D1845 − Six points remarquables [***** à la main]
Démontrer qu'on sait trouver six points du plan X₁,Y₁,Z₁,X₂,Y₂,Z₂ tels que les huit triangles XiYjZk sont tous semblables avec 1 ≤ i, j, k ≤ 2.
Application numérique:on choisit les coordonnées de X₁ (0,0) et de Y₁(10⁹,0). Le sommet Z₁ est situé dans le quadrant des coordonnées strictement positives avec Z₁X₁ ≤ Z₁Y₁. Déterminer les longueurs des côtés Z₁X₁ et Z₁Y₁ à l'entier le plus proche.
Solution proposée par Bernard Vignes
Pour trouver les six points qui sont les sommets de huit triangles semblables, il est naturel de partir d'un triangle de base X₁Y₁Z₁ défini par: Y₁Z₁ = a, Z₁X₁ = b, X₁Y₁ = c,X₁Y₁Z₁ = α,X₁Z₁Y₁ = β et complété par un second triangle X₁Y₁Z₂ qui lui est semblable avec Z₁ et Z₂ du même côté par rapport à la doite [X₁Y] tel que X₁Z₂ = c²/a et Y₁Z₂ = bc/a,Y₁X₁Z₂ = α ,X₁Y₁Z₂ = β.
Voir figure ci-après:
L'idée est ensuite de contruire avec les trois derniers points trois parallélogrammes dont le partage selon l'une de leurs diagonales donne trois fois deux triangles isométriques
semblables au triangle de base X₁Y₁Z₁.
On trace le segment Y₁X₂ parallèle à X₁Z₁ puis le segment X₂Y₂ parallèle à Y₁Z₂ et l'on obtient ainsi les parallélogrammes X₁Y₁X₂Z₁, Y₁X₂Y₂Z₂ et X₁Z₂Y₂Z₁. On vérifie aisément que les six triangles X₁Y₁Z₁, X₂Y₁Z₁, X₁Y₁Z₂, X₂Y₂Z₁, X₂Y₁Z₂ et X₂Y₂Z₂ sont tous
semblables.
Les deux derniers triangles X₁Y₂Z₂ et X₁Y₂Z₁ contenus dans le parallèlogramme X₁Z₂Y₂Z₁.
sont isométriques. Pour qu'ils soient semblables aux six autres triangles il faut et il suffit que:
1) Y₁X₁Z₂ = 2α + β ,d'où la relation 3α + 2β = 180° ou encore β = 90° − 3α/2.
2) X₁Y₁ / X₁Z₁ = c/b = Y₂Z₂ / X₁Z₂ = ab/c² d'où la relation ab² = c³ (R)
La loi des sinus dans le triangle X₁Y₁Z₁. permet d'écrire a/sin(2α + β) = b/sin(α) = c/sin(β) Sans perte de généralité, on peut poser dans (R) a = 1, b = t³ et c = t² avec t < 1.
Il en résulte: 1/cos(α/2) = t³/sin(α) = t²/cos(3α/2).
D'où l'angle α solution de l'équation transcendante sin²(a).cos(α/2) − cos³(3α/2)= 0 Un tableur (voir ci-après) donne rapidement la solution unique:
α = 32;7367..° et β = 40,8948..°.
Avec X₁Y₁ = 10⁹, on a les mesures de X₁Y₁ = 682 327 804 et X₁Z₁ = 563 624 162.
