Probl` eme 1. (Application directe du cours)

(1)

Universit´ e Bordeaux I – 2007/08 MASTER 1

Probabilit´ es M.-L. Chabanol

Devoir Surveill´ e

Mars 2008 – 3 heures. Aucun document autoris´ e

Probl` eme 1. (Application directe du cours)

Rappels : X suit une loi g´ eom´ etrique de param` etre p ssi ∀k > 0, P (X = k) = p(1 − p) ^k−1 . X suit une loi exponentielle de param` etre λ ssi X a pour densit´ e λe ^−λx 1 _R

+

(x).

1. ´ Enoncer le lemme de Borel-Cantelli.

2. Donner la fonction caract´ eristique d’une variable al´ eatoire suivant une loi g´ eom´ etrique de param` etre p, ainsi que la fonction caract´ eristique d’une variable al´ eatoire suivant une loi exponentielle de param` etre λ (la d´ emonstration n’est pas n´ ecessaire).

3. Soit X _n une suite de variables al´ eatoires suivant une loi g´ eom´ etrique de param` etre _n ^µ . Calculer la fonction caract´ eristique de Y _n = ^X _n

ⁿ

. Montrer que Y _n converge en loi et donner sa loi limite.

Probl` eme 2. On s’int´ eresse ` a des familles qui auront deux enfants. On suppose qu’` a chaque nais- sance, les parents choisissent le pr´ enom de leur enfant uniform´ ement dans l’un des deux ensembles de pr´ enoms Ω 1 = {pr´ enoms masculins} et Ω 2 = {pr´ enoms f´ eminins}. On suppose de plus que Ω 1 ∩ Ω 2 = ∅ (ils n’envisagent pas d’appeler leur enfant Claude ou Dominique, par exemple). Les naissances sont sup- pos´ ees ind´ ependantes, et les sexes ´ equiprobables. Enfin, apr` es chaque naissance, ils rayent le pr´ enom choisi de l’ensemble des pr´ enoms disponibles (de telle sorte que deux enfants d’une mˆ eme famille n’ont pas le mˆ eme pr´ enom). Avant leur premier enfant, Card(Ω 1 ) = N et Card(Ω 2 ) = M . On suppose N ≥ 2 et M ≥ 2.

1. Soit p un pr´ enom de gar¸ con de Ω ₁ . Calculer la probabilit´ e que le premier enfant s’appelle p.

2. Calculer de mˆ eme la probabilit´ e que le premier enfant s’appelle p si p est un pr´ enom de fille de Ω 2 . 3. Soient (r, s) deux pr´ enoms diff´ erents. Calculer la probabilit´ e que le premier enfant s’appelle r et le

deuxi` eme s’appelle s.

4. On suppose que “L´ ea” est un pr´ enom de Ω ₂ . Quelle est la probabilit´ e qu’un enfant s’appelle “L´ ea” ? 5. Votre voisin a deux enfants. Vous apprenez que l’un d’eux s’appelle L´ ea. Quelle est la probabilit´ e

qu’il ait deux filles ?

Probl` eme 3. Les deux parties sont ind´ ependantes.

Soit (Ω, Σ, P ) un espace probabilis´ e fix´ e et (X ₁ , . . . , X _k , . . .) une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes r´ eelles de mˆ eme loi v´ erifiant P(X ₁ = 1) = p et P (X ₁ = −1) = 1 − p. On pose S ₀ = 0 et S _n = P n

i=1 X _i . 1. On suppose dans cette partie p 6= ¹ ₂ .

(a) Soit n ∈ N ^∗ . Calculer P(S n = 0).

(b) Montrer que la s´ erie P

n∈N P (S _n = 0) converge. (On rappelle la formule de Stirling n! ∼

√

2πn ⁿ _e n

.) Quelle est la probabilit´ e que S n s’annule une infinit´ e de fois ? 2. On suppose ` a partir de maintenant p = ¹ ₂ .

(a) V´ erifier ∀t ∈ R, E[e ^tX

ⁿ

] = cosh(t).

(b) En d´ eduire ∀t ∈ R, E[e ^tX

ⁿ

] ≤ e

^t²²

. (On pourra par exemple utiliser un d´ eveloppement en s´ erie de Taylor des deux membres de l’in´ egalit´ e.)

(c) Montrer que pour tous a > 0, n ≥ 1 et u > 0 on a P (S n > a) ≤ e ^nu

²

^/2−ua (on pourra majorer P (e ^uS

ⁿ

> e ^ua ) en utilisant une in´ egalit´ e de Markov...).

(d) En d´ eduire P (S n > a) ≤ e ⁻

^a²ⁿ²

, puis P (|S n | > a) ≤ 2e ⁻

^a²ⁿ²

.

(e) Soit c > 1. Utiliser le lemme de Borel-Cantelli pour montrer que avec probabilit´ e 1, S n ≤ c √

2n ln n pour tout n sauf ´ eventuellement un nombre fini d’entre eux.

1

(2)

Probl` eme 4. On suppose que sur une voie d’autoroute, toutes les voitures ont la mˆ eme vitesse (qu’on prendra ´ egale ` a 1), et sont s´ epar´ ees par des distances L 1 , L 2 , . . . L n , . . . compt´ ees de l’arri` ere du v´ ehicule de devant (num´ ero n − 1) ` a l’avant du v´ ehicule de derri` ere (num´ ero n). On consid` ere que le conducteur de la voiture j a un temps de r´ eaction R _j , et que son v´ ehicule a une distance de freinage (avant immobilisation) D _j : ainsi, ` a partir du moment o` u le v´ ehicule qui le pr´ ec` ede commence ` a freiner, il parcourt une distance de R _j + D _j avant de s’arrˆ eter. On suppose que les L _i sont toutes distribu´ ees selon une loi de densit´ e l sur R ⁺ , que les R _j suivent toutes une loi de densit´ e r sur R ⁺ , et les D _j suivent une loi de densit´ e d sur R ⁺ . On suppose de plus que toutes ces variables sont ind´ ependantes. On suppose (encore...) que ` a l’instant 0, le v´ ehicule num´ ero 0 s’arrˆ ete instantan´ ement (donc D 0 = R 0 = 0), et on cherche la probabilit´ e qu’il y ait un accident. On consid` ere pour cela qu’il ne peut y avoir d’accident qu’entre un v´ ehicule ` a l’arrˆ et et un v´ ehicule en mouvement, et qu’un conducteur qui voit le v´ ehicule qui le pr´ ec` ede freiner se mettra aussi ` a freiner le plus tˆ ot possible (c’est-` a-dire apr` es son temps de r´ eaction R j ).

1. Montrer que la probabilit´ e pour que le v´ ehicule 1 s’arrˆ ete sans collision est Z Z Z

{x+y<z}

r(x)d(y)l(z)dxdydz

2. Calculer cette probabilit´ e si les R i suivent toutes une loi uniforme sur [r 1 , r 2 ], les D i une loi uniforme sur [d 1 , d 2 ] et les L i une loi exponentielle de param` etre λ.

3. On note pour n ≥ 1, A n l’´ ev´ enement “Les v´ ehicules de 1 ` a n se sont arrˆ et´ es sans collision”, B 1 = {R 1 + D 1 < L 1 }, et B n = {R n + D n < L n + D _n−1 } si n > 1. Justifier A n = ∩ ⁿ _k=1 B k , 4. Dans le cas o` u les D n sont d´ eterministes ´ egaux ` a d 0 (c’est-` a-dire P (D n = d 0 ) = 1), exprimer

P (A n ) en fonction de l et r. Montrer que s’il existe un r´ eel α > 0 tel que R +∞

α r(x)dx > 0 et R α

0 l(x)dx > 0, alors P (∩ ^∞ _k=1 B k ) = 0. Que peut-on en d´ eduire sur la probabilit´ e qu’il y ait un accident ? (On suppose qu’il y a une infinit´ e de voitures.)

5. On suppose dans cette question que les D n , n ≥ 1 sont d´ eterministes, tous ´ egaux ` a d 0 , que les R i

suivent une loi uniforme sur [r 1 , r 2 ] et les L i suivent une loi exponentielle de param` etre 1.

(a) Calculer P (A n ).

(b) Montrer que s’il y a une infinit´ e de voitures, il y aura presque sˆ urement un accident.

(c) On note N le num´ ero du premier v´ ehicule qui rentre dans son voisin de devant (d’apr` es la question pr´ ec´ edente, N est presque sˆ urement fini). Donner la loi de N .

(d) On pose a = e ^−d

⁰

et p = 1 − ^e

^−r

_r

¹

^−e

^−r²

2

−r

1

. On note U = p(N − 1).

i. Calculer la fonction caract´ eristique de N.

ii. Montrer que lorsque p tend vers 0, U converge en loi vers une variable de loi (1 − a)δ 0 + ae ^−x 1 _R

+

(x)dx.

6. Les D n ne sont plus suppos´ ees d´ eterministes. Soit > 0. Montrer que lim _n→+∞ P (D n > n) = 0.

Que peut-on en d´ eduire pour la variable ^D _n

ⁿ

?

7. On suppose que les R i et les L i sont int´ egrables d’esp´ erance respectivement ρ et λ. On note Y n = _n ¹ P n

i=1 R i − _n ¹ P n

i=1 L i + ^D _n

ⁿ

Probl` eme 1. (Application directe du cours)

Universit´ e Bordeaux I – 2007/08 MASTER 1

Probabilit´ es M.-L. Chabanol

Devoir Surveill´ e

Mars 2008 – 3 heures. Aucun document autoris´ e

Probl` eme 1. (Application directe du cours)

Rappels : X suit une loi g´ eom´ etrique de param` etre p ssi ∀k > 0, P (X = k) = p(1 − p) k−1 . X suit une loi exponentielle de param` etre λ ssi X a pour densit´ e λe −λx 1 R

(x).

1. ´ Enoncer le lemme de Borel-Cantelli.

2. Donner la fonction caract´ eristique d’une variable al´ eatoire suivant une loi g´ eom´ etrique de param` etre p, ainsi que la fonction caract´ eristique d’une variable al´ eatoire suivant une loi exponentielle de param` etre λ (la d´ emonstration n’est pas n´ ecessaire).

3. Soit X n une suite de variables al´ eatoires suivant une loi g´ eom´ etrique de param` etre n µ . Calculer la fonction caract´ eristique de Y n = X n

. Montrer que Y n converge en loi et donner sa loi limite.

1. Soit p un pr´ enom de gar¸ con de Ω 1 . Calculer la probabilit´ e que le premier enfant s’appelle p.

2. Calculer de mˆ eme la probabilit´ e que le premier enfant s’appelle p si p est un pr´ enom de fille de Ω 2 . 3. Soient (r, s) deux pr´ enoms diff´ erents. Calculer la probabilit´ e que le premier enfant s’appelle r et le

deuxi` eme s’appelle s.

4. On suppose que “L´ ea” est un pr´ enom de Ω 2 . Quelle est la probabilit´ e qu’un enfant s’appelle “L´ ea” ? 5. Votre voisin a deux enfants. Vous apprenez que l’un d’eux s’appelle L´ ea. Quelle est la probabilit´ e

qu’il ait deux filles ?

Probl` eme 3. Les deux parties sont ind´ ependantes.

Soit (Ω, Σ, P ) un espace probabilis´ e fix´ e et (X 1 , . . . , X k , . . .) une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes r´ eelles de mˆ eme loi v´ erifiant P(X 1 = 1) = p et P (X 1 = −1) = 1 − p. On pose S 0 = 0 et S n = P n

i=1 X i . 1. On suppose dans cette partie p 6= 1 2 .

(a) Soit n ∈ N ∗ . Calculer P(S n = 0).

(b) Montrer que la s´ erie P

n∈N P (S n = 0) converge. (On rappelle la formule de Stirling n! ∼

√

2πn n e n

.) Quelle est la probabilit´ e que S n s’annule une infinit´ e de fois ? 2. On suppose ` a partir de maintenant p = 1 2 .

(a) V´ erifier ∀t ∈ R, E[e tX

] = cosh(t).

(b) En d´ eduire ∀t ∈ R, E[e tX

] ≤ e

. (On pourra par exemple utiliser un d´ eveloppement en s´ erie de Taylor des deux membres de l’in´ egalit´ e.)

(c) Montrer que pour tous a > 0, n ≥ 1 et u > 0 on a P (S n > a) ≤ e nu

/2−ua (on pourra majorer P (e uS

> e ua ) en utilisant une in´ egalit´ e de Markov...).

(d) En d´ eduire P (S n > a) ≤ e −

, puis P (|S n | > a) ≤ 2e −

.

(e) Soit c > 1. Utiliser le lemme de Borel-Cantelli pour montrer que avec probabilit´ e 1, S n ≤ c √

2n ln n pour tout n sauf ´ eventuellement un nombre fini d’entre eux.

1

1. Montrer que la probabilit´ e pour que le v´ ehicule 1 s’arrˆ ete sans collision est Z Z Z

{x+y<z}

r(x)d(y)l(z)dxdydz

2. Calculer cette probabilit´ e si les R i suivent toutes une loi uniforme sur [r 1 , r 2 ], les D i une loi uniforme sur [d 1 , d 2 ] et les L i une loi exponentielle de param` etre λ.

P (A n ) en fonction de l et r. Montrer que s’il existe un r´ eel α > 0 tel que R +∞

α r(x)dx > 0 et R α

0 l(x)dx > 0, alors P (∩ ∞ k=1 B k ) = 0. Que peut-on en d´ eduire sur la probabilit´ e qu’il y ait un accident ? (On suppose qu’il y a une infinit´ e de voitures.)

5. On suppose dans cette question que les D n , n ≥ 1 sont d´ eterministes, tous ´ egaux ` a d 0 , que les R i

suivent une loi uniforme sur [r 1 , r 2 ] et les L i suivent une loi exponentielle de param` etre 1.

(a) Calculer P (A n ).

(b) Montrer que s’il y a une infinit´ e de voitures, il y aura presque sˆ urement un accident.

(c) On note N le num´ ero du premier v´ ehicule qui rentre dans son voisin de devant (d’apr` es la question pr´ ec´ edente, N est presque sˆ urement fini). Donner la loi de N .

(d) On pose a = e −d

et p = 1 − e

r

−e

−r

. On note U = p(N − 1).

i. Calculer la fonction caract´ eristique de N.

ii. Montrer que lorsque p tend vers 0, U converge en loi vers une variable de loi (1 − a)δ 0 + ae −x 1 R

(x)dx.

6. Les D n ne sont plus suppos´ ees d´ eterministes. Soit > 0. Montrer que lim n→+∞ P (D n > n) = 0.

Que peut-on en d´ eduire pour la variable D n

?

7. On suppose que les R i et les L i sont int´ egrables d’esp´ erance respectivement ρ et λ. On note Y n = n 1 P n

i=1 R i − n 1 P n

i=1 L i + D n

. Que peut-on dire sur la convergence de la suite de variables al´ eatoires Y n ?

8. On dit qu’un v´ ehicule n est en ´ etat de risque si P n

i=1 R i + D n − P n

i=1 L i > 0. On suppose ρ < λ.

(a) On note C n = { P n

i=1 R i + D n − P n

i=1 L i > 0}. V´ erifier que C n ⊂ A c n .

(b) Montrer lim n→+∞ P(C n ) = 0. En d´ eduire que presque sˆ urement, il existe un v´ ehicule qui n’est pas en ´ etat de risque.

2

Rappels : X suit une loi g´ eom´ etrique de param` etre p ssi ∀k > 0, P (X = k) = p(1 − p) ^k−1 . X suit une loi exponentielle de param` etre λ ssi X a pour densit´ e λe ^−λx 1 _R

3. Soit X _n une suite de variables al´ eatoires suivant une loi g´ eom´ etrique de param` etre _n ^µ . Calculer la fonction caract´ eristique de Y _n = ^X _n

. Montrer que Y _n converge en loi et donner sa loi limite.

1. Soit p un pr´ enom de gar¸ con de Ω ₁ . Calculer la probabilit´ e que le premier enfant s’appelle p.

4. On suppose que “L´ ea” est un pr´ enom de Ω ₂ . Quelle est la probabilit´ e qu’un enfant s’appelle “L´ ea” ? 5. Votre voisin a deux enfants. Vous apprenez que l’un d’eux s’appelle L´ ea. Quelle est la probabilit´ e

Soit (Ω, Σ, P ) un espace probabilis´ e fix´ e et (X ₁ , . . . , X _k , . . .) une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes r´ eelles de mˆ eme loi v´ erifiant P(X ₁ = 1) = p et P (X ₁ = −1) = 1 − p. On pose S ₀ = 0 et S _n = P n

i=1 X _i . 1. On suppose dans cette partie p 6= ¹ ₂ .

(a) Soit n ∈ N ^∗ . Calculer P(S n = 0).

n∈N P (S _n = 0) converge. (On rappelle la formule de Stirling n! ∼

2πn ⁿ _e n

.) Quelle est la probabilit´ e que S n s’annule une infinit´ e de fois ? 2. On suppose ` a partir de maintenant p = ¹ ₂ .

(a) V´ erifier ∀t ∈ R, E[e ^tX

(b) En d´ eduire ∀t ∈ R, E[e ^tX

(c) Montrer que pour tous a > 0, n ≥ 1 et u > 0 on a P (S n > a) ≤ e ^nu

^/2−ua (on pourra majorer P (e ^uS

> e ^ua ) en utilisant une in´ egalit´ e de Markov...).

(d) En d´ eduire P (S n > a) ≤ e ⁻

, puis P (|S n | > a) ≤ 2e ⁻

0 l(x)dx > 0, alors P (∩ ^∞ _k=1 B k ) = 0. Que peut-on en d´ eduire sur la probabilit´ e qu’il y ait un accident ? (On suppose qu’il y a une infinit´ e de voitures.)

(d) On pose a = e ^−d

et p = 1 − ^e

_r

^−e

ii. Montrer que lorsque p tend vers 0, U converge en loi vers une variable de loi (1 − a)δ 0 + ae ^−x 1 _R

6. Les D n ne sont plus suppos´ ees d´ eterministes. Soit > 0. Montrer que lim _n→+∞ P (D n > n) = 0.

Que peut-on en d´ eduire pour la variable ^D _n

7. On suppose que les R i et les L i sont int´ egrables d’esp´ erance respectivement ρ et λ. On note Y n = _n ¹ P n

i=1 R i − _n ¹ P n

i=1 L i + ^D _n

i=1 L i > 0}. V´ erifier que C n ⊂ A ^c _n .

(b) Montrer lim _n→+∞ P(C n ) = 0. En d´ eduire que presque sˆ urement, il existe un v´ ehicule qui n’est pas en ´ etat de risque.