ecritblanc 20141117

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M1 MEEF 2nd degr´ e, CAPES de Math´ ematiques Ecrit blanc du 17 novembre 2014 ´

Dur´ ee : 5h

Une attention particulière sera portée lors de la correction à la lisibilité de la copie et à la qualité de la rédaction. Par ailleurs, si un(e) candidat(e) détecte ce qu’il/elle pense être une erreur d’énoncé, il/elle le signale très clairement sur sa copie, propose une correction et poursuit l’épreuve en consé- quence.

Ce sujet comporte 5 pages numérotées de 1 à 5.

Questions de cours

1. Citer deux critères (portant sur les coefficients (a_n) de la série) permettant de déterminer le rayon de convergence d’une série entière.

Donner l’exemple d’une fonction de classe C^∞ qui n’est pas développable en série entière.

2. Énoncer la définition de la convergence simple, puis de la convergence uniforme et enfin de la convergence normale d’une série de fonctions sur un intervalle réel I. Existe-t-il des implications entre ces différents mode de convergence ?

3. A quelle condition une variable al´eatoire X de densit´e f est-elle positive ?

4. Donner l’expression de la loi d’une variable aléatoire X de loi géométrique de paramètre p ∈]0, 1[

et de celle d’une variable aléatoire Y de loi exponentielle de paramètre λ > 0. Donner un exemple de phénomène que chacune de ces lois peut modéliser.

Premier probl` eme

Les deux parties de ce probl`eme sont ind´ependantes.

Partie 1

Soit λ un réel strictement positif. Pour tout entier n > λ, on définit une variable aléatoire T_n de loi binomiale de paramètres (n, λ/n).

1. Donner, pour tout k ∈ N, la valeur de P(Tn = k). Indiquer ´egalement les valeurs de l’esp´erance et de la variance de T_n.

2. Montrer que, pour tout entier k fix´e, on a les limites suivantes : limn

n!

(n − k)! n^k = 1 et lim

n

1 −λ

n

n−k

= e^−λ.

3. En déduire, pour tout entier naturel k fixé, la limite lorsque n tend vers +∞ de P(T_n = k) existe. Déterminer cette limite que l’on notera p_k.

4. Vérifier que la famille (pk)k≥0 permet de définir une probabilité sur N.

5. On considère une variable aléatoire T à valeurs entières, vérifiant pour tout entier naturel k, P(T = k) = pk. Déterminer E(T ), E(T (T −1)) puis E(T²). Comparer avec les limites lorsqu’elles existent de, respectivement, E(Tn), E(Tn(Tn− 1)) et E(T_n²).

Partie 2

Soit X une variable aléatoire de loi normale centrée réduite. On définit deux variables aléatoires Y et Z par

−X 2

(2)

2. Pour tout réel λ, montrer que E(e^λX) = e^λ²^/2, par exemple en procédant à un changement de variable affine.

3. À l’aide du résultat de la question précédente, déterminer E(Y ), E(Y²) et var (Y ).

4. D´eterminer la densit´e de Y .

5. Calculer, pour tout r´eel α positif, E(e^−αX²).

6. Déterminer, par la méthode de votre choix, la densité de la variable aléatoire Z.

7. Calculer E(Z) et E(Z²).

Deuxi` eme probl` eme

Partie A

On se donne deux suites finies de nombres complexes (α_n)_n≤N et (β_n)_n≤N et on considère le polynôme trigonométrique

P (x) = α0

2 +

N

X

n=1

(α_ncos(nx) + β_nsin(nx))

1. Rappeler, pour tous r´eels θ et φ, les formules de lin´earisation de cos²θ, sin²θ, cos θ cos φ, sin θ sin φ et cos θ sin φ.

2. Calculer, pour tout entier naturel k, les int´egrales suivantes : Z π

−π

P (x) cos(kx) dx et

Z π

−π

P (x) sin(kx) dx

3. Calculer ´egalement

Z π

−π

|P (x)|² dx

4. Soit maintenant f : R → C une fonction 2π-p´eriodique. On note (an)n≥0et (bn)n≥1ses coefficients de Fourier trigonom´etriques. On rappelle que

∀n ≥ 0, a_n= 1 π

Z _π

−π

f (x) cos(nx) dx et, ∀n ≥ 1, b_n= 1 π

Z _π

−π

f (x) sin(nx) dx, puis, pour tout N ≥ 1, on note P_N le polynˆome trigonom´etrique

PN(x) = a0

2 +

N

X

n=1

(ancos(nx) + bnsin(nx))

(a) Énoncer une condition assurant la convergence normale de (P_N) vers f . (b) Sous cette condition, montrer l’égalité de Parseval :

1 2π

Z _π

−π

|f (x)|² dx = |a₀|² 4 +1

2 X

n≥1

|a_n|²+ |b_n|²

puis, pour tout N ≥ 1, 1 2π

Z π

−π

|P_N(x) − f (x)|² dx = 1 2

X

n>N

|a_n|²+ |b_n|²

2/5 Tournez SVP

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Partie B

On considère la fonction f de période 2π et définie pour tout réel x l’intervalle [−π, π[ par f (x) = x². 1. Tracer l’allure de la courbe représentative de f sur l’intervalle [−3π, 3π[.

2. Expliciter les coefficients de Fourier trigonométriques de f , notés (a_n)_n≥0 et (b_n)_n≥1. 3. Étudier la nature de la convergence de la série de Fourier

S_f(x) = a₀

2 +X

n≥1

(a_ncos(nx) + b_nsin(nx)).

4. Déduire des résultats précédents les valeurs des séries : X

n≥1

1

n², X

n≥1

(−1)ⁿ

n² , X

n≥1

1 n⁴.

Troisi` eme probl` eme Partie I

On note f la fonction d´efinie pour tout x r´eel par f (x) =

Z x 0

e^−t² dt

1. ´Etude de la fonction f (a) Montrer que f est impaire.

(b) Montrer que f est dérivable sur R et expliciter sa dérivée.

(c) Montrer que f est indéfiniment dérivable sur R. On note, pour tout n ≥ 0, f⁽ⁿ⁾ sa dérivée n-ième. Montrer que, pour tout n ≥ 1, il existe une fonction polynôme p_ndont on précisera le degré, telle que, pour tout x ∈ R,

f⁽ⁿ⁾(x) = pn(x)e^−x² (d) Que peut-on dire de la parit´e de p_n?

(e) Justifier que, pour tout x ≥ 1, e^−x² ≤ e^−x et en d´eduire que f admet une limite en +∞.

On notera ∆ cette limite, que l’on ne cherchera pas `a expliciter.

2. Développement en série entière de f .

(a) Rappeler le développement en série entière de la fonction t 7→ e^−t; en déduire celui de f⁰ et indiquer son rayon de convergence.

(b) Montrer que, pour tout x dans R, on a

f (x) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹ n! (2n + 1) (c) En d´eduire, pour tout n ∈ N^∗, la valeur de pn(0).

3. Calcul de ∆. Pour tout entier n, on note

Wn= Z π/2

cosⁿ(x) dx

(4)

(b) Soit n un entier naturel. Montrer que

(1 − u)ⁿ≤ e^−nu si u ≤ 1 e^−nu≤ (1 + u)⁻ⁿ si u > −1 (c) D´emontrer que pour tout entier n non nul, on a

Z 1 0

(1 − x²)ⁿ dx ≤ Z +∞

0

e^−nx² dx ≤ Z +∞

0

dx (1 + x²)ⁿ (d) ComparerR1

0(1 − x²)ⁿ dx et W_2n+1, puis R+∞

0

dx

(1+x²)ⁿ et W_2n−2. (e) En d´eduire un encadrement de ∆/√

n.

(f) On admet que Wn∼pπ/(2n). Calculer ∆.

Partie II

On rappelle les théorèmes suivants de continuité et dérivation sous une intégrale. Soient I et J deux intervalles réels et f : I × J → R, une fonction.

– Si la fonction f est continue et s’il existe une fonction φ, d´efinie et int´egrable sur J telle que, pour tout (x, y) ∈ I × J , |f (x, y)| ≤ φ(y), alors la fonction x 7→R

Jf (x, y) dy est continue sur I.

– Si la fonction f est continue et v´erifie – ∂f /∂x est continue sur I × J

– Il existe une fonction φ d´efinie et int´egrable sur J telle que

∀(x, y) ∈ I × J,

∂f

∂x(x, y)

≤ φ(y),

alors la fonction x 7→R

Jf (x, y) dy est dérivable, de dérivée x 7→R

J

∂f

∂x(x, y) dy.

1. On d´efinit la fonction h par, pour tout x ∈ R, h(x) =

Z +∞

0

e^−y²cos(2xy) dy.

(a) Montrer que h est bien d´efinie.

(b) Montrer que h est d´erivable sur R, et que, pour tout x ∈ R,

h⁰(x) = Z +∞

0

−2ye^−y²sin(2xy) dy.

(c) Montrer maintenant à l’aide d’une intégration par parties que h est solution de l’équation différentielle h⁰(x) = −2xh(x).

(d) En déduire que, pour tout réel x, h(x) = ∆ e^−x². 2. On définit une fonction φ par : pour tout x ∈ R,

φ(x) = Z +∞

0

e⁻

y²+^x2

y2

dy.

(a) Montrer que φ est une fonction continue sur R et de classe C¹ sur ]0, +∞[.

(b) Montrer que, pour tout x ∈]0, +∞[, φ⁰(x) = −2φ(x).

(c) En d´eduire l’expression de φ sur ]0, +∞[, puis sur R.

4/5 Tournez SVP

(5)

Partie III

On d´efinit la fonction ψ par : pour tout x ∈ R, ψ(x) =

Z +∞

0

cos(2xt) 1 + t² dt.

1. ´Etude de ψ.

(a) V´erifier que ψ est bien d´efinie, continue et paire.

(b) Calculer ψ(0).

2. Pour tout p ∈ N^∗, on d´efinit la fonction jp par : pour tout x ∈ R, j_p(x) =

Z p 0

ye^−(1+x²^)y² dy

Calculer j_p(x) pour tout p ∈ N^∗ et tout x ∈ R. En d´eduire que (jp) est une suite de fonctions continues et que cette suite converge simplement sur R. Expliciter cette limite. La convergence est-elle uniforme sur R ?

3. Pour cette question et les suivantes, on fixe un r´eel a, et on d´efinit, pour tout n ∈ N^∗, la fonction k_n par : pour tout y ∈ R,

kn(y) = Z n

0

ye^−y²^x²cos(2ax) dx.

Montrer que (kn) est une suite de fonctions continues qui converge simplement sur R lorsque n tend vers +∞ et expliciter sa limite en fonction de h. La convergence est-elle uniforme sur R ? 4. On note, pour tout (n, p) ∈ (N^∗)²,

un,p= Z n

0

jp(x) cos(2ax) dx

(a) Pour tout n ∈ N^∗, justifier l’existence de la limite limp→∞un,p, que l’on notera un,∞, et l’expliciter sous la forme d’une int´egrale.

(b) Montrer que, pour tout (n, p) ∈ (N^∗)², on a un,p=

Z p 0

kn(y) e^−y² dy.

5. Justifier, pour tout n ∈ N^∗, l’intégrabilité sur [0, +∞[ de la fonction y 7→ k_n(y)e^−y² et en déduire une autre écriture de un,∞.

6. Montrer que la fonction (x, y) 7→ ye^−y²^(1+x²⁾cos(2ax) est int´egrable sur (R⁺)². 7. En d´eduire que la suite (u_n,∞) converge versR+∞

0 k∞(y)e^−y² dy.

8. Calculer ψ(x).