On suppose que X et Y sont l’une et l’autre des variables aléatoire à densité

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Université Paris-Dauphine Année universitaire 2016-2017 Deuxième année du DE MI2E Probabilités multidimensionnelles et théorèmes limite

1. Vous êtes vivement invité à lire le sujet dans son intégralité avant de commencer à composer.

2. Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, vous le signalez sur la copie et poursuivez l’examen en expliquant les raisons des initiatives que vous êtes amené à prendre.

3. Seules les r´eponses soigneusement justifi´ees seront prises en compte.

4. Un point pourra être attribué en plus ou en moins suivant la qualité de la rédaction et de la présentation.

5. Les notes de cours, les calculatrices ainsi que tous autres documents ou dispositifs ´electroniques sont interdits.

Exercice 1.

1. SoientX etY deux variables aléatoires réelles définies sur un même espace de probabilité (Ω,A,P).

On suppose que X et Y sont l’une et l’autre des variables aléatoire à densité. Le couple (X, Y) est-il nécessairement un couple à densité ? Si oui, prouvez-le. Si non, donnez un contre-exemple.

Non, (X, Y) n’est pas nécessairement un couple à densité. Considérons le (contre-)exemple suivant : X est une variable aléatoire de loi uniforme sur[0,1]etY =X. Ainsi, X et Y sont deux variables aléatoires à densité. Supposons que le couple(X, Y)admet une densité notéef. En posant

D={(x, y)∈[0,1]² : x=y}

on a

P((X, Y)∈D) = Z

D

f(x, y)dxdy

= Z

[0,1]²

f(x, y)1D(x, y)dxdy

et d’autre part P((X, Y)∈D) = 1puisqueY =X. Or, en notant λ^⊗2 la mesure de Lebesgue sur[0,1]² on a d’après le théorème de Fubini

Z

[0,1]²

1D(x, y)dxdy= Z 1

0

Z y y

1dx

dy= 0

doncλ^⊗2(D) = 0doncf(x, y)1D(x, y) = 0λ^⊗2-presque partout donc n´ecessairement Z

[0,1]²

f(x, y)1_D(x, y)dxdy= 0

ce qui nous donne la contradiction recherch´ee.

2. SoientX etY deux variables aléatoires réelles positives définies sur un même espace de probabilité (Ω,A,P). On suppose queX² etY²sont indépendantes. Les variables aléatoiresX etY sont-elles indépendantes ? Si oui, prouvez-le. Si non, donnez un contre-exemple.

Oui,X etY sont nécessairement indépendantes. Les variables aléatoiresX etY étant positives on a X=√

X² etY =√

Y². DoncX etY sont les images par des applications mesurables de deux variables ind´ependantes, elles sont ind´ependantes.

On suppose queX²etY²sont indépendantes. Les variables aléatoiresXetY sont-elles indépendantes ? Si oui, prouvez-le. Si non, donnez un contre-exemple.

Non, X etY ne sont pas nécessairement indépendantes. Soit U une variables aléatoire de loi uniforme sur{−1,1}. Alors les variables aléatoiresX =UetY =−Une sont pas indépendantes puisque, par exemple, P(X = 1, Y = 1) = 0tandis que queP(X = 1)P(Y = 1) = ¹₄ alors que

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On suppose que la variable aléatoireXY est intégrable, c’est-à-dire queE[|XY|]<∞. Les variables aléatoires X et Y sont-elles nécessairement toutes deux intégrables ? Si oui, prouvez-le. Si non, donnez un contre-exemple.

Non, X et Y ne sont pas nécessairement toutes deux intégrables. En prenant X = 0 et Y non-intégrable on aXY = 0 donc dans ce casXY est intégrable sans queX et Y le soient toutes les deux.

Exercice 2.SoitU une variable aléatoire de loi uniforme sur [0,1]. On rappelle qu’une variable aléatoire U est de loi uniforme sur [0,1] si elle admet f(x) =1_[0,1](x) comme densité. On considère deux nombres réelsaet btels que 0< a < b <1 à l’aide desquels on définit les variables aléatoires

Y =

1 si 0< U < b 0 sinon et

Z=

1 sia < U <1 0 sinon.

1. Donner la loi du couple (Y, Z).

On a(Y, Z)∈ {0,1}² et

P((Y, Z) = (0,0)) = P(U ≥b, U ≤a) =P(∅) = 0

P((Y, Z) = (0,1)) = P(U ≥b, U > a) =P(U ≥b) = 1−b P((Y, Z) = (1,0)) = P(U < b, U ≤a) =P(U ≤a) =a

P((Y, Z) = (1,1)) = P(U < b, U > a) =P(a < U < b) =b−a.

2. Les variables al´eatoiresY et Z sont-elles ind´ependantes ?

XetY ne sont pas ind´ependantes puisqueP((Y, Z) = (0,0)) = 0alors queP(Y = 0) = 1−b6= 0 etP(Z= 0) =a6= 0.

3. Quelle est la loi deY sachantZ = 1 ?

Comme Y ne prend que deux valeurs il suffit pour donner la loi de Y sous la probabilit´e P conditionn´ee par Z = 1de donner P(Y = 1|Z = 1) puisqueP(Y = 0|Z = 1) = 1−P(Y = 1|Z= 1). On a

P(Y = 1|Z= 1) = P((Y, Z) = (1,1))

P(Z= 1) = b−a 1−a. 4. Quelle est la loi deU sachantZ= 1 ?

On va d´eterminer la fonction de r´epartition de U sachant Z = 1. Clairement si x < 0 on a P(U ≤x|Z = 1) = 0tandis que six >1on aP(U ≤x|Z= 1) = 1. Finalement six∈[0,1]on a

P(U ≤x|Z = 1) =P(U ≤x, Z= 1)

P(Z = 1) = P(U ≤x, U > a) P(Z= 1) =

0 si0≤x < a

x−a

1−a si1≥x≥a.

Exercice 3. Un joueur peut lancer deux fois de suite un simulateur de la loi uniforme sur [0,10] pour obtenir le meilleur score possible : si le score obtenu au premier lancer le satisfait il peut en rester là. Si ce score ne le satisfait pas, il peut lancer une deuxième fois le simulateur mais le score obtenu au premier tirage est alors perdu. Le joueur décide de la stratégie suivante : il s’arrêtera après le premier tirage si il y obtient un résultat supérieur ou égal à un seuilket il lancera une deuxième simulation sinon. On suppose que les résultats des deux tirages sont indépendants. SoitX^k le score obtenu en suivant cette stratégie.

1. Donner la fonction de r´epartition deX^k.

(3)

Clairement si k = 0 ou k = 10 alors X^k est de loi uniforme sur [0,10] puisque si k = 0 on conserve toujours le résultat du premier tirage et sik= 10alors on ne conserve jamais le résultat du premier tirage et l’expérience se réduit à un seul tirage, le second. On suppose donc que k /∈ {0,10} et on note R1 le résultat du premier tirage et R2 le résultat du deuxième tirage.

Clairement A= {R1 < k} et B = {R1 ≥ k} constituent un système complet d’événements.

Pour tout x∈[0,10]on a

P(X^k≤x) = P(X^k≤x|R₁< k)P(R₁< k) +P(X^k ≤x|R₁≥k)P(R₁≥k)

= P(R2≤x|R1< k)P(R1< k) +P(R1≤x|R1≥k)P(R1≥k)

= P(R2≤x)P(R1< k) +P(k≤R1≤x)

la première égalité provient du fait que d’après la définition de l’expérience étudiée si R1 < k alors X^k =R₂ et si R₁ ≥kalors X^k =R₁ et la deuxième égalité découle du fait que, d’une part, R₁ etR₂ sont indépendantes et d’autre part que

P(R1≤x|R1≥k) =P({R1≤x} ∩ {k≤R₁})

P(R1≥k) =P(k≤R₁≤x) P(R1≥k) . Donc

P(X^k ≤x) =











0 si x≤0

x 10

k

10 si x∈[0, k]

x 10

k

10+^x−k₁₀ si x∈[k,10]

1 si x >10

puisque pour toute variable al´eatoireU de loi uniforme sur[0,10]on a

P(U ≤u) =







0 si u≤0

u

10 si x∈[0,10]

1 si u >10.

On remarque que la fonction de r´epartition trouv´ee est aussi valable pourk∈ {0,10}.

2. Calculer l’esp´erance de X^k.

La fonction de répartition deX^k est continue et dérivable sauf en trois points. En la dérivant là où elle est dérivable on trouve une densitéfk de X^k :

fk(x) = k

1001[0,k](x) + k

100 + 1 10

1[k,10](x).

d’o`u

E[X^k] = Z 10

0

xfk(x)dx

= k

100 Z k

0

xdx+ k

100 + 1 10

Z 10 k

xdx

= k³ 200+

k 100 + 1

10 50−k² 2

= 5 + k(10−k) 20 3. Trouver la valeur dekqui maximise E[X^k].

Il suffit d’´etudier la fonction polynomiale

P(x) = 5 +x(10−x) 20 sur[0,10]. On a

P⁰(x) = 10−x 20 − x

20

= 1

2− x 10

00 1

(4)

4. Trouver la valeur dek qui maximiseP(X^k >6) et celle qui maximiseP(X^k >8). CalculerE[X^k] pour ces deux valeurs deket commenter.

De la fonction de r´epartition deX^k on d´eduit que pour toutx∈[0,10]on a

P(X^k> x) =

1− ₁₀^x ₁₀^k +^x−k₁₀

= 1 +k ₁₀¹ −₁₀₀^x

−₁₀^x si 0≤k≤x

1−₁₀^x ₁₀^k si x≤k≤10

donc k 7→ P(X^k > x) est croissante sur [0, x] et décroissante sur [x,10]. Donc pour tout x ∈ [0,10] la valeur de k qui maximise P(X^k > x) est x. Par conséquent P(X^k > 6) est maximisée pourk= 6tandis queP(X^k >8)est maximisée pourk= 8. On constate cependant queE[X⁶] = 6,2 et queE[X⁸] = 5,8.

Commentaire : pour maximiser la probabilité d’obtenir un score final élevé, par exemple plus grand que 8, on doit prendre une valeur de kélevée, dans notre exemplek= 8. Mais alors on a une probabilité égale à k/10 de ne pas conserver le résultat du premier tirage et parmi les résultats que l’on est conduits àabandonner il y a debons résultats, par exemple des résultats supérieurs à la moyenne optimale. Comparons les densités deX⁶ etX⁸:

x fk

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

k= 6 k= 8

On constate que si E[X⁶] >E[X⁸] c’est parce que P(X⁶ ∈[6,8]) est plus forte queP(X⁸ ∈ [6,8])et il en est ainsi parce que la stratégiek= 6conduit à conserver les résultats du premier tirage compris entre 6 et 8 tandis que la stratégiek= 8 conduit à abandonner ces résultats.

5. Quelle est la probabilité que X^k soit le résultat du premier tirage sachant queX^k≥k? On doit exclure le cas k = 10 car il correspond à un événement conditionnant de probabilité nulle. Sik6= 10alors, comme par définitionX^k est le résultat du premier tirage si et seulement si R1≥k, on a que la probabilité demandée vaut

P(R1≥k|X^k ≥k) =P(R1≥k, X^k ≥k)

P(X^k≥k) = P(R1≥k)

P(X^k≥k)= 1−₁₀^k

1−₁₀₀^k² = 1 1 +₁₀^k .

On suppose à présent que le joueur peut lancer trois fois de suite un simulateur de la loi uniforme sur [0,10] pour obtenir le meilleur score possible : si le score obtenu au premier lancer le satisfait il peut en rester là. Si ce score ne le satisfait pas, il peut lancer une deuxième fois le simulateur mais le score obtenu au premier tirage est alors perdu. Si le score obtenu au deuxième lancer ne le satisfait toujours pas, il peut lancer une troisième fois le simulateur mais dans ce cas le score obtenu au deuxième tirage est lui aussi perdu. Le joueur décide de la stratégie suivante : il s’arrêtera après le premier tirage si il y obtient un résultat supérieur ou égal à un seuilk₁et il lancera une deuxième simulation sinon. Il conservera le score du deuxième tirage si celui-ci est supérieur ou égal à un seuil k₂ et il lancera une troisième simulation sinon. On suppose que les résultats des trois tirages sont indépendants et que k₁ ≥ k₂. Soit Y^(k¹^,k²⁾ le score obtenu en suivant cette stratégie.

5. Donner la fonction de r´epartition deY^(k¹^,k²⁾.

On noteR₁ le résultat du premier tirage, R₂ le résultat du deuxième tirage etR₃le résultat du troisième tirage. Sik₁= 0alors clairementY^(k¹^,k²⁾est de loi uniforme sur [0,10]puisqu’on ne fait qu’un tirage Y^(k¹^,k²⁾ =R1. Si k1 = 10 et k2 = 10 alorsY^(k¹^,k²⁾ =R3 et si k1 = 10 et k2 = 0alorsY^(k¹^,k²⁾ =R2. On peut considérer à présent quek1 et k2 sont distinctes de 0 ou 10. On considère le système complet{R1≥k1},{R1< k1, R2≥k2}et{R1< k1, R2< k2}et

(5)

d’apr`es la formule des probabilit´es totales pour touty∈[0,10]on a P(Y^(k¹^,k²⁾≤y) = P(Y^(k¹^,k²⁾≤y|R1≥k1)P(R1≥k1) +

+P(Y^(k¹^,k²⁾≤y|R1< k₁, R₂≥k₂)P(R₁< k₁, R₂≥k₂) + +P(Y^(k¹^,k²⁾≤y|R1< k1, R2< k2)P(R1< k1, R2< k2)

= P(R₁≤y|R₁≥k₁)P(R₁≥k₁) +

+P(R2≤y|R1< k1, R2≥k2)P(R1< k1, R2≥k2) + +P(R3≤y|R1< k1, R2< k2)P(R1< k1, R2< k2)

= P(k₁≤R₁≤y) +P(R₁< k₁, k₂≤R₂≤y) +P(R₃≤y)P(R₁< k₁, R₂< k₂) donc

P(Y^(k¹^,k²⁾≤y) =











0 si y≤0

yk₁k₂

1000 si y∈[0, k2]

k1(y−k2)

100 +^yk₁₀₀₀¹^k² si y∈[k2, k1]

y−k1

10 +^k¹^(y−k₁₀₀ ²⁾+^yk₁₀₀₀¹^k² si y∈[k₁,10]

1 si y >10.

6. Calculer l’esp´erance de Y^(k¹^,k²⁾.

La fonction de répartition de Y^(k¹^,k²⁾ est continue et dérivable sauf en quatre points. En la dérivant là où elle est dérivable on trouve une densitég_(k₁_,k₂₎ deY^(k¹^,k²⁾:

g_(k₁_,k₂₎(y) = k₁k₂

10001_[0,k₂_](y) + k₁k₂

1000+ k₁ 100

1_[k₂_,k₁_](y) + 1

10+k₂k₁ 1000+ k₁

100

1_[k₁_,10](y)

d’o`uE[Y^(k¹^,k²⁾] = ^k¹₂₀^k² +₁₀₀^k¹

50−^k₂²² +₁₀¹

50−^k₂²¹ .

On rappelle qu’une variable al´eatoire U est de loi uniforme sur [0,10] si elle admet f(x) = ₁₀¹1_[0,10](x) comme densit´e.

Exercice 4.SoitV = (X, Y) un couple de variables al´eatoires admettant pour densit´e

f(x, y) =

k si|x|+ 2|y| ≤1 0 sinon.

1. D´eterminer kainsi que les lois marginales deX et Y. Comme f est une densit´e on a que f ≥ 0 et R

R²f(x, y)dxdy = 1. Comme f ≥ 0 on peut appliquer le th´eor`eme de Fubini pour mener le calcul suivant

Z

R²

f(x, y)dxdy = k Z ¹₂

−¹₂

Z 1−2|y|

2|y|−1

1dx

! dy

= k

Z ¹₂

−¹₂

(2−4|y|)dy

= 2k Z ¹₂

0

(2−4|y|)dy

= 4k Z ¹₂

0

(1−2y)dy

= 4k

y−y²¹₂

0

= k

donck= 1. La densit´e deX est donn´ee par

fX(x) = Z

R

f(x, y)dy=

( 0 si|x|>1 R¹₂(1−|x|)

−¹₂(1−|x|)dy= 1− |x| si|x| ≤1 et la densit´e deY est donn´ee par

Z (

0 si|y|>¹

(6)

2. Déterminer la covariance du couple (X, Y). Les variables aléatoiresXetY sont elles indépendantes ? Le support de la densité de (X, Y) étant borné les variables X et Y sont de carré intégrable doncXY est intégrable et d’après le théorème de Fubini

E[XY] = Z

R²

xyf(x, y)dxdy

= Z ¹₂

−¹₂

y

Z 1−2|y|

2|y|−1

xdx

! dy

= Z ¹₂

−¹₂

(y×0)dy

= 0.

Des densités de X et Y données plus haut on déduit que E[X] = R1

−1x(1− |x|)dx = 0 et E[Y] = R¹₂

−¹₂y(2−4|y|)dy = 0. Par conséquent Cov(X, Y) = E[XY]−E[X]E[Y] = 0. Les variables aléatoiresX etY ne sont pas indépendantes car pour tout(x, y)∈]¹₂,1]×]¹₄,¹₂] on a

|x|+ 2|y|>1 doncP((X, Y)∈]¹₂,1]×]¹₄,¹₂]) = 0tandis queP(X ∈]¹₂,1]) =R1

1 2

(1− |x|)dx >0 etP(Y ∈]¹₄,¹₂]) =R¹₂

1 4

(2−4|y|)dy >0.

Exercice 5.Dans cet exercice on commence par considérer une situation caricaturale avant de traiter la question vraiment intéressante, ceci dans le but de se former une intuition sur le problème considéré.Vous ˆ

etes libre de r´epondre comme vous le voulez du moment que vous le faites de fa¸con clairement justifi´ee.

1. Vous participez à un jeu où vous êtes mis en face de 1 000 portes identiques. Derrière l’une de ces portes se trouve un objet de grande valeur et derrière chacune des 999 autres portes on trouve un même objet de peu de valeur. Vous devez choisir une porte, étant entendu que vous repartirez avec l’objet qui se trouve derrière la porte que vous avez choisie.Le jeu se fait en présence d’un

“animateur” qui sait derrière quelle porte se trouve l’objet de grande valeur. Après que vous lui avez communiqué votre choix, il n’ouvre pas la porte que vous avez choisie mais il ouvre 998 portes parmi les 999 portes différentes de celle que vous avez choisie. Derrière chacune de ces 998 portes on trouve à chaque fois un objet de peu de valeur. L’animateur vous offre alors la possibilité de changer d’avis. Autrement dit, il vous offre la possibilité de choisir entre les deux portes qui sont demeurées fermées. Avez-vous intérêt à changer d’avis ou maintenez-vous votre premier choix ?

Quelle que soit la porte choisie par le candidat, l’animateur sera en capacité d’ouvrir 998 portes derrière lesquelles se cachent des objets de peu de valeur. Donc la stratégie suivie, garder la porte montrée en premier ou choisir l’autre porte peut se décider avant même que le jeu ne commence.

On a donc deux options et on va calculer la probabilité de repartir avec le gros lot dans chacun de ces deux cas. Pour cela on considère le système complet d’événements constitué de A =

L’objet de grande valeur se cache derrière la porte désignée en premieretB =L’objet de grande valeur ne se cache pas derrière la porte désignée en premier.

(a) On garde son premier choix. Alors d’apr`es la formule des probabilit´es totales

P(gagner au final le gros lot)

= P(gagner au final le gros lot|A)P(A) +P(gagner au final le gros lot|B)P(B)

= 1× 1

1000+ 0× 999 1000

= 1

1000.

(b) On modifie son choix. Alors d’apr`es la formule des probabilit´es totales

= 0× 1

1000+ 1× 999 1000

= 999

1000.

(7)

On a clairement intérêt à modifier son choix.

2. Vous participez à un jeu reposant sur le même principe que le jeu précédent, si ce n’est que cette fois le choix initial est réduit à 3 portes identiques : une porte derrière laquelle se trouve un objet de grande valeur et deux portes derrière lesquelles on trouve un objet de peu de valeur.L’animateur sait derrière quelle porte se trouve l’objet de grande valeur. Après que vous avez communiqué votre choix à l’animateur celui-ci ouvre l’une des deux portes que vous n’avez pas choisies. Derrière cette porte on trouve un objet de peu de valeur. À nouveau l’animateur vous offre alors la possibilité de changer d’avis. Autrement dit, il vous offre la possibilité de choisir entre les deux portes qui sont demeurées fermées. Avez-vous intérêt à changer d’avis ou maintenez-vous votre premier choix ?

On peut raisonner comme à la question précédente, seules les valeurs des probabilités sont différentes. Avec les mêmes notations il vient que

(a) On garde son premier choix. Alors d’apr`es la formule des probabilit´es totales

= 1×1

3+ 0×2 3

= 1

3.

(b) On modifie son choix. Alors d’apr`es la formule des probabilit´es totales

= 0×1

3+ 1×2 3

= 2

3.

A nouveau on a int´` erêt à modifier son choix. Vous pourrez lancer un grand nombre de simula- tions en consultanthttp://lmrs.univ-rouen.fr/Vulgarisation/Hall/hall.htmlet vous constaterez (d’une autre fa¸con) que la bonne stratégie est bien de modifier son choix.