DEVOIR DE CONTR ˆ OLE # 2 L

S ^O

L T A N I M

O H S E N

DEVOIR DE CONTR ˆ OLE # 2 L

´

C

2016/2017

MATH´ EMATIQUES

P

: S

M

Le sujet comporte²pages num´erot´es de¹ `a² Une copie non soign´ee sera sanctionn´ee.

Exercice1

.( 4 points)

1. Soit lafontion u(x)=

√

x

2−^x+1.

(a) Montrer que u est derivablesur R ^{puis aluler u′(x) pour toutreelx.}

(b) Dresser le tableau de variations de u .

2. Dans le plan rapporteaun repereorthonorme(O;

−

→

i ;

−

→

j ), on donne les points A(1;0)et M(x;

√

x)

ou x∈R⁺

Determinerla valeur du reelx pour laquelle la distane AM soit minimale .

Exercice2

.( 6 points)

Soit f la fontion denie sur R\^{‚1ƒ par : f(x) = x}

2

x−^{1 et on designepar Cf sa representationgraphique}

dans le plan rapporteaun repereorthonorme(O;

−

→

i ;

−

→

j ).

1. Montrer que le point(1;2)est un entre de symetrie de C

f .

2. Montrer que la droite :y =x+1 est une asymptote aC

f .

3. Dresser le tableau de variation de f.

4. On donne J(0;1). Montrer qu'il existe une unique tangenteT aC

f

passant par J.

5. Construire T et C

f .

Exercice3

.( 5 points)

a et b deux entiers naturels non nuls.

1. Montrer que a∧^{b divise (a+b)}∧^(ab).

2. On suppose dans ette question que : (a+b)∧^{(ab)=p2 ave p premier.}

(a) Montrer que p

2 |^{a2. #indiation :a2 =a(a+b)}−^ab#

En deduireque p |^{a. Montrer de m^eme que p} |^b

(b) Demontrerque a∧^{b=p ou p2.}

3. (a) Soient a et b deux entiers naturels non nuls tels que (a+b) ∧^{(ab) = 49 et a} ∨^{b = 231.}

Montrer que a∧^b=7

(b) Determinertous les ouples (a;b) d'entiers naturels non nuls tels que (a+b) ∧^{(ab) = 49 et}

a∨^b=231

T

` M

1

S ^O

L T A N I M

O H S E N

Exercice4

.( 5 points)

Le plan P est rapporteaun repereorthonormediret (O;−→u ;−→v).

Soit f l'appliation du plan P\^{‚Oƒ dans P qui, atout pointM du plan d'aÆxe z}6^{=0 ,assoie le pointM′}

d'aÆxe z

′

denipar : z

′

=z+i− ¹

z .

On donne les points A;B et C d'aÆxes respetives : a =i , b=

√

3

2 +

1

2

iet =−^i.

On designepar A

′

et B

′

les images respetives de A et B par f d'aÆxes respetives a

′

et b

′

.

1. (a) Montrer que C est l'unique point invariant par f.

(b) Caluler a

′

et b

′

.

() Montrer que

−^b

b

′−^{b =}

√

3

3

i. En deduirela nature du triangle OBB

′

.

2. Soit =‚M∈^P\^{‚Oƒ tel que f(M)=Oƒ}

(a) Resoudrez 2

+iz−¹⁼⁰

(b) Deduireque les points de appartiennent au erle C de entreO etde rayon 1.

T

` M

2