On souligne dans ce document le fait qu’une fonction m´ eromorphe n’est rien d’autre qu’une fonction ` a valeurs dans la sph` ere de Riemann C Y t8u » S

Fonctions m´eromorphes

On souligne dans ce document le fait qu’une fonction m´ eromorphe n’est rien d’autre qu’une fonction ` a valeurs dans la sph` ere de Riemann C Y t8u » S

. Le crit` ere de compacit´ e de Marty qu’on trouve dans le th´ eor` eme 1 ci-dessous, pour une famille de fonctions m´ eromorphes d´ efinies sur un mˆ eme ouvert D de C, se comprend alors comme une simple reformulation du crit` ere bien connu d’Ascoli-Arzela, ici pour des fonctions ` a valeurs dans la sph` ere. H´ eritage historique, on parle de famille normale de fonctions m´ eromorphes plutˆ ot que de famille pr´ e- compacte. Une reformulation du r´ esultat de Marty due ` a Zalcman permet alors de voir que toute famille de fonctions m´ eromorphes d´ efinies sur un mˆ eme ouvert de C, et dont les images dans S

´ evitent toutes trois points donn´ es de la sph` ere, forme une famille normale. On verra comment ce r´ esultat dˆ u ` a Montel implique un r´ esultat fameux de Picard sur le comportement d’une fonction m´ eromorphe au voisinage d’une singularit´ e essentielle.

Rappelons que la formule de Cauchy permet de compter avec multiplicit´ e le nombre de z´ eros d’une fonction holomorphe compris ` a l’int´ erieur d’un lacet simple. ll s’ensuit que si une suite de fonctions holomorphes ne s’annulant pas sur un ouvert donn´ e converge uniform ´ ment sur tout compact de cet ouvert vers une limite non nulle h, alors h est holomorphe et ne s’annule pas sur cet ouvert. Cette observation constitue le th´ eor` eme d’Hurwirtz.

1 – Familles normales

On identifie C Y t8u ` a la sph` ere unit´ e S

de R

en associant ` a un point z P C » R

Ă R

, le point d’intersection ppzq de la demi-droite de R

d’origine le point p0, 0, 1q P S

passant par z.

Le point 8 est envoy´ e sur le pˆ ole nord p0, 0, 1q . Si γ : r0, 1s Ñ C est une courbe C

dans C, on v´ erifie que la courbe p ˝ γ ` a valeurs dans S

a pour longueur

`pp ˝ γ q “ 2 ż

0

|γ

psq|

1 ` |γ psq|

ds

– on mesure la longueur d’une courbe sur S

en la voyant comme une courbe de R

. En particulier, si f : C Ñ C est de classe C

, la courbe p ˝ f ˝ γ de S

a pour longueur

2 ż

0

|f

pγpsqq|

1 ` |γ psq|

|γ

psq| ds “ 2 ż

γ

|f

|

1 ` |f|

“: 2 ż

γ

f

.

Notez que f

est bien d´ efinie par continuit´ e en un pˆ ole d’une fonction m´ eromorphe f. Notez aussi que f

“ p1{f q

en dehors des pˆ oles. On voit une fonction m´ eromorphe comme une fonction ` a valeurs dans S

. Soit D un ouvert de C.

Definition – Une famille F de fonctions m´ eromorphes d´ efinies sur D est dite normale si la famille p ˝ F de fonctions sur D ` a valeurs dans S

est ´ equicontinue sur chaque compact de D.

La restriction sur chaque compact de D de la famille F est donc pr´ e-compacte pour la topologie uniforme, d’apr` es le th´ eor` eme d’Ascoli et Arzela.

Th´ eor` eme 1 . Une famille F de fonctions m´ eromorphes d´ efinies sur D est normale ssi la famille de fonctions r´ eelles

f

pzq “ |f

pzq|

1 ` |f pzq|

, f P F , z P D, est uniform´ ement born´ ee sur chaque compact de D.

1Si la familleF est constitu´ee de fonctions holomorphes, la familleF est normale ssi toute suite d’´el´ements de F admet une sous-suite convergeant uniform´ement sur chaque compact soit vers une fonction holomorphe soit vers la constante8. En effet, soithest un point d’accumulation d’´el´ementshndeF. Sihne vaut nulle part 8, leshnenvoient uniform´ement ennun voisinage dez0 sur un voisinage dehpz0q, aussi la convergence est-elle localement uniforme ethholomorphe d’apr`es la formule de Cauchy. Sihpz0q “ 8en un pointz0, alors1{hest nulle enz0, aussi, si1{hn’´etait pas identiquement nulle, les1{hndevraient aussi s’annuler dans un voisinage de z0, d’apr`es le th´eor`eme d’Hurwirtz rappel´e en introduction. Leshn´etant holomorphes prennent leurs valeurs dansC, aussi1{hdoit-elle ˆetre identiquement nulle.

1

2

D´ emonstration – ðù Associons ` a un compact K de D une constante finie M

telle que f

pzq ď M

, pour tout z P K et f P F . On peut supposer sans perte de g´ en´ eralit´ e que K est l’adh´ erence d’un ouvert connexe

˝

K. Comme on a pour toute courbe γ de classe C

` a valeurs dans

˝

K, et toute fonction f P F ,

` `

p ˝ f ˝ γ ˘

“ 2 ż

γ

f

ď 2M

ż

0

ˇ ˇ γ

psq ˇ

ˇ ds “ 2M

`pγq,

on voit que les application p ˝ f sont toutes 2M

-Lipschitz, si bien que la famille p ˝ F est

´

equicontinue sur K ; la conclusion provient donc du th´ eor` eme d’Ascoli et Arzela.

ùñ S’il existait un compact K de D sur lequel la famille des f

n’´ etait pas born´ ee, on aurait une suite f

de fonctions de F telle que sup

f

tend vers 8 avec n. La famille

´

etant normale, on peut cependant associer ` a chaque point de K un voisinage de ce point sur lequel une sous-suite de p ˝ f

converge uniform´ ement. L’ensemble K ´ etant compact, on peut le recouvrir par un nombre fini de tels voisinages, et trouver une sous-suite p ˝ f

de p ˝ f

convergeant uniform´ ement sur K. La convergence de f

“ p1{f

q

sur K s’ensuit, contredisant le fait que sup

f

tend vers 8 avec n – je rappelle que la formule de Cauchy assure que le convergence uniforme d’une suite de fonctions holomorphes implique

la convergence uniforme de ses d´ eriv´ ees. B

Ce crit` ere de pr´ e-compacit´ e n’est pas forc´ ement facile ` a utiliser. La reformulation suivante, due ` a Zalcman, pr´ ecise au contraire ce qui se passe lorsqu’on ` a affaire ` a une famille non normale.

On a l’id´ ee de zoomer de plus en plus sur le voisinage d’un point mobile.

Proposition 2 . Une famille de fonctions m´ eromorphes d´ efinies sur le disque unit´ e D n’est pas normale ssi il existe 0 ă r ă 1, des points z

avec |z

| ă r, des fonctions f

P F et ρ

ą 0 tendant vers 0, tels que

p ˝ f

pz

` ρ

ζ q Ñ p ˝ gpζq,

converge uniform´ ement sur les compacts de C, pour une fonction m´ eromorphe non constante g d´ efinie sur C, satisfaisant g

pζq ď g

p0q “ 1, pour tout ζ P C. (La limite g est holomorphe si la famille F est form´ ee de fonctions holomorphes.)

D´ emonstration – ùñ On a d’apr` es le th´ eor` eme de Marty un rayon 0 ă r

ă 1, des points z

tels que |z

| ď r

et une suite de fonctions f

P F tels que f

pz

q tend vers 8 . Prenons r tel que r

ă r ă 1 et d´ efinissons

M

:“ max

|z|ďr

ˆ

1 ´ |z|

r

˙ f

pzq.

Ce maximum est atteint en un point z

, comme f

est continue sur t|z| ď ru , et M

ě

` 1 ´ pr

{rq

˘

f

pz

q tend vers 8 . Posons

ρ

:“ 1{f

pz

q Ñ 0, si bien que

n|

“

ď 2{prM

q tend vers 0. La fonction g

pζq :“ f

` z

` ρ

ζ ˘ est donc d´ efinie pour |ζ| ă

n

, avec ce majorant tendant vers 8 avec n. Ces fonctions g

satisfont le crit` ere de compacit´ e de Marty. En effet, on a d’abord

g

p0q “ ρ

f

pz

q “ 1, pour tout n, et pour tout R ą 0 et |ζ | ď R ă

n

, on a |z

` ρ

ζ| ă r, si bien que puisque ρ

tend vers 0, on a, du fait de la d´ efinition de M

,

g

pζq “ ρ

f

`

z

` ρ

ζ ˘ ď ρ

M

1 ´ |z

` ρ

ζ |{r

ď r ` |z

| r ` p|z

| ` ρ

Rq

r ´ |z

|

r ´ p|z

| ` ρ

Rq ,

3

avec un majorant qui tend vers 1. Le crit` ere de Marty s’applique donc bien. La limite g d’une sous-suite de g

est non constante puisque g

p0q “ lim

g

p0q “ 1.

ðù Supposons par contraposition la famille F normale et soit M telle que max

|z|ďp1`rq{2

f

pzq ď M,

pour toute f P F . ` A ζ P C fix´ e, on a |z

` ρ

ζ| ď p1 ` rq{2, pour n assez grand, si bien que g

pζq “ ρ

f

pz

` ρ

ζ q ď ρ

M , tend vers 0. La limite g des g

serait donc constante (possiblement infinie), contredisant l’hypoth` ese selon laquelle elle est non constante. B

2 – Th´ eor` emes de Montel et Picard

Th´ eor` eme 3 . Une famille F de fonctions m´ eromorphes, d´ efinies sur un ouvert D de C, dont toutes les images ´ evitent trois points donn´ es de S

, est normale.

D´ emonstration – Puisque la propri´ et´ e de normalit´ e de la famille F est locale, on ne perd rien

`

a supposer que D est le disque unit´ e. On suppose aussi sans perte de g´ en´ eralit´ e que les trois points de S

´ evit´ es par toutes les f P F sont 0, 1 et 8 , aussi la famille F est-elle form´ ee de fonctions holomorphes. Pour k ě 1, notons F

Ă F la collection des fonctions sur D ´ evitant 0, 8 et l’ensemble Σ

des racines k-i` emes de l’unit´ e, pour k ě 1. On a donc F

“ F , et f

P F

si f P F , ainsi que f

P F si f P F

– on peut bien prendre une puissance d’une fonction ´ evitant 0. Raisonnons par l’absurde en supposant F non normale.

Aucune des familles F

Ă F ne serait alors normale, sans quoi d´ esignant par f

une suite de F sans sous suite convergence, une sous-suite des f

P F

convergerait, impliquant la convergence des f

– une contradiction. La caract´ erisation de Zalcman nous donnerait donc pour tout k ě 1 une fonction g

m´ eromorphe sur C, non constante, obtenue comme limite de fonctions ´ evitant 0 et Σ

, et satisfaisant l’estim´ ee

g

pzq ď g

p0q “ 1. (2.1) Le th´ eor` eme d’Hurwitz nous assure que g

´ evite elle ausi 0 et Σ

. Consid´ erons alors la famille G :“ `

g

˘

ně0

de fonctions m´ eromorphes sur C. C’est une famille normale d’apr` es (2.1) et le th´ eor` eme de Marty. Une limite g d’´ el´ ements de cette famille v´ erifiera g

p0q “ 1, puisque g

p0q “ 1 pour tout n ě 0. Aussi g n’est-elle pas constante. Comme Σ

Ă Σ

, chaque fonction g

´ evite Σ

, pour n ď m. Le th´ eor` eme d’Hurwitz implique

`

a nouveau que g ´ evite Σ

; ceci pour tout n ě 0. Il s’ensuit que l’image de g est soit contenue dans D soit dans CzD. Dans les deux cas, le th´ eor` eme de Liouville implique que

g est constante, une contradiction. B

Th´ eor` eme 4 . Soit f : D Ñ S

une fonction m´ eromorphe ayant une singularit´ e essentielle en un point z

P D. Alors l’image par f de tout voisinage de z

´ evite au plus deux points de S

. D´ emonstration – On peut supposer sans perte de g´ en´ eralit´ e que D est le disque unit´ e, que

z

“ 0 et que f est holomorphe sur Dzt0u. Si toutes les restrictions de f ` a des voisinages

de 0 ´ evitaient trois points (ce serait toujours les mˆ emes), la famille f

pzq :“ f pz{nq , d´ efinie

sur le disque point´ e ouvert 0 ă |z| ă 1, serait normale ; les p ˝ f

contiendraient donc une

sous-suite convergente. On raisonne maintenant par contraposition, apr` es avoir rappel´ e la

formulation ‘classique’ de la normalit´ e d’une famille de fonctions holomorphes donn´ ee dans

la note du bas de la page 1. De deux choses l’une. Si cette sous suite f

convergeait dans

C sur les compacts, elle serait en particulier born´ ee sur le cercle |z| “ 1{2, si bien que f

serait born´ ee par une mˆ eme constante sur tous les cercles 1{p2n

q . Elle serait donc born´ ee

tout court, d’apr` es le principe du maximum, et 0 serait une singularit´ e effacable. Sinon, le

mˆ eme raisonnement appliqu´ e ` a 1{f montre que 0 est un pˆ ole. B