Feuille d’exercices n

Feuille d’exercices n

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Exercice 1. SoientX₁, X₂ des va discr`etes `a valeurs dans des univers d´enombrables Λ₁, ,Λ₂. Montrer que X₁ et X₂ sont ind´ependantes si et seulement si

P(X1 =a, X2 =b) =P(X1 =a)P(X2 =b) pour tout (a, b)∈Λ1×Λ2. Exercice 2. Donner un crit`ere d’ind´ependance similaire `a celui de l’Exercice 1 pour un nombre fini quelconque de va discr`etes X₁, . . . , X_d.

Exercice 3. Soit (ε_i)i≥1 une suite de va ind´ependantes `a valeurs dans {−1,1} et suivant une loi de Rademacher (P(ε_i = 1) = ¹₂ =P(ε_i = −1)). Pour n ∈ N^∗, on pose wn =Qn

i=1εi. Montrer que les va wn sont ind´ependantes.

Exercice 4. Soit X une va `a valeurs dansR<sup>d</sup>. On suppose que X est sym´etrique, ce qui signifie que P<sup>X</sup>(A) = P<sup>X</sup>(−A) pour tout bor´elien A ⊆ R<sup>d</sup>. Soit ´egalement ε une va `a valeur dans{−1,1}et ind´ependante deX. Montrer queY =εX a la mˆeme loi que X.

Exercice 5. Soient X etY deux va r´eelles ind´ependantes, de mˆeme loiN(0,1).

(1) D´eterminer la loi de X²+Y².

(2) On pose Z = (X, Y). Justifier l’existence de deux va R et Θ, `a valeurs dans R⁺ et [0,2π[ respectivement, telles que Z = (Rcos Θ, Rsin Θ).

(3) D´eterminer loi de la va (R,Θ), puis les lois de R et de Θ.

(4) Les vaR et Θ sont-elles ind´ependantes?

Exercice 6. Soient R et Θ deux va r´eelles ind´ependantes, `a valeurs dans [0,1] et [0,2π] respectivement. On poseZ = (Rcos Θ, Rsin Θ).

(1) On suppose que R est uniform´ement distribu´ee sur [0,1] et que Θ est uni- form´ement distribu´ee sur [0,2π]. Quelle est la loi de Z?

(2) On suppose que Z est uniform´ement distribu´ee sur le disque unit´e ferm´e D={(x, y)∈R²; x²+y² ≤1}. D´eterminer les lois de R et de Θ.

Exercice 7. SoientX etY deux va r´eelles ind´ependantes. On poseM = max(X, Y) etm = min(X, Y)

(1) Exprimer les fonctions de r´epartition de M et m en fonction de celles de X et de Y.

1

(2) D´eduire de (1) que si X et Y admettent des densit´es continues, alors M et m´egalement, et donner des formules pour ces densit´es.

(3) Dans cette question, on suppose que X et Y suivent des lois exponentielles de param`etres λ et µ. Calculer explicitement la fonction de r´epartition de m= min(X, Y), et en d´eduire la loi de m.

Exercice 8. Soient X et Y deux va r´eelles. On pose M = max(X, Y) et m = min(X, Y).

(1) On suppose que la va Z = (X, Y) admet une densit´e ρ:R² →R⁺. (a) D´eterminer la loi de Ze= (m, M).

(b) En d´eduire queM etmadmettent des densit´es, et exprimer ces densit´es

`

a l’aide de la fonction ρ.

(2) On suppose que X et Y sont ind´ependantes et admettent des densit´es con- tinuesρ_X etρ_Y. Montreren utilisant (1) queM etmadmettent des densit´es continues, et exprimer ces densit´es en fonction de ρ_X, ρ_Y et des fonctions de r´epartition de X etY.

Exercice 9. Soit p ∈]0,1[, et soit (Xi)i≥0 une suite de va ind´ependantes d´efinies sur (Ω,A,P), suivant toutes une loi de Bernoulli de param`etre p. On d´efinit des va T<sub>0</sub>, T<sub>1</sub>, T<sub>2</sub>, . . . `a valeurs dans N∪ {∞} de la fa¸con suivante : T₀ = 0 et, pour n ≥1,

T_n = minn

k > T_n−1; X_k = 1o , avec la convention min∅=∞.

(1) Montrer que T₁ <∞presque sˆurement et d´eterminer la loi de T₁. (2) Montrer que P T_n =l+k|Tn−1 =l

=P T₁ = k

pour tout n ≥2 et pour tous k, l∈N^∗.

(3) Montrer queT_n <∞presque sˆurement pour toutn ≥2 et que les vaT₁, T₂− T1, . . . , Tn−Tn−1 sont ind´ependantes et de mˆeme loi que T1.

(4) Calculer la fonction g´en´eratrice Gn de Tn pour tout n ≥ 2, et en d´eduire la loi deTn.

Exercice 10. Soit (X_i)i≥0 une suite de va ind´ependantes d´efinies sur (Ω,A,P) et `a valeurs dans un univers (Λ,B). On suppose que lesX_i suivent toutes la mˆeme loiµ.

Soit ´egalement T une va `a valeurs dans N<sup>∗</sup> telle que pour tout n ∈N<sup>∗</sup>, l’´ev`enement (T =n) appartient `a la tribu σ(X₀, . . . , Xn−1). Pour ω∈Ω, on pose

X_T(ω) = X_T(ω)(ω).

Montrer que X_T est une va `a valeurs dans (Λ,B), et que PXT =µ.

Exercice 11. Soit (Xi)i≥1 une suite de va ind´ependantes suivant une loi de Bernoulli de param`etrep∈[0,1]. Soit ´egalementN une va `a valeurs dansN ind´ependante des X_i. Pour n ∈ N, on pose S_n = X₁ +· · ·+X_n (avec la convention S₀ = 0), et on d´efinit S_N : Ω→R par

S_N(ω) =S_N(ω)(ω) =X₁(ω) +· · ·+X_N(ω)(ω).

(1) Montrer que S_N est une va.

(2) Montrer que siN suit une loi de Poisson P(λ), alorsS_N suit la loi P(λp).

(3) Montrer que siN suit une loi binˆomialeB(m, q), alorsS_N suit la loiB(m, qp).

Exercice 12. Montrer que si X₁ et X₂ sont des va r´eelles ind´ependantes suivant des lois normales N(0, σ₁²) et N(0, σ₂²), alors X = X₁ +X₂ suit la loi N(0, σ²), o`u σ² =σ₁²+σ²₂.

Exercice 13. SoientXetY deux va r´eelles ind´ependantes, uniform´ement distribu´ees sur [−1,1]. D´eterminer la loi de X+Y.

Exercice 14. Soient X et Y deux va ind´ependantes suivant des lois exponentielles de param`etres λ et µ. D´eterminer la loi de X+Y.

Exercice 15. Soient X₁ etX₂ deux va r´eelles ind´ependantes suivant chacune loi de Cauchy _π¹ _1+x^dx2· Montrer que X +Y suit la loi _π² _4+x^dx2, puis que ^X1+X₂ ² suit la loi de Cauchy.

Exercice 16. On dit qu’une va r´eelleX suit uneloi gamma de param`etres (α, λ), o`uα, λ >0, si

PX = λ^α

Γ(α)x^α−1e^−λx1[0,∞[(x)dx.

(1) Montrer que si X et X⁰ sont deux va ind´ependantes suivant des lois gamma de param`etres (α, λ) et (α<sup>0</sup>, λ), alorsX+X<sup>0</sup>suit une loi gamma de param`etres (α+α⁰, λ).

(2) Soient X₁, . . . , X_n des va ind´ependantes suivant toutes une loi exponentielle de param`etre λ. D´eterminer la loi de X₁+· · ·+X_n.

(3) Montrer que si X est une va suivant une loi normale N(0,1), alors X² suit une loi gamma de param`etres `a d´eterminer.

(4) Soient X₁, . . . , X_n des va ind´ependantes et de loi N(0,1). D´eterminer la loi deX₁²+· · ·+X_n².

Exercice 17. Soient X etY deux va ind´ependantes `a valeurs dans N. On suppose que X+Y a la mˆeme loi que X. Montrer que Y = 0 presque sˆurement.

Exercice 18. Soit (Xi)i≥n une suite de va ind´ependantes `a valeurs dans {−1,1}, telles que P(X<sub>i</sub> = 1) = p pour tout i ≥ 1, o`u 0 < p < 1 et p 6= 1/2. Pour n ∈ N^∗, on pose Z_n = X₁ +· · ·+X_2n, et on note E_n l’´ev`enement (Z_n = 0). Montrer que P limE_n

= 0.

Exercice 19. Soit (Ω,A,P) un espace de probabilit´e, et soit (E_i)i∈N une suite d’´ev`enements ind´ependants ayant tous la mˆeme probabilit´e p. Pour k ∈ N<sup>∗</sup>, on note A<sub>k</sub> l’´ev`enement d´efini comme suit : ω ∈A_k si et seulement si il existe un entier i∈[2^k,2^k+1−k] tel queω ∈E_i+1∩ · · · ∩E_i+k. Montrer que P limA_k

= 0 sip < 1/2, et que P limAk

= 1 si p≥1/2.

Exercice 20. Soit X une va r´eelle `a valeurs positives, et soit (X_n)n∈N une suite de va ind´ependantes et de mˆeme loi que X. Pour n ∈ N, on pose A_n = (X_n > n).

Montrer qu’on a P limA_n

= 0 siE(X)<∞, et P limA_n

= 1 si E(X) =∞.

Exercice 21. Un singe trouve un ordinateur portable sous un baobab. L’ordinateur est allum´e, et un fichier LibreOffice est ouvert. Le singe se met imm´ediatement `a utiliser l’ordinateur. Comme c’est tout de mˆeme un singe, il frappe sur les touches compl`etement au hasard; et comme il trouve cela tr`es amusant, il tape infiniment longtemps.

(1) On note A ={a1, . . . , aN} l’ensemble des touches de l’ordinateur. Pour i ∈ N^∗, on note Xi la i-`eme touche enfonc´ee par le singe.

(a) Si m = (a_j1, . . . , a_jp) est une suite finie d’´el´ements de A et si k ∈ N est fix´e, quelle est la probabilit´e de l’´ev`enement (Xk+1, . . . , Xk+p) = m

? (b) Soitm= (a_j1, . . . , a_jp) fix´e. Pour tout entierl∈N, on noteA_ll’´ev`enement

(X_lp+1, . . . , X_(l+1)p) = m

. Calculer P∞

l=0P(A_l).

(2) Montrer qu’il est presque certain que le singe ´ecrive une infinit´e de fois les oeuvres compl`etes de Victor Hugo.

Exercice 22. Soit X une va r´eelle. On suppose que pour tout bor´elien A⊆R, on a P(X ∈A) = 0 ou 1. Montrer que X est presque sˆurement constante, autrement dit qu’il existe un nombre r´eel c tel que P(X =c) = 1. (Commencer par montrer que la fonction de r´epartition deX est une fonction indicatrice.)

Exercice 23. Soit X une va `a valeurs dans un espace m´etrique complet s´eparable (Λ, d). On suppose que pour tout bor´elien A⊆Λ, on a P(X ∈A) = 0 ou 1.

(1) Montrer que X est r´eunion d´enombrable de boules ouvertes, et en d´eduire qu’il existe une boule ouverteB₀ ⊆Λ telle que P(X ∈B₀) = 1.

(2) Montrer que si B est une boule ouverte de Λ telle que P(X ∈B) = 1, alors il existe une boule ouverte B⁰ telle que B⁰ ⊆ B, diam(B⁰) ≤ ¹₂diam(B) et P(X ∈B⁰) = 1.

(3) Montrer que la va X est presque sˆurement constante, autrement dit qu’il existe un pointa∈Λ tel que P(X =a) = 1.

Exercice 24. SoitXune va r´eelle. On suppose queX est ind´ependante d’elle-mˆeme.

Montrer que X est presque sˆurement constante.

Exercice 25. Soient X et Y deux va r´eelles ind´ependantes, et soient f et g deux fonctions bor´eliennes injectives de Rdans R. On suppose que la vaf(X) +g(Y) est constante. En utilisant l’Exercice 24, montrer que X et Y sont presque sˆurement constantes.

Exercice 26. Soit (X_n)n∈N une suite de va r´eelles ind´ependantes. Montrer qu’on a l’alternative suivante : ou bien la s´erie P

X_n converge presque sˆurement, ou bien cette s´erie diverge presque sˆurement.

Exercice 27. Soit (X_n)n≥0 une suite de va ind´ependantes `a valeurs complexes.

En utilisant l’Exercice 22, montrer que le rayon de convergence de la s´erie enti`ere PX_nzⁿ est presque sˆurement constant.

Exercice 28. Soit X une va r´eelle.

(1) Montrer qu’il existe au moins un nombre r´eel m tel que P(X ≤m)≥1/2 et P(X ≥m)≥1/2. On dit qu’un tel m est unem´ediane de X.

(2) Soit ψ : R → R la fonction d´efinie par ψ(x) = P(X ≤ x)− P(X ≥ x).

Montrer que siX ∈L¹ et si a < b, alors E |X−b|

−E |X−a|

= Z b

a

ψ(x)dx.

(3) On suppose que X ∈L¹. Montrer que si m est une m´ediane de X, alors E |X−m|

= infn

E |X−u|

; u∈R o

.

Exercice 29. SoitXune va suivant une loi de Poisson de param`etreλ >0. Montrer que si λ est un entier, alors

E

|X−λ|

= 2λ^λe^−λ (λ−1)!·

Exercice 30. Soient X et Y deux va r´eelles ind´ependantes et de mˆeme loi µ =

1

x² 1_[1,∞[(x)dx. On pose U = XY et V = ^X_Y · D´eterminer la loi de (U, V), puis calculerE

1 V√

U

.

Exercice 31. Soit (X_i)_i≥1 une suite de va ind´ependantes suivant une loi de Bernoulli de param`etre p ∈]0,1[. Soit ´egalement a ∈ N^∗ fix´e. Pour n ≥ 1, on pose S_n = X₁+· · ·+X_n. Enfin, on note T le plus petit entier n tel que S_n≥a.

(1) Montrer queT est une va `a valeurs dans{a, a+ 1, a+ 2, . . .}et que pour tout k∈N, on a

P(T =a+k) =

a+k−1 a−1

p^a(1−p)^k. (2) On suppose que a≥2. Montrer queE _X−1^a−1

=p et E _X^a

> p.

Exercice 32. Soit X une va r´eelle, et soit (X_i)i≥1 une suite de va ind´ependantes et de mˆeme loi que X (d´efinies sur (Ω,A,P)). Soit ´egalement N une va `a valeurs dans N^∗, ind´ependante des X_i. Pour n∈N^∗, on poseS_n =X₁+· · ·+X_n. Enfin, on note S_N la va d´efinie par

S_N(ω) = S_N(ω)(ω) = X₁+· · ·+X_N(ω)(ω).

(1) ExprimerSN comme somme d’une s´erie faisant intervenir N et les Sn. (2) Montrer que pour tout bor´elien A⊆R et pour tout n∈N^∗, on a

P(S_N ∈A|N =n) =P(S_n∈A).

(3) Montrer que siX et N sont dans L¹, alors S_N ∈L¹ et E(S_N) =E(N)E(X).

Exercice 33. Calculer la variance d’une va suivant une loi de Bernoulli de param`etre p∈[0,1], et la variance d’une va suivant une loi de Poisson de param`etre λ >0.

Exercice 34. Soit n ∈ N^∗, et soit X une va r´eelle uniform´ement distribu´ee sur l’ensemble Λ ={1, . . . , n}. Calculer l’esp´erance et la variance de X.

Exercice 35. Soit X un va r´eelle uniform´ement distribu´ee sur un intervalle [a, b]⊆ R. Calculer l’esp´erance et la variance de X.

Exercice 36. Soit X une va r´eelle, et soit ε une va ind´ependante de X et suivant une loi de Rademacher, i.e. P(ε= 1) = ¹₂ =P(ε =−1). On pose Y =εX.

(1) Montrer qu’on a E(XY) =E(X)E(Y).

(2) En utilisant l’Exercice 24, montrer que si la vaX² n’est pas presque sˆurement constante, alorsX etY ne sont pas ind´ependantes.

Exercice 37. Soient X et Y deux va r´eelles d´efinies sur (Ω,A,P).

(1) On suppose queX ne peut prendre que 2 valeurs distinctes au plus. Montrer que si f : R → R est une fonction bor´elienne quelconque, alors f(X) est fonction affine de X, i.e. il existe des constantes a et b telles que f(X) = aX+b.

(2) On suppose que X etY ne peuvent prendre chacune que 2 valeurs distinctes au plus. Montrer queX etY sont ind´ependantessi et seulement si E(XY) = E(X)E(Y).

Exercice 38. SoientX₁, . . . , X_N des va r´eelles deux `a deux ind´ependantes et appar- tenant `a L², de mˆeme moyennem et de mˆeme variance σ². On pose

X = 1 N

N

X

i=1

X_i et V = 1 N

N

X

i=1

(X_i−m)². Calculer E(X) et E(V).

Exercice 39. Soit X une va r´eelle d´efinie sur (Ω,A,P), et soient f, g :R→Rdeux fonctions croissantes.

(1) Montrer que si Y est une autre va r´eelle d´efinie sur (Ω,A,P), alors la va Z = f(X)−f(Y)

g(X)−g(Y)

est positive. On peut donc ´ecrire E

f(X)−f(Y)

g(X)−g(Y)

≥0.

(2) On suppose que les va f(X) et g(X) sont dansL². En appliquant (1) `a une va Y ind´ependante de X et de mˆeme loi que X, montrer qu’on a

E f(X)g(X)

≥E f(X)

E g(X) .

Exercice 40. Soient a₁, . . . , a_n ∈ R, et soient ε₁, . . . , ε_n des va `a valeurs dans {−1,1}, deux `a deux ind´ependantes suivante chacune une loi de Rademacher. Cal- culer E

Pn

i=1a_iε_i2 .

Exercice 41. Soit (X_i)_i∈N une suite de va r´eelles d´efinies sur (Ω,A,P), deux `a deux ind´ependantes. On suppose que les X_i sont dans L², qu’elles sont centr´ees, et qu’on a P∞

i=0σ²(X_i)<∞. Montrer que la s´erie P

X_i converge dans L².

Exercice 42. Soit a > 0, et soit φ : R → [0, a] une fonction bor´elienne. Montrer que pour tout 0≤α < a, on a

P φ(X)≥α

≥ E φ(X)

−α a−α ·

Exercice 43. Soit X une va r´eelle positive appartenant `a L², et soitα∈]0,1[.

(1) Soit m = E(X). En ´ecrivant X = X1[αm,∞[(X) +X1]−∞,αm[(X), ´etablir l’in´egalit´e

(1−α)m ≤E X1[αm,∞[(X) . (2) Montrer qu’on a

P X ≥αE(X)

≥(1−α)² E(X)² E(X²)·

Exercice 44. SoitXune va r´eelle. On suppose qu’il existe des constantesA, c, α, t₀ >

0 telles que ∀t > t₀ : P |X| > t

≤ Ae^{−c tα}. Montrer que X ∈ L^p pour tout p∈[1,∞[.

Exercice 45. Soit X une va `a valeurs dans N. Montrer queE(X) =

∞

P

n=0P(X > n).

Exercice 46. Soit (X_i)i∈Nune suite de va r´eelles ind´ependantes d´efinies sur (Ω,A,P).

On suppose que lesXi sont dansL², qu’elles sont centr´ees, et qu’on aP∞

i=0σ²(Xi)<

∞. Le but de l’exercice est de montrer que la s´erie P

Xi converge presque sˆurement.

(Comparer avec l’Exercice 41.)

(1) Soientm, n∈N, avecn ≤m. Pourj ∈ {n, . . . , m}, on pose S_j =

j

P

i=n

X_i. Soit

´egalement ε > 0. Le but de cette question est d’´etablir l’in´egalit´e suivante (qu’on appelle l’in´egalit´e maximale de Kolmogorov) :

P

n≤j≤mmax |S_j| ≥ε

≤ 1 ε²

m

X

i=n

σ²(X_i). (a) Pour i∈ {n, . . . , m}, on pose

Bi ={ω ∈Ω; |Sk(ω)|< ε pour tout n≤k < i}.

V´erifier que Ω = B_n et B_n ⊇ B_n+1 ⊇ · · · ⊇ B_m, puis montrer que les

´

ev`enements maxn≤j≤m|S_j| ≥ε

et |Pm

i=nX_i1_Bi| ≥ε

sont identiques.

(b) Montrer que si n ≤ i < i⁰ ≤ m, alors les va X_i⁰ et X_i1_Bi1_B

i0 sont ind´ependantes.

(c) D´eduire de (b) qu’on a

E

X^m

i=n

Xi1Bi

2!

≤

m

X

i=n

σ²(Xi).

(d) D´emontrer l’in´egalit´e souhait´ee

(2) D´eduire de (1) que pour tout ε >0 et pour tout n ∈N, on a

P sup

m≥n

m

X

i=n

X_i > ε

!

≤ 1 ε²

∞

X

i=n

σ²(X_i).

(3) Soit ε >0. Pour N ∈N, on pose A^ε_N =n

ω∈Ω;∃q≥p≥N :

q

X

i=p

X_i(ω) > εo

.

Montrer que A^ε_N ⊆ n

ω ∈ Ω : sup_m≥N

Pm

i=N X_i(ω)

> ε/2o

, et en d´eduire queP(A^ε_N)→0 quand N → ∞.

(4) Conclure.

Exercice 47. Soit (a_i) une suite de nombres r´eels telle que P∞

i=0a²_i < ∞. En utilisant l’Exercice 46, montrer qu’il existe une suite de signes (ε_i) ∈ {−1,1}^N telle que la s´erie P

ε_ia_i est convergente.

Exercice 48. Soit f : [0,1]→C une fonction continue. On d´efinit lespolynˆomes de Bernstein B_nf, n≥1 par

B_nf(x) =

n

X

k=0

n k

x^k(1−x)^n−kf k

n

.

Le but de l’exercice est de montrer “de mani`ere probabiliste” que B_nf tend uni- form´ement versf sur [0,1] quand n→ ∞.

(1) Soit x ∈ [0,1] fix´e. On consid`ere une suite (X<sub>i</sub>)i≥1 de variables al´eatoires ind´ependantes d´efinies sur le mˆeme espace de probabilit´e et suivant chacune une loi de Bernoulli de param`etrex. Pourn ∈N^∗, on poseS_n=X₁+· · ·+X_n.

(a) V´erifier queBnf(x)−f(x) = E h

f ^S_nⁿ

−f(x) i

.

(b) Calculer E(^S_nⁿ) et σ²(^S_nⁿ), et en d´eduire que pour tout δ >0, on a P

S_n n −x

≥δ

≤ 1 4nδ²·

(2) Pourδ >0, on poseω_f(δ) = sup

|f(v)−f(u)|; |v−u|< δ . D´eduire de (1) que pour tout x∈[0,1], on a

|B_nf(x)−f(x)| ≤ω_f(δ) + kfk∞

2nδ² · (3) Conclure.

Exercice 49. On garde les notations de l’exercice 48. Montrer que si la fonction f estlipschitzienne sur [a, b], alors il existe une constanteC telle que

∀n ≥1 : kB_nf −fk_∞ ≤ C

√n·

Exercice 50. Soit X une variable al´eatoire born´ee, d’esp´erance nulle, et soit (X_i) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi queX. Pour n ∈N^∗, on pose S_n=X₁+·+X_n. Le but de l’exercice est de montrer que ^S_nⁿα tend presque sˆurement vers 0 pour tout α >1/2.

(1) Justifier que e^tX ∈L¹ pour toutt∈R.

(2) Soit a >0. Montrer que pour toutλ >0 et pour tout n≥1, on a P(|S_n| ≥a)≤e^−λa E(e^λX)ⁿ+E(e^−λX)ⁿ

. (3) Montrer que la fonctiont7→E e^tX

est de classeC² surR, puis montrer qu’il existe une constante C telle que ∀t∈[−1,1] : E(e^tX)≤1 +Ct².

(4) Soit α > 0. Montrer que pour tout ε > 0, pour tout n ∈ N^∗ et pour tout λ∈]0,1], on a

P |S_n|

n^α ≥ε

≤2e^{−λnαε+Cnλ2}. (5) D´emontrer le r´esultat souhait´e.

Exercice 51. Dans tout l’exercice, (ε_i)_i∈Nest une suite de va ind´ependantes d´efinies sur (Ω,A,P), `a valeurs dans{−1,1}, suivant chacune une loi de Rademacher (P(ε_i = 1) = ¹₂ =P(ε_i =−1)). On note E ⊆L^∞ l’espace vectoriel engendr´e par les fonctions ε_i. Le but de l’exercice est d’´etablir le r´esultat suivant : sur l’espace E, toutes les normes || . ||_p, 1≤p <∞ sont ´equivalentes.

(0) Soit Z =P

i∈Ia_iε_i ∈ E, o`uI ⊆N est fini. Calculer kZk²₂. (1) Soit Z =P

i∈Iaiεi ∈ E.

(a) Pour λ∈R, calculer E e^±λZ

et montrer qu’on a E e^±λZ

≤e^λ

2 2

P

ia²_i.

(b) Montrer que pour tout t >0, on a

P |Z|> t

≤2 exp



− t² 2P

i∈I

a²_i



 .

(2) Soit Z = P

i∈Ia_iε_i ∈ E, et soit 1 ≤ p < ∞. En utilisant (1) et “la formule bien connue” pourE(|Z|^p), montrer que sikZk₂ = 1, alorskZk_p ≤B_p, o`uB_p est une constante finie d´ependant uniquement de p.

(3) Soient toujours Z =P

i∈Ia_iε_i ∈ E et 1≤p < ∞.

(a) Comparer kZk_p etkZk₂ lorsque p≥2.

(b) (i) Montrer que si X est une variable al´eatoire positive, alors E(X²)≤(E(X^p))^2/3× E(X^6−2p)1/3

.

(ii) On suppose que p < 2. En utilisant (i) et en appliquant (2) `a un autre exposant que p, montrer que si kZk₂ = 1, alors kZk_p ≥ A_p pour une certaine constante A_p >0 d´ependant uniquement de p.

(4) Conclure.