar+
r
X
p=2
βp
p(p−1)np−1 + O
n→+∞
1 nr−1
.
(b) A l’aide de la formule de Stirling, montrer que, pour tout r>2,Ar= ln√ 2π.
(c) Calculer un développement asymptotique deln(n!)à la précision ◦
n→+∞
1 n6
. (d) En déduire que
n! =√
2πnn e
n 1 + 1
12n + 1
288n2 − 139
51840n3 + ◦
n→+∞
1 n3
.
Partie No5 : Application No2 : Développement asymptotique de la série harmonique 1. Pour tout n∈N?, on pose
Sn=
n
X
k=1
1
k−ln(n)etSn0 =Sn− 1 n.
Montrer que les suites(Sn) et(Sn0) convergent vers une limite commune.
On noteγ cette limite.
2. Calculer les dérivées successives de la fonctionx7→ 1+x1 surR+ et, pour toutn∈N?, l’intégrale Rn−1
0 1 1+x dx.
2
3. Montrer que pour tousr >1etn∈N?,
n
X
k=1
1
k = ln(n) + 1 +
r
X
p=1
βp p
1− 1
np
− Z n
1
Br(x) xr+1 dx.
4. Déduire que, pour tous r>1 etn∈N?, il existeγr ∈R, indépendant de n, tel que
n
X
k=1
1
k = ln(n) +γr−
r
X
p=1
βp
pnp + O
n→+∞
1 nr
.
5. Montrer que, pour tout r>1,γr=γ.
6. En déduire que
n
X
k=1
1
k = ln(n) +γ+ 1 2n− 1
12n2 + 1
120n4 − 1
252n6 + ◦
n→+∞
1 n7
.
* * * FIN DU SUJET * * *
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