S O
L T A N I M
O H S E N
DEVOIR DE CONTR ˆ OLE # 2 L Y C ´ E E C H E B B I
2016/2017
MATH´ EMATIQUES
P R : S OLTANI M OHSEN
Le sujet comporte
2pages num´erot´es de
1`a
2Une copie non soign´ee sera sanctionn´ee.
Exercice
1.( 6 points)
On onsiderela suite deniesur
N ∗
parun = 1n
n
X
k=1
ln(n +k)
−
ln(n).1. Demontrerque u
n
= 1
n n
X
k=1
ln(1+ k
n ).
2. (a) Demontrerque
∀
k∈
[[0;n−
1℄℄ on a :1
n
ln(1+ k
n )
≤
Z
1+
k+1
n
1+
k
n
ln(x)dx
≤
1n
ln(1+ k+1
n )
.
(b) En deduireque :
u
n
−
1n
ln(2)
≤
Z
2
1
ln(x)dx
≤
un3. Deduirede equi preedeun enadrement de (u
n ) .
4. Determiner lim
n
→
+u
n
Exercice
2.( 8 points)
Soit f la fontion deniesur l'intervalle ℄0;+[ par : f(x)=(1
−
ln(x))2.1.
Etudier les variations de f.
2. Soit g la restrition de f a l'intervalle [e;+[
(a) Montrer que g realise une bijetion de [e;+[ sur un intervalle que l'on preisera.
(b) Traer laourbe (
C
f
) etla ourbe (
C ′
) de g−
1dans un m^eme repere orthonorme (O;
−
→
i ;
−
→
j ).
3. Pour tout n
∈ N ∗
, on pose tn =Z
e
1
(1
−
ln(t))ndt.(a) Caluler t
1 .
(b) En integrantpar parties , montrerque pourtout n
∈ N ∗
on a: tn+1 =−
1+(n +1)tn .() On designepar M etN lespoints de (
C
f
) d'absisses respetives 1 ete .
Soit
V
le volume de solide de revolution engendre parla rotation de l'ar _MN de la ourbe (
C
f )
autour de l'axe (O;
−
→
i ). Caluler
V
.QUATRI`EME S CIENCES E XP . 1
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Exercice
3.( 6 points)
Un groupe de 22personnes deided'aller au inemadeux samedi de suite pourvoir deux lms A etB.
Le premier samedi , 8 personnes vont voir le lmA et les autresvont voir le lm B.
Le deuxiemesamedi,4personnes deidentde revoirle lmA, 2vont revoirle lmB etlesautresvont voir
le lm qu'elles n'ont pas vu lasemaine preedente.
Apresla deuxiemeseane,on interrogeau hasard une personne de egroupe .
On onsidereles evenements suivants :
A
1
: "la personne interrogee a vu le lm A lepremier samedi ".
A
2
: "la personne interrogee a vu le lm A ledeuxieme samedi ".
B
1
: "la personne interrogee a vu le lm B le premier samedi ".
B
2
: "la personne interrogee a vu le lm B le deuxieme samedi ".
1. (a) Reproduire et ompleter l'arbre
pondere suivant , en remplaant
haque point d'interrogation par la
probabilite orrespondante .
(b) Caluler : p(A
2 )
() Une personne interrogee a vu le lm
A le deuxieme samedi , quelle est la
probabilite qu'il l'aitvu aussi lepremier
samedi.
A
1
?
A
2
?
B
2
?
?
B
1
?
A
2
?
B
2
?
2. Le prix du billet pour le lmA est de 30 dinars et de 20dinars pourle lm B.
On appelle X lavariable aleatoireegaleau outtotal ,pourla personneinterrogee, des deuxseanes
de inema.
(a) Determinerla loi de probabilitede X .
(b) Determinerl'esperanemathematiquede la variable aleatoireX
